2019届江西省临川一中,临川二中等九校重点中学高三第三次联考数学(文)试题(解析版)

.研究两集合的关系时，关键是
将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合
且属于集合 的元素
的集合 .
2．若 A．第一象限
，则复数 在复平面内对应的点位于（
）
B．第二象限
C．第三象限 【答案】 D
D．第四象限
【解析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数
，
由复数的几何意义可得结果 .
进而求得
表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是
，所以区域 的面积为
【点睛】
，所以圆柱的体积
本题考查数学文化以及简单几何体的体积，
象能力和运算求解能力 .
. 考查利用几何意义计算定积分， 考查空间想
16．数列 共有 项（ 为定值），它的前 项和为
项中抽取某一项 （不含首项和末项） ，余下的
项的平均值为 103，则
的值 .
依题意
，由已知
为函数
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的图象的一条对称轴，函数取得最大值或最小值，将
代入函数解析式，得
【点睛】
，解得
.
本题考查三角函数的性质，考查辅助角公式，考查推理论证能力
.属于中档题 .
15．我国古代数学家祖暅提出原理： “幂势既同，则积不容异 ”其．中 “幂 ”是截面积， “势 ” 是几何体的高 .该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这 两个平行平面的平面所截， 若所截的两个截面的面积恒相等， 则这两个几何体的体积相
问题出错，造成不必要的失分 .
3．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指 第 1 页 共 20 页
标测验（指标值满分为 5 分，分值高者为优） ，根据测验情况绘制了如图所示的六大素
养指标雷达图，则下面叙述正确的是（
）
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
5 组或第 6 组
的概率；
（ 2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点
值代表）与中位数；
（ 3）现在从第 5 与第 6 组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有
理求得 的值，利用正弦定理求得 【详解】
的值 .
解：（ 1）由
及
，
得
，展开得
，
即
，所以
.
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所以 所以
，即
，
.
（ 2）由
，解得
.
在
中，
，所以
.
由
，得
，
所以
.
【点睛】
本小题主要考查三角形内角和定理， 考查三角恒等变换， 考查利用余弦定理和正弦定理
解三角形，综合性较强，属于中档题 .
2019 届江西省临川一中，师大附中，南昌二中，临川二中等 九校重点中学高三第三次联考数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】 先化简集合 ，再利用交集的定义求解即可 .
【详解】
因为
，
，
所以
, 故选 B.
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性
【详解】
如图，设
，则直线 ：
，直线 ：
，可求得交点 的坐
标为
，所以
.
又点
到直线 ：
的距离
，所以平行四边形
的面积为
，即
，所以
，从而
.因为
，所以
，
.故选 A.
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【点睛】
本题考查双曲线的渐近线与离心率， 考查化归与转化的数学思想方法， 考查运算求解能 力 .属于中档题 . 解题过程中首先考虑的是将平行四边形的面积表示出来，这是方程的思
想，也即是要求一个未知数，通过未知数满足的一个方程来求解出来
.
12 ．设函数
.若不等式
对一切
恒成立，则
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
【答案】 D
【解析】 问题转化为
三次函数的图象不可能恒在 轴的下方，可得
D．
对一切
恒成立， 根据
，解得
或
（舍去） .
可得
对一切
恒成立， 等价于
，则
用二次函数的性质可得结果 . 【详解】
【点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系， 归与转化的数学思想 .
以及抛物线的定义和性质， 考查运算求解能力和化
5．已知向量 ， 满足
，且
，
，则向量 与 的夹角为 （ ）
A． 【答案】 B
【解析】 对
B．
C．
D．
两边平方，求得
，所以
. 画出图像，根据图像确
定 与 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小
.属于中档题 .
7．若实数 ， 满足约束条件
，设
的最大值与最小值分别为 ， ，
则 （）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【解析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优
解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得最大值与最小值，
从而可得结果 .
【详解】
画出
表示的可行域，如图，
【详解】
因为
，
所以 在复平面内对应的点为
，
位于第四象限 , 故选 D.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的
理解， 掌握纯虚数、 共轭复数、 复数的模这些重要概念， 复数的运算主要考查除法运算，
通过分母实数化转化为复数的乘法， 运算时特别要注意多项式相乘后的化简， 防止简单
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【解析】 设出 C 点的坐标， 利用直线 和直线 的方程求得 点的坐标， 由此求得 ， 利用点到直线的距离公式求得 到直线 的距离， 利用平行四边形的面积列方程，求得
含有 的等式，利用 C 在双曲线上这一条件列方程，由此求得 及离心率 .
的值，进而求出 的值以
.
4．已知点 ， 是抛物线 ：
上的两点，且线段
中点到 轴的距离为 2，则
（）
A． 2 【答案】 C
B． 4
C． 6
【解析】 利用抛物线的抛物线的定义写出弦长公式，利用 【详解】
过抛物线 的焦点 ，若 的 D． 8
中点横坐标来求得弦长 .
设
，
，则
，而 的中点的横坐标为
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，所以
.故选 C.
C．甲的六大素养整体水平优于乙
D．甲的六大素养中数据分析最差
【答案】 C
【解析】 根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项
.
【详解】
根据雷达图得到如下数据：
数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析
甲
4
5
4
5
4
5
乙
3
4
3
3
5
4
由数据可知选 C.
【点睛】
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识
因为
，
所以 不等式 即
， ，
.
因为 而三次函数的图象不可能恒在
对一切 轴的下方，
所以
，解得
或
（舍去） .
恒成立，
所以
对一切
恒成立，
，利
则
或
，所以
，
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则
.
的取值范围为 【点睛】
，故选 D.
