2021-2022学年北京市一零一中矿大分校高二年级下册学期期中考试数学试题【含答案】

2021-2022学年北京市一零一中矿大分校高二下学期期中考试数学试题
一、单选题1．已知等差数列中，，公差，则（ ）
{}n a 12a =3d =10a =A ．29B ．32
C ．26
D ．35
【答案】A
【分析】直接根据等差数列的通项公式进行基本量的求解.【详解】依题意，对于等差数列，，故.
{}n a 101(101)927a a d d -=-==1012729a a =+=故选：A 2．已知等比数列的公比为q ，前n 项和为，若q = 2，，则（ ）
{}n a n S 26S =3
S
=A ．8B ．12
C ．13
D ．14
【答案】D
【分析】由等比数列的基本量运算求得后求得，从而易得．
1a 3a 3S 【详解】由题意，，所以
，．21126S a a =+=12a =2
3228a =⨯=3236814S S a =+=+=故选：D ．
3．函数
的导函数（ ）()e x
f x x =
()f x '=A ．
B ．
C ．
D ．
()1e x
x x -()21e x
x x -()2
1e x
x x -()1e x
x x
+【答案】B
【分析】根据除法求导法则以及基本初等函数的求导公式即可求解.
【详解】由
得，
()e x
f x x =
()()()'
222
e e 1e
e e x
x
x
x
x
x x x x f x x x x ---=
==''故选：B
4．函数的单调递增区间是（ ）ln y x x =-A ．
B ．
C ．
D ．
()
0,1()
0,2()
1,∞+()
0,∞+【答案】C
【分析】先求出函数的定义域，再利用导数即可求出函数的单调增区间.【详解】函数的定义域为，
ln y x x =-()0,∞+∵，
()1110x y x x x -'=-
=>令，则，解得，0'>y 10x ->1x >∴函数的单调递增区间是.
ln y x x =-()1,∞+故选：C.
5．已知某物体运动的位移s 关于t 的函数为，则当时的瞬时速度为（ ）
()2s t t t
=+2t =A ．2m/s B ．3m/s C ．4m/s
D ．5m/s
【答案】D 【分析】直接对求导，代入即可得到答案.
()
s t 2t =【详解】因为，
()2s t t t
=+所以
，
()()21
v t s t t '==+所以当时，（m/s ）.
2t =()22215
v =⨯+=故选：D.6．已知函数
的图象如图所示，则函数
的图象可能是图中的（ ）
()
y f x =()
'y f x =
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【分析】由函数
的图象的增减变化趋势，判断函数
取值的正、负，由此判断可
()
y f x =()
'y f x =
得选项.
【详解】解：由函数的图象的增减变化趋势，判断函数
取值的正、负情况如下
()
y f x =()
'y f x =表：x
()
1b -，()
b a ，()1a ，
()f x 递减
递增
递减
()
'f x -
+
-
所以当时，函数
的图象在x 轴下方；
()
1x b ∈-，()
'y f x =当时，函数
的图象在x 轴上方；
()
x b a ∈，()
'y f x =当
时，函数
的图象在x 轴下方．
()
1x a ∈，()
'y f x =故选：C.7．若函数有唯一零点，则实数的取值范围为（ ）
()33f x x x a
=-+a A ．
B ．
C ．
D ．或{}2,2-{}
2{22}a a -<<∣{2a
a <-∣2}a >【答案】D
【分析】由导数求得函数的极大值和极小值，三次函数有唯一零点，则极大值小于0或极小值大于0．
【详解】
，或时，，时，，2
()33f x x '=-1x <-1x >()0f x '>11x -<<()0f x '<因此在和上都递增，在上递减，()f x (,1)-∞-(1,)+∞(1,1)-所以极大值，极小值，
()f x (1)2f a =-=+()f x (1)2f a ==-+有唯一零点，则或，解得或．
()f x 20a +<20a -+>2a <-2a >故选：D 8．函数在区间内存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
()3
213f x x x =
-()5a a ，+A ．
B ．
C ．
D ．
()
3,2-[)
3,2-[)
1,2-()
1,2-【答案】C
【分析】由导数法求得函数最小值点，根据区间列不等式求解即可.
