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高考数学一轮复习第9章平面解析几何第7节双曲线教学案文北师大版

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高考总复习一轮数学精品课件 第9章 平面解析几何 第7节 第1课时 抛物线的定义、方程与性质

高考总复习一轮数学精品课件 第9章 平面解析几何 第7节 第1课时 抛物线的定义、方程与性质
向下

|PF|=-y0+
2
x≥0,y∈R
向右

焦半径(其中 P(x0,y0)) |PF|=x0+2
y轴

F(0,2 )

2

F(0,-2 )

2
2
2

2
2
微点拨1.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方
向,正确选择抛物线的标准方程.
2.由y2=mx或x2=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将x或y的系数除以4,再确定焦
D.y2=16x或y2=8x
解析 因为抛物线的准线方程是
所以点 M 的横坐标是

x=- ,而点
2
M 到准线的距离为 6,

6-2.所以点
又因为点 M 在抛物线上,所以

M 的坐标为(6-2,-4√2).

32=2p 6- ,解得 p=8 或 p=4,
2
故该抛物线的标准方程为 y2=16x 或 y2=8x.
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
图形 到抛物线顶
点的距离
顶点
对称轴
取决于一
焦点
次项变量
离心率
(x或y)的
准线方程 取值范围
范围
开口方向
原点
x轴

F(2 ,0)

F(-2 ,0)
e=1

x=-
x=
y=-
y=
x≤0,y∈R
向左

|PF|=-x0+
y≥0,x∈R
向上

|PF|=y0+
y≤0,x∈R
F(1,0)到直线3x+4y+7=0的距离,

北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何两直线的位置关系教学案理

北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何两直线的位置关系教学案理

一、知识梳理１．两条直线平行与垂直的判定（１）两条直线平行对于两条不重合的直线l１，l２，其斜率都存在且分别为k１，k２，则有l１∥l２⇔k１＝k２；特别地，当直线l１，l２的斜率都不存在时，l１与l２平行．（２）两条直线垂直如果两条直线l１，l２斜率都存在，设为k１，k２，则l１⊥l２⇔k１·k２＝—１，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．２．两直线相交直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0和l２：A２x＋B２y＋C２＝0的公共点的坐标与方程组错误!的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．３．两种距离点点距点P１（x１，y１），P２（x２，y２）之间的距离|P１P２|＝错误!点线距点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝错误!常用结论１．两个充要条件（１）两直线平行或重合的充要条件直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与直线l２：A２x＋B２y＋C２＝0平行或重合的充要条件是A１B２—A２B＝0．１（２）两直线垂直的充要条件直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与直线l２：A２x＋B２y＋C２＝0垂直的充要条件是A１A２＋B１B２＝0．２．六种常见对称（１）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（—x，—y）．（２）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，—y），关于y轴的对称点为（—x，y）．（３）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝—x的对称点为（—y，—x）．（４）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（２a—x，y），关于直线y＝b的对称点为（x，２b—y）．（５）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（２a—x，２b—y）．（6）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k—y，k—x），关于直线x—y＝k的对称点为（k ＋y，x—k）．３．三种直线系方程（１）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）．（２）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx—Ay＋n＝0（n∈R）．（３）过直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与l２：A２x＋B２y＋C２＝0的交点的直线系方程为A１x＋B１y ＋C１＋λ（A２x＋B２y＋C２）＝0（λ∈R），但不包括l２.二、教材衍化１．已知点（a，２）（a>0）到直线l：x—y＋３＝0的距离为１，则a＝________．解析：由题意得错误!＝１．解得a＝—１＋错误!或a＝—１—错误!.因为a>0，所以a＝—１＋错误!.答案：错误!—１２．已知P（—２，m），Q（m，４），且直线PQ垂直于直线x＋y＋１＝0，则m＝________．解析：由题意知错误!＝１，所以m—４＝—２—m，所以m＝１．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）当直线l１和l２的斜率都存在时，一定有k１＝k２⇒l１∥l２.（）（２）如果两条直线l１与l２垂直，则它们的斜率之积一定等于—１．（）（３）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．（）（４）已知直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0，l２：A２x＋B２y＋C２＝0（A１，B１，C１，A２，B２，C２为常数），若直线l１⊥l２，则A１A２＋B１B２＝0．（）（５）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况；（２）判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况；（３）求两平行线间的距离，忽视x，y的系数应对应相同．１．直线２x＋（m＋１）y＋４＝0与直线mx＋３y—２＝0平行，则m＝________．解析：直线２x＋（m＋１）y＋４＝0与直线mx＋３y—２＝0平行，则有错误!＝错误!≠错误!，故m＝２或—３．答案：２或—３２．若直线（３a＋２）x＋（１—４a）y＋8＝0与（５a—２）x＋（a＋４）y—7＝0垂直，则a ＝________．解析：由两直线垂直的充要条件，得（３a＋２）（５a—２）＋（１—４a）（a＋４）＝0，解得a＝0或a＝１．答案：0或１３．直线２x＋２y＋１＝0，x＋y＋２＝0之间的距离是________．解析：先将２x＋２y＋１＝0化为x＋y＋错误!＝0，则两平行线间的距离为d＝错误!＝错误!.答案：错误!两直线的位置关系（多维探究）角度一判断两直线的位置关系（２0２0·天津静海区联考）“a＝１”是“直线ax＋２y—8＝0与直线x＋（a＋１）y＋４＝0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】设直线l１：ax＋２y—8＝0，直线l２：x＋（a＋１）y＋４＝0．若l１与l２平行，则a（a ＋１）—２＝0，即a２＋a—２＝0，解得a＝１或a＝—２．当a＝—２时，直线l１的方程为—２x＋２y—8＝0，即x—y＋４＝0，直线l２的方程为x—y＋４＝0，此时两直线重合，则a≠—２．当a＝１时，直线l１的方程为x＋２y—8＝0，直线l２的方程为x＋２y＋４＝0，此时两直线平行．故“a＝１”是“直线ax ＋２y—8＝0与直线x＋（a＋１）y＋４＝0平行”的充要条件．故选Ａ．【答案】A角度二由两直线的位置关系求参数（１）（２0２0·安徽芜湖四校联考）直线（２m—１）x＋my＋１＝0和直线mx＋３y＋３＝0垂直，则实数m的值为（）A．１Ｂ．0C．２Ｄ．—１或0（２）（２0２0·陕西宝鸡中学二模）若直线x＋（１＋m）y—２＝0与直线mx＋２y＋４＝0平行，则m的值是（）A．１Ｂ．—２C．１或—２Ｄ．—错误!【解析】（１）由两直线垂直可得m（２m—１）＋３m＝0，解得m＝0或—１．故选Ｄ．（２）１当m＝—１时，两直线方程分别为x—２＝0和x—２y—４＝0，此时两直线相交，不符合题意．２当m≠—１时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得错误!解得m＝１．综上可得m＝１．故选Ａ．【答案】（１）D （２）A角度三由两直线的位置关系求直线方程（一题多解）经过两条直线２x＋３y＋１＝0和x—３y＋４＝0的交点，并且垂直于直线３x ＋４y—7＝0的直线的方程为________．【解析】法一：由方程组错误!解得错误!即交点为错误!，因为所求直线与直线３x＋４y—7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝错误!.由点斜式得所求直线方程为y—错误!＝错误!错误!，即４x—３y＋9＝0．法二：由垂直关系可设所求直线方程为４x—３y＋m＝0，由方程组错误!可解得交点为错误!，代入４x—３y＋m＝0得m＝9，故所求直线方程为４x—３y＋9＝0．法三：由题意可设所求直线的方程为（２x＋３y＋１）＋λ（x—３y＋４）＝0，即（２＋λ）x＋（３—３λ）y＋１＋４λ＝0，１又因为所求直线与直线３x＋４y—7＝0垂直，所以３（２＋λ）＋４（３—３λ）＝0，所以λ＝２，代入１式得所求直线方程为４x—３y＋9＝0．【答案】４x—３y＋9＝0错误!两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在．（１）两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．（２）两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于—１．[提醒] 判断两条直线的位置关系应注意：（１）注意斜率不存在的特殊情况．（２）注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．１．求满足下列条件的直线方程．（１）过点P（—１，３）且平行于直线x—２y＋３＝0；（２）已知A（１，２），B（３，１），线段AB的垂直平分线．解：（１）设直线方程为x—２y＋c＝0，把P（—１，３）代入直线方程得c＝7，所以直线方程为x—２y＋7＝0．（２）AB的中点为错误!，即错误!，直线AB的斜率k AB＝错误!＝—错误!，故线段AB的垂直平分线的斜率k＝２，所以其方程为y—错误!＝２（x—２），即４x—２y—５＝0．２．（一题多解）已知直线l１：ax＋２y＋6＝0和直线l２：x＋（a—１）y＋a２—１＝0．（１）试判断l１与l２是否平行；（２）当l１⊥l２时，求a的值．解：（１）法一：当a＝１时，l１：x＋２y＋6＝0，l２：x＝0，l１不平行于l２；当a＝0时，l１：y＝—３，l２：x—y—１＝0，l１不平行于l２；当a≠１且a≠0时，两直线可化为l１：y＝—错误!x—３，l２：y＝错误!x—（a＋１），l１∥l２⇔错误!解得a＝—１，综上可知，当a＝—１时，l１∥l２.法二：由A１B２—A２B１＝0，得a（a—１）—１×２＝0，由A１C２—A２C１≠0，得a（a２—１）—１×6≠0，所以l１∥l２⇔错误!⇔错误!可得a＝—１，故当a＝—１时，l１∥l２.（２）法一：当a＝１时，l１：x＋２y＋6＝0，l２：x＝0，l１与l２不垂直，故a＝１不成立；当a＝0时，l１：y＝—３，l２：x—y—１＝0，l１不垂直于l２，故a＝0不成立；当a≠１且a≠0时，l１：y＝—错误!x—３，l２：y＝错误!x—（a＋１），由错误!·错误!＝—１，得a＝错误!.法二：由A１A２＋B１B２＝0，得a＋２（a—１）＝0，可得a＝错误!.两条直线的交点和距离问题（典例迁移）（１）经过两直线l１：x—２y＋４＝0和l２：x＋y—２＝0的交点P，且与直线l３：３x—４y ＋５＝0垂直的直线l的方程为__________________．（２）（２0２0·宿州模拟）已知点P（４，a）到直线４x—３y—１＝0的距离不大于３，则a的取值范围是________．（３）（２0２0·厦门模拟）若两平行直线３x—２y—１＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为错误!，则c的值是________．【解析】（１）由方程组错误!得错误!即P（0，２）．因为l⊥l３，所以直线l的斜率k＝—错误!，所以直线l的方程为y—２＝—错误!x，即４x＋３y—6＝0．（２）由题意得，点P到直线的距离为错误!＝错误!.又错误!≤３，即|１５—３a|≤１５，解得0≤a≤１0，所以a的取值范围是[0，１0]．（３）依题意知，错误!＝错误!≠错误!，解得a＝—４，c≠—２，即直线6x＋ay＋c＝0可化为３x—２y＋错误!＝0，又两平行线之间的距离为错误!，所以错误!＝错误!，解得c＝２或—6．【答案】（１）４x＋３y—6＝0 （２）[0，１0] （３）２或—6【迁移探究】若将本例（１）中的“垂直”改为“平行”，如何求解？解：法一：由方程组错误!得错误!即P（0，２）．因为l∥l３，所以直线l的斜率k＝错误!，所以直线l的方程为y—２＝错误!x，即３x—４y＋8＝0．法二：因为直线l过直线l１和l２的交点，所以可设直线l的方程为x—２y＋４＋λ（x＋y—２）＝0，即（１＋λ）x＋（λ—２）y＋４—２λ＝0．因为l与l３平行，所以３（λ—２）—（—４）（１＋λ）＝0，且（—４）（４—２λ）≠５（λ—２），所以λ＝错误!，所以直线l的方程为３x—４y＋8＝0．错误!（１）求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．（２）利用距离公式应注意：１点P（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝|x0—a|，到直线y＝b的距离d＝|y0—b|；２应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．１．已知A（２，0），B（0，２），若点C在函数y＝x２的图象上，则使得△ABC的面积为２的点C 的个数为（）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１解析：选Ａ．设点C（t，t２），直线AB的方程是x＋y—２＝0，|AB|＝２错误!.由于△ABC的面积为２，则这个三角形中AB边上的高h满足方程错误!×２错误!h＝２，即h＝错误!.由点到直线的距离公式得错误!＝错误!，即|t＋t２—２|＝２，即t２＋t—２＝２或者t２＋t—２＝—２．因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有４个．２．已知直线y＝kx＋２k＋１与直线y＝—错误!x＋２的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．解析：如图，已知直线y＝—错误!x＋２与x轴、y轴分别交于点A（４，0），B（0，２）．而直线方程y＝kx＋２k＋１可变形为y—１＝k（x＋２），表示这是一条过定点P（—２，１），斜率为k的动直线．因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上（不包括端点），所以动直线的斜率k需满足k PA<k<k PB.因为k PA＝—错误!，k PB＝错误!.所以—错误!<k<错误!.答案：错误!３．（一题多解）直线l过点P（—１，２）且到点A（２，３）和点B（—４，５）的距离相等，则直线l的方程为________．解析：法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y—２＝k（x＋１），即kx—y＋k＋２＝0．由题意知错误!＝错误!，即|３k—１|＝|—３k—３|，所以k＝—错误!，所以直线l的方程为y—２＝—错误!（x＋１），即x＋３y—５＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝—１，也符合题意．故所求直线l的方程为x＋３y—５＝0或x＝—１．法二：当AB∥l时，有k＝k AB＝—错误!，直线l的方程为y—２＝—错误!（x＋１），即x＋３y—５＝0．当l过AB的中点时，AB的中点为（—１，４），所以直线l的方程为x＝—１，故所求直线l的方程为x＋３y—５＝0或x＝—１．答案：x＋３y—５＝0或x＝—１对称问题（多维探究）角度一点关于点的对称过点P（0，１）作直线l，使它被直线l１：２x＋y—8＝0和l２：x—３y＋１0＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．【解析】设l１与l的交点为A（a，8—２a），则由题意知，点A关于点P的对称点B（—a，２a—6）在l２上，把B点坐标代入l２的方程得—a—３（２a—6）＋１0＝0，解得a＝４，即点A（４，0）在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋４y—４＝0．【答案】x＋４y—４＝0角度二点关于线的对称如图所示，已知两点A（４，0），B（0，４），从点P（２，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）Ａ．２错误!Ｂ．6Ｃ．３错误!Ｄ．２错误!【解析】易得AB所在的直线方程为x＋y＝４，由于点P关于直线AB的对称点为A１（４，２），点P关于y轴对称的点为A２（—２，0），则光线所经过的路程即A１（４，２）与A２（—２，0）两点间的距离．于是|A１A２|＝错误!＝２错误!.【答案】A角度三线关于线的对称直线２x—y＋３＝0关于直线x—y＋２＝0对称的直线方程是（）Ａ．x—２y＋３＝0 Ｂ．x—２y—３＝0Ｃ．x＋２y＋１＝0 Ｄ．x＋２y—１＝0【解析】设所求直线上任意一点P（x，y），则P关于直线x—y＋２＝0的对称点为P′（x0，y0），由错误!得错误!由点P′（x0，y0）在直线２x—y＋３＝0上，所以２（y—２）—（x＋２）＋３＝0，即x—２y＋３＝0．【答案】A错误!（１）中心对称问题的２个类型及求解方法１点关于点对称：若点M（x１，y１）及N（x，y）关于点P（a，b）对称，则由中点坐标公式得错误!进而求解；２直线关于点的对称，主要求解方法：（a）在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；（b）求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．（２）轴对称问题的２个类型及求解方法１点关于直线的对称：若两点P１（x１，y１）与P２（x２，y２）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组错误!可得到点P１关于l对称的点P２的坐标（x２，y２）（其中B≠0，x１≠x２）．２直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．已知直线l：２x—３y＋１＝0，点A（—１，—２）．求：（１）点A关于直线l的对称点A′的坐标；（２）直线m：３x—２y—6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；（３）直线l关于点A（—１，—２）对称的直线l′的方程．解：（１）设A′（x，y），由已知错误!解得错误!所以A′错误!.（２）在直线m上取一点，如M（２，0），则M（２，0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′（a，b），则错误!解得M′错误!.设直线m与直线l的交点为N，则由错误!得N（４，３）．又因为m′经过点N（４，３），所以由两点式得直线m′的方程为9x—４6y＋１0２＝0．（３）设P（x，y）为l′上任意一点，则P（x，y）关于点A（—１，—２）的对称点为P′（—２—x，—４—y），因为P′在直线l上，所以２（—２—x）—３（—４—y）＋１＝0，即２x—３y—9＝0．直线系方程的应用一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．求与直线３x＋４y＋１＝0平行且过点（１，２）的直线l的方程．【解】依题意，设所求直线方程为３x＋４y＋C１＝0（C１≠１），因为直线过点（１，２），所以３×１＋４×２＋C１＝0，解得C１＝—１１．因此，所求直线方程为３x＋４y—１１＝0．先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C１＝0（C１≠C），再由其他条件求C１. 错误!二、垂直直线系由于直线A１x＋B１y＋C１＝0与A２x＋B２y＋C２＝0垂直的充要条件为A１A２＋B１B２＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．求经过A（２，１），且与直线２x＋y—１0＝0垂直的直线l的方程．【解】因为所求直线与直线２x＋y—１0＝0垂直，所以设该直线方程为x—２y＋C１＝0，又直线过点A（２，１），所以有２—２×１＋C１＝0，解得C１＝0，所以所求直线方程为x—２y＝0．错误!先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx—Ay＋C１＝0，再由其他条件求出C１.三、过直线交点的直线系求经过直线l１：３x＋２y—１＝0和l２：５x＋２y＋１＝0的交点，且垂直于直线l３：３x—５y＋6＝0的直线l的方程．【解】法一：将直线l１，l２的方程联立，得错误!解得错误!即直线l１，l２的交点为（—１，２）．由题意得直线l３的斜率为错误!，又直线l⊥l３，所以直线l的斜率为—错误!，则直线l的方程是y—２＝—错误!（x＋１），即５x＋３y—１＝0．法二：由于l⊥l３，所以可设直线l的方程是５x＋３y＋C＝0，将直线l１，l２的方程联立，得错误!解得错误!即直线l１，l２的交点为（—１，２），则点（—１，２）在直线l上，所以５×（—１）＋３×２＋C＝0，解得C＝—１，所以直线l的方程为５x＋３y—１＝0．法三：设直线l的方程为３x＋２y—１＋λ（５x＋２y＋１）＝0，整理得（３＋５λ）x＋（２＋２λ）y＋（—１＋λ）＝0．由于l⊥l３，所以３（３＋５λ）—５（２＋２λ）＝0，解得λ＝错误!，所以直线l的方程为５x＋３y—１＝0．错误!本题中的法二、法三均是利用直线系设出直线l的方程，而法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l１与l２的交点坐标，方便简捷，是最优解法．四、直线恒过定点已知λ∈R，求证直线l：（２λ＋１）x＋（３λ＋１）y—7λ—３＝0恒过定点，并求出该定点坐标．【解】将（２λ＋１）x＋（３λ＋１）y—7λ—３＝0化成（２x＋３y—7）λ＋（x＋y—３）＝0．要使直线恒过定点，必须错误!解得错误!即直线l恒过定点（２，１）．错误!直线Ax＋By＋C＝0恒过定点问题实际上是直线系方程问题．将问题转化为两直线的交点，即将Ax ＋By＋C＝0化为（a１x＋b１y＋c１）λ＋（a２x＋b２y＋c２）＝0．通过方程组错误!，即可求出直线恒过的定点．[基础题组练]１．已知直线l１：mx＋y—１＝0与直线l２：（m—２）x＋my—２＝0，则“m＝１”是“l１⊥l２”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．充要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由l１⊥l２，得m（m—２）＋m＝0，解得m＝0或m＝１，所以“m＝１”是“l１⊥l２”的充分不必要条件，故选Ａ．２．已知直线l１：（k—３）x＋（４—k）y＋１＝0与l２：２（k—３）x—２y＋３＝0平行，则k 的值是（）Ａ．１或３Ｂ．１或５Ｃ．３或５Ｄ．１或２解析：选Ｃ．法一：由两直线平行得，当k—３＝0时，两直线的方程分别为y＝—１和y＝错误!，显然两直线平行．当k—３≠0时，由错误!＝错误!≠错误!，可得k＝５．综上，k的值是３或５．法二：当k＝３时，两直线平行，故排除B，D；当k＝１时，两直线不平行，排除Ａ．３．（２0２0·安徽江南十校二联）已知直线l１：mx—３y＋6＝0，l２：４x—３my＋１２＝0，若l∥l２，则l１，l２之间的距离为（）１Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由于两条直线平行，所以m·（—３m）—（—３）·４＝0，解得m＝±２，当m＝２时，两直线方程都是２x—３y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意．当m＝—２时，l１：２x＋３y—6＝0，l２：２x＋３y＋6＝0，故l１，l２之间的距离为错误!＝错误!.故选Ａ．４．若点P在直线３x＋y—５＝0上，且P到直线x—y—１＝0的距离为错误!，则点P的坐标为（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，１）Ｃ．（１，２）或（２，—１）Ｄ．（２，１）或（—１，２）解析：选Ｃ．设P（x，５—３x），则d＝错误!＝错误!，化简得|４x—6|＝２，即４x—6＝±２，解得x＝１或x＝２，故P（１，２）或（２，—１）．５．直线ax＋y＋３a—１＝0恒过定点M，则直线２x＋３y—6＝0关于M点对称的直线方程为（）Ａ．２x＋３y—１２＝0 Ｂ．２x—３y—１２＝0Ｃ．２x—３y＋１２＝0 Ｄ．２x＋３y＋１２＝0解析：选Ｄ．由ax＋y＋３a—１＝0，可得a（x＋３）＋（y—１）＝0，令错误!可得x＝—３，y ＝１，所以M（—３，１），M不在直线２x＋３y—6＝0上，设直线２x＋３y—6＝0关于M点对称的直线方程为２x＋３y＋c＝0（c≠—6），则错误!＝错误!，解得c＝１２或c＝—6（舍去），所以所求方程为２x＋３y＋１２＝0，故选Ｄ．6．与直线l１：３x＋２y—6＝0和直线l２：6x＋４y—３＝0等距离的直线方程是________．解析：l２：6x＋４y—３＝0化为３x＋２y—错误!＝0，所以l１与l２平行，设与l１，l２等距离的直线l的方程为３x＋２y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋错误!|，解得c＝—错误!，所以l的方程为１２x＋8y—１５＝0．答案：１２x＋8y—１５＝07．l１，l２是分别经过A（１，１），B（0，—１）两点的两条平行直线，当l１，l２间的距离最大时，直线l１的方程是________．解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB＝错误!＝２，所以两条平行直线的斜率为k＝—错误!，所以直线l１的方程是y—１＝—错误!（x—１），即x＋２y—３＝0．答案：x＋２y—３＝08．已知点A（—１，２），B（３，４）．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________．解析：设AB的中点坐标为M（１，３），k AB＝错误!＝错误!，所以AB的中垂线方程为y—３＝—２（x—１）．即２x＋y—５＝0．令y＝0，则x＝错误!，即P点的坐标为（错误!，0），|AB|＝错误!＝２错误!.点P到AB的距离为|PM|＝错误!＝错误!.所以S△PAB＝错误!|AB|·|PM|＝错误!×２错误!×错误!＝错误!.答案：错误!9．已知两直线l１：ax—by＋４＝0和l２：（a—１）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．（１）l１⊥l２，且直线l１过点（—３，—１）；（２）l１∥l２，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：（１）因为l１⊥l２，所以a（a—１）—b＝0．又因为直线l１过点（—３，—１），所以—３a＋b＋４＝0．故a＝２，b＝２．（２）因为直线l２的斜率存在，l１∥l２，所以直线l１的斜率存在．所以错误!＝１—a.１又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l１，l２在y轴上的截距互为相反数，即错误!＝b.２联立１２可得a＝２，b＝—２或a＝错误!，b＝２．１0．已知直线l经过直线２x＋y—５＝0与x—２y＝0的交点P.（１）点A（５，0）到直线l的距离为３，求直线l的方程；（２）求点A（５，0）到直线l的距离的最大值．解：（１）因为经过两已知直线交点的直线系方程为（２x＋y—５）＋λ（x—２y）＝0，即（２＋λ）x＋（１—２λ）y—５＝0，所以错误!＝３，解得λ＝错误!或λ＝２．所以直线l的方程为x＝２或４x—３y—５＝0．（２）由错误!解得交点P（２，１），如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）．所以d max＝|PA|＝错误!.[综合题组练]１．已知直线y＝２x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是（—４，２），（３，１），则点C的坐标为（）Ａ．（—２，４）Ｂ．（—２，—４）Ｃ．（２，４）Ｄ．（２，—４）解析：选Ｃ．设A（—４，２）关于直线y＝２x的对称点为（x，y），则错误!解得错误!所以BC所在的直线方程为y—１＝错误!（x—３），即３x＋y—１0＝0．同理可得点B（３，１）关于直线y＝２x 的对称点为（—１，３），所以AC所在的直线方程为y—２＝错误!·（x＋４），即x—３y＋１0＝0．联立得错误!解得错误!则C（２，４）．故选Ｃ．２．两条平行线l１，l２分别过点P（—１，２），Q（２，—３），它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l１，l２之间距离的取值范围是（）Ａ．（５，＋∞）Ｂ．（0，５]C．（错误!，＋∞）Ｄ．（0，错误!]解析：选Ｄ．当直线PQ与平行线l１，l２垂直时，|PQ|为平行线l１，l２间的距离的最大值，为错误!＝错误!，所以l１，l２之间距离的取值范围是（0，错误!]．故选Ｄ．３．在平面直角坐标系xOy（O为坐标原点）中，不过原点的两直线l１：x—my＋２m—１＝0，l２：mx＋y—m—２＝0的交点为P，过点O分别向直线l１，l２引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN 面积的最大值为（）Ａ．３Ｂ．错误!Ｃ．５Ｄ．错误!解析：选Ｄ．将直线l１的方程变形得（x—１）＋m（２—y）＝0，由错误!，得错误!，则直线l１过定点A（１，２），同理可知，直线l２过定点A（１，２），所以，直线l１和直线l２的交点P的坐标为（１，２），易知，直线l１⊥l２，如图所示，易知，四边形OMPN为矩形，且|OP|＝错误!＝错误!，设|OM|＝a，|ON|＝b，则a２＋b２＝５，四边形OMPN的面积为S＝|OM|·|ON|＝ab≤错误!＝错误!，当且仅当错误!，即当a＝b＝错误!时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为错误!，故选Ｄ．４．如图，已知A（—２，0），B（２，0），C（0，２），E（—１，0），F（１，0），一束光线从F 点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则直线FD的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，因为点A（—２，0）关于直线BC：x＋y＝２的对称点为A１（２，４），所以kA１F＝４．又点E（—１，0）关于直线AC：y＝x＋２的对称点为E１（—２，１），点E１（—２，１）关于直线BC：x＋y＝２的对称点为E２（１，４），此时直线E２F的斜率不存在，所以k FD>kA１F，即k FD∈（４，＋∞）．答案：（４，＋∞）５．正方形的中心为点C（—１，0），一条边所在的直线方程是x＋３y—５＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C到直线x＋３y—５＝0的距离d＝错误!＝错误!.设与x＋３y—５＝0平行的一边所在直线的方程是x＋３y＋m＝0（m≠—５），则点C到直线x＋３y＋m＝0的距离d＝错误!＝错误!，解得m＝—５（舍去）或m＝7，所以与x＋３y—５＝0平行的边所在直线的方程是x＋３y＋7＝0．设与x＋３y—５＝0垂直的边所在直线的方程是３x—y＋n＝0，则点C到直线３x—y＋n＝0的距离d＝错误!＝错误!，解得n＝—３或n＝9，所以与x＋３y—５＝0垂直的两边所在直线的方程分别是３x—y—３＝0和３x—y＋9＝0．6．在直线l：３x—y—１＝0上求一点P，使得：（１）P到A（４，１）和B（0，４）的距离之差最大；（２）P到A（４，１）和C（３，４）的距离之和最小．解：（１）如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，则|PA|—|PB|＝|PA|—|PB′|<|AB′|＝|P0A|—|P0B′|＝|P0A|—|P0B|，则P0即为所求．易求得直线BB′的方程为x＋３y—１２＝0，设B′（a，b），则a＋３b—１２＝0，１又线段BB′的中点错误!在l上，故３a—b—6＝0．２由１２解得a＝３，b＝３，所以B′（３，３）．所以AB′所在直线的方程为２x＋y—9＝0．由错误!可得P0（２，５）．（２）设C关于l的对称点为C′，与（１）同理可得C′错误!.连接AC′交l于P１，在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P１C′|＋|P１A|＝|P１C|＋|P１A|，故P１即为所求．又AC′所在直线的方程为１9x＋１7y—9３＝0，故由错误!可得P１错误!.。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件文北师大版

