单独决策和统一决策情况下允许有残次品和缺货的供应链模型

单独决策和统一决策情况下允许有残次品和缺货的供应链模型邱少英;李小申
【摘要】构建一个由单个制造商和单个零售商构成的供应链模型,该制造商生产的产品有一定比例的残次品,零售商在销售过程中允许一定量的缺货.假设市场需求对产品的零售价格是敏感的,则可以对供应链中各成员的运作和产品定价作出决策.应用更新报酬定理,获得制造商和零售商的平均利润函数,证明在单独决策和统一决策下的利润函数为凹函数,得到单独决策和统一决策下的最优方案和最大利润,对影响决策的重要参数进行灵敏度分析.结果表明:合作提高了供应链的总体利润,减少了次品率,对制造商更加有益;统一决策的供应链倾向于通过降低次品率来增加总利润.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》
【年(卷),期】2018(035)003
【总页数】9页(P364-372)
【关键词】供应链;决策;产品定价;允许缺货
【作者】邱少英;李小申
【作者单位】河南科技大学数学与统计学院,洛阳471023;河南科技大学数学与统计学院,洛阳471023
【正文语种】中文
【中图分类】F253.4
0 引言
供应链的研究主要集中在三个方向:第一个是供应链中订购和产品生产决策的协调，Goyal［1］于1976年最早对该问题进行了研究，系统地推导出最优订货量，用
来计算销售商和供应商的年成本总函数;第二个是供应链中的价格决策，这方面的
一个开创性的研究是首次在供应链中考虑顾客的价格敏感性需求，Whitin［2］于1955年把价格敏感性考虑到库存模型中，是最早考虑顾客价格敏感性的研究者之一;第三个是供应链中产品的不完美或缺货，Porteus［3］于1986年在批量生产
模型中首次考虑到产品的不完美情形，并进行了研究。

Maddah等［4］提出精确的年度期望利润可以由更新报酬定理计算出来。

霍佳震等［5］构建了一个需求同时依赖于销售价格和库存水平，生产率和变质率均为常数，允许缺货且缺货量部分延迟订购的易变质品联合定价与生产控制模型。

陈东彦等［6］针对实际系统中存在的需求扰动，利用最优控制理论给出其最优控制策略。

李小申等［7］建立的模型中，零售商同时销售两种产品，当一种产品缺货时，可以用另一种产品替代，也可以重新进货。

Lee等［8］研究了在库存能力有限、缺货成本共享条件下的供应
链协调问题。

Ahmadi-Javid等［9］研究了价格敏感需求下和库存能力约束下的
供应链分销网络中的“位置-库存-价格”模型，并提出了一个有效的解决该模型问题的方法—拉格朗日松弛算法。

Chen等［10］在价格敏感需求下研究联合经济批量模型，模型中假设生产率可以以固定比例的需求率来改变。

Salameh等［11］研究了有残次品的经济订货批量问题。

Wee等［12］推广了Salameh等［11］
的研究，考虑了允许缺货的情形。

Chang等［13］利用更新报酬定理重新构建了Wee等［12］的模型，并给出了较完美的解。

Huang［14］研究了有一定比例残次品的生产订货库存问题，建立了费用最小化模型，并给出了求解的方法。

把产品不完美、允许缺货和需求价格敏感性结合起来进行研究的还不多，本文综合考虑这些情况，构建了一个制造商－零售商供应链模型，并对单独决策和统一决策下的情形进行了研究和比较。

