高考数学大一轮复习 函数的图象精品试题 理(含模拟试题)

2015届高考数学大一轮复习函数的图象精品试题理（含2014模拟
试题）
1. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，8) 下图可能是下列哪个函数的图象（）
[解析] 1. 因为当时, 函数y=2x和函数y=－x2－1都为增函数, 可知函数y=2x－x2
－1在上为增函数, 故可排除选项A; 因为函数y =为偶函
数, 故可排除选项B; 因为, 只有一个实数根, 所以函数
应只有一个极值点, 故可排除选项D, 故选C.
2. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 9) 函数的图象大致是（）
[解析] 2. 因为，，选D.
3. (2014福州高中毕业班质量检测, 7) 函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是( )
A. B.
C. D.
[解析] 3.由图知，函数是奇函数，排除D，由函数图象过原点，排除B，图象过，排除
选项A，故正确的是C.
4.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，9）对任意实数a，b定义运算“” ：
设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是( )
(A) (-2，1) (B) [0，1]
(C) [-2，0) (D) [-2，1)
[解析] 4. ，整理得
，其图像如下图所示，
由图像可得k的取值范围是[-2，1).
5.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，6）函数与(
且) 在同一直角坐标系下的图象可能是（）
[解析] 5. 因为函数是偶函数，可排除选项A；当0＜a＜1时，可得函数在区间为减函数，函数的周期大于2π，此时可排除选项B；当a＞1时，
可得函数在区间为增函数，函数的周期小于2π，此时可排除选项C，故选D.
6.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，7）函数
的所有零点之和等于（）
A． 2 B． 4 C．6 D． 8
[解析] 6. 函数的图像关于直线对称，直线也是函数
的一条对称轴，函数的最小正周期为2，且在区间
上有一个半周期，所以其与函数在区间上有3个交点，又因为他们的图像都关于直线对称，所以它们的和为.
7.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，10) 已知函数，则的图象大致为（）
[解析] 7. ，令，则
，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现与共有三个交点，横坐标从小到大依次设为，在区间上有
，即；在区间有，即；在区间有
，即；在区间有，即. 故选
8.(2013重庆市高三九校一月联合诊断考试，10,5分)规定记号“”表示一种运算，即：
，设函数，且关于的方程为恰
有四个互不相等的实数根，则的值是（）
A．B．C．D．
[解析] 8.，设函数，则函数和的图象均关于直线对称，如图所示，则，所以
.
9.(2013年山东省济南市高三4月巩固性训练，9,5分) 函数的图象大致为( )
[解析] 9.
当时，，
令，易知函数在上单调递增，且当时，
；当时，；故函数在上的取值先负后正，即
在上的取值先负后正，所以函数在上先递减后递增，观察各选项，只有C项符合.
10.(2013年东北三校高三第二次联合考试，9,5分) 当a > 0时，函数
的图象大致是[( )
[解析] 10.令，得或；令，得，故排除A, C 项；，令，得或；令，得（这里）；故函数在和
上单调递增，在上单调递减. 故排除D项，选B.
11.（2013年广东省广州市高三4月综合测试，4，5分）已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是( )
[解析] 11. 由函数的图象可知，单调性是呈“递增递减递增递减” 的趋势变化，那么，导函数的图象应呈“正负正负” 的趋势变化，观察四个选项，发现只有A项符合.
12.（2013年广东省广州市高三4月综合测试，8，5分）记实数，，…，中的最大数为，最小数为，则
( )
A. B. 1 C. 3 D.
[解析] 12. 作出的图象如下图黑色阴影部分的上边界：
由图象易知当时，. 故选D.
13.(2013年河南十所名校高三第二次联考，9,5分) 已知函数f（x）是定义在R上的增函数，则函数y＝f（｜x－1｜）－1的图象可能是( )
[解析] 13. 令，易知函数在上单调递减，在
上单调递增，又函数在上单调递增，故由复合函数的单调性得，在上单调递减，在上单调递增. 故排除A, C, D项. 选B.
14.(2013年江西省重点中学盟校高三第二次联考，9,5分) 已知函数与函数
，若与的交点在直线两侧，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D.
[解析] 14.如下图，设直线与的交点为.
由，得，所以点和的坐标分别为.
设函数与函数的交点为，此两动点随着的图象上下平移而变动，也就的位置随值的变化而在双曲线上移动.