高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件文北师大版
9.6
双曲线
-2知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
1.双曲线的定义 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值 等于常数 (大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲 线的焦点 ,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距 . 注:若点M满足|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且 a>0,c>0. (1)当a<c 时,点M的轨迹是双曲线; (2)当a=c 时,点M的轨迹是两条射线; (3)当a>c 时,点M的轨迹不存在.
1 2
������ 2
-3������2 -4������ + 4的圆. (
)
(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(xx2)+(y-y1)(y-y2)=0. ( ) (5)方程x2+Bxy+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 关闭 2 2 B= 0,D +E -4F> 0. ( (4)√ ) (5)√ (1)√ (2)× (3)√
������2 ������2 与曲线 − 9 =1 25-������
的
A.焦距相等 C.虚半轴长相等
B.实半轴长相等 D.离心率相等
关闭
由 0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上 ,由 25 + 9-������ = 25-������ + 9,得两双曲线的焦距相等,选 A.
关闭
A
解析 答案
-9知识梳理 双基自测 自测点评
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������2 4.(2016 山西太原五中二模)已知双曲线 9

北师大版版高考数学一轮复习平面解析几何曲线与方程教学案理解析版

北师大版版高考数学一轮复习平面解析几何曲线与方程教学案理解析版

[考纲传真] １．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.２．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.３．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．１．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．２．求动点的轨迹方程的基本步骤３．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.（１）当0＜e＜１时，圆锥曲线是椭圆．（２）当e＞１时，圆锥曲线是双曲线．（３）当e＝１时，圆锥曲线是抛物线．４．两曲线的交点设曲线C１的方程为f１（x，y）＝0，曲线C２的方程为g（x，y）＝0，则（１）曲线C１，C２的任意一个交点坐标都满足方程组错误!（２）反之，上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的坐标．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）f（x0，y0）＝0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）＝0上的充要条件．（２）方程x２＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．（）（３）动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．（）（４）方程y＝错误!与x＝y２表示同一曲线．（）[答案] （１）√（２）×（３）×（４）×２．已知M（—１,0），N（１,0），|PM|—|PN|＝２，则动点P的轨迹是（）Ａ．双曲线Ｂ．双曲线左支Ｃ．一条射线Ｄ．双曲线右支C[∵|PM|—|PN|＝|MN|＝２，∴动点P的轨迹是一条射线，故选Ｃ．]３．（教材改编）P是椭圆错误!＋错误!＝１上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM 中点的轨迹方程为（）Ａ．错误!x２＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１B[设中点坐标为（x，y），则点P的坐标为（x,２y），代入椭圆方程得错误!＋错误!y２＝１．故选Ｂ．]４．已知点A（—２,0），B（３,0），动点P（x，y）满足错误!·错误!＝x２，则点P的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．抛物线Ｄ．双曲线C[由题意，知错误!＝（—２—x，—y），错误!＝（３—x，—y），由错误!·错误!＝x２，得y２＝x＋6，因此选Ｃ．]５．已知线段AB的长为6，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是错误!，则点M的轨迹方程是________．错误!—错误!＝１（x≠±３）[以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A（—３,0），B（３,0）．设点M的坐标为（x，y），则直线AM的斜率k AM＝错误!（x≠—３），直线BM的斜率k BM＝错误!（x≠３）．由已知有错误!·错误!＝错误!（x≠±３），化简整理得点M的轨迹方程为错误!—错误!＝１（x≠±３）．]定义法求轨迹方程【例１】已知圆M：（x＋１）２＋y２＝１，圆N：（x—１）２＋y２＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线Ｃ．求C的方程．[解] 由已知得圆M的圆心为M（—１,0），半径r１＝１；圆N的圆心为N（１,0），半径r２＝３．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝（R＋r１）＋（r２—R）＝r１＋r２＝４＞|MN|＝２．由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为２，短半轴长为错误!的椭圆（左顶点除外），其方程为错误!＋错误!＝１（x≠—２）．[母题探究] （１）把本例中圆M的方程换为：（x＋３）２＋y２＝１，圆N的方程换为：（x—３）２＋y２＝１，求圆心P的轨迹方程．（２）在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝—１相切，求圆心P的轨迹方程．[解] （１）由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝１＋R，|PN|＝R—１，故|PM|—|PN|＝（１＋R）—（R—１）＝２＜|MN|＝6，由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支，其方程为x２—错误!＝１（x＞１）．（２）由于点P到定点N（１,0）和定直线x＝—１的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以N（１,0）为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y２＝４x.[规律方法] 定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点（１）求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．（２）关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．（３）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．M的轨迹方程是（）Ａ．x＝—４Ｂ．x＝４Ｃ．y２＝8xＤ．y２＝１6x（２）在△ABC中，|错误!|＝４，△ABC的内切圆切BC于D点，且|错误!|—|错误!|＝２错误!，则顶点A的轨迹方程为________．（１）D（２）错误!—错误!＝１（x＞错误!）[（１）依题意可知点M到点F的距离等于点M 到直线x＝—４的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p＝8，∴点M 的轨迹的方程为y２＝１6x，故选Ｄ．（２）以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.所以|AB|—|AC|＝２错误!，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（y≠0），且a＝错误!，c＝２，所以b＝错误!，所以轨迹方程为错误!—错误!＝１（x＞错误!）．]直接法求轨迹方程【例２】已知动点P（x，y）与两定点M（—１,0），N（１,0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．（１）求动点P的轨迹C的方程；（２）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．[解] （１）由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以k PM·k PN＝错误!·错误!＝λ，整理得x２—错误!＝１（λ≠0，x≠±１）．即动点P的轨迹C的方程为x２—错误!＝１（λ≠0，x≠±１）．（２）当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；当—１＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴的两个端点）；当λ＝—１时，轨迹C为以原点为圆心，１为半径的圆除去点（—１,0），（１,0）．当λ＜—１时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）．[规律方法] 直接法求曲线方程的关注点（１）关键点：直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略．（２）注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．提醒：对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明可以省略，必要时可说明x，y的取值范围．公差小于0的等差数列，则点P的轨迹是什么曲线？[解] 设P（x，y），由M（—１,0），N（１,0）得错误!＝—错误!＝（—１—x，—y），错误!＝—错误!＝（１—x，—y），错误!＝—错误!＝（２,0），所以错误!·错误!＝２（１＋x），错误!·错误!＝x２＋y２—１，错误!·错误!＝２（１—x）．于是错误!·错误!，错误!·错误!，错误!·错误!是公差小于0的等差数列等价于错误!即错误!所以点P的轨迹是以原点为圆心，错误!为半径的右半圆（不含端点）．相关点（代入）法求轨迹方程【例３】（２0１7·全国卷Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：错误!＋y２＝１上，过M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!＝错误!错误!.（１）求点P的轨迹方程；（２）设点Q在直线x＝—３上，且错误!·错误!＝１．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[解] （１）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0,0），错误!＝（x—x0，y），错误!＝（0，y0）．由错误!＝错误!错误!得x0＝x，y0＝错误!y.因为M（x0，y0）在C上，所以错误!＋错误!＝１．因此点P的轨迹方程为x２＋y２＝２．（２）证明：由题意知F（—１,0）．设Q（—３，t），P（m，n），则错误!＝（—３，t），错误!＝（—１—m，—n），错误!·错误!＝３＋３m—tn，错误!＝（m，n），错误!＝（—３—m，t—n）．由错误!·错误!＝１得—３m—m２＋tn—n２＝１，又由（１）知m２＋n２＝２，故３＋３m—tn＝0．所以错误!·错误!＝0，即错误!⊥错误!.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[规律方法] “相关点法”求轨迹方程的基本步骤（１）设点：设被动点坐标为（x，y），主动点坐标为（x１，y１）．（２）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式错误!（３）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．错误!＝错误!错误!.记点P的轨迹为曲线E.（１）求曲线E的方程；（２）经过点（0,１）作直线与曲线E相交于A，B两点，错误!＝错误!＋错误!，当点M在曲线E 上时，求四边形AOBM的面积．[解] （１）设C（m,0），D（0，n），P（x，y）．由错误!＝错误!错误!，得（x—m，y）＝错误!（—x，n—y），所以错误!解得错误!由|错误!|＝错误!＋１，得m２＋n２＝（错误!＋１）２，所以（错误!＋１）２x２＋错误!y２＝（错误!＋１）２，整理，得曲线E的方程为x２＋错误!＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!＝错误!＋错误!，知点M坐标为（x１＋x２，y１＋y２）．由题意知，直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y＝kx＋１，代入曲线E的方程，得（k２＋２）x２＋２kx—１＝0，则x１＋x２＝—错误!，x１x２＝—错误!.y１＋y２＝k（x１＋x２）＋２＝错误!.由点M在曲线E上，知（x１＋x２）２＋错误!＝１，即错误!＋错误!＝１，解得k２＝２．这时|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!＝错误!，原点到直线AB的距离d＝错误!＝错误!，所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝错误!.（２0１6·全国卷Ⅲ）已知抛物线C：y２＝２x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l１，l２分别交C 于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（１）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（２）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．[解] 由题意知F错误!，设直线l１的方程为y＝a，直线l２的方程为y＝b，则ab≠0，且A错误!，B错误!，P错误!，Q错误!，R错误!.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为２x—（a＋b）y＋ab＝0．（１）证明：由于F在线段AB上，故１＋ab＝0．记AR的斜率为k１，FQ的斜率为k２，则k１＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—b＝错误!＝k２.所以AR∥FQ.（２）设l与x轴的交点为D（x１,0），则S△ABF＝错误!|b—a||FD|＝错误!|b—a|错误!，S△PQF＝错误!.由题意可得|b—a|错误!＝错误!，所以x１＝0（舍去），x１＝１．设满足条件的AB的中点为E（x，y）．当AB与x轴不垂直时，由k AB＝k DE可得错误!＝错误!（x≠１）．而错误!＝y，所以y２＝x—１（x≠１）．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为（１,0），满足方程y２＝x—１．所以所求的轨迹方程为y２＝x—１．。