1 模型符号和假设
为了使供应链模型的建立更加简单，只考虑单一产品的情形，基本假设如下: (1)只有一个制造商和一个零售商，产品的批发价格，即零售商的进货价p为给定数据;
(2)市场允许缺货，最大的允许缺货数量为b，缺货需求从接下来的进货中得到满足，并且这些用来补足缺货的商品是没有缺陷的［13］，但缺货时零售商需要支付一定的缺货费用，单位产品的费率为π;
(3)每一批货物的次品率为y，制造商支付的残次品的质保金为Cw，当顾客购买到残次品时，由零售商转付给顾客，这里y均匀地分布在(L，J)上，0≤ L＜J≤ 1，记(4)需求率D是零售价格s的减函数:D(s)=αs－β，这里α＞0是一个换算系数(比例因子)，1＜β≤ 2是价格弹性指数，为了简化符号，D(s)和D在本文中可互换;
(5)零售商每次的订货批量Q相同，零售商的进货周期T与次品率y有关，在每一次交货中，期望的合格品的数量与订货周期中的需求是相等的，即(1－y)Q=DT;
(6)零售商订购的商品由制造商及时送达，制造商下一周期送货时，零售商把合格品的进货成本付给制造商，同时不合格产品由制造商带回，零售商每次的订货费用为A，制造商每次的送货费用为F;
(7)制造商的单位生产成本为C，每次生产nQ件产品，每次的生产准备费为S，生产周期为Tm;
(8)产能利用率ρ被定义为市场需求率与生产率的比值，即ρ=D/R，这里ρ＜1是给定的固定值，为了完全满足需求，且有一个可行性问题，假设R≥D/(1－y)，也就是说ρ≤(1－y)。

2 模型建立
2.1 独立决策模型
在制造商和零售商独立决策情况下，零售商的决策与制造商的生产周期无关，因此
有优先决策权。

2．1．1 零售商的利润
零售商的平均进货周期为:E［T］=E［(1－y)Q/D］=(1－Y)Q/D。

由模型假设可得零售商的库存变化情况如图1所示，其中虚线表示合格品的库存情况，横轴下方为缺货。

图1 零售商的库存模式Fig．1 Inventory pattern of retailer
根据更新报酬定理［4］，由图1可知，零售商的平均年库存费用为:式中hr是零售商单位产品单位时间的库存费。

零售商的年期望利润(由产品销售收入、进货成本、订货费用、库存费用和缺货成本构成)为:
目的是确定b、Q、s的值，使利润函数ETPr(b，Q，s)的值达到最大。

1．是凹函数;
2．当1＜β＜2时，有唯一的最优解;当β=2时，如唯一解，否则无解。

式中
证明利润函数ETPr(b，Q，s)的Hessian矩阵:
因为＜0，特别地，当(β－1)s－(β+1)p＜0时，H1是负定矩阵。

从而利润函数ETPr(b，Q，s)是凹函数，式(1)得证。

下面求利润函数ETPr(b，Q，s)的最优解。

利润函数ETPr(b，Q，s)的一阶最优性
条件为:
所以，当
即
式中。

易证k1＞0。

当1＜β＜2时，易知式(5)的最后一个方程有唯一的解，从而有唯一的解b*、Q*、s*满足一阶最优性条件。

当β=2时，如式(5)的最后一个方程有唯一的解，否则无解。

由式(4)知，满足一阶最优性条件的解满足定理1的条件，该解为利润函数ETPr(b，Q，s)的最优解，式(2)得证。

定理证毕。

特别地，当(β－1)s－(β+1)p＜0时，定理1中的条件(β－1)s－(β+1)p产品加价
率不超过2/(β－1)，例如β=1．5，意味着产品加价不超过400%，这个要求是相当宽松的。

2．1．2 制造商的利润
制造商每个生产周期生产的产品数为nQ，用Tm表示制造商的生产周期(年)，则
制造商的平均生产周期为:E［Tm］=E［n(1－y)Q/D］=n(1－Y)Q/D=nT。