因为函数与函数的交点在直线两侧，所以必须在的右侧，在的左侧.
设函数与函数的交点为，则的横坐标要在区间内，也就是方程的解在区间内. 由图可知：
当时，，，三线共点；
当时，，，三线共点；
所以的取值范围是.
15.（2013四川，7,5分）函数y=的图象大致是( )
[解析] 15.由已知3x-1≠0⇒x≠0, 排除A; 又∵x< 0时, 3x-1< 0,
x3< 0, ∴y=> 0, 故排除B; 又y' =, 当3-xln 3< 0时, x> > 0, y' < 0, 所以D不符合. 故选C.
16.(2013湖南，5,5分) 函数f(x) =2ln x的图象与函数g(x) =x2-4x+5的图象的交点个数为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
[解析] 16.在同一直角坐标系下画出函数f(x) =2ln x与函数g(x) =x2-4x+5=(x-2) 2+1的图象, 如图所示.
∵f(2) =2ln 2> g(2) =1, ∴f(x) 与g(x) 的图象的交点个数为2, 故选B.
17.（2013安徽，8,5分）函数y=f(x) 的图象如图所示, 在区间[a, b]上可找到n(n≥2) 个不同的数x1, x2, …, x n, 使得==…=, 则n的取值范围是( )
A. {3,4}
B. {2,3, 4}
C. {3,4, 5}
D. {2,3}
[解析] 17.==…=, 即y=f(x) 的图象与y=kx的交点的坐标满足上述等式. 又交点至少要有两个, 至多有四个, 故n可取2,3, 4.
18.（2013安徽，4,5分）“a≤0” 是“函数f(x) =|(ax-1) x|在区间(0, +∞) 内单调递增” 的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
[解析] 18.充分性: a< 0时, x> 0, 则f(x) =|(ax-1) ·x|=-ax2+x为开口向上的二次函数, 且对称轴为x=< 0, 故为增函数;
当a=0时, f(x) =x为增函数. 必要性: a≠0时, f=0, f(0) =0, f(x)在(0, +∞) 上为增函数, 则< 0, 即a< 0, f(x) =x时, 为增函数, 此时a=0, 故a≤0.
综上, a≤0为f(x) 在(0, +∞) 上为增函数的充分必要条件.
19.（2013北京, 5,5分）函数f(x) 的图象向右平移1个单位长度, 所得图象与曲线y=e x 关于y轴对称, 则f(x) =( )
A. e x+1
B. e x-1
C. e-x+1
D. e-x-1
[解析] 19.与曲线y=e x关于y轴对称的图象对应的函数为y=e-x, 将函数y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x) 的图象, ∴y=f(x) =e-(x+1) =e-x-1, 故选D.
20.(2013课标Ⅰ, 11,5分) 已知函数f(x) =若|f(x) |≥ax, 则a的取值范围是( )
A. (-∞, 0]
B. (-∞, 1]
C. [-2,1]
D. [-2,0]
[解析] 20.由题意作出y=|f(x) |的图象:
由题意结合图象知, 当a> 0时, y=ax与y=ln(x+1) 在x> 0时必有交点, 所以a≤0. 当x≥0时, |f(x) |≥ax显然成立; 当x< 0时, |f(x) |=x2-2x≥ax, 则a≥x-2恒成立, 又x-2< -2, ∴a≥-2. 综上, -2≤a≤0, 故选D.
21. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，15) 已知
, 有且仅有一个零点时，则的取值范围
是 .
[解析] 21. 令，因为是定义域的
减函数，而是定义域的增函数，所以当时为减函数，其值域为；，欲使函数只有一个零点，只需使函数的图像与函数的图像有一个交点即可，因此可得或.
22.(2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末，16,5分)若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围是 .
[解析] 22.如图所示，由于=定值，所以当△ABC的面积最大时，曲线y=在点处的切线平行于直线AC，又，所以，又，所以，所以，解得，所以，所以折线ABC与曲线y=所围成的封闭图形的面积为
.
23.(2013年东北三校高三第二次联合考试，16,5分) 已知函数是定义在上的偶函
数，当时，，若函数在R上有且仅有4个零点，则的取值范围是
__________.
[解析] 23.因为函数是定义在上的偶函数，所以若函数在R上有且仅有4个零点，等价于在上有两个零点. 因为，则（若，则，故函数在上单调递增，不可能有两个零点）. 令
，得；令，得；故函数在
上单调递减，在上单调递增. 若要使有两个零点，须满足，即，解得. 即的取值范围是.