北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何椭圆椭圆及其性质教学案理

北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何椭圆椭圆及其性质教学案理

一、知识梳理１．椭圆的概念平面内与两个定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：（１）若a>c，则集合P为椭圆．（２）若a＝c，则集合P为线段．（３）若a<c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：（0，0）顶点A１（—a，0），A２（a，0）B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a）B１（—b，0），B２（b，0）轴长轴A１A２的长为２a短轴B１B２的长为２b焦距|F１F２|＝２c已知点P（x0，y0），椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0），则（１）点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!<１．（２）点P（x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝１．（３）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!>１．常用结论（１）焦半径：椭圆上的点P（x0，y0）与左（下）焦点F１与右（上）焦点F２之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分别记作r１＝|PF１|，r２＝|PF２|.１错误!＋错误!＝１（a>b>0），r１＝a＋ex0，r２＝a—ex0；２错误!＋错误!＝１（a>b>0），r１＝a＋ey0，r２＝a—ey0；３焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）．（２）焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF１F２叫作焦点三角形．r１＝|PF１|，r＝|PF２|，∠F１PF２＝θ，△PF１F２的面积为S，则在椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）中：２１当r１＝r２时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；２S＝b２tan 错误!＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.（３）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长l min＝错误!.（４）AB为椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的弦，A（x１，y１），B（x２，y２），弦中点M（x0，y0），则１弦长l＝错误!|x１—x２|＝错误!|y１—y２|；２直线AB的斜率k AB＝—错误!.二、教材衍化１．若F１（—３，0），F２（３，0），点P到F１，F２距离之和为１0，则P点的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１解析：选Ａ．设点P的坐标为（x，y），因为|PF１|＋|PF２|＝１0>|F１F２|＝6，所以点P的轨迹是以F，F２为焦点的椭圆，其中a＝５，c＝３，b＝错误!＝４，故点P的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．故１选Ａ．２．设椭圆的两个焦点分别为F１，F２，过点F２作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F１PF２为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!C．２—错误!Ｄ．错误!—１解析：选Ｄ．设椭圆方程为错误!＋错误!＝１，依题意，显然有|PF２|＝|F１F２|，则错误!＝２c，即错误!＝２c，即e２＋２e—１＝0，又0<e<１，解得e＝错误!—１．故选Ｄ．一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（）（２）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（）（３）椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．（）（４）方程mx２＋ny２＝１（m>0，n>0，m≠n）表示的曲线是椭圆．（）（５）错误!＋错误!＝１（a>b>0）与错误!＋错误!＝１（a>b>0）的焦距相同．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视椭圆定义中的限制条件；（２）忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论；（３）忽视点P坐标的限制条件．１．平面内一点M到两定点F１（0，—9），F２（0，9）的距离之和等于１8，则点M的轨迹是________．解析：由题意知|MF１|＋|MF２|＝１8，但|F１F２|＝１8，即|MF１|＋|MF２|＝|F１F２|，所以点M的轨迹是一条线段．答案：线段F１F２２．椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为４，则m＝________．解析：当焦点在x轴上时，１0—m>m—２>0，１0—m—（m—２）＝４，所以m＝４．当焦点在y轴上时，m—２>１0—m>0，m—２—（１0—m）＝４，所以m＝8．所以m＝４或8．答案：４或8３．已知点P是椭圆错误!＋错误!＝１上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F１，F２为顶点的三角形的面积等于１，则点P的坐标为________．解析：设P（x，y），由题意知c２＝a２—b２＝５—４＝１，所以c＝１，则F１（—１，0），F２（１，0）．由题意可得点P到x轴的距离为１，所以y＝±１，把y＝±１代入错误!＋错误!＝１，得x＝±错误!，又x>0，所以x＝错误!，所以P点坐标为错误!或错误!.答案：错误!或错误!第１课时椭圆及其性质椭圆的定义及应用（多维探究）角度一利用定义求轨迹方程（１）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．圆（２）已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）１Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１【解析】（１）连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．故选Ａ．（２）设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6>8＝|C１C２|，所以M的轨迹是以C１，C２为焦点的椭圆，且２a＝１6，２c＝8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．【答案】（１）A （２）D角度二利用定义解决“焦点三角形”问题已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且错误!１⊥错误!２，若△PF１F２的面积为9，则b＝________．【解析】通解：设|PF１|＝r１，|PF２|＝r２，则错误!所以２r１r２＝（r１＋r２）２—（r错误!＋r错误!）＝４a２—４c２＝４b２，又因为S△PF１F２＝错误!r１r２＝b２＝9，所以b＝３．优解：由错误!⊥错误!，可得S△PF１F２＝b２＝9，所以b＝３．【答案】３【迁移探究１】（变条件）若本例中增加条件“△PF１F２的周长为１8”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由本例得b２＝a２—c２＝9，又２a＋２c＝１8，所以a—c＝１，解得a＝５，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．【迁移探究２】（变条件）将本例中的条件“错误!⊥错误!”“△PF１F２的面积为9”分别改为“∠F １PF２＝60°”“S△PF１F２＝３错误!”，结果如何？解：|PF１|＋|PF２|＝２a，又∠F１PF２＝60°，所以|PF１|２＋|PF２|２—２|PF１||PF２|cos 60°＝|F１F２|２，即（|PF１|＋|PF２|）２—３|PF１||PF２|＝４c２，所以３|PF１||PF２|＝４a２—４c２＝４b２，所以|PF１||PF２|＝错误!b２，＝错误!|PF１||PF２|·sin 60°又因为S△PF１F２＝错误!×错误!b２×错误!＝错误!b２＝３错误!，所以b＝３．角度三利用定义求最值设P是椭圆错误!＋错误!＝１上一点，M，N分别是两圆：（x＋４）２＋y２＝１和（x—４）２＋y２＝１上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为（）Ａ．9，１２Ｂ．8，１１Ｃ．8，１２Ｄ．１0，１２【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝２a＝１0，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|—２R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋２R＝１２，即最小值和最大值分别为8，１２．【答案】C错误!椭圆定义的应用主要有两个方面：一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F１，F２组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF１|·|PF２|，通过整体代入可求其面积等．１．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，离心率为错误!，过F的直线l交C于A，B两点．若△AF１B的周长为４错误!，则C的方程为（）２Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ａ．由题意及椭圆的定义知４a＝４错误!，则a＝错误!，又错误!＝错误!＝错误!，所以c＝１，所以b２＝２，所以C的方程为错误!＋错误!＝１，选Ａ．２．（２0２0·惠州调研）设F１，F２为椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF的中点在y轴上，则错误!的值为（）１Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D.如图，设线段PF１的中点为M，因为O是F１F２的中点，所以OM∥PF２，可得PF２⊥x 轴，可求得|PF２|＝错误!，|PF１|＝２a—|PF２|＝错误!，错误!＝错误!.故选Ｄ．３．已知F是椭圆５x２＋9y２＝４５的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（１，１）是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F１，则|PF|＋|PF１|＝6．所以|PA|＋|PF|＝|PA|—|PF１|＋6．利用—|AF１|≤|PA|—|PF１|≤|AF１|（当P，A，F１共线时等号成立）．所以|PA|＋|PF|≤6＋错误!，|PA|＋|PF|≥6—错误!.故|PA|＋|PF|的最大值为6＋错误!，最小值为6—错误!.答案：6＋错误!6—错误!椭圆的标准方程（师生共研）（１）（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F１（—１，0），F２（１，0），过F２的直线与C交于A，B两点，若|AF２|＝２|F２B|，|AB|＝|BF１|，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）（一题多解）过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为________．【解析】（１）由题意设椭圆的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），连接F１A，令|F２B|＝m，则|AF２|＝２m，|BF１|＝３m.由椭圆的定义知，４m＝２a，得m＝错误!，故|F２A|＝a＝|F１A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF２＝θ（O为坐标原点），则sin θ＝错误!.在等腰三角形ABF１中，cos ２θ＝错误!＝错误!，所以错误!＝１—２错误!错误!，得a２＝３．又c２＝１，所以b２＝a２—c２＝２，椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．故选Ｂ．（２）法一（定义法）：椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0，４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２可得b２＝４，所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法二（待定系数法）：因为所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝１的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c２＝２５—9＝１6．设它的标准方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．因为c２＝１6，且c２＝a２—b２，故a２—b２＝１6．１又点（错误!，—错误!）在所求椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，即错误!＋错误!＝１．２由１２得b２＝４，a２＝２0，所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．【答案】（１）B （２）错误!＋错误!＝１错误!求椭圆标准方程的２种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a２，b２的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax２＋By２＝１（A＞0，B＞0，A≠B）１．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（—５，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ｃ．由题意可得c＝５，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′，在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝错误!＝错误!＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝２a＝6＋8＝１４，从而a＝7，a２＝４9，于是b２＝a２—c２＝４9—５２＝２４，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１，故选Ｃ．２．（２0２0·湖南郴州二模）已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为２错误!—２，离心率为错误!，则椭圆E的方程为________．解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a—c，所以a—c＝２错误!—２，因为离心率e＝错误!，所以错误!＝错误!，解得a＝２错误!，c＝２，则b２＝a２—c２＝４，所以椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１椭圆的几何性质（多维探究）角度一椭圆的长轴、短轴、焦距（２0２0·河南洛阳一模）已知椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在y轴上，且焦距为４，则m 等于（）A．５Ｂ．6C．9 Ｄ．１0【解析】由椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在y轴上，焦距为４，可得错误!＝２，解得m＝9．故选Ｃ．【答案】C角度二求椭圆的离心率过椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．【解析】由题设知，直线l：错误!＋错误!＝１，即bx—cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为（c，0），根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±错误!，即圆的半径r＝错误!.又圆与直线l有公共点，所以错误!≤错误!，化简得２c≤b，平方整理得a２≥５c２，所以e＝错误!≤错误!.又0<e<１，所以0<e≤错误!.【答案】错误!角度三根据椭圆的性质求参数（１）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝１２0°，则m的取值范围是（）A．（0，１]∪[9，＋∞）Ｂ．（0，错误!]∪[9，＋∞）C．（0，１]∪[４，＋∞）Ｄ．（0，错误!]∪[４，＋∞）（２）如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．【解析】（１）依题意得，错误!或错误!，所以错误!或错误!，解得0<m≤１或m≥9．故选Ａ．（２）设P点坐标为（x0，y0）．由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，b２＝a２—c２＝３．故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１，0），A（２，0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２.即当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．【答案】（１）A （２）４错误!（１）利用椭圆几何性质的注意点及技巧１注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．２利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．（２）求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．１．（２0２0·江西吉安一模）如图，用与底面成４５°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．设圆柱的底面圆的直径为R，则椭圆的短轴长为R.因为截面与底面成４５°角，所以椭圆的长轴长为错误!R，所以椭圆的半焦距为错误!＝错误!，则e＝错误!＝错误!＝错误!.２．P为椭圆错误!＋错误!＝１上任意一点，EF为圆N：（x—１）２＋y２＝４的任意一条直径，则错误!·错误!的取值范围是（）Ａ．[0，１５] Ｂ．[５，１５]Ｃ．[５，２１] Ｄ．（５，２１）解析：选Ｃ．错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!２＝|错误!|２—４，因为a—c≤|错误!|≤a＋c，即３≤|错误!|≤５，所以错误!·错误!的取值范围是[５，２１]．３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>c>0，a２＝b２＋c２）的左、右焦点分别为F１，F２，若以F为圆心，b—c为半径作圆F２，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于错误!２（a—c），则椭圆的离心率e的取值范围是________．解析：因为|PT|＝错误!（b>c），而|PF２|的最小值为a—c，所以|PT|的最小值为错误!.依题意，有错误!≥错误!（a—c），所以（a—c）２≥４（b—c）２，所以a—c≥２（b—c），所以a＋c≥２b，所以（a＋c）２≥４（a２—c２），所以５c２＋２ac—３a２≥0，所以５e２＋２e—３≥0．１又b>c，所以b２>c２，所以a２—c２>c２，所以２e２<１．２联立１２，得错误!≤e＜错误!.答案：错误![基础题组练]１．（２0２0·河北衡水二模）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，则错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．因为e＝错误!＝错误!＝错误!，所以8a２＝9b２，所以错误!＝错误!.故选Ｄ．２．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是错误!，则此椭圆的标准方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１解析：选Ｂ．因为a＝４，e＝错误!，所以c＝３，所以b２＝a２—c２＝１6—9＝7．因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．３．已知点F１，F２分别为椭圆C：错误!＋错误!＝１的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F１PF＝60°，则|PF１|·|PF２|＝（）２Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１２解析：选Ａ．由|PF１|＋|PF２|＝４，|PF１|２＋|PF２|２—２|PF１|·|PF２|·cos 60°＝|F１F２|２，得３|PF１|·|PF|＝１２，所以|PF１|·|PF２|＝４，故选Ａ．２４．设椭圆E的两焦点分别为F１，F２，以F１为圆心，|F１F２|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF １F２为直角三角形，则E的离心率为（）Ａ．错误!—１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!＋１解析：选Ａ．不妨设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），如图所示，因为△PF１F２为直角三角形，所以PF１⊥F１F２，又|PF１|＝|F１F２|＝２c，所以|PF２|＝２错误!c，所以|PF１|＋|PF２|＝２c＋２错误!c＝２a，所以椭圆E的离心率e＝错误!—１．故选Ａ．５．（２0２0·江西赣州模拟）已知A，B是椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为２，则椭圆E的长轴长的最小值为（）A．１Ｂ．２C．３Ｄ．４解析：选Ｄ．如图所示，设直线AB的方程为ty＝x，F（c，0），A（x１，y１），B（x２，y２）．联立错误!可得y２＝错误!＝—y１y２，所以△ABF的面积S＝错误!c|y１—y２|＝错误!c错误!＝c错误!≤cb，当t＝0时取等号．所以bc＝２．所以a２＝b２＋c２≥２bc＝４，a≥２．所以椭圆E的长轴长的最小值为４．故选Ｄ．6．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）设F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF１F２为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：不妨令F１，F２分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝错误!＝４．因为△MF１F２为等腰三角形，所以易知|F１M|＝２c＝8，所以|F２M|＝２a—8＝４．设M（x，y），则错误!得错误!所以M的坐标为（３，错误!）．答案：（３，错误!）7．（２0２0·河北衡水三模）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面１00千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面１５千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．由题意知错误!解得２c＝8５．即椭圆形轨道的焦距为8５千米．答案：8５8．已知椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：３x—４y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝４，点M到直线l的距离不小于错误!，则椭圆E的离心率的取值范围是________．解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为４a＝２（|AF|＋|BF|）＝8，所以a＝２．又d＝错误!≥错误!，所以１≤b<２．又e＝错误!＝错误!＝错误!，所以0<e≤错误!.答案：错误!9．已知F１，F２分别为椭圆错误!＋y２＝１的左、右焦点，过F１的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF２和BF２.（１）求△ABF２的周长；（２）若AF２⊥BF２，求△ABF２的面积．解：（１）因为F１，F２分别为椭圆错误!＋y２＝１的左、右焦点，过F１的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF２和BF２.所以△ABF２的周长为|AF１|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝４错误!.（２）设直线l的方程为x＝my—１，由错误!，得（m２＋２）y２—２my—１＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—错误!，因为AF２⊥BF２，所以错误!·错误!＝0，所以错误!·错误!＝（x１—１）（x２—１）＋y１y２＝（my１—２）（my２—２）＋y１y２＝（m２＋１）y１y２—２m（y１＋y２）＋４＝错误!—２m×错误!＋４＝错误!＝0．所以m２＝7．所以△ABF２的面积S＝错误!×|F１F２|×错误!＝错误!.１0．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右焦点为F２（３，0），离心率为e.（１）若e＝错误!，求椭圆的方程；（２）设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF２，BF２的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且错误!<e≤错误!，求k的取值范围．解：（１）由题意得c＝３，错误!＝错误!，所以a＝２错误!.又因为a２＝b２＋c２，所以b２＝３．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由错误!得（b２＋a２k２）x２—a２b２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），所以x１＋x２＝0，x１x２＝错误!，依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF２N为矩形，所以AF２⊥BF２.因为错误!＝（x１—３，y１），错误!＝（x２—３，y２），所以错误!·错误!＝（x１—３）（x２—３）＋y１y２＝（１＋k２）x１x２＋9＝0．即错误!＋9＝0，将其整理为k２＝错误!＝—１—错误!.因为错误!<e≤错误!，所以２错误!≤a<３错误!，１２≤a２<１8．所以k２≥错误!，即k∈错误!∪错误!.[综合题组练]１．设椭圆：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得e＝错误!＝错误!.故选Ｂ．２．（２0２0·福建福州一模）已知F１，F２为椭圆错误!＋y２＝１的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是△F１PF２内切圆的圆心，过F１作F１M⊥PK于点M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为（）A．（0，１）Ｂ．（0，错误!）C．（0，错误!）Ｄ．（0，２错误!）解析：选C.如图，延长PF２，F１M相交于N点，因为K点是△F１PF２内切圆的圆心，所以PK平分∠F１PF２，因为F１M⊥PK，所以|PN|＝|PF１|，M为F１N的中点，因为O为F１F２的中点，M为F１N的中点，所以|OM|＝错误!|F２N|＝错误!||PN|—|PF２||＝错误!||PF１|—|PF２||<错误!|F１F２|＝c＝错误!，所以|OM|的取值范围是（0，错误!）．故选Ｃ．３．已知F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，过原点O且倾斜角为３0°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF１⊥AF２，S△F１AF２＝２，则椭圆C的方程为________．解析：因为点A在椭圆上，所以|AF１|＋|AF２|＝２a，对其平方，得|AF１|２＋|AF２|２＋２|AF１||AF２|＝４a２，又AF１⊥AF２，所以|AF１|２＋|AF２|２＝４c２，则２|AF１||AF２|＝４a２—４c２＝４b２，即|AF１||AF|＝２b２，所以S△AF１F２＝错误!|AF１||AF２|＝b２＝２．又△AF１F２是直角三角形，∠F１AF２＝90°，且２O为F１F２的中点，所以|OA|＝错误!|F１F２|＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF２＝３0°，所以A错误!，则S△AF１F２＝错误!|F１F２|·错误!c＝错误!c２＝２，c２＝４，故a２＝b２＋c２＝6，所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１４．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设正方形的边长为２m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上，所以错误!＋错误!＝１>错误!＋错误!＝e２＋错误!，整理得e４—３e２＋１>0，e２<错误!＝错误!，所以0<e<错误!.答案：错误!５．已知椭圆C：x２＋２y２＝４．（１）求椭圆C的离心率；（２）设O为原点．若点A在直线y＝２上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：（１）由题意，椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝１．所以a２＝４，b２＝２，从而c２＝a２—b２＝２．因此a＝２，c＝错误!.故椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!.（２）设点A，B的坐标分别为（t，２），（x0，y0），其中x0≠0，因为OA⊥OB，所以错误!·错误!＝0，即tx0＋２y0＝0，解得t＝—错误!.又x错误!＋２y错误!＝４，所以|AB|２＝（x0—t）２＋（y0—２）２＝错误!错误!＋（y0—２）２＝x错误!＋y错误!＋错误!＋４＝x错误!＋错误!＋错误!＋４＝错误!＋错误!＋４（0<x错误!≤４）．因为错误!＋错误!≥４（0<x错误!≤４），当且仅当x错误!＝４时等号成立，所以|AB|２≥8．故线段AB长度的最小值为２错误!.6．（２0２0·江西八校联考）已知椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0），F１，F２为其左、右焦点，B，B２为其上、下顶点，四边形F１B１F２B２的面积为２，点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆（记１为圆P）总经过坐标原点O.（１）求椭圆E的长轴A１A２的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程；（２）对于（１）中确定的椭圆E，若给定圆F１：（x＋１）２＋y２＝３，则圆P和圆F１的公共弦MN的长是不是定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由．解：（１）依题意四边形F１B１F２B２的面积为２bc，所以２bc＝２．因为|A１A２|＝２a＝２错误!≥２错误!＝２错误!，当且仅当b＝c＝１时取“＝”，此时a＝错误!，所以长轴A１A２的长的最小值为２错误!，此时椭圆E的方程为错误!＋y２＝１．（２）是定值．设点P（x0，y0），则错误!＋y错误!＝１⇒y错误!＝１—错误!.圆P的方程为（x—x0）２＋（y—y0）２＝x错误!＋y错误!，即x２＋y２—２x0x—２y0y＝0，１圆F１的方程为（x＋１）２＋y２＝３，即x２＋y２＋２x—２＝0，２１—２得公共弦MN所在直线的方程为（x0＋１）x＋y0y—１＝0，所以点F１到公共弦MN所在直线的距离d＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，则|MN|＝２错误!＝２，所以圆P和圆F１的公共弦MN的长为定值２．。

