二次方程的实根分布问题

2
根在 2，内，一根在1，内, 求m的范围？ 0 3
f ( 2) m 10 0 f ( 0) m 0 f (1) 2m 2 0 f (3) 4m 0
Ø
y
-2
.
x1
0 1
..x 3 .
2
x
变五：关于x的方程x (m 3) x m 0
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用 图像直观的画出来，或数形结合或等价转 化，将函数、方程、不等式视为一个统一 整体，另外，要重视参数的分类讨论对图 形的影响。
设f ( x ) ax bx c (a 0)
2
一元二次方程ax 2 bx c 0(a 0) 的两根为x1 , x2 ( x1 x2 )
你还有其他思路吗？ 能从二次函数入手思考该问题吗？
变一：关于x的方程x mx 3 m 0
2
有两正实根, 求m的取值范围？
解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点 在x轴的正半轴，我们可以画满足题意的图象
y
由图列式
2
0
思考：1：从函数方面解决方程的根问题，其步骤是什么？ 一元二次方程ax2 bx c 0a 0在某个区间上有
( m 3 ) 4m 0 3 m 0 2 2 f(0) m 0 f ( 2 ) 3m 2 0
2
y
0
x1 x2
.
2
x
2 m m 1 3
变五：关于x的方程x (m 3) x m 0一
2
两异根有且只有一个在0，内, 求m的范围？ 2
y y
x1 x2
0
.
.. 2
x
0
x1
. .. 2
x2
x
f(0)f(2)=m(3m-2) <0 m 0 m
2 3
变五：关于x的方程x (m 3) x m 0
2
两异根有且只有一个在0，内, 求m的范围？ 2
k2
k1
k2
f ( k1 ) 0 或 b k1 k2 k1 2a 2
k1
f ( k2 ) 0 或 k1 k2 b 2 2a k 2 k2
0
x1
x2 x
4端点值f m的正负
变三：关于x的方程x (m 3) x m 0
2
有两负实根, 求m的取值范围？
0 b 0 2a f 0 0
y
x1
x2
0
x
变四：关于x的方程x (m 3) x m 0
2
有一正一负实根, 求m的取值范围？
y y
0
.
x1 x2
.2
x
. 0
x1
2.
.
x2
x
f x1 0 m的值 解x2 x2 0,2
？
思考：
课时作业P56：纠错本
若关于x的方程9 4 3 a
x x
有实根，求a的取值范围？
思考：
变：
若关于x的方程9 4a 3 4
x x
有实根，求a的取值范围？
2
解：
(1) m 4(3 m) 0 ， 4m 12 0 m
2 2
得： 6或m 2. m
★一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
1、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 4ac 0时，
＝ (3-m) -4m 0 b 3-m x1 x2 x >0 - =2 2a 图与式如何对应 f ( 0 )=m>0
实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题 思考：2：列式从几方面入手？
变式题二：m为何实数值时，关于x的方程 2 有两个大于1的根.
法一：设 f ( x) x
y
变四：关于x的方程mx (m 3) x m 0
2
有一正一负实根, 求m的取值范围？ x x
1
0
2
x
0 f 0 0 f 0 0
m m 0
变五：关于x的方程x (m 3) x m 0
2
两根都在0，内, 求m的取值范围？ 2
2
方程有两个相等的实数根
(3)当 b 2 4ac 0时， 方程没有实数根
变一：关于x的方程x mx 3 m 0
2
有两正实根, 求m的取值范围？
你首先想到了什么方法？ 韦达定理
解：设方程的两实根分别为x1、x2，则
m 6或m 2 0 (2) x1 x2 0 得 m 0 得：m 6 x x 0 m 3 0 1 2
mx (3 m) 0
法三：
=m 2 4(3 m) 0 m m 2 4m 12 1 x1 2 m m 2 4m 12 1 x2 2
由求根公式，转化成含根式的 不等式组
解不等式组，得
m 6或m 2 m6 m 2 m2 4m 12 m2 4m 4
思考3：
根的分布题型有多少解决方法？
思考4： 那个方法较方便？ 回到思考2：
函数思想解决根的分布的步骤？ 列式需要考虑几个方面？
根的分布一般（1）转化为对应的函数（2） 由题意画函数的图（3）由图列式 列式一般考虑以下方面
y
1开口的方向 2 2判别式 b 4ac的大小
b 3对称轴x 的位置 2a
函数的零点 二次方程的实根分布问题
建湖高级中学 孙文腾
一.函数零点
一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0 的实数x就做函数y=f(x)的零点.
由此得出以下三个结论等价：
方程f(x)=0有实根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
例一：m为何实数值时, 关于x的方程 x mx 3 m 0有实根？
x mx (3 m) 0
转变为函数，借 助于图像，解不 等式组
2
mx (3 m)
由已知得：
f(x)
x1
x2
0
1
x
m 2 4(m 3) 0 m6 f (1) 0 m 1 2
变式题二：m为何实数值时，关于x的方程x 2 有两个大于1的根.
变式题二：m为何实数值时，关于x的方程 2 有两个大于1的根.
x mx (3 m) 0
转化为韦达定理的 不等式组
法二：
m2 4(m 3) 0 m 6或m -2 x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 m 6 ( x1 1)( x2 1) 0 ( x 1) ( x 1) 0 x x 2 0 2 1 2 1
0 b k 2a f (k ) 0
(3) x1 k x2 ( k为常数）
f (k ) 0
(4)k1 x1 x2 k2 ( k1 , k2为常数）
0 b k1 k2 2a f ( k1 ) 0 f ( k2 ) 0
(7)m x1 n p x2 q ( m , n, p, q为常数）
f (m ) 0 f ( n) 0 f ( p) 0 f (q ) 0
(6) x1，x2有且只有一个根在（k1 , k2）内
k1
f ( k1 ) f ( k2 ) 0
1两根都大于k , x2 x1 k
0 b k 2a f (k ) 0
设f ( x ) ax 2 bx c (a 0) 一元二次方程ax bx c 0(a 0)
2
的两根为x1 , x2 ( x1 x2 )
(1)方程两根都小于k ( k为常数）