24.(2013课标Ⅰ, 16,5分) 若函数f(x) =(1-x2) (x2+ax+b) 的图象关于直线x=-2对称, 则f(x) 的最大值为.
[解析] 24.由f(x) =(1-x2) (x2+ax+b) 的图象关于直线x=-2对称, 则有
即
解得a=8, b=15,
∴f(x) =(1-x2) (x2+8x+15) =(1-x2) [(x+4) 2-1], 令x+2=t, 则x=t-2, t∈R.
∴y=f(t) =[1-(t-2) 2][(t-2) 2+8(t-2) +15]
=(4t-t2-3) (4t+t2+3) =16t2-(t2+3) 2
=16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5) 2,
∴当t2=5时y max=16.
25. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 17) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示) ，该扇环面是由以点为圆心的两个同
心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成. 按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米. 设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）.
（Ⅰ）求关于的函数关系式；
（Ⅱ）已知在花坛的边缘(实线部分) 进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米. 设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的
函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？
[解析] 25. 解析（Ⅰ）设扇环的圆心角为，则，
所以，（4分）
（Ⅱ）花坛的面积为.
装饰总费用为，（9分）
所以花坛的面积与装饰总费用的比，
令，则，当且仅当t=18时取等号，此时.
答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大. （14分）
(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)
答案和解析
理数
[答案] 1. C
[解析] 1. 因为当时, 函数y=2x和函数y=－x2－1都为增函数, 可知函数y=2x－x2
－1在上为增函数, 故可排除选项A; 因为函数y =为偶函
数, 故可排除选项B; 因为, 只有一个实数根, 所以函数
应只有一个极值点, 故可排除选项D, 故选C.
[答案] 2. D
[解析] 2. 因为，，选D.
[答案] 3. C
[解析] 3.由图知，函数是奇函数，排除D，由函数图象过原点，排除B，图象过，排除
选项A，故正确的是C.
[答案] 4. D
[解析] 4. ，整理得
，其图像如下图所示，
由图像可得k的取值范围是[-2，1).
[答案] 5. D
[解析] 5. 因为函数是偶函数，可排除选项A；当0＜a＜1时，可得函数在区间为减函数，函数的周期大于2π，此时可排除选项B；当a＞1时，
可得函数在区间为增函数，函数的周期小于2π，此时可排除选项C，故选D.
[答案] 6. C
[解析] 6. 函数的图像关于直线对称，直线也是函数
的一条对称轴，函数的最小正周期为2，且在区间
上有一个半周期，所以其与函数在区间上有3个交点，又因为他们的图像都关于直线对称，所以它们的和为.
[答案] 7.
[解析] 7. ，令，则
，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现与共有三个交点，横坐标从小到大依次设为，在区间上有
，即；在区间有，即；在区间有
，即；在区间有，即. 故选
[答案] 8.D
[解析] 8.，设函数，则函数和的图象均关
于直线对称，如图所示，则，所以
.
[答案] 9.C
[解析] 9.
当时，，
令，易知函数在上单调递增，且当时，
；当时，；故函数在上的取值先负后正，即
在上的取值先负后正，所以函数在上先递减后递增，观察各选项，只有C项符合.
[答案] 10.B
[解析] 10.令，得或；令，得，故排除A, C 项；，令，得或；令，得（这里）；故函数在和
上单调递增，在上单调递减. 故排除D项，选B.
[答案] 11.A
[解析] 11. 由函数的图象可知，单调性是呈“递增递减递增递减” 的趋势变化，那么，导函数的图象应呈“正负正负” 的趋势变化，观察四个选项，发现只有A项符合.
[答案] 12.D
[解析] 12. 作出的图象如下图黑色阴影部分的上边界：
由图象易知当时，. 故选D.
[答案] 13.B
[解析] 13. 令，易知函数在上单调递减，在
上单调递增，又函数在上单调递增，故由复合函数的单调性得，在上单调递减，在上单调递增. 故排除A, C, D项. 选B.
[答案] 14.B
[解析] 14.如下图，设直线与的交点为.