高考数学一轮复习第9章平面解析几何第7节双曲线教学案文北师大版

高考数学一轮复习第9章平面解析几何第7节双曲线教学案文北师大版

第七节双曲线[最新考纲] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第161页)1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.①当2a＜|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a＞|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [常用结论]1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a，也叫通径．2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .3．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .4．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．5．当已知双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( ) A ．5 B. 5 C ．2 5 D ．1C [由双曲线x 23－y 22＝1，易知c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线x 23－y 22＝1的焦距为2 5.]2．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( ) A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1D.x 24－y 23＝1 A [设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x 轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1D [依题意，e ＝c a ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]4．经过点A (5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． x 216－y 216＝1 [设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，把点A (5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为x 216－y 216＝1.](对应学生用书第162页)⊙考点1 双曲线的定义及应用双曲线定义的两个应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的关系．(1)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥2)B.x 22－y 214＝1(x ≤－2)C.x 22＋y 214＝1(x ≥2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) (3)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8(1)B (2)A (3)B [(1)根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|＝1或17. 又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B.(2)设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)，故选A.(3)由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4，故选B.] [母题探究]1．本例(3)中，若将条件“∠F 1PF 2＝60°”改为|PF 1|＝2|PF 2|，试求cos∠F 1PF 2的值． [解] 根据双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2，则|PF 1|＝2|PF 2|＝4，又|F 1F 2|＝2 2∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－2222×4×2＝34. 2．本例(3)中，若将条件“∠F 1PF 2＝60°”，改为PF 1→·PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积是多少？ [解] 不妨设点P 在双曲线的右支上． 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2， 由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→.在△F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|＝8， ∴|PF 1||PF 2|＝2.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝1.(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T (1)；(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T (2)．1.已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( )A.x 24－y 25＝1(y ＞0)B.x 24－y 25＝1(x ＞0)C.y 24－x 25＝1(y ＞0) D.y 24－x 25＝1(x ＞0) B [由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x＞0，a ＞0，b ＞0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x＞0)．]2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6 B [由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8， 又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.]3．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|PA |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12B [由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|PA |＝4＋|PB |＋|PA |≥4＋|AB |＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．]⊙考点2 双曲线的标准方程求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．(1)(2019·荆门模拟)方程x 2m ＋2＋y 2m －3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是( )A ．－3＜m ＜0B ．－1＜m ＜3C ．－3＜m ＜4D ．－2＜m ＜3(2)[一题多解]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x223＝1 (3)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 (1)B (2)C (3)C [(1)方程x 2m ＋2＋y 2m －3＝1表示双曲线，则(m ＋2)(m －3)＜0，解得－2＜m ＜3.∵要求充分不必要条件，∴选项范围是－2＜m ＜3的真子集，只有选项B 符合题意．故选B.(2)法一：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.(3)如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6，∴b ＝3. 又由e ＝c a＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴a ＝ 3.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 故选C.]已知双曲线的渐近线方程，用渐近线方程设出双曲线方程，运算过程较为简单．[教师备选例题]设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．y 24－x 25＝1 [法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，根据双曲线的定义知2a ＝|15－02＋4－32－15－02＋4＋32|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，① 又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b2＝1，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.1.(2019·湘潭模拟)以双曲线x 24－y 25＝1的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 2＝1 B.x 29－y 2＝1 C.x 29－y 23＝1 D.x 29－y 29＝1 D [由题可知，所求双曲线的顶点坐标为(±3,0)．又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以a ＝b ＝3，则该双曲线的方程为x 29－y 29＝1.故选D.]2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1D.x 22－y 23＝1 A [由题意可得⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.]3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________． y 225－x 275＝1 [设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.]⊙考点3 双曲线的几何性质求双曲线的离心率(或其范围)求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(1)(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤53，2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53 C ．(1,2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ (1)A (2)B [(1)令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2， ∴ca＝2，即离心率e ＝ 2. 故选A.(2)由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53，故选B.]本例T (2)利用双曲线右支上的点到右焦点的距离不小于c －a 建立不等式求解，同时应注意双曲线的离心率e ＞1.[教师备选例题](2019·沈阳模拟)设F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且△PF 1F 2的最小内角的正弦值为13，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3 C. 2D. 3C [不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .△PF 1F 2的最小内角的正弦值为13，其余弦值为223，因为|PF 1|＞|PF 2|，|F 1F 2|＞|PF 2|，所以∠PF 1F 2为△PF 1F 2的最小内角．由余弦定理可得|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2||PF 1|cos∠PF 1F 2，即a 2＝4c 2＋9a 2－2×2c ×3a ×223，所以离心率e ＝c a ＝ 2.故选C.]与渐近线有关的问题 与渐近线有关的结论(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±abx .(2)e 2＝1＋b 2a 2⇒b 2a 2＝e 2－1⇒b a＝e 2－1.(1)(2019·武汉模拟)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0(2)(2019·张掖模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(1)A (2)B [(1)由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A. (2)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点A (a,0)，右焦点F 2(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离分别为1和2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ ab a 2＋b 2＝1，bc a 2＋b 2＝2，即a c ＝22. 则b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝c 2a 2－1＝2－1＝1，即b a＝1. 设渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则tan θ＝b a＝1.所以θ＝45°，故选B.]双曲线中，焦点到一条渐近线的距离等于b 是常用的结论．[教师备选例题] (2019·衡水模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M .若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x A [如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a ，整理得b ＝2a .所以b a＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.] 1.已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x B [由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16，所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1， 故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.] 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A (2，2)在双曲线C 上，若AF 2⊥F 1F 2，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±6xA [因为AF 2⊥F 1F 2，A (2，2)，所以F 1(－2,0)，F 2(2,0)，由双曲线的定义可知2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝－2－22＋0－22－2＝22，即a ＝2，所以b ＝22－22＝2，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.]。