【详解】由得
，则当或，，单调递()220f x x x '=-=120,2x x ==(),0x ∈-∞()2,+∞()0f x ¢>()f x 增；
，
，
单调递减.
()0,2x ∈()0
f x '<()
f x 在区间内存在最小值，故最小值为，又，故有，解得()f x ()5a a ，+()2f ()()12f f -=12
52a a -≤<⎧⎨+>⎩.
12a ≤<故实数a 的取值范围是.
[)12-，故选：C.
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
()3221
f x x x x =-+-A ．
的极小值为B ．的极大值为()
f x 2
-()f x 23
27
-
C ．在区间上单调递增
D ．在区间
上单调递减
()f x 1,13⎛⎫
⎪⎝⎭()
f x (),0-∞【答案】B
【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值.【详解】因为，所以
，
()3221
f x x x x =-+-()2341
f x x x '=-+令
，得或
；令，得；
()0
f x '>1x >13x <
()0f x '<1
13x <<所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，()f x ()1,+∞1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在
处有极大值，极大值为；()f x 1
3x =123327f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
在处有极小值，极小值为.
1x =()11
f =-故选：B.
10．已知等比数列
满足
，记，则数列（ ）
{}n a 11
32,2a q ==-
()12n n T a a a n +=∈N {}n T A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项
D ．无最大项，无最小项
【答案】A
【分析】求出等比数列
的通项公式，进而求出，再由数列最大项、最小项的意义判断作答.
{}n a n a n
T
【详解】依题意，等比数列的通项公式
，
{}n a 1
1
116
1(1)32()22n n n n n a a q -----==⋅-=，
，(1)2
3
1
123(1)
2
(11)
54326(5)(4)(3)(6)
211(1)(1)(1)(1)(1)
2222222n n n n n n n n n T --++++--------+-+-++-------=
⋅⋅⋅⋅⋅== (11)21|2|n n n T -=由知，时，数列是递增的，时，数列
(11)(1)(10)
5122
||221||n n n n n n n T T -+---+==≥,5n N n *∈≤{}||n T ,6n N n *
∈≥是递减的，
{}||n T 于是得数列
的最大项为，而n 为奇数时，，n 偶数时，，
{}||n T 1556||||2T T ==0n T >0n T <所以和分别是数列的最大项和最小项.
1552T =15
62T =-{}n T 故选：A 11．已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）
121,,,7a a --1233,,,,12b b b --()2212b a a ⋅-A ．B ．C ．D ．或6-6
12
-6-6
【答案】A
【分析】根据等差和等比数列通项公式可求得公差和公比的平方，由此可得，代入即可d q
122,,a a b 得到结果.【详解】设构成的等差数列公差为，构成的等比数列公比为，
121,,,7a a --d 1233,,,,12b b b --q ，
，即，
()
712
3
d ---∴=
=-41243q -=
=-2
2q =，，，
113a d ∴=-+=-2125a d =-+=-2236b q =-=-.
()()22126566b a a ∴⋅-=-⨯-+=-故选：A.12．函数
的图像大致是（ ）
()()2
2e x
f
x x x =-A ． B ． C ．D ．
【答案】C
【分析】运用函数的零点，极值点，单调性即可解决.【详解】解：由得或，故BD 错；
()0
f x =0x =2x =又
，
()()22e x
x x f '=-
所以，当或；当时，，
x <x ()0
f x ¢>x <<()0f x '<
所以
在
和上单调递增，在上单调递减，
()
f x (,-∞)+∞(
所以，
在处取得极小值，故A 错.
()
f x x =x =故选：C
二、填空题
13．过且与曲线相切的直线方程是___________.