根据
更新报酬定理，制造商的平均年库存费用为［14］:(β－1)s－(β+1)p＜0意味着
式中hm是制造商单位产品单位时间的库存费。

制造商的年期望利润(由销售收入、生产准备费、生产费用、质保金、库存费用和
运输费用组成)为:
计算式(6)目的是确定n，使利润函数ETPm(n)的值达到最大。

由于0，所以利润函数ETPm(n)是凹函数，其一阶最优性条件为:
该解即为利润函数ETPm(n)的最优解。

独立决策下系统的总利润函数为:
2.2 统一决策模型
在统一决策下，制造商和零售商有一个共同的管理者，从整个供应链系统最优化的角度进行决策。

该情形下，期望联合利润总额为:
即
目的是确定 b、Q、s、n 的值，使利润函数 ETPJ(b，Q，s，n) 的值达到最大。

定理2Q，s，n) 有以下性质:
1．是凹函数;
2．当1＜β＜2时，有唯一的最优解;当β=2时，如果解，否则无解。

式中:
证明利润函数ETPJ(b，Q，s，n)的Hessian矩阵:
式中:=
因为
所以，利润函数ETPJ(b，Q，s，n)是凹函数。

式(1)得证。

下面求利润函数ETPJ(b，Q，s，n)的最优解，其一阶最优性条件是:即
式中:
当1＜β＜2时，易知式(14)中的最后一个方程有唯一的解，从而有唯一的解b*、Q*、s*、n*满足一阶最优性条件。

当β=2时，如果k4，从而式(14)中的最后一个方程有唯一的解。

否则无解。

由式(12)和式(13)知，满足一阶最优性条件的解满足定理2的条件，从而该解为利润函数ETPJ(b，Q，s，n)的最优解。

式(2)得证。

定理证毕。

特别地，当(β－1)s－(β+1)C ＜0时，定理2中的条于C≤ p≤ s，所以当(β－1)s －(β+1)C ＜0时，(β－1)s－(β+1)p＜0。

这意味着(β－1)s－(β+1)C＜0比条件(β－1)s－(β+1)p＜0严苛一些，但这个条件仍很宽泛。

例如，β=1．5时，这个条件就是s＜5C，即零售价小于产品生产成本的5倍，这个条件一般产品都满足。

3 数值试验与分析
为了研究系统参数变化对最优解和期望利润的影响，下面将进行灵敏度分析，并对重要参数的结果进行总结。

使用Chen等［10］及Huang［14］中的参数值:零售商的订货成本A=100(元/次)，固定运输费用F=100(元/次)，制造商的生产准备费S=1 200(元/次)，制造商的生产费用C=2．5(元/件)，制造商支付的残次品的质保金Cw=11(元/件)，零售商的采购成本p=7(元/件)，单位时间的缺货成本π =1．5(元/件)，零售商单位时间的库存成本hr=0．86(元/件)，制造商单位时间的库存成本hm=0．25(元/件)，产能利用率ρ=0．8，换算系数α=300 000，价格弹性指数β=1．25，次品率y是一个连续的随机的变量，一致的分布在 (0，0．04) 。

注意:为了说明合作的好处，提高的百分比通算出来，记为Δ。

3.1 单位缺货成本π的灵敏度分析
缺货成本是由于库存产品不足，导致供应中断而给企业带来的损失。

一方面，缺货会影响到生产经营活动，另一方面，在允许缺货的供应链中，缺货可以减少库存量，降低库存水平，从而降低库存持有成本。

本文研究的是允许缺货的情况，对于零售商来说，缺货成本与订货量是反向相关的，所以缺货成本关系着零售商订货批量的决策，因此，有必要对单位产品的缺货成本进行灵敏度分析，表1和表2分别给
出了独立决策下和统一决策下单位缺货成本π的灵敏度分析。

表1 独立决策下单位缺货成本π的灵敏度分析Table 1 Sensitivity analysis of unit’s out-of-stock cost π under independent decisionπ b* Q* s* n* ETP*r ETP*m ETP*I 1．0 546．45 1 205．98 35．42 11 98 082 13 653 111 735 1．5 398．01 1 114．49 35．46 12 98 035 13 616 111 651 2．0 313．85 1 065．02 35．48 12 98 005 13 594 111 599 2．5 259．34 1 033．93 35．49 13 97 986 13 583 111 569
表2 统一决策下单位缺货成本π的灵敏度分析Table 2 Sensitivity analysis of unit’s out-of-stock cost π under joint decisionπ b* Q* s* n* ETP*J Δ 1．0 1 171．93 2 586．36 14．53 9 122 290 9．4%1．5 868．74 2 432．62 14．56 9 122 130 9．4%2．0 691．33 2 346．00 14．57 10 122 100 9．4%2．5 574．49 2 290．31 14．58 10 122 040 9．4%
由表1和表2可知:随着单位缺货成本的增加，零售商的订货批量减少，最大允许
缺货量也越来越小。