数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理

数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理

9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。

这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。

3。

双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。

3。

若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。

北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何抛物线教学案理

北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何抛物线教学案理

一、知识梳理１．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（１）在平面内．（２）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．（３）定点不在定直线上．２．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y２＝２px（p＞0）y２＝—２px（p＞0）x２＝２py（p＞0）x２＝—２py（p＞0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0，0）对称轴y＝0x＝0焦点F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝１准线方程x＝—错误!x＝错误!y＝—错误!y＝错误!范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P （x0，y0））|PF|＝x0＋错误!|PF|＝—x0＋错误!|PF|＝y0＋错误!|PF|＝—y0＋错误!１．抛物线y２＝２px（p＞0）上一点P（x0，y0）到焦点F错误!的距离|PF|＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径．２．y２＝ax（a≠0）的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!.３．如图，设A（x１，y１），B（x２，y２）．（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!.（２）|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!（θ为AB的倾斜角）．（３）错误!＋错误!为定值错误!.（４）以AB为直径的圆与准线相切．（５）以AF或BF为直径的圆与y轴相切．二、教材衍化１．过点P（—２，３）的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝—错误!x或x２＝错误!yＢ．y２＝错误!x或x２＝错误!yＣ．y２＝错误!x或x２＝—错误!yＤ．y２＝—错误!x或x２＝—错误!y解析：选Ａ．设抛物线的标准方程为y２＝kx或x２＝my，代入点P（—２，３），解得k＝—错误!，m＝错误!，所以y２＝—错误!x或x２＝错误!y.故选Ａ．２．抛物线y２＝8x上到其焦点F距离为５的点P有（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．４个解析：选Ｃ．设P（x１，y１），则|PF|＝x１＋２＝５，y错误!＝8x１，所以x１＝３，y１＝±２错误!.故满足条件的点P有两个．故选Ｃ．３．过抛物线y２＝４x的焦点的直线l交抛物线于P（x１，y１），Q（x２，y２）两点，如果x１＋x２＝6，则|PQ|＝________．解析：抛物线y２＝４x的焦点为F（１，0），准线方程为x＝—１．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x１＋１＋x２＋１＝x１＋x２＋２＝8．答案：8一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（）（２）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．（）（３）若一抛物线过点P（—２，３），则其标准方程可写为y２＝２px（p>0）．（）（４）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视抛物线的标准形式；（２）忽视p的几何意义；（３）忽视k＝0的讨论；（４）易忽视焦点的位置出现错误．１．抛物线8x２＋y＝0的焦点坐标为（）Ａ．（0，—２）Ｂ．（0，２）Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由8x２＋y＝0，得x２＝—错误!y.２p＝错误!，p＝错误!，所以焦点为错误!，故选Ｃ．２．已知抛物线C与双曲线x２—y２＝１有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（）Ａ．y２＝±２错误!xＢ．y２＝±２xＣ．y２＝±４xＤ．y２＝±４错误!x解析：选D.由已知可知双曲线的焦点为（—错误!，0），（错误!，0）．设抛物线方程为y２＝±２px （p＞0），则错误!＝错误!，所以p＝２错误!，所以抛物线方程为y２＝±４错误!x.故选Ｄ．３．设抛物线y２＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．解析：由已知可得Q（—２，0），当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k （x＋２），代入抛物线方程，消去y整理得k２x２＋（４k２—8）x＋４k２＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝6４（１—k２）≥0得—１≤k＜0或0＜k≤１．综上，—１≤k≤１．答案：[—１，１]４．若抛物线的焦点在直线x—２y—４＝0上，则此抛物线的标准方程为________．解析：令x＝0，得y＝—２；令y＝0，得x＝４．所以抛物线的焦点是（４，0）或（0，—２），故所求抛物线的标准方程为y２＝１6x或x２＝—8y.答案：y２＝１6x或x２＝—8y抛物线的定义（典例迁移）设P是抛物线y２＝４x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B（３，２），则|PB|＋|PF|的最小值为________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P１，则|P１Q|＝|P１F|.则有|PB|＋|PF|≥|P１B|＋|P１Q|＝|BQ|＝４．即|PB|＋|PF|的最小值为４．【答案】４【迁移探究１】（变条件）若将本例中“B（３，２）”改为“B（３，４）”，如何求解？解：由题意可知点B（３，４）在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，由例题知，F（１，0），所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝错误!＝２错误!，即|PB|＋|PF|的最小值为２错误!.【迁移探究２】（变问法）在本例条件下，求点P到点A（—１，１）的距离与点P到直线x＝—１的距离之和的最小值．解：如图，易知抛物线的焦点为F（１，0），准线是x＝—１，由抛物线的定义知点P到直线x＝—１的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A（—１，１）的距离与点P到F（１，0）的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点P，此时最小值为错误!＝错误!.【迁移探究３】（变问法）在本例条件下，求点P到直线l１：４x—３y＋6＝0和l２：x＝—１的距离之和的最小值．解：由题可知l２：x＝—１是抛物线y２＝４x的准线，设抛物线的焦点为F（１，0），则动点P到l的距离等于|PF|，故动点P到直线l１和直线l２的距离之和的最小值，即焦点F到直线l１：４x—３y＋6２＝0的距离，所以最小值是错误!＝２．错误!（１）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．（２）注意灵活运用抛物线上一点P（x，y）到焦点F的距离|PF|＝|x|＋错误!或|PF|＝|y|＋错误!.１．（２0２0·江西萍乡一模）已知动圆C经过点A（２，0），且截y轴所得的弦长为４，则圆心C的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线解析：选Ｄ．设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝２，则有|CA|２＝|BC|２＝|BE|２＋|CE|２，所以（x—２）２＋y２＝２２＋x２，化为y２＝４x，则圆心C的轨迹为抛物线．故选Ｄ．２．（２0２0·成都模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝—１，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝—１上的射影为A，且直线AF的斜率为—错误!，则△MAF的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４错误!Ｄ．8错误!解析：选Ｃ．如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝２．因为直线AF的斜率为—错误!，所以∠AFN＝60°.所以∠MAF＝60°，|AF|＝４．由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，所以△AMF是边长为４的等边三角形．所以S△AMF＝错误!×４２＝４错误!.故选Ｃ．抛物线的标准方程（师生共研）如图，过抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝３，则此抛物线的方程为（）Ａ．y２＝9xＢ．y２＝6xＣ．y２＝３xＤ．y２＝错误!x【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝２a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝３0°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝３，|AC|＝３＋３a，２|AE|＝|AC|，所以３＋３a＝6，从而得a＝１，|FC|＝３a＝３，所以p＝|FG|＝错误!|FC|＝错误!，因此抛物线的方程为y２＝３x，故选Ｃ．【答案】C错误!求抛物线的标准方程应注意以下几点（１）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．（２）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．（３）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．１．（２0２0·重庆调研）已知抛物线y２＝２px（p＞0），点C（—４，0），过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为２４，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝４xＢ．y２＝—４xＣ．y２＝8xＤ．y２＝—8x解析：选Ｄ．因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝２p，所以S△CAB＝错误!×２p×错误!＝２４，解得p＝４或—１２（舍），所以抛物线方程为y２＝8x，所以直线AB的方程为x＝２，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y２＝—8x.故选Ｄ．２．已知双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，若抛物线C２：x２＝２py（p ＞0）的焦点到双曲线C１的渐近线的距离为２，则抛物线C２的方程是（）Ａ．x２＝１6yＢ．x２＝8yＣ．x２＝错误!yＤ．x２＝错误!y解析：选Ａ．因为双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，所以错误!＝２．因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，抛物线C２：x２＝２py（p＞0）的焦点错误!到双曲线的渐近线的距离为２，所以错误!＝错误!·错误!＝错误!＝２，解得p＝8，所以抛物线C２的方程是x２＝１6y.抛物线的性质（师生共研）已知抛物线y２＝２px（p>0）的焦点为F，A（x１，y１），B（x２，y２）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!；（２）错误!＋错误!为定值；（３）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．【证明】（１）由已知得抛物线焦点坐标为F（错误!，0）．由题意可设直线方程为x＝my＋错误!，代入y２＝２px，得y２＝２p错误!，即y２—２pmy—p２＝0．（*）则y１，y２是方程（*）的两个实数根，所以y１y２＝—p２.因为y错误!＝２px１，y错误!＝２px２，所以y错误!y错误!＝４p２x１x２，所以x１x２＝错误!＝错误!＝错误!.（２）错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.因为x１x２＝错误!，x１＋x２＝|AB|—p，|AB|＝x１＋x２＋p，代入上式，得错误!＋错误!＝错误!＝错误!（定值）．（３）设AB的中点为M（x0，y0），如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝错误!（|AC|＋|BD|）＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．错误!抛物线几何性质的应用技巧（１）涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．（２）与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．１．（２0２0·河南郑州二模）已知抛物线C：y２＝２x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．错误!Ｄ．４解析：选Ｃ．设直线AB的方程为x＝my＋t，A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!⇒y２—２my—２t＝0⇒y１y２＝—２t，由OA⊥OB⇒x１x２＋y１y２＝错误!＋y１y２＝0⇒y１y２＝—４，所以t＝２，即直线AB过定点（２，0）．所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为２—错误!＝错误!.故选Ｃ．２．（２0２0·洛阳模拟）已知F是抛物线C１：y２＝２px（p＞0）的焦点，曲线C２是以F为圆心，错误!为半径的圆，直线４x—３y—２p＝0与曲线C１，C２从上到下依次相交于点A，B，C，D，则错误!＝（）Ａ．１6 Ｂ．４Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为直线４x—３y—２p＝0过C１的焦点F（C２的圆心），故|BF|＝|CF|＝错误!，所以错误!＝错误!.由抛物线的定义得|AF|—错误!＝x A，|DF|—错误!＝x D.由错误!整理得8x２—１7px＋２p２＝0，即（8x—p）（x—２p）＝0，可得x A＝２p，x D＝错误!，故错误!＝错误!＝错误!＝１6．故选Ａ．直线与抛物线的位置关系（师生共研）（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知抛物线C：y２＝３x的焦点为F，斜率为错误!的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.（１）若|AF|＋|BF|＝４，求l的方程；（２）若错误!＝３错误!，求|AB|.【解】设直线l：y＝错误!x＋t，A（x１，y１），B（x２，y２）．（１）由题设得F错误!，故|AF|＋|BF|＝x１＋x２＋错误!，由题设可得x１＋x２＝错误!.由错误!可得9x２＋１２（t—１）x＋４t２＝0，则x１＋x２＝—错误!.从而—错误!＝错误!，得t＝—错误!.所以l的方程为y＝错误!x—错误!.（２）由错误!＝３错误!可得y１＝—３y２.由错误!可得y２—２y＋２t＝0．所以y１＋y２＝２．从而—３y２＋y２＝２，故y２＝—１，y１＝３．代入C的方程得x１＝３，x２＝错误!.故|AB|＝错误!.错误!解决直线与抛物线位置关系问题的方法（１）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．（２）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x１|＋|x２|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．（３）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．１．（２0２0·河南郑州二模）已知抛物线C：y２＝４x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T（５，0），则S△AOB＝（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．３错误!解析：选Ａ．如图所示，F（１，0）．设直线l的方程为y＝k（x—１）（k≠0），A（x１，y１），B（x，y２），线段AB的中点E（x0，y0）．２则线段AB的垂直平分线的方程为y＝—错误!（x—５）．联立错误!化为ky２—４y—４k＝0，所以y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，所以y0＝错误!（y１＋y２）＝错误!，x0＝错误!＋１＝错误!＋１，把E错误!代入线段AB的垂直平分线的方程y＝—错误!（x—５），可得错误!＝—错误!·错误!，解得k２＝１．S△OAB＝错误!×１×|y１—y２|＝错误!错误!＝错误!错误!＝２错误!.故选Ａ．２．设A，B为曲线C：y＝错误!上两点，A与B的横坐标之和为２．（１）求直线AB的斜率；（２）设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB 的方程．解：（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１≠x２，y１＝错误!，y２＝错误!，x１＋x２＝２，故直线AB的斜率k＝错误!＝错误!＝１．（２）由y＝错误!，得y′＝x.设M（x３，y３），由题设知x３＝１，于是M错误!.设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N（１，１＋m），|MN|＝错误!.将y＝x＋m代入y＝错误!，得x２—２x—２m＝0．由Δ＝４＋8m＞0，得m＞—错误!，x１，２＝１±错误!.从而|AB|＝错误!|x１—x２|＝２错误!.由题设知|AB|＝２|MN|，即错误!＝错误!，解得m＝错误!或m＝—２（舍）．所以直线AB的方程为y＝x＋错误!.解析几何中的“设而不求”“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：（１）灵活应用“点、线的几何性质”解题；（２）根据题意，整体消参或整体代入等．类型一巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求在平面直角坐标系xOy中，双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右支与焦点为F的抛物线x２＝２py（p>0）交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝４|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．【解析】设A（x１，y１），B（x２，y２），由抛物线的定义可知|AF|＝y１＋错误!，|BF|＝y２＋错误!，|OF|＝错误!，由|AF|＋|BF|＝y１＋错误!＋y２＋错误!＝y１＋y２＋p＝４|OF|＝２p，得y１＋y２＝p.k AB＝错误!＝错误!＝错误!.由错误!得k AB＝错误!＝错误!＝错误!·错误!，则错误!·错误!＝错误!，所以错误!＝错误!⇒错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.【答案】y＝±错误!x类型二中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法△ABC的三个顶点都在抛物线E：y２＝２x上，其中A（２，２），△ABC的重心G是抛物线E 的焦点，则BC边所在直线的方程为________．【解析】设B（x１，y１），C（x２，y２），边BC的中点为M（x0，y0），易知G错误!，则错误!从而错误!即M错误!，又y错误!＝２x１，y错误!＝２x２，两式相减得（y１＋y２）（y１—y２）＝２（x１—x２），则直线BC 的斜率k BC＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—１，故直线BC的方程为y—（—１）＝—错误!，即４x ＋４y＋５＝0．【答案】４x＋４y＋５＝0类型三中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0已知双曲线x２—错误!＝１，过点P（１，１）能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？【解】假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．设A（x１，y１），B（x２，y２），易知x１≠x２，由错误!两式相减得（x１＋x２）（x１—x２）—错误!＝0，又错误!＝１，错误!＝１，所以２（x１—x２）—（y１—y２）＝0，所以k AB＝错误!＝２，故直线l的方程为y—１＝２（x—１），即y＝２x—１．由错误!消去y得２x２—４x＋３＝0，因为Δ＝１6—２４＝—8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．类型四求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求已知F为抛物线C：y２＝２x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l１，l２，直线l１与C交于A，B两点，直线l２与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．【解析】法一：由题意知，直线l１，l２的斜率都存在且不为0，F错误!，设l１：x＝ty＋错误!，则直线l１的斜率为错误!，联立方程得错误!消去x得y２—２ty—１＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝２t，y１y２＝—１．所以|AB|＝错误!|y１—y２|＝错误!·错误!＝错误!错误!＝２t２＋２，同理得，用—错误!替换t可得|DE|＝错误!＋２，所以|AB|＋|DE|＝２错误!＋４≥４＋４＝8，当且仅当t２＝错误!，即t＝±１时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．法二：由题意知，直线l１，l２的斜率都存在且不为0，F错误!，不妨设l１的斜率为k，则l１：y＝k错误!，l２：y＝—错误!错误!.由错误!消去y得k２x２—（k２＋２）x＋错误!＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝１＋错误!.由抛物线的定义知，|AB|＝x１＋x２＋１＝１＋错误!＋１＝２＋错误!.同理可得，用—错误!替换|AB|中k，可得|DE|＝２＋２k２，所以|AB|＋|DE|＝２＋错误!＋２＋２k２＝４＋错误!＋２k２≥４＋４＝8，当且仅当错误!＝２k２，即k＝±１时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．【答案】8[基础题组练]１．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）若抛物线y２＝２px（p>0）的焦点是椭圆错误!＋错误!＝１的一个焦点，则p＝（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．8解析：选Ｄ．由题意，知抛物线的焦点坐标为错误!，椭圆的焦点坐标为（±错误!，0），所以错误!＝错误!，解得p＝8，故选Ｄ．２．（２0２0·河北衡水三模）设F为抛物线y２＝４x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为（１，２），（x１，y１），（x２，y２），且|错误!|＋|错误!|＋|错误!|＝１0，则x１＋x２＝（）Ａ．6 Ｂ．５Ｃ．４Ｄ．３解析：选Ａ．根据抛物线的定义，知|错误!|，|错误!|，|错误!|分别等于点A，B，C到准线x＝—１的距离，所以由|错误!|＋|错误!|＋|错误!|＝１0，可得２＋x１＋１＋x２＋１＝１0，即x１＋x２＝6．故选Ａ．３．（２0２0·河北邯郸一模）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为５m，跨径为１２m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）Ａ．错误!m Ｂ．错误!mＣ．错误!m Ｄ．错误!m解析：选Ｄ．建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的解析式为x２＝—２py，p＞0，因为抛物线过点（6，—５），所以３6＝１0p，可得p＝错误!，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为错误!m．故选Ｄ．４．（２0２0·河南安阳三模）已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为１４，且cos∠FAA′＝错误!，则抛物线C的方程为（）Ａ．y２＝xＢ．y２＝２xＣ．y２＝４xＤ．y２＝8x解析：选Ｃ．过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.设|AF′|＝３x，因为cos∠FAA′＝错误!，故|AF|＝５x，则|FF′|＝４x，由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝５x，则|A′F′|＝２x＝p，故x＝错误!.四边形AA′PF的面积S＝错误!＝错误!＝１４，解得p＝２，故抛物线C的方程为y２＝４x.５．已知直线y＝k（x＋２）（k＞0）与抛物线C：y２＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝２|FB|，则k＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．设抛物线C：y２＝8x的准线为l，易知l：x＝—２，直线y＝k（x＋２）恒过定点P（—２，0），如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝２|FB|，知|AM|＝２|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝错误!|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为１，因为k＞0，所以点B的坐标为（１，２错误!），所以k＝错误!＝错误!.故选Ｄ．6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，则C的焦点到准线的距离为________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y２＝２px（p＞0），由|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，可取A错误!，D错误!，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得错误!＋8＝错误!＋５，得p＝４．答案：４7．过抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为________．解析：设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝错误!（|BB′|＋|AA′|）＝错误!（|BF|＋|AF|）＝错误! |AB|＝错误!|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为１２0°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为３0°，斜率是错误!.答案：错误!8．（一题多解）已知点M（—１，１）和抛物线C：y２＝４x，过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为（１，0），则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k（x—１）（k≠0），由错误!消去y得k２（x—１）２＝４x，即k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0，设A（x１，y），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝１．由错误!消去x得y２＝４错误!，即y２—错误!y—４１＝0，则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，由∠AMB＝90°，得错误!·错误!＝（x１＋１，y１—１）·（x２＋１，y２—１）＝x１x２＋x１＋x２＋１＋y１y２—（y１＋y２）＋１＝0，将x１＋x２＝错误!，x１x２＝１与y＋y２＝错误!，y１y２＝—４代入，得k＝２．１法二：设抛物线的焦点为F，A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!所以y错误!—y错误!＝４（x１—x），则k＝错误!＝错误!，取AB的中点M′（x0，y0），分别过点A，B作准线x＝—１的垂线，垂足分别２为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝—１上，所以|MM′|＝错误!|AB|＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!（|AA′|＋|BB′|）．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝１，所以y１＋y２＝２，所以k＝２．答案：２9．已知过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点，斜率为２错误!的直线交抛物线于A（x１，y１），B（x，y２）（x１<x２）两点，且|AB|＝9．２（１）求该抛物线的方程；（２）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若错误!＝错误!＋λ错误!，求λ的值．解：（１）由题意得直线AB的方程为y＝２错误!·错误!，与y２＝２px联立，消去y有４x２—５px＋p２＝0，所以x１＋x２＝错误!.由抛物线定义得|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!＋p＝9，所以p＝４，从而该抛物线的方程为y２＝8x.（２）由（１）得４x２—５px＋p２＝0，即x２—５x＋４＝0，则x１＝１，x２＝４，于是y１＝—２错误!，y２＝４错误!，从而A（１，—２错误!），B（４，４错误!），设C（x３，y３），则错误!＝（x３，y３）＝（１，—２错误!）＋λ（４，４错误!）＝（４λ＋１，４错误!λ—２错误!）．又y错误!＝8x３，所以[２错误!（２λ—１）]２＝8（４λ＋１），整理得（２λ—１）２＝４λ＋１，解得λ＝0或λ＝２．１0．（２0２0·河北衡水二模）已知抛物线C：x２＝２py（p＞0）的焦点为F，点M（２，m）（m ＞0）在抛物线上，且|MF|＝２．（１）求抛物线C的方程；（２）若点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．解：（１）由抛物线的定义可知，|MF|＝m＋错误!＝２，１又M（２，m）在抛物线上，所以２pm＝４，２由１２解得p＝２，m＝１，所以抛物线C的方程为x２＝４y.（２）证明：１当x0＝0，即点P为原点时，显然符合；２x0≠0，即点P不在原点时，由（１）得，x２＝４y，则y′＝错误!x，所以抛物线在点P处的切线的斜率为错误!x0，所以抛物线在点P处的切线l0的方程为y—y0＝错误!x0（x—x0），又x错误!＝４y0，所以y—y0＝错误!x0（x—x0）可化为y＝错误!x0x—y0.又过点F且与切线l0垂直的方程为y—１＝—错误!x.联立方程得错误!消去x，得y＝—错误!（y—１）x错误!—y0.（*）因为x错误!＝４y0，所以（*）可化为y＝—yy0，即（y0＋１）y＝0，由y0＞0，可知y＝0，即垂足必在x轴上．综上，过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．[综合题组练]１．（２0２0·陕西西安一模）已知F为抛物线C：y２＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B 两点，且|AF|＝３|BF|，则|AB|＝（）Ａ．6 Ｂ．8Ｃ．１0 Ｄ．１２解析：选Ｂ．抛物线y２＝6x的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!，设A（x１，y１），B（x２，y２），因为|AF|＝３|BF|，所以x１＋错误!＝３错误!，所以x１＝３x２＋３，因为|y１|＝３|y２|，所以x１＝9x２，所以x１＝错误!，x２＝错误!，所以|AB|＝错误!＋错误!＝8．故选Ｂ．２．过抛物线y２＝４x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝３，则△AOB的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!解析：选Ｃ．由题意设A（x１，y１），B（x２，y２）（y１>0，y２<0），如图所示，|AF|＝x１＋１＝３，所以x１＝２，y１＝２错误!.设AB的方程为x—１＝ty，由错误!消去x得y２—４ty—４＝0．所以y１y２＝—４，所以y２＝—错误!，x２＝错误!，所以S△AOB＝错误!×１×|y１—y２|＝错误!，故选Ｃ．３．（２0２0·江西九江二模）已知抛物线C：x２＝４y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，连接AF并延长交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为|AB|—１，则当∠AFB最大时，|AD|＝（）Ａ．４Ｂ．8Ｃ．１6 Ｄ．错误!解析：选Ｃ．设A（x１，y１），B（x２，y２），D（x３，y３），由抛物线定义得y１＋y２＋２＝|AF|＋|BF|，因为错误!＝|AB|—１，所以|AF|＋|BF|＝２|AB|，所以cos∠AFB＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当|AF|＝|BF|时取等号．所以当∠AFB最大时，△AFB为等边三角形，联立错误!消去y得，x２—４错误!x—４＝0，所以x１＋x３＝４错误!，所以y１＋y３＝错误!（x１＋x３）＋２＝１４．所以|AD|＝１6．故选Ｃ．４．已知直线y＝a交抛物线y＝x２于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．解析：如图，设C（x0，x错误!）（x错误!≠a），A（—错误!，a），B（错误!，a），则错误!＝（—错误!—x0，a—x错误!），错误!＝（错误!—x0，a—x错误!）．因为CA⊥CB，所以错误!·错误!＝0，即—（a—x错误!）＋（a—x错误!）２＝0，（a—x错误!）（—１＋a—x错误!）＝0，所以x错误!＝a—１≥0，所以a≥１．答案：[１，＋∞）５．已知抛物线的方程为x２＝２py（p>0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.（１）求错误!·错误!；（２）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为错误!p２，求直线AB的斜率k.解：（１）设直线AB的方程为y＝kx＋错误!，A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!得x２—２pkx—p２＝0，则错误!所以y１·y２＝错误!，所以错误!·错误!＝x１·x２＋y１·y２＝—错误!p２.（２）由x２＝２py，知y′＝错误!，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为错误!，错误!，所以直线AM的方程为y—y１＝错误!（x—x１），直线BM的方程为y—y２＝错误!（x—x２），则可得M错误!.所以k MF＝—错误!，所以直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝２p（k２＋１），用—错误!代替k得，|CD|＝２p错误!，四边形ACBD的面积S＝错误!·|AB|·|CD|＝２p２错误!＝错误!p２，解得k２＝３或k２＝错误!，即k＝±错误!或k＝±错误!.6．已知抛物线C：x２＝２py（p＞0）和定点M（0，１），设过点M的动直线交抛物线C于A，B 两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.（１）若N在以AB为直径的圆上，求p的值；（２）若△ABN的面积的最小值为４，求抛物线C的方程．解：设直线AB：y＝kx＋１，A（x１，y１），B（x２，y２），将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x２—２pkx—２p＝0，则x１＋x２＝２pk，x１x２＝—２p.１（１）由x２＝２py得y′＝错误!，则A，B处的切线斜率的乘积为错误!＝—错误!，因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，所以—错误!＝—１，所以p＝２．（２）易得直线AN：y—y１＝错误!（x—x１），直线BN：y—y２＝错误!（x—x２），联立，得错误!结合１式，解得错误!即N（pk，—１）．|AB|＝错误!|x２—x１|＝错误!错误!＝错误!错误!，点N到直线AB的距离d＝错误!＝错误!，则△ABN的面积S△ABN＝错误!·|AB|·d＝错误!≥２错误!，当k＝0时，取等号，因为△ABN的面积的最小值为４，所以２错误!＝４，所以p＝２，故抛物线C的方程为x２＝４y.。