本题主要考查基本初等函数求导公式、转化思想的应用以及一元二次不等式恒成立问
题，考查了二次函数的性质，属于难题 . 一元二次不等式恒成立问题主要方法： （ 1）若
， 为 的中点，
平面
，
，
.
所以 又因为
，
，
.
，
，
所以 所以
，故
，
.故选 C.
【点睛】 本题考查三视图的知识，考查空间想象能力和运算求解能力
10 ．已知
是定义在 上的函数，且
，则
（）
A． 27 【答案】 B
B． -27
C． 9
.属于中档题 . ，如果当
时，
D． -9
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【解析】 先判断出函数的周期，然后利用周期性和已知条件，将
【答案】 35
，现从这 __________．
【解析】 由
求得
. 设抽取的是第 项 第 10 页 共 20 页
，利用平均数公式
以及前 项和可得 【详解】
，根据
列不等式组求解即可 .
因为
，当
时，
，
，
也适合，
所以
.设抽取的是第 项
，
由
，得
，
整理得
.因为
，
所以 所以
.故答案为
，解得 .
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式与前
等 .如图，在空间直角坐标系中的
平面内，若函数
的图象
与 轴围成一个封闭的区域 ，将区域 沿 轴的正方向平移 8 个单位长度，得到几何体
如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域
的面积相等，则此圆柱的
体积为 __________．
【答案】 【解析】 利用四分之一圆的面积和直角三角形面积公式求得阴影部分的面积， 圆柱的体积 . 【详解】
.
【详解】
因为
，所以
，即
，所以
.如
图，设
，
，则向量 与 的夹角为
，因为
，所以
，
.故选 B.
【点睛】
本题考查平面向量的模以及夹角问题， 法 .属于中档题 .
考查运算求解能力， 考查数形结合的数学思想方
6．如图， ， 分别是边长为 4 的等边
的中线，圆 是
的内切圆，线段
与圆 交于点 .在
中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（
，列方程组求出
，利用
可得
设等比数列
的公比为 ，由题意易知
所以
，
，
两式相除得 化简得
，
，解得
，
所以 【点睛】 本题主要考查等比数列的性质与前
, 故选 B. 项和的计算，考查运算求解能力 . 等比数列基本量
的运算是等比数列的一类基本题型， 数列中的五个基本量
一般可以“知二求
三”， 通过列方程组所求问题可以迎刃而解， 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列 的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算 过程 .
由
，
由
，
将
变形为
，
平移直线
，
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由图可知当直
经过点
直线在 轴上的截距分别最大、最小，
时，
分别有最小值与最大值为
，
，故选 D. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，般步骤是“一画、 二移、 三求”：（ 1）作出可行域 （一定要注意是实线还是虚线） ；
（ 2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通
过或最后通过的顶点就是最优解） ；（ 3）将最优解坐标代入目标函数求出最值 .
8．已知等比数列 A． 280 【答案】 B
的前 项和为 ，若 B． 300
， C． 320
，则
（）
D． 340
【解析】 由
，
结果 . 【详解】
将
代入题目所给解析式，由此求得
【详解】
的值 .
由
，则
，所以
转化为
，
为周期为 8 的周期函
数，
，
B. 【点睛】 本题考查函数的周期性与求值，考查运算求解能力
.属于基础题 .
.故选
11 ．在平面直角坐标系
中，过双曲线
上的一点 作两条渐近线的平
行线，与两条渐近线的交点分别为
， ，若平行四边形
的面积为 3，则该双曲线
.故答案为 .
本题主要考查对数的运算以及对数函数的解析式， 于基础题 .
14 ．已知直线
与函数
意在考查对基础知识的掌握情况， 属 的图象相邻两个交点的横坐标分别为
， 【答案】 1
，则 __________．
【解析】 根据两个交点的横坐标求得函数的一条对称轴，将对称轴代入函数解析式，利
用最大值和最小值列方程，解方程求得 【详解】
实数集上恒成立， 考虑判别式小于零即可； （ 2）若在给定区间上恒成立， 则考虑运用 “分
离参数法 ”转化为求最值问题 .
二、填空题
13 ．已知函数 【答案】 2
【解析】 由 入即可得结果 .
【详解】
因为
，
，可得
所以
，
，若
，则
__________．
，解得
，从而可得函数解析式， 将
代
解得
，函数
从而 【点睛】
9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有侧面和底面中，面积的最大值为
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（）
A． 2
B．
【答案】 C
C． 3
D．
【解析】 画出三视图对应的直观图，然后利用勾股定理、余弦定理以及三角形面积公式
计算出四个面的面积，由此判断出面积最大值
.
【详解】
由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中
的情况 .
三、解答题
17 ．已知在
中，
，
，
.
（ 1）求边 的长；
（ 2）设 为 边上一点，且
的面积为
，求
.
【答案】（ 1） 3；（ 2） . 【解析】（ 1）利用三角形内角和定理，将
转化为 ，化简已知条件求得 ，然后求得 ，
利用等腰三角形求得
的长 .（ 2）利用三角形面积列方程，求得
的值，利用余弦定
，因为
，
项和公式之间的关系， 属于中档题 . 已知数列前 项
和，求数列通项公式，常用公式
，将所给条件化为关于前 项和的
递推关系或是关于第 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或
等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式
.
在利用 与通项 的关系求 的过程中，一定要注意
）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
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【解析】 利用等边三角形中心的性质，求得内切圆的半径和阴影部分面积，再根据几何 概型计算公式计算出所求的概率 . 【详解】
在
中，
，
，因为
即圆 的半径为 ，由此可得图中阴影部分的面积等于
，所以
，
，
的
面积为 ，故所求概率
.故选 A.
【点睛】 本题考查几何概型问题，考查数据处理能力和应用意识
18 ．某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取
50 名男生测量身高，发现
被测男生的身高全部在