这是因为单位缺货成本的增加给企业带来的缺货损失越来越大，所以，企业就会减少最大允许缺货量。

为了降低缺货损失，零售商会增加订货次数，通过减少每次订购的产品数量来降低缺货水平。

虽然缺货水平下降了，但因为零售商频繁订货，给零售商带来较大的订货费用，制造商和零售商的利润都会下降。

系统期望总利润的增加量Δ随缺货成本π的增加几乎不发生变化，但合作提高了供
应链的总利润。

3.2 价格弹性指数β的灵敏度分析
表3和表4分别给出了独立决策下和统一决策下价格弹性指数β的灵敏度分析。

从表3和表4可以看出:零售价格随β的增加而减少，且零售价格随β变化明显统一决策下系统的总利润高于独立决策下系统的总利润;系统期望总利润的增加量Δ随β的增加而增加，所以最优价格是缩减的。

从表4中得到的另一个结果是:售价的降低引起需求的增加，这使最优订货量和短缺数量增加。

当β=2时，该模型已经失去了研究意义，这显然不是一个好的趋势，但却与实际情况一致，当β的值增加到一定程度时，零售价格太低，此时零售商无利可图，制造商也将面临破产倒闭，这就需要在价格和需求之间寻求一个平衡。

表3 独立决策下价格弹性指数β的灵敏度分析Table 3 Sensitivity analysis of price elasticity index β under independent decisionβ b* Q* s* n* ETP*r ETP*m ETP*I 1．20 389．99 1 092．05 42．56 12 117 760 13 054 130 814 1．25 398．01 1 114．49 35．46 12 98 035 13 616 111 651 1．30 399．54 1 118．78 30．73 12 82 269 13 731 96 000 2．00 259．24 725．91 14．28 12 10 297 5 544 15 841
表4 统一决策下价格弹性指数β的灵敏度分析Table 4 Sensitivity analysis of price elasticity index β under joint decisionβ b* Q* s* n* ETP*J Δ 1．20 749．18 2 097．84 20．83 9 139 800 6．7%1．25 868．74 2 432．62 14．56 9 122 130 9．4%1．30 892．39 2 498．87 12．60 9 107 160 11．6%2．00 809．06 2 265．53 5．73 9 －－
3.3 次品率y的灵敏度分析
表5和表6分别给出了独立决策下和统一决策下次品率y的灵敏度分析。

表5和表6表明:缺货量、最优订货量、系统期望总利润都随次品率y的增加而减少，但
零售价格及订货次数反而增加。

这说明次品率高时，零售商会增加进货次数减少进货量，并提高零售价格，这些对制造商极为不利，所以考虑减少次品率对制造商在竞争市场中更加有益。

表6同时说明，随着次品率y的增加，系统期望总利润的
增加量Δ减少。

这些结果与Chang等［13］模型中获得的结果相似，因此协调的供应链总是喜欢降低次品率来增加总利润。

表5 独立决策下次品率y的灵敏度分析Table 5 Sensitivity analysis of defective rate y under independent decisiony b* Q* s* n* ETP*r ETP*m ETP*I(0，0．01)407．35 1 123．46 35．45 11 98 049 14 335 112 384(0，0．04) 398．01 1 114．49 35．46 12 98 035 13 616 111 651(0，0．07) 389．15 1 106．62 35．47 12 98 020 12 875 110 895(0，0．10)380．72 1 099．76 35．48 13 98 006 12 115 110 121
表6 统一决策下次品率y的灵敏度分析Table 6 Sensitivity analysis of defective rate y under joint decisiony b* Q* s* n* ETP*J Δ(0，0．01)912．89 2 517．74 14．33 9 124 430 10．7%(0，0．04) 868．74 2 432．62 14．56 9 122 130 9．4%(0，0．07) 825．63 2 347．87 14．79 10 119 910 8．1%(0，0．10)813．52 2 349．94 15．01 10 117 650 6．8%
4 结论
研究了一个有残次品、允许缺货和需求对价格敏感的制造商－零售商供应链，建立了利润最大化模型。