2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第7讲抛物线学案(含解析)北师大版

2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第7讲抛物线学案(含解析)北师大版

第7讲 抛物线基础知识整合1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的02准线.其数学表达式：03|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离). 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴04y ＝005x ＝0焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F 06⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0F 07⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，p 2F 08⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝091准线方程 10x ＝－p211x ＝p212y ＝－p213y ＝p2范围 14x ≥0，y ∈R 15x ≤0，y ∈R 16y ≥0，x ∈R 17y ≤0，x ∈R 开口方向向18右向19左向20上向21下抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)若A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p .1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( ) A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－1答案 A解析 由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，故选A ．2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194B ．92C ．3D ．4答案 D解析 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n ＋1，解得n ＝4.故选D ．3．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A解析 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A ．4．已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2C ．4D ．±4答案 D解析 由y ＝x 28，得x 2＝8y ，∴抛物线C 的准线方程为y ＝－2，焦点为F (0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF |＝2y 0＝y 0＋2.解得y 0＝2，∴x 0＝±4.故选D ．5．(2019·广东中山统测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10答案 B解析 由题意知，抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1.∵过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2.又x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B ．6．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4答案 C解析 利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝32， ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.故选C ．核心考向突破角度1 例1 (2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)答案 D解析 过M 点作准线的垂线，垂足为N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．角度2 到点与准线的距离之和最小问题例2 (2020·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．答案 5解析 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度3 到定直线的距离最小问题例3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3答案 B解析 由题意可知l 2：x ＝－1 是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，如图所示，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．[即时训练] 1.(2019·潍坊质检)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)答案 B解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同，即为1，则可排除A，C，D，故选B．2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )A． 3 B． 5C．2 D．5－1答案 D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.考向二抛物线的方程例4 (1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是( )A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16x答案 D解析∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M 的轨迹方程为y2＝16x.(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.答案 x 2＝4y解析 因为△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线的方程为x 2＝4y .抛物线标准方程的求法求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定，也就是说，不必设为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．[即时训练] 3.(2019·衡水中学调研卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36x D ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以设该点为P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p 2＝10①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .4．(2019·运城模拟)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案 D解析 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y . 考向三 抛物线的性质例5 (1)过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条答案 B解析 若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，代入抛物线y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x＋14k 2＝0，因为A ，B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两条． (2)(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 如图，由题意可得，点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax ，解得a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得，2p ＝4，p ＝2，p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．[即时训练] 5.(2019·长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 A解析 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D ．因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1，故选A ．6．在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案 x ＝－52解析 OA 的中点的坐标为(2,1)，斜率k OA ＝12，OA 的垂直平分线的方程为y －1＝－2(x－2)，即y ＝－2x ＋5.又抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在x 轴上，即y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝－2x ＋5，得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∴52＝p 2，∴抛物线的准线方程为x ＝－52.考向四 直线与抛物线的位置关系例6 (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．解 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4；当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.综上，圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4或x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点在x 轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时训练] 7.(2020·福建泉州第一次质量检测)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A ，B 在C 上，F 为线段AB 的中点，|AB |＝4.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点．若C 上仅存在三个点K i (i ＝1,2,3)，使得△MNK i的面积等于16，求l 的方程．解 解法一：(1)由抛物线的对称性，可知AB ∥x 轴，且A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－2，p 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，p 2，所以4＝2p ·p 2，解得p ＝2，故C 的方程为x 2＝4y .(2)如图，作与l 平行且与C 相切的直线l ′，切点为K .由题意，可知△MNK 的面积等于16.设l 的方程为y ＝kx ＋1，方程x 2＝4y 可化为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，令y ′＝k ，解得x ＝2k ，将x ＝2k 代入x 2＝4y ，得y ＝k 2，故K (2k ，k 2)，所以K 到l 的距离d ＝|2k 2－k 2＋1|k 2＋1＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以|MN |＝k 2＋1x 1＋x 22－4x 1x 2＝4(k 2＋1)，故△MNK 的面积为12|MN |·d ＝2(k 2＋1)k 2＋1，从而2(k 2＋1)k 2＋1＝16，解得k ＝3或k ＝－ 3.所以l 的方程为y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋1.解法二：(1)设A (x 0，y 0)，B (x 0′，y 0′)，则x 20＝2py 0，x 0′2＝2py 0′，因为F 为AB 的中点，所以x 0＋x 0′＝0，y 0＋y 0′＝p ，故y 0＝y 0′＝p2，从而|AB |＝2|x 0|，故|x 0|＝2，所以4＝2p ·p2，解得p ＝2，故C 的方程为x 2＝4y .(2)直线l 斜率显然存在，设直线l的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1消去y ，得x 2－4kx －4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以|MN |＝k 2＋1x 1＋x 22－4x 1x 2＝4(k 2＋1)，因为点K 在C 上，设K ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14m 2，则点K 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1k 2＋1，△MNK 的面积等于16，所以关于m 的方程12×4(k 2＋1)×⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1k 2＋1＝2k 2＋1⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1＝16恰有三个不同实根，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪14m 2－km －1＝8k 2＋1恰有三个不同实根，所以m ＝2k ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪142k2－k ·2k －1＝k 2＋1＝8k 2＋1，解得k ＝3或k ＝－ 3.所以l 的方程为y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋1.1．(2019·长沙模拟)已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于________.答案 2解析 依题意，得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义，知|MF |＝|MK |，由|FM ||MN |＝55，则|KN |∶|KM |＝2∶1，即k FN ＝0－2p 2－0＝－4p ，得－4p＝－2，解得p＝2.2．(2019·山东临沂三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线m 与C 交于A ，B 两点，AF ⊥BF ，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 准线的垂线，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________．答案2解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ ⊥l 于点Q ，BP ⊥l 于点P ，由抛物线的定义可设|AF |＝|AQ |＝a ，|BF |＝|BP |＝b ，由勾股定理可知|AB |＝|AF |2＋|BF |2＝a 2＋b 2，由梯形中位线的性质可得|MN |＝a ＋b2，则|AB ||MN |＝a 2＋b2a ＋b2≥12a ＋b 2a ＋b 2＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，即|AB ||MN |的最小值为 2.答题启示圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解．对点训练1．(2019·安徽宣城第二次调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AF |>|BF |，则|AF ||BF |＝________. 答案 3解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∵直线l 的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，设直线l 与抛物线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，联立方程组，消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p 6，∴|AF |＝x 1＋p 2＝2p ，|BF |＝x 2＋p 2＝2p 3，∴|AF |∶|BF |＝3∶1，∴|AF ||BF |的值为3.2．(2019·湖北八校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过F 作斜率大于0的直线与抛物线C 交于M ，N 两点(M 在x 轴上方)，且与直线l 交于点Q .若|FN ||NQ |＝34，|MF |＝16，则p 的值为________．答案 4解析 过M ，N 分别作l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，过F 作MM 1的垂线，垂足为P .∵|FN ||NQ |＝34，∴|NN 1||NQ |＝34，∴|MP ||MF |＝34， ∴|MP |＝34|MF |，∴|MF |＝|MM 1|＝|MP |＋p ＝34|MF |＋p ，∴p ＝4.。

高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线(教师文档)教案 文 北师大版

高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线(教师文档)教案 文 北师大版

学习资料第七节 双曲线授课提示：对应学生用书第167页［基础梳理]1．双曲线的定义(1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值(|F 1F 2｜＝2c 〉0)为非零常数2a （2a 〈2c ）的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作焦距．(2)集合P ＝{M ｜｜｜MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2｜＝2c ，其中a ,c 为常数且a >0，c 〉0. ①当2a 〈｜F 1F 2｜时，M 点的轨迹是双曲线;②当2a ＝｜F 1F 2|时,M 点的轨迹是两条射线；③当2a >｜F 1F 2|时，M 点不存在．2．双曲线的标准方程与几何性质 图形标准方程错误!－错误!＝1(a 〉0，b >0) 错误!－错误!＝1（a >0,b 〉0）性质 范围x ≥a 或x ≤－a y ≤－a 或y ≥a 对称性对称轴:坐标轴; 对称中心：原点 对称轴:坐标轴； 对称中心：原点 顶点顶点坐标：A 1(－a ,0),A 2(a ,0） 顶点坐标：A 1（0，－a ），A 2（0,a ） 渐近线y ＝±b a x y ＝±错误!x 离心率 e ＝错误!，e ∈(1，＋∞）实、虚轴 线段A 1A 2叫作双曲线的实轴,它的长｜A 1A 2｜＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2｜＝2b ;a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长a ，b ，c 间的关系 c 2＝a 2＋b 2(c >a 〉0，c 〉b 〉0）1．在双曲线的定义中，|MF 1|－｜MF 2|＝2a ,表示靠近F 2的一支，|MF 2|－|MF 1｜＝2a ,表示靠近F 1的一支．2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．3．方程x 2m－错误!＝1(mn ＞0）表示的曲线 （1）当m ＞0，n ＞0时,表示焦点在x 轴上的双曲线．（2)当m ＜0,n ＜0时,则表示焦点在y 轴上的双曲线．4．方程的常见设法(1）与双曲线错误!－错误!＝1共渐近线的方程可设为错误!－错误!＝λ（λ≠0)．（2）若渐近线的方程为y ＝±错误!x ,则可设双线曲方程为错误!－错误!＝λ（λ≠0)．［四基自测]1．（基础点:双曲线的标准方程）以椭圆错误!＋错误!＝1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为( )A ．x 2－错误!＝1B ．错误!－y 2＝1C ．x 2－错误!＝1D 。

(新课标)高考数学大一轮复习-第九章 解析几何 9.7 双曲线(一)课件 文

(新课标)高考数学大一轮复习-第九章 解析几何 9.7 双曲线(一)课件 文

线，有相同的渐近线、相等的焦距．
(6)双曲线形状与 e 的关系：k＝ba＝
c2－a2 a
＝
ca22－1 ＝
e2－1，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线
的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开
口就越开阔．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线． (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线． (3)双曲线方程mx22－yn22＝λ(m>0，n>0，λ ≠0)的渐近线方程是 mx22－yn22＝0，即mx ±yn＝0.
归纳拓展 (1)求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设 双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)． (2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线的“六点”(两个 焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条 渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形， 双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互关系．
(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对 值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
思考题 1 (1)(2015·福建理)若双曲线 E：x92－1y62 ＝1 的左、
右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|＝3，则|PF2|
等于( )
A．11
B．9Leabharlann C．5例 1 (1)已知两圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，
动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是( )

高考数学北师大理一轮复习 第章 平面解析几何 双曲线 文档

高考数学北师大理一轮复习 第章 平面解析几何 双曲线 文档

1．双曲线定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t (t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2m＋y2n＝1 (mn<0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.(√)(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(√)1．(教材改编)若双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. 5 B．5C. 2 D．2答案 A解析由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1 答案 A解析 由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 3．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A. 4．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是________． 答案 4 3解析 由题意得a 2＝1，b 2＝3，所以c ＝2，故F (2,0)，从而l ：x ＝2，又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以直线l 与渐近线交于(2，±23)，因此，S ＝12×2×43＝4 3.5．(教材改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案 x 28－y 28＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1.题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 双曲线定义的应用例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 答案x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |， 所以|MC 1|－|AC 1|＝ |MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华 求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________________．(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________． 答案 (1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1解析 (1)由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 题型二 双曲线的几何性质例3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D. 5(2)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 答案 (1)C (2)32解析 (1)如图，∵FB →＝2F A →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°，∴ba＝tan60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba)2＝4，∴e ＝2.(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·bax ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2. 设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb 2a 2－p22pb a ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94. ∴e ＝32.思维升华 (1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(1)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2(2)(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 答案 (1)C (2)B解析 (1)如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，易求B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， 则k A 2C ＝b 2aa －c ，k A 1B ＝b 2aa ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有k A 1B ·k A 2C ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1， ∴b 4a 2c 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴渐近线斜率k ＝±ba ＝±1.(2)e 1＝1＋b 2a2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m ，即e 1<e 2.故选B.题型三 直线与双曲线的综合问题例4 (1)(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3答案 D解析 右焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23， ∴A (2,23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3.(2)若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B两点．①求k 的取值范围；②若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值． 解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2. 故k 的取值范围是{k |1<k <2}．②由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52， 所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)， 得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点． ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2，0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于2. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值． 解 (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，半焦距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3.两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6，故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2， 即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2，当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号． 因为|GF 2|＝(1－2)2＋22＝5，所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2，故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.14．忽视“判别式”致误典例 (12分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误． 规范解答解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .[3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① [6分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.[8分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[11分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[12分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[方法与技巧]双曲线标准方程的求法：(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1 (mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值． [失误与防范]1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.2．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2a 2＝1 (a >0，b >0)的上，下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B. 3 C ．2 D. 2 答案 C解析 设点F 2关于渐近线的对称点为E ，则EF 2⊥EF 1，|EF 1|＝12|F 1F 2|，∴∠EF 2F 1＝30°，∠EF 1F 2＝60°，又F 1E 与一条渐近线平行，∴一条渐近线的倾斜角为30°，∴b a ＝3，∴ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.3．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )． 由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴(a －4)2＋(－b )2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.4．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 答案 A解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 5．已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1 (a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1 (a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2.则e 1e 2等于( ) A.22B ．1 C. 3 D ．2答案 B 解析 由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1.6．(2015·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案33解析 双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________.答案 5解析 因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)． 8．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为______________． 答案 [3＋23，＋∞)解析 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1， ∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b )，所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52.10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2，0)∪(0，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 A解析 由题意作出图像如图所示．由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)， F (c,0)．易得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a (c －a )，∴k CD ＝a (a －c )b 2.∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a (a －c )，∴k BD ＝－a (a －c )b 2.∴l BD ：y －b 2a ＝－a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝－a (a －c )b 2x ＋ac (a －c )b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝a (a －c )b 2x －ac (a －c )b 2－b 2a .∴x D ＝c ＋b 4a 2(a －c ).∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2(a －c ).∴b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2， ∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<b a<1. 12．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan30°<b a ≤tan60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A. 13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________． 答案7解析 如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是等边三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB |，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.15．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234. (1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积． 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且满足⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，|AB |＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0)．将M 、P 坐标分别代入椭圆和双曲线方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0. 解得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332. 由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33)． 当P 为(－10,33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)， 即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1， 得2x 2＋15x ＋25＝0.∴x ＝－52或－5(舍去)， ∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴． ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件文北师大版

高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件文北师大版

线段 A1A2 叫作双曲线的实轴 ,它的长
|A1A2|=2a ;线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴 ,它的
长|B1B2|=2b ;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫 作双曲线的虚半轴长
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
-5-
知识梳理 双基自测 自测点评
123
3.常用结论 (1)渐近线的斜率与离心率的关系
-
������ 2
,-������
,半径为
1 2
-3������2-4������ + 4的圆. (
)
(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-
x2)+(y-y1)(y-y2)=0. ( )
(5)方程x2+Bxy+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是
3������ 3
������
即 ������y=±x,不妨选取右焦点 F( 3������ + 3,0)到其中一条渐近线
x- ������y=0 的距离求解,得 d= 3������+3 = 3.故选 A.
������ +1
关闭
A
解析 答案
-8-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
3.若实数
k
23
关闭
3
解析 答案
-10-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
5.(2016 江苏,3)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线���7���2 − ���3���2=1 的焦
距是
.
∵a2=7,b2=3, ∴c2=a2+b2=7+3=10.

高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时52 双曲线学案 文 北师大版

高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时52 双曲线学案 文 北师大版

课时52 双曲线及其性质（课前预习案）班级：姓名：一、高考考纲要求1.掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质.2.重点：定义的应用及求双曲线的标准方程和简单的几何性质.二、高考考点回顾1.双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的__________等于常数（______________）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的______，两个焦点间的距离叫做双曲线的_______.其数学表达式：________________________________.当2a＝|F1F2|时,动点的轨迹 ;当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹 ;当2a＝0时,动点的轨迹又是 .2.双曲线的标准方程与性质：3.双曲线的离心率越大，双曲线“开口”越 .4.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做，其渐近线方程为，离心率为e＝____.三、课前检测1．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲：12||||||MF MF -是定值，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．双曲线方程：22x k -＋y 25－k ＝1，那么k 的范围是( )A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ． k ＜2或k ＞53．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 ( )A.1＋22B.1＋32C ．1＋ 2D ．1＋ 34．如果12,F F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则△2ABF 的周长是 ．5．已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为2x －y ＝0，则双曲线的标准方程为__________．课内探究案班级： 姓名：考点一：双曲线的定义【典例1】 (1)动点P 到定点F 1(1,0)的距离比它到定点F 2(3,0)的距离小2，则点P 的轨迹是 ( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．一条射线D ．两条射线(2)已知圆C ：(x -3)2＋y 2＝4，定点A （-3,0），求过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程.【变式1】（1）已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于 ( ) A ．24 B ．36 C ．48D ．96（2）已知三点P (5,2)、F 1(－6,0)、F 2(6,0),以F 1、F 2为焦点且过点P 的双曲线的标准方程为__________________.考点二：双曲线的标准方程【典例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1) 虚轴长为12，离心率为54；(2) 顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .【变式2】（1）已知双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）（2）求与椭圆221168x y +=有共同焦点，渐近线方程为0x ±=的双曲线方程. A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1考点三：双曲线的性质【典例3】【2012年高考新课标全国卷】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =，则C 的实轴长为（ ）(A)(B) (C)4 (D)8【变式3】【2012年高考大纲全国卷】已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于（ ）(A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【当堂检测】1.双曲线x y 222-=8的实轴长是（ ）（A ）2 (B)2.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A （B （C ）2 （D ）33.设双曲线()019222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为（ ） A.4 B. 3 C. 2 D. 14.已知点（2,3）在双曲线C ：1by -a x 2222=（a ＞0，b ＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为_____________.课后巩固案班级： 姓名： 完成时间：30分钟1．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、⎫⎪⎪⎝⎭C 、⎫⎪⎪⎝⎭D 、)2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y +=3．已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上， ∠1F P 2F =60︒，则12PF PF = （ ）A ．2 B.4 C. 6 D. 84.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（ ） A ．32 B ．2 C ．52D ．35.已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( )A. －12B. －2C. 0D. 46．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A 在C 上，点M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = .1.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ．2．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 .3. 已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等4.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为错误!未找到引用源。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件文北师大版

高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件文北师大版
对称中心:原点
顶点坐标:
A1(0,-a) ,A2(0,a)
-4知识(zhī
shi)梳理
双基自测(zì
cè)
标准方程
渐近线
离心率
性
质
实虚轴
a,b,c
的关系
自测(zì cè)
点评
x2
a2
−
1
y2
b2

2
3
=1(a>0,b>0)
a2
−
x2
b2

=1(a>0,b>0)
y=± x
y=± x

y2

e= ,e∈(1,+∞),其中 c= 2 +
diǎn)3
解析: (1)由题意知a=1,b=1,c=2,
故|F1F2|=22.
在△PF1F2中,由余弦定理得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°
=|F1F2|2=8,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,①
由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2,两边平方得
2 3
2
2
=c2,
a,
3
2 3
3
.
关闭
3
解析
解析
第九页，共46页。
答案
--10
10知识(zhī shi)
梳理
双基自测(zì
cè)
自测(zì
cè)点评
1
2
3
4
5
2
5.(2016 江苏,3)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线
7
距是
2
− =1 的焦