()11，3
y x =【答案】3203410
x y x y --=-+=或【分析】设曲线切点为
，对函数求导，点斜式方程，代入即可求出，即可求出
()30
,x x '2
()3f x x
=0x 答案.
【详解】设切点为
，曲线，，
()30
,x x 3
()f x x
='2
()3f x x =则切线斜率为
'2
00()3k f x x ==直线经过点，则直线，
()11，()2
0131y x x -=-切点在直线上，则
()
32
000131x x x -=-33232322
0000000013323102210
x x x x x x x x -=-⇒-+=⇒--+=()()()()()220000000211101210
x x x x x x x -++-=⇒---=或
01x ⇒=012
x =-或
3k =3
4
k =
则直线为.3203410x y x y --=-+=或故答案为：.
3203410x y x y --=-+=或14．函数，设在区间与的平均变化率为a ，b ，则a ，b 的大小关系为
()1
f x x x =+
()f x []1,2[]3,5_______.
【答案】a < b##b>a
【分析】根据平均变化率的计算公式分别计算出
，
，进而得出结果.1
2a =
1415b =
【详解】自变量从1变化到2时，函数的平均变化率为
，x ()f x (2)(1)1
212y f f a x ∆-=
==
∆-自变量从3变化到5时，函数的平均变化率为
，x ()f x (5)(3)145315y f f b x ∆-===
∆-由于
，所以函数在区间的平均变化率比在的平均变化率小，114
215<()f x []1,2[3,5]也即.
a b <故答案为：.a b <15．已知函数
，则_______.
()ln f x x
=()()
22lim
x f x f x
→+∆-=
∆ 【答案】##0.5
1
2
【分析】由导数的定义与导数的运算公式可得结果.【详解】∵()ln f x x =∴
1()f x x
'=
∴0
(2)(2)1
lim
(2)2
x f x f f x ∆→+∆-'==
∆故答案为：.
1
2
16．若数列满足：，在数列的通项公式为___________.{}n a 1112n n n a a a +==+，{}n a 【答案】21
n
n a =-【分析】利用累加法，结合等比数列的求和公式进行求解即可
【详解】由，则，……，于是
12n n n a a +=+112n n n a a ---=2122n n n a a ----=1
212a a -=1
2
1
11221112()()()2
2
2121
12
n
n n n n n n n n a a a a a a a a ------=-+-++-+=++++==-- 故答案为：
21n
n a =-三、解答题17．已知等差数列满足：，．
{}n a 1=2a 5=18a (1)求数列
的通项公式；
{}n a (2)记为数列
的前n 项和，求正整数n 的范围，使得．
n S {}n a 60800n S n >+
【答案】(1)42
n a n =-(2)
()
40Νn n +>∈【分析】（1）根据已知条件可求出
的公差，进而可求得的通项公式；
{}n a {}n a （2）结合（1）可得到，然后解不等式即可求得正整数n 的范围．n S 【详解】（1）设等差数列的公差为，
{}n a d 则
，解得，
514=18216d a a =--=4d =所以
；
()()1124142
n a a n d n n =+-=+-=-（2）结合（1）可得，
()2
24222n n n S n +-⎡⎤⎣
⎦==令，即，解得或（舍去），
2
260800n n >+2304000n n -->40n >10n <-所以存在
，使得成立，
()
40Νn n +>∈60800n S n >+故正整数n 的范围为．
()
40Νn n +>∈18．已知函数
且在处取得极值.
()322331
f x x ax bx =+++12x x ==及(1)求a ，b 的值；(2)求函数
在的最大值与最小值.
()
y f x =[
]
03，【答案】(1)34a b =-=，(2)
()()max min 101
f x f x ==，【分析】（1）利用
来求得的值.
()()''10,20
f f ==,a b （2）结合（1）求得在区间
上的最值，由此确定正确结论.