利润函数是凹函数，并且满足一阶最优性条件的解存在，从而保证了模型的最优解存在。

数值实验表明:
(1)缺货成本的大小不仅影响零售商的决策和利润，而且影响制造商的决策和利润。

随着缺货成本的增加，零售商和制造商的利润都减少。

为了弥补成本增加带来的损失，零售商减少进货量和允许缺货量，同时增加进货次数和零售价。

(2)需求的价格弹性指数对零售商的利润影响更加显著。

随着价格弹性指数的增加，
零售商不得不降低零售价格以增加市场需求，但市场需求的增加并不能弥补价格降低所造成的利润损失。

由于价格下降，多售出一个产品的利润并不比多一个缺货的费用多多少，因而允许缺货的意义就变小了。

(3)次品率的变化对制造商的影响更加显著。

(4)合作提高了供应链系统的总利润，因此供应链各个节点的协调更加具有现实意义。

这些结果可以为供应链的参与者和相关管理者提供决策参考，以实现决策的科学化和利润的最大化。

本文没有考虑批发价格的确定问题，这是下一步要做的工作。

多阶段、多个生产商和多个零售商的情况，也是下一步要研究的问题。

除此之外，需求是变化的或随机的也是一个很有意义的研究问题。

参考文献
【相关文献】
［1］GOYAL S K．An integrated inventory model for a single supplier-single customer problem［J］．International Journal of Production Research，1977，15(1):107－111．［2］WHITIN T M．Inventory control and price theory［J］．Management Science，1955，2(1):61－68．
［3］PORTEUS E L．Optimal lot sizing，process quality improvement and setup cost reduction［J］．Operations Research，1986，34(1):137－144．
［4］MADDAH B，JABER M Y．Economic order quantity for items with imperfect quality:revisited［J］．International Journal of Production Economics，2008，112(2):808
－815．
［5］霍佳震，李贵萍，段永瑞．部分延迟订购的易变质品联合定价与生产策略［J］．运筹与管理，2015，24(1):255－262
［6］陈东彦，侯玲．需求扰动生产－库存系统的动态模型及最优控制策略［J］．黑龙江大学自然科学学报，2011，28(3):300－305．
［7］李小申，张宏建，夏尊铨．可替代产品库存模型研究［J］．数学的实践与认识，2011，
41(18):150－160．
［8］LEE J Y，CHO R K，PAIK S K．Supply chain coordination in vendor-managed inventory systems with stock out-cost sharing under limited storage capacity ［J］．European Journal of Operational Research，2016，248(1):95 －106．
［9］AHMADI-JAVID A，HOSEINPOUR P．A location-inventory-pricing model in a supply chain distribution network with price-sensitive demands and inventory-capacity constraints［J］．Transportation Research Part E:Logistics and Transportation Review，2015，82:238－255．
［10］CHEN L H，KANG F S．Integrated inventory models considering the two-level trade credit policy and a price-negotiation scheme［J］．European Journal of Operational Research，2010，205(1):47－58．
［11］SALAMEH M K，JABER M Y．Economic production quantity model for items with imperfect quality［J］．International Journal of Production Economics，2000，64(1－3):59－64．
［12］WEE H M，YU J，CHEN M C．Optimal inventory model for items with imperfect quality and shortage backordering［J］．Omega-International Journal of Management Science，2007，35(1):7－11．
［13］CHANG H C，HO C H．Exact closed-form solutions for“optimal inventory model for items with imperfect quality and shortage backordering”［J］．Omega-International Journal of Management Science，2010，38(3－4):233－237．
［14］HUANG C K．An optimal policy for a single-vendor single-buyer integrated production-inventory problem with process unreliability consideration［J］．International Journal of Production Economics，2004，91(1):91 －98．。