2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何经典微课堂突破疑难系列教学案文北师大版

2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何经典微课堂突破疑难系列教学案文北师大版

突破疑难系列2 五大技法减轻解析几何中的运算量(对应学生用书第170页)[命题解读] 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中,用方程的观点来研究曲线,体现了用代数的方法解决几何问题的优越性,但有时运算量过大,或需繁杂的讨论,这些都会影响解题的速度,甚至会中止解题的过程,达到“望题兴叹”的地步,特别是高考过程中,在规定的时间内,保质保量完成解题的任务,计算能力是一个重要的方面,为此,从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧,合理简化解题过程,优化思维过程．[技法突破1] 巧用平面几何性质[示例1] 已知O 为坐标原点,F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点,A ,B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34A [设OE 的中点为N ,如图,因为MF ∥OE ,所以有ON MF ＝a a ＋c ,MFOE＝a －c a .又因为OE ＝2ON ,所以有12＝a a ＋c ·a －c a ,解得a ＝3c ,e ＝ca＝13,故选A.] [技法点津] 此题也可以用解析法解决,但有一定的计算量,巧用三角形的相似比可简化计算．[技法训练1] 如图,F 1,F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62D [由已知,得F 1(－3,0),F 2(3,0),设双曲线C 2的实半轴长为a , 由椭圆及双曲线的定义和已知,可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2,故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62.] [技法突破2] 设而不求,整体代换设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．[示例2] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 D [设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝2,y 1＋y 2＝－2,⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0,所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝b 2a2.又k AB ＝0＋13－1＝12,所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2,解得b 2＝9,a 2＝18, 所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.][技法点津] 本题设出A ,B 两点的坐标,却不求出A ,B 两点的坐标,巧妙地表达出直线AB 的斜率,通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题．[技法训练2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在A ,B 两点恰好关于直线l ：x －y －1＝0对称,且直线AB 与直线l 的交点的横坐标为2,则椭圆C 的离心率为( )A.13B.33C.22D.12C [由题意可得直线AB 与直线l 的交点为P (2,1),k AB ＝－1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝4,y 1＋y 2＝2.∵A ,B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的点,∴x 21a 2＋y 21b 2＝1,① x 22a 2＋y 22b2＝1,② ①－②得x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0,∴2x 1－x 2a 2＝－y 1－y 2b 2,∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2b2a2＝－1, ∴a 2＝2b 2,∴椭圆C 的离心率为c a＝1－b 2a 2＝22.] [技法突破3] 巧用“根与系数的关系”,化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标,用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程,使相关的点的同名坐标为方程的根,由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小,解题过程简捷．[示例3] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ,过A 作两条互相垂直的弦AM ,AN 交椭圆于M ,N两点．(1)当直线AM 的斜率为1时,求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时,直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点,请给出证明,并求出该定点；若不过定点,请说明理由．[解](1)直线AM 的斜率为1时,直线AM 的方程为y ＝x ＋2,代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2,x 2＝－65,所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ,直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2),联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2,又x A ＝－2,则x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k21＋4k 2.同理,可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点,则此点必为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y Mx M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2, 同理可计算得k PN ＝5k4－4k2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.[技法点津] 本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k21＋4k 2,这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法,简单易懂,通过设而不求,大大降低了运算量．[技法训练3] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12,且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32,左、右焦点分别为F 1,F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,若△AF 2B 的内切圆半径为327,求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．[解](1)由c a ＝12,得a ＝2c ,所以a 2＝4c 2,b 2＝3c 2,将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1,故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0),设直线l 的方程为x ＝ty －1, 代入椭圆方程,整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0, 显然判别式大于0恒成立,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),△AF 2B 的内切圆半径为r 0, 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2,y 1y 2＝－94＋3t 2,r 0＝327, 所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2| ＝12|F 1F 2|·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t2.而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227, 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227, 解得t 2＝1,因为所求圆与直线l 相切,所以半径r ＝2t 2＋1＝2,所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2. [技法突破4] 妙借向量,无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带,沟通“数”与“形”,融数、形于一体,是数形结合的典范,具有几何形式与代数形式的双重身份,是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量,可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率,达到良好效果．[示例4] 如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点,直线y ＝b2与椭圆交于B ,C 两点,且∠BFC ＝90°,则该椭圆的离心率是________．63 [把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1, 可得x ＝±32a ,那么B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2,而F (c,0),那么FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2,FC →＝⎝⎛⎭⎪⎫32a －c ，b 2,又∠BFC ＝90°,故有FB →·FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0, 则有3c 2＝2a 2,所以该椭圆的离心率为e ＝c a ＝63.] [技法点津] 本题通过相关向量坐标的确定,结合∠BFC ＝90°,巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题,从形入手转化为相应数的形式,简化运算．[技法训练4] 已知椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1,圆O 的方程为x 2＋y 2＝2,设P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上位于y 轴两侧的动点,若直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 与y 轴的交点记为M ,N ,试判断∠MQN 是否为定值,若是,请证明你的结论；若不是,请举出反例说明．[解] ∠MQN 是定值90°,证明如下： 设P (x 0,y 0),直线AP ：y ＝k (x ＋2)(k ≠0), 令x ＝0可得M (0,2k ),将x 24＋y 22＝1与y ＝k (x ＋2)联立, 整理可得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0,则－2x 0＝8k 2－42k 2＋1,可得x 0＝2－4k 22k 2＋1,y 0＝4k2k 2＋1,故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k22k 2＋1，4k 2k 2＋1. 直线BP 斜率k BP ＝y 0x 0－2＝－12k, 则直线BP ：y ＝－12k(x －2),令x ＝0可得N ⎝⎛⎭⎪⎫0，1k ,设Q (x Q ,y 0),则QM →＝(－x Q,2k －y 0), QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x Q ，1k －y 0,由x 2Q ＋y 20＝2,y 0＝4k 2k 2＋1,可得QM →·QN →＝x 2Q ＋y 20＋2－2k 2＋1ky 0＝0,所以QM ⊥QN ,故∠MQN 是定值90°. [技法突破5] 巧妙“换元”减少运算量变量换元的关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而将非标准型问题转化为标准型问题,将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．[示例5] 如图,已知椭圆C 的离心率为32,点A ,B ,F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且S △ABF ＝1－32.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切,若直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,求△OMN 面积的最大值．[解](1)由已知椭圆的焦点在x 轴上,设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),则A (a,0),B (0,b ),F (c,0)(c ＝a 2－b 2)．由已知可得e 2＝a 2－b 2a 2＝34,所以a 2＝4b 2,即a ＝2b ,c ＝3b① S △ABF ＝12×|AF |×|OB |＝12(a －c )b ＝1－32. ②将①代入②,得12(2b －3b )b ＝1－32,解得b ＝1,故a ＝2,c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)圆O 的圆心为坐标原点(0,0),半径r ＝1,由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切,得|m |1＋k2＝1,故有m 2＝1＋k 2.③由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ,得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0,由题可知k ≠0, 所以Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＝48k 2>0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1,x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1＝164k 2－m 2＋14k 2＋12.④将③代入④中,得|x 1－x 2|2＝48k 24k 2＋12,故|x 1－x 2|＝43|k |4k 2＋1.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×43|k |4k 2＋1＝43k 2k 2＋14k 2＋1. 故△OMN 的面积S ＝12|MN |×1＝12×43k 2k 2＋14k 2＋1×1＝23k 2k 2＋14k 2＋1. 令t ＝4k 2＋1,则t ≥1,k 2＝t －14,代入上式,得S ＝23×t －14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14＋1t2＝32t －1t ＋3t2＝32t 2＋2t －3t 2＝32－3t2＋2t＋1＝32－1t 2＋23t ＋13＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋49, 所以当t ＝3,即4k 2＋1＝3,解得k ＝±22时,S 取得最大值,且最大值为32×49＝1. [技法点津] 破解此类题的关键：一是利用已知条件,建立关于参数的方程,解方程,求出参数的值；二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数,求得其值域,从而求得原函数的值域,形如y ＝ax ＋b ±xc ＋d (a ,b ,c ,d 均为常数,且ac ≠0)的函数常用此法求解,但在换元时一定要注意新元的取值范围,以保证等价转化,这样目标函数的值域才不会发生变化．[技法训练5] 已知中心在原点,焦点在y 轴上的椭圆C ,其上一点P 到两个焦点F 1,F 2的距离之和为4,离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ,B 两点,求△OAB 面积的取值范围．[解](1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由离心率e ＝c a ＝32,2a ＝4, 得a ＝2,b ＝1,c ＝ 3. ∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 2＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0.∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋4,x 1x 2＝－3k 2＋4, 设△OAB 的面积为S ,由x 1x 2＝－3k 2＋4<0知, S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2＝2k 2＋3k 2＋42,令k 2＋3＝t ,则t ≥3. ∴S ＝21t ＋1t＋2. 对于函数y ＝t ＋1t (t ≥3),由y ′＝1－1t 2＝t 2－1t2>0得y ＝t ＋1t 在[3,＋∞)上是增函数,∴t ＋1t ≥103.∴0<1t ＋1t＋2≤316. ∴S ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.。