()
f x []0,3【详解】（1）
，
()'2663f x x ax b
=++依题意，解得.()()16630
2241230f a b f a b ⎧=++=⎪⎨
=++=''⎪
⎩3,4a b =-=，
()()()
'261812612f x x x x x =-+=--
所以
在区间上递增；
()
f x ()(),1,2,-∞+∞()()'0,f x f x >在区间上递减.()1,2()()'0,f x f x <所以
在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意.
()
f x 1x =2x =（2）
，
()3229121
f x x x x -+=+，
()()()()01,16,25,310
f f f f ====由（1）知，
在区间
上的最大值为，最小值为.
()
f x []0,310119．已知函数
.
()2
1ln 22f x x a x =
--(1)当时，求在处的切线方程；
3a =()
f x 1x =(2)求
的单调区间.()
f x 【答案】(1)122
y x =-+
(2)见解析
【分析】（1）利用导数求出
在处的切线的斜率，再由原函数求出
在处的切点，
()
f x 1x =()
f x 1x =利用直线点斜式直接得出答案；
（2）分类讨论，当时，由二次函数性质得出；当时，分为与，由导数得出，0a =0a ≠a<00a >最后综合得出答案.【详解】（1）当时，
，
3a =()2
13ln 22f x x x =
--则，()3
f x x x '=-
在处的切线的斜率
，且
，
()f x \1x =()1132
k f '==-=-()213
113ln1222f =
⨯--=-在处的切线方程为
，
()
f x \1x =()3
212y x +
=--即
；1
22y x =-+
（2）当时，，
0a =()2
122f x x =
-此时
在上单调递减，在上单调递增；
()
f x (],0-∞[)0,∞+
当时，定义域为，，0a ≠()f x ()0,∞+()2a x a
f x x x x -'=-=当时，在定义域上恒成立，
a<0()0
f x ¢>此时
在
上单调递增，无递减区间；
()
f x ()0,∞+
当时，由解得，解得解得，
0a >()0
f x '=x =()0
f x ¢>x ()0f x '<0x <<
此时
在
上单调递增，在上单调递减；
()
f x )+∞(综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
0a =()
f x (],0-∞[)0,∞+当，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
a<0()
f x ()0,∞+
当时， 的单调递增区间为
，单调递减区间为.
0a >()
f x )∞+(20．已知函数
.
()ln f x x ax
=-（1）当时，判断函数的单调性；
1a =()
f x （2）若
恒成立，求的取值范围.
()0
f x ≤a 【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.()y f x =()0,1()1,+∞1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域，并求出导数
，分别
1a =()
y f x =()
f x '解不等式和
，可得出函数
的单调递增区间和单调递减区间；
()0
f x ¢>()0
f x '<()
y f x =（2）由
得出
，构造函数，利用导数求出函数的最大值，
()0
f x ≤ln x
a x ≥
()()ln 0x g x x x =>()y g x =即可得出实数的取值范围.a 【详解】（1）当时，，定义域为
，且
，
1a =()ln f x x x
=-()0,∞+()111x
f x x x -'=
-=若
，则；若
，则，
()0
f x ¢>01x <<()0
f x '<1x >所以，函数的单调递增区间为
，单调递减区间为；
()
y f x =()0,1()1,+∞（2）若
恒成立，则恒成立，
()0
f x ≤ln 0x ax -≤，所以分离变量得
恒成立，
0x >ln x
a x ≥
设
，其中，则，所以，
()ln x g x x =
0x >()max a g x ≥()
21ln x
g x x -'=
当时，；当时，.
()0g x '<(),x e ∈+∞()0g x '>()0,x e ∈即函数在上单调递增，在上单调递减.
()ln x g x x =()0,e (),e +∞当时，函数取最大值，即，所以.x e =()ln x g x x =()()max 1g x g e e ==1a e ≥因此，实数的取值范围是.a 1,e
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，在求解含单参数的函数不等式恒成立问题时，灵活利用参变量分离法求解，可避免分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。