由，得，所以点和的坐标分别为.
设函数与函数的交点为，此两动点随着的图象上下平移而变动，也就的位置随值的变化而在双曲线上移动.
因为函数与函数的交点在直线两侧，所以必须在的右侧，在的左侧.
设函数与函数的交点为，则的横坐标要在区间内，也就是方程的解在区间内. 由图可知：
当时，，，三线共点；
当时，，，三线共点；
所以的取值范围是.
[答案] 15.C
[解析] 15.由已知3x-1≠0⇒x≠0, 排除A; 又∵x< 0时, 3x-1< 0,
x3< 0, ∴y=> 0, 故排除B; 又y' =, 当3-xln 3< 0时, x> > 0, y' < 0, 所以D不符合. 故选C.
[答案] 16.B
[解析] 16.在同一直角坐标系下画出函数f(x) =2ln x与函数g(x) =x2-4x+5=(x-2) 2+1的图象, 如图所示.
∵f(2) =2ln 2> g(2) =1, ∴f(x) 与g(x) 的图象的交点个数为2, 故选B.
[答案] 17.B
[解析] 17.==…=, 即y=f(x) 的图象与y=kx的交点的坐标满足上述等式. 又交点至少要有两个, 至多有四个, 故n可取2,3, 4.
[答案] 18.C
[解析] 18.充分性: a< 0时, x> 0, 则f(x) =|(ax-1) ·x|=-ax2+x为开口向上的二次函数, 且对称轴为x=< 0, 故为增函数;
当a=0时, f(x) =x为增函数. 必要性: a≠0时, f=0, f(0) =0, f(x) 在(0, +∞) 上为增函数, 则< 0, 即a< 0, f(x) =x时, 为增函数, 此时a=0, 故a≤0.
综上, a≤0为f(x) 在(0, +∞) 上为增函数的充分必要条件.
[答案] 19.D
[解析] 19.与曲线y=e x关于y轴对称的图象对应的函数为y=e-x, 将函数y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x) 的图象, ∴y=f(x) =e-(x+1) =e-x-1, 故选D.
[答案] 20.D
[解析] 20.由题意作出y=|f(x) |的图象:
由题意结合图象知, 当a> 0时, y=ax与y=ln(x+1) 在x> 0时必有交点, 所以a≤0. 当x≥0时, |f(x) |≥ax显然成立; 当x< 0时, |f(x) |=x2-2x≥ax, 则a≥x-2恒成立, 又x-2< -2,
∴a≥-2. 综上, -2≤a≤0, 故选D.
[答案] 21. 或
[解析] 21. 令，因为是定义域的减函数，而是定义域的增函数，所以当时为减函数，其值域为；，欲使函数只有一个零点，只需使函数的图像与函数的图像有一个交点即可，因此可得或.
[答案] 22.
[解析] 22.如图所示，由于=定值，所以当△ABC的面积最大时，曲线y=在点处的切线平行于直线AC，又，所以，又，所以，所以，解得，
所以，所以折线ABC与曲线y=所围成的封闭图形的面积为
.
[答案] 23.
[解析] 23.因为函数是定义在上的偶函数，所以若函数在R上有且仅有4个零点，等价于在上有两个零点. 因为，则（若，则，故函数在上单调递增，不可能有两个零点）. 令
，得；令，得；故函数在
上单调递减，在上单调递增. 若要使有两个零点，须满足，即，解得. 即的取值范围是.
[答案] 24.16
[解析] 24.由f(x) =(1-x2) (x2+ax+b) 的图象关于直线x=-2对称, 则有
即
解得a=8, b=15,
∴f(x) =(1-x2) (x2+8x+15) =(1-x2) [(x+4) 2-1], 令x+2=t, 则x=t-2, t∈R.
∴y=f(t) =[1-(t-2) 2][(t-2) 2+8(t-2) +15]
=(4t-t2-3) (4t+t2+3) =16t2-(t2+3) 2
=16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5) 2,
∴当t2=5时y max=16.
[答案] 25.查看解析
[解析] 25. 解析（Ⅰ）设扇环的圆心角为，则，所以，（4分）
（Ⅱ）花坛的面积为.
装饰总费用为，（9分）
所以花坛的面积与装饰总费用的比，
令，则，当且仅当t=18时取等号，此时. 答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大. （14分）
(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)。