北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何圆的方程教学案理

北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何圆的方程教学案理

一、知识梳理１．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆标准方程（x—a）２＋（y—b）２＝r２（r＞0）圆心：（a，b），半径：r一般方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0（D２＋E２—４F＞0）圆心：错误!，半径：错误!错误!点M（x0，y0）与圆（x—a）２＋（y—b）２＝r２的位置关系：（１）若M（x0，y0）在圆外，则（x0—a）２＋（y0—b）２＞r２.（２）若M（x0，y0）在圆上，则（x0—a）２＋（y0—b）２＝r２.（３）若M（x0，y0）在圆内，则（x0—a）２＋（y0—b）２＜r２.常用结论几种常见圆的方程的设法标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x２＋y２＝r２x２＋y２—r２＝0续表标准方程的设法一般方程的设法过原点（x—a）２＋（y—b）２＝a２＋b２x２＋y２＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上（x—a）２＋y２＝r２x２＋y２＋Dx＋F＝0二、教材衍化１．以点（３，—１）为圆心，并且与直线３x＋４y＝0相切的圆的方程是（）A．（x—３）２＋（y＋１）２＝１B．（x—３）２＋（y—１）２＝１C．（x＋３）２＋（y—１）２＝１D．（x＋３）２＋（y＋１）２＝１答案：A２．圆x２＋y２—４x＋6y＝0的圆心坐标为________，半径为________．解析：x２＋y２—４x＋6y＝0，得（x—２）２＋（y＋３）２＝１３．所以圆心坐标为（２，—３），半径为错误!.答案：（２，—３）错误!３．圆C的圆心在x轴上，并且过点A（—１，１）和B（１，３），则圆C的方程为________．解析：设圆心坐标为C（a，0），因为点A（—１，１）和B（１，３）在圆C上，所以|CA|＝|CB|，即错误!＝错误!，解得a＝２，所以圆心为C（２，0），半径|CA|＝错误!＝错误!，所以圆C的方程为（x—２）２＋y２＝１0．答案：（x—２）２＋y２＝１0一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）已知点A（x１，y１），B（x２，y２），则以AB为直径的圆的方程是（x—x１）（x—x２）＋（y—y）（y—y２）＝0．（）１（２）方程Ax２＋Bxy＋Cy２＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D２＋E２—４AF>0．（）（３）方程x２＋２ax＋y２＝0一定表示圆．（）（４）（x—２）２＋（y＋１）２＝a２（a≠0）表示以（２，１）为圆心，a为半径的圆．（）（５）圆x２＋２x＋y２＋y＝0的圆心是错误!.（）（6）若点M（x0，y0）在圆x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x错误!＋y错误!＋Dx0＋Ey0＋F<0．（）答案：（１）√（２）√（３）×（４）×（５）×（6）×二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视表示圆的充要条件D２＋E２—４F>0；（２）错用点与圆的位置关系；（３）不能正确确定圆心坐标．１．若方程x２＋y２＋mx—２y＋３＝0表示圆，则m的取值范围是________．解析：将x２＋y２＋mx—２y＋３＝0化为圆的标准方程得错误!错误!＋（y—１）２＝错误!—２．由其表示圆可得错误!—２>0，解得m<—２错误!或m>２错误!.答案：（—∞，—２错误!）∪（２错误!，＋∞）２．若点（１，１）在圆（x—a）２＋（y＋a）２＝４的内部，则实数a的取值范围是________．解析：因为点（１，１）在圆内，所以（１—a）２＋（a＋１）２<４，即—１<a<１．答案：（—１，１）３．若圆C的半径为１，圆心在第一象限，且与直线４x—３y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为（a，１）（a>0），又圆与直线４x—３y＝0相切，所以错误!＝１，解得a＝２或a＝—错误!（舍去）．所以圆的标准方程为（x—２）２＋（y—１）２＝１．答案：（x—２）２＋（y—１）２＝１求圆的方程（多维探究）角度一已知不共线的三点，求圆的方程（一题多解）已知圆E经过三点A（0，１），B（２，0），C（0，—１），且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________．【解析】法一（待定系数法）：根据题意，设圆E的圆心坐标为（a，0）（a>0），半径为r，则圆E 的标准方程为（x—a）２＋y２＝r２（a>0）．由题意得错误!解得错误!所以圆E的标准方程为错误!错误!＋y２＝错误!.法二（待定系数法）：设圆E的一般方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0（D２＋E２—４F>0），则由题意得错误!解得错误!所以圆E的一般方程为x２＋y２—错误!x—１＝0，即错误!错误!＋y２＝错误!.法三（几何法）：因为圆E经过点A（0，１），B（２，0），所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y—错误!＝２（x—１）上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为错误!.则圆E的半径为EB＝错误!＝错误!，所以圆E的标准方程为错误!错误!＋y２＝错误!.【答案】错误!错误!＋y２＝错误!角度二已知两点及圆心所在直线，求圆的方程（一题多解）求圆心在直线x—２y—３＝0上，且过点A（２，—３），B（—２，—５）的圆的方程．【解】法一：设点C为圆心，因为点C在直线x—２y—３＝0上，所以可设点C的坐标为（２a＋３，a）．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即错误!＝错误!，解得a＝—２，所以圆心C的坐标为（—１，—２），半径r＝错误!.故所求圆的方程为（x＋１）２＋（y＋２）２＝１0．法二：设所求圆的标准方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２，由题意得错误!解得错误!故所求圆的方程为（x＋１）２＋（y＋２）２＝１0．法三：设圆的一般方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为错误!.由题意得错误!解得错误!故所求圆的方程为x２＋y２＋２x＋４y—５＝0．角度三已知直线与圆的位置关系，求圆的方程（１）已知圆C与直线y＝x及x—y—４＝0都相切，且圆心在直线y＝—x上，则圆C的方程为________．（２）圆心在直线x—２y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为２错误!，则圆C的标准方程为__________________．【解析】（１）x—y＝0和x—y—４＝0之间的距离为错误!＝２错误!，所以圆的半径为错误!.又因为y＝—x与x—y＝0，x—y—４＝0均垂直，所以由y＝—x和x—y＝0联立得交点坐标为（0，0），由y＝—x和x—y—４＝0联立得交点坐标为（２，—２），所以圆心坐标为（１，—１），故圆C的方程为（x—１）２＋（y＋１）２＝２．（２）设圆C的圆心为（a，b）（b>0），由题意得a＝２b>0，且a２＝（错误!）２＋b２，解得a＝２，b＝１．所以所求圆的标准方程为（x—２）２＋（y—１）２＝４．【答案】（１）（x—１）２＋（y＋１）２＝２（２）（x—２）２＋（y—１）２＝４错误!求圆的方程的两种方法（１）直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．（２）待定系数法１若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；２若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．１．（一题多解）（２0２0·陕西西安一模）已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点（—１，0）和（２，３），则圆C的半径为（）A．8 Ｂ．２错误!C．５Ｄ．错误!解析：选Ｄ．法一：设圆的标准方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２（r>0）．因为圆C经过点（—１，0）和（２，３），所以错误!所以a＋b—２＝0，１又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以|a|＝|b|，２由１２得a＝b＝１，所以圆C的半径为错误!，故选Ｄ．法二：因为圆C经过点M（—１，0）和N（２，３），所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝—x ＋２上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线y＝±x 上，因为直线y＝—x和直线y＝—x＋２平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝—x＋２的交点（１，１），所以圆C的半径为错误!.故选Ｄ．２．（２0２0·湖北“荆、襄、宜七校考试联盟”期末）已知圆C经过直线x＋y＋２＝0与圆x２＋y２＝４的交点，且圆C的圆心在直线２x—y—３＝0上，则圆C的方程为________．解析：设所求圆的方程为（x２＋y２—４）＋a（x＋y＋２）＝0，a≠0，即x２＋y２＋ax＋ay—４＋２a＝0，所以圆心为错误!，因为圆心在直线２x—y—３＝0，所以—a＋错误!—３＝0，所以a＝—6．所以圆的方程为x２＋y２—6x—6y—１6＝0，即（x—３）２＋（y—３）２＝３４．答案：（x—３）２＋（y—３）２＝３４与圆有关的轨迹问题（师生共研）已知过原点O的动直线l与圆C１：x２＋y２—6x＋５＝0相交于不同的两点A，B.（１）求圆C１的圆心坐标；（２）求线段AB的中点M的轨迹方程．【解】（１）由x２＋y２—6x＋５＝0得（x—３）２＋y２＝４，所以圆C１的圆心坐标为（３，0）．（２）设M（x，y），因为点M为线段AB的中点，所以C１M⊥OM，所以kC１M·k AB＝—１，当x≠３时可得错误!·错误!＝—１，整理得错误!错误!＋y２＝错误!，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为（３，0），代入上式成立．设直线l的方程为y＝kx，与x２＋y２—6x＋５＝0联立，消去y得：（１＋k２）x２—6x＋５＝0．令其判别式Δ＝（—6）２—４（１＋k２）×５＝0，得k２＝错误!，此时方程为错误!x２—6x＋５＝0，解得x＝错误!，因此错误!<x≤３．所以线段AB的中点M的轨迹的方程为错误!错误!＋y２＝错误!错误!.错误!求与圆有关的轨迹方程的方法已知圆x２＋y２＝４上一定点A（２，0），B（１，１）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．（１）求线段AP中点的轨迹方程；（２）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：（１）设AP的中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（２x—２，２y）．因为P点在圆x２＋y２＝４上，所以（２x—２）２＋（２y）２＝４．故线段AP中点的轨迹方程为（x—１）２＋y２＝１．（２）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON（图略），则ON⊥PQ，所以|OP|２＝|ON|２＋|PN|２＝|ON|２＋|BN|２，所以x２＋y２＋（x—１）２＋（y—１）２＝４．故线段PQ中点的轨迹方程为x２＋y２—x—y—１＝0．与圆有关的最值问题（多维探究）角度一利用几何性质求最值已知实数x，y满足方程x２＋y２—４x＋１＝0，则（１）错误!的最大值和最小值分别为________和________；（２）y—x的最大值和最小值分别为________和________；（３）x２＋y２的最大值和最小值分别为________和________．【解析】原方程可化为（x—２）２＋y２＝３，表示以（２，0）为圆心，错误!为半径的圆．（１）错误!的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设错误!＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时（如图），斜率k取最大值或最小值，此时错误!＝错误!，解得k＝±错误!.所以错误!的最大值为错误!，最小值为—错误!.（２）y—x可以看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时错误!＝错误!，解得b＝—２±错误!，所以y—x的最大值为—２＋错误!，最小值为—２—错误!.（３）x２＋y２表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为２，所以x２＋y２的最大值是（２＋错误!）２＝7＋４错误!，x２＋y２的最小值是（２—错误!）２＝7—４错误!.【答案】（１）错误!—错误!（２）—２＋错误!—２—错误!（３）7＋４错误!7—４错误!错误!借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．（１）形如μ＝错误!形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题．（２）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题．（３）形如（x—a）２＋（y—b）２形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．角度二建立函数关系求最值（２0２0·黄山模拟）设点P（x，y）是圆：x２＋（y—３）２＝１上的动点，定点A（２，0），B（—２，0），则错误!·错误!的最大值为________．【解析】由题意，知错误!＝（２—x，—y），错误!＝（—２—x，—y），所以错误!·错误!＝x２＋y２—４，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x２＋（y—３）２＝１，故x２＝—（y—３）２＋１，所以错误!·错误!＝—（y—３）２＋１＋y２—４＝6y—１２．由圆的方程x２＋（y—３）２＝１，易知２≤y≤４，所以当y＝４时，错误!·错误!的值最大，最大值为6×４—１２＝１２．【答案】１２错误!根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．１．已知点A（—１，0），B（0，２），点P是圆（x—１）２＋y２＝１上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是（）Ａ．２，错误!（４—错误!）Ｂ．错误!（４＋错误!），错误!（４—错误!）Ｃ．错误!，４—错误!Ｄ．错误!（错误!＋２），错误!（错误!—２）解析：选Ｂ．由题意知|AB|＝错误!＝错误!，l AB：２x—y＋２＝0，由题意知圆心坐标为（１，0），所以圆心到直线l AB的距离d＝错误!＝错误!＝错误!.所以S△PAB的最大值为错误!×错误!×错误!＝错误!（４＋错误!），S△PAB的最小值为错误!×错误!×错误!＝错误!（４—错误!）．２．已知实数x，y满足（x—２）２＋（y—１）２＝１，则z＝错误!的最大值与最小值分别为________和________．解析：由题意，得错误!表示过点A（0，—１）和圆（x—２）２＋（y—１）２＝１上的动点P（x，y）的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y＝kx—１，即kx—y—１＝0，则错误!＝１，解得k＝错误!，所以z max＝错误!，z min＝错误!.答案：错误!错误!３．设点P（x，y）是圆：（x—３）２＋y２＝４上的动点，定点A（0，２），B（0，—２），则|错误!＋错误!|的最大值为________．解析：由题意，知错误!＝（—x，２—y），错误!＝（—x，—２—y），所以错误!＋错误!＝（—２x，—２y），由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程（x—３）２＋y２＝４，故y２＝—（x—３）２＋４，所以|错误!＋错误!|＝错误!＝２错误!.由圆的方程（x—３）２＋y２＝４，易知１≤x≤５，所以当x ＝５时，|错误!＋错误!|的值最大，最大值为２错误!＝１0．答案：１0[基础题组练]１．圆心在y轴上，半径为１，且过点（１，２）的圆的方程是（）Ａ．x２＋（y—２）２＝１Ｂ．x２＋（y＋２）２＝１Ｃ．（x—１）２＋（y—３）２＝１Ｄ．x２＋（y—３）２＝１解析：选A.设圆心为（0，a），则错误!＝１，解得a＝２，故圆的方程为x２＋（y—２）２＝１．故选Ａ．２．（２0２0·河北省九校第二次联考）圆C的半径为２，圆心在x轴的正半轴上，直线３x＋４y＋４＝0与圆C相切，则圆C的方程为（）Ａ．x２＋y２—２x—３＝0 Ｂ．x２＋y２＋４x＝0Ｃ．x２＋y２—４x＝0 Ｄ．x２＋y２＋２x—３＝0解析：选Ｃ．由题意设所求圆的方程为（x—m）２＋y２＝４（m>0），则错误!＝２，解得m＝２或m＝—错误!（舍去），故所求圆的方程为（x—２）２＋y２＝４，即x２＋y２—４x＝0．故选Ｃ．３．方程|x|—１＝错误!所表示的曲线是（）Ａ．一个圆Ｂ．两个圆Ｃ．半个圆Ｄ．两个半圆解析：选Ｄ．由题意得错误!即错误!或错误!故原方程表示两个半圆．４．（一题多解）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（8，0），以OA为直径的圆与直线y＝２x 在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为（）Ａ．x＋２y—8＝0 Ｂ．x—２y—8＝0Ｃ．２x＋y—１6＝0 Ｄ．２x—y—１6＝0解析：选Ａ．法一：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝２x，所以直线AB的斜率为—错误!，因为A（8，0），所以直线AB的方程为y—0＝—错误!（x—8），即x＋２y—8＝0，故选Ａ．法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为（x—４）２＋y２＝１6，解方程组错误!，得错误!或错误!（舍去），即B错误!，因为A（8，0），所以k AB＝错误!＝—错误!，所以直线AB的方程为y—0＝—错误!（x—8），即x＋２y—8＝0，故选Ａ．５．（２0２0·河北五个一名校联盟一诊）已知点P为圆C：（x—１）２＋（y—２）２＝４上一点，A （0，—6），B（４，0），则|错误!＋错误!|的最大值为（）Ａ．错误!＋２Ｂ．错误!＋４C．２错误!＋４Ｄ．２错误!＋２解析：选Ｃ．取AB的中点D（２，—３），则错误!＋错误!＝２错误!，|错误!＋错误!|＝|２错误!|，|错误!|的最大值为圆心C（１，２）与D（２，—３）的距离d再加半径r，又d＝错误!＝错误!，所以d＋r＝错误!＋２．所以|２错误!|的最大值为２错误!＋４．故选Ｃ．6．点M，N是圆x２＋y２＋kx＋２y—４＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x—y＋１＝0对称，则该圆的半径为________．解析：圆x２＋y２＋kx＋２y—４＝0的圆心坐标为错误!.因为点M，N在圆x２＋y２＋kx＋２y—４＝0上，且点M，N关于直线x—y＋１＝0对称，所以直线x—y＋１＝0经过圆心，即—错误!＋１＋１＝0，k＝４．所以圆的方程为x２＋y２＋４x＋２y—４＝0，圆的半径为错误!×错误!＝３．答案：３7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，错误!）在圆C上，且圆心到直线２x—y＝0的距离为错误!，则圆C的方程为________________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C（a，0），且a>0，所以圆心到直线２x—y＝0的距离d＝错误!＝错误!，解得a＝２，所以圆C的半径r＝|CM|＝错误!＝３，所以圆C的方程为（x—２）２＋y２＝9．答案：（x—２）２＋y２＝98．已知点P（２，２），圆C：x２＋y２—8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________．解析：圆C的方程可化为x２＋（y—４）２＝１6，所以圆心为C（0，４），半径为４．设M（x，y），则错误!＝（x，y—４），错误!＝（２—x，２—y）．由题设知错误!·错误!＝0，故x（２—x）＋（y—４）（２—y）＝0．即（x—１）２＋（y—３）２＝２．由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是（x—１）２＋（y—３）２＝２．答案：（x—１）２＋（y—３）２＝２9．（一题多解）一个圆与y轴相切，圆心在直线x—３y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为２错误!，则该圆的方程为________．解析：法一：因为所求圆的圆心在直线x—３y＝0上，所以设所求圆的圆心为（３a，a），又所求圆与y轴相切，所以半径r＝３|a|，又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为２错误!，圆心（３a，a）到直线y＝x的距离d＝错误!，所以d２＋（错误!）２＝r２，即２a２＋7＝9a２，所以a＝±１．故所求圆的方程为（x—３）２＋（y—１）２＝9或（x＋３）２＋（y＋１）２＝9，即x２＋y２—6x—２y＋１＝0或x２＋y２＋6x＋２y＋１＝0．法二：设所求圆的方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２，则圆心（a，b）到直线y＝x的距离为错误!，所以r２＝错误!＋7，即２r２＝（a—b）２＋１４．１由于所求圆与y轴相切，所以r２＝a２，２又因为所求圆的圆心在直线x—３y＝0上，所以a—３b＝0，３联立１２３，解得错误!或错误!故所求圆的方程为（x—３）２＋（y—１）２＝9或（x＋３）２＋（y＋１）２＝9，即x２＋y２—6x—２y＋１＝0或x２＋y２＋6x＋２y＋１＝0．法三：设所求圆的方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心的坐标为错误!，半径r＝错误!错误!.在圆的方程中，令x＝0，得y２＋Ey＋F＝0．由于所求圆与y轴相切，所以Δ＝0，则E２＝４F. １圆心错误!到直线y＝x的距离为d＝错误!，由已知得d２＋（错误!）２＝r２，即（D—E）２＋５6＝２（D２＋E２—４F）．２又圆心错误!在直线x—３y＝0上，所以D—３E＝0．３联立１２３，解得错误!或错误!故所求圆的方程为x２＋y２—6x—２y＋１＝0或x２＋y２＋6x＋２y＋１＝0．答案：x２＋y２—6x—２y＋１＝0或x２＋y２＋6x＋２y＋１＝0１0．设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8．（１）求l的方程；（２）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：（１）由题意得F（１，0），l的方程为y＝k（x—１）（k＞0）．设A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0．Δ＝１6k２＋１6＞0，故x１＋x２＝错误!.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝（x１＋１）＋（x２＋１）＝错误!.由题设知错误!＝8，解得k＝—１（舍去），k＝１．因此l的方程为y＝x—１．（２）由（１）得AB的中点坐标为（３，２），所以AB的垂直平分线方程为y—２＝—（x—３），即y＝—x＋５．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则错误!解得错误!或错误!因此所求圆的方程为（x—３）２＋（y—２）２＝１6或（x—１１）２＋（y＋6）２＝１４４．[综合题组练]１．自圆C：（x—３）２＋（y＋４）２＝４外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（）Ａ．8x—6y—２１＝0 Ｂ．8x＋6y—２１＝0Ｃ．6x＋8y—２１＝0 Ｄ．6x—8y—２１＝0解析：选Ｄ．由题意得，圆心C的坐标为（３，—４），半径r＝２，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|２＋r２＝|PC|２，所以x２＋y２＋４＝（x—３）２＋（y＋４）２，即6x—8y—２１＝0，所以点P的轨迹方程为6x—8y—２１＝0，故选Ｄ．２．设点P是函数y＝—错误!的图象上的任意一点，点Q（２a，a—３）（a∈R），则|PQ|的最小值为（）Ａ．错误!—２Ｂ．错误!Ｃ．错误!—２Ｄ．错误!—２解析：选Ｃ．如图所示，点P在半圆C（实线部分）上，且由题意知，C（１，0），点Q在直线l：x—２y—6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝错误!，|PQ|min＝|CA|—２＝错误!—２．故选Ｃ．３．（２0２0·福建厦门一模）在△ABC中，AB＝４，AC＝２，A＝错误!，动点P在以点A为圆心，半径为１的圆上，则错误!·错误!的最小值为________．解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．则A（0，0），B（４，0），C（１，错误!），设P（x，y），则错误!＝（４—x，—y），错误!＝（１—x，错误!—y），所以错误!·错误!＝（４—x）（１—x）—y（错误!—y）＝x２—５x＋y２—错误!y＋４＝错误!错误!＋错误!错误!—３，其中错误!错误!＋错误!错误!表示圆A上的点P与点M错误!之间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min＝|AM|—１＝错误!—１＝错误!—１，所以（错误!·错误!）min＝（错误!—１）２—３＝５—２错误!.答案：５—２错误!４．已知以点P为圆心的圆经过点A（—１，0）和B（３，４），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝４错误!.则直线CD的方程为________，圆P的方程为________．解析：由题意知，直线AB的斜率k＝１，中点坐标为（１，２）．则直线CD的方程为y—２＝—（x—１），即x＋y—３＝0．设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b—３＝0．１又因为直径|CD|＝４错误!，所以|PA|＝２错误!，所以（a＋１）２＋b２＝４0．２由１２解得错误!或错误!所以圆心P（—３，6）或P（５，—２）．所以圆P的方程为（x＋３）２＋（y—6）２＝４0或（x—５）２＋（y＋２）２＝４0．答案：x＋y—３＝0 （x＋３）２＋（y—6）２＝４0或（x—５）２＋（y＋２）２＝４0５．已知方程x２＋y２—２x—４y＋m＝0．（１）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（２）若（１）中的圆与直线x＋２y—４＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值；（３）在（２）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．解：（１）由D２＋E２—４F>0得（—２）２＋（—４）２—４m>0，解得m<５．（２）设M（x１，y１），N（x２，y２），由x＋２y—４＝0得x＝４—２y；将x＝４—２y代入x２＋y２—２x—４y＋m＝0得５y２—１6y＋8＋m＝0，所以y１＋y２＝错误!，y１y２＝错误!.因为OM⊥ON，所以错误!·错误!＝—１，即x１x２＋y１y２＝0．因为x１x２＝（４—２y１）（４—２y２）＝１6—8（y１＋y２）＋４y１y２，所以x１x２＋y１y２＝１6—8（y１＋y２）＋５y１y２＝0，即（8＋m）—8×错误!＋１6＝0，解得m＝错误!.（３）设圆心C的坐标为（a，b），则a＝错误!（x１＋x２）＝错误!，b＝错误!（y１＋y２）＝错误!，半径r＝|OC|＝错误!，所以所求圆的方程为错误!错误!＋错误!错误!＝错误!.6．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x２—mx＋２m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.（１）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．（２）求证：过A，B，C三点的圆过定点．解：由曲线Γ：y＝x２—mx＋２m（m∈R），令y＝0，得x２—mx＋２m＝0．设A（x１，0），B（x２，0），则可得Δ＝m２—8m>0，x１＋x２＝m，x１x２＝２m.令x＝0，得y＝２m，即C（0，２m）．（１）若存在以AB为直径的圆过点C，则错误!·错误!＝0，得x１x２＋４m２＝0，即２m＋４m２＝0，所以m＝0或m＝—错误!.由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝—错误!，此时C（0，—１），AB的中点M错误!即圆心，半径r＝|CM|＝错误!，故所求圆的方程为错误!错误!＋y２＝错误!.（２）证明：设过A，B两点的圆的方程为x２＋y２—mx＋Ey＋２m＝0，将点C（0，２m）代入可得E＝—１—２m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x２＋y２—mx—（１＋２m）y＋２m＝0，整理得x２＋y２—y—m（x＋２y—２）＝0．令错误!可得错误!或错误!故过A，B，C三点的圆过定点（0，１）和错误!.。

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高考数学一轮复习第9章平面解析几何第7节双曲线教学案文北师大版[最新考纲] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第161页)1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.①当2a＜|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a＞|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)实、虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [常用结论]1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a，也叫通径．2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .3．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .4．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．5．当已知双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( ) A ．5 B. 5 C ．2 5 D ．1C [由双曲线x 23－y 22＝1，易知c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线x 23－y 22＝1的焦距为2 5.]2．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 24－y 23＝1 A [设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x 轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1D [依题意，e ＝c a ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]4．经过点A (5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． x 216－y 216＝1 [设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，把点A (5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为x 216－y 216＝1.](对应学生用书第162页)⊙考点1 双曲线的定义及应用双曲线定义的两个应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的关系．(1)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥2)B.x 22－y 214＝1(x ≤－2)C.x 22＋y 214＝1(x ≥2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) (3)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8(1)B (2)A (3)B [(1)根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|＝1或17. 又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B.(2)设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)，故选A.(3)由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4，故选B.] [母题探究]1．本例(3)中，若将条件“∠F 1PF 2＝60°”改为|PF 1|＝2|PF 2|，试求cos∠F 1PF 2的值． [解] 根据双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2，则|PF 1|＝2|PF 2|＝4，又|F 1F 2|＝2 2∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－2222×4×2＝34.2．本例(3)中，若将条件“∠F 1PF 2＝60°”，改为PF 1→·PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积是多少？ [解] 不妨设点P 在双曲线的右支上． 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2， 由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→.在△F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|＝8， ∴|PF 1||PF 2|＝2.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝1.(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T (1)；(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T (2)．1.已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( )A.x 24－y 25＝1(y ＞0)B.x 24－y 25＝1(x ＞0)C.y 24－x 25＝1(y ＞0) D.y 24－x 25＝1(x ＞0) B [由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x＞0，a ＞0，b ＞0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x＞0)．]2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6 B [由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8， 又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.]3．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|PA |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12B [由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|PA |＝4＋|PB |＋|PA |≥4＋|AB |＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．]⊙考点2 双曲线的标准方程求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．(1)(2019·荆门模拟)方程x 2m ＋2＋y 2m －3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是( )A ．－3＜m ＜0B ．－1＜m ＜3C ．－3＜m ＜4D ．－2＜m ＜3(2)[一题多解]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x223＝1 (3)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 (1)B (2)C (3)C [(1)方程x 2m ＋2＋y 2m －3＝1表示双曲线，则(m ＋2)(m －3)＜0，解得－2＜m ＜3.∵要求充分不必要条件，∴选项范围是－2＜m ＜3的真子集，只有选项B 符合题意．故选B.(2)法一：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.(3)如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6，∴b ＝3. 又由e ＝c a＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴a ＝ 3.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 故选C.]已知双曲线的渐近线方程，用渐近线方程设出双曲线方程，运算过程较为简单．[教师备选例题]设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．y 24－x 25＝1 [法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，根据双曲线的定义知2a ＝|15－02＋4－32－15－02＋4＋32|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，①。

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