2025届福建省福建师范大学第二附属中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

2025届福建省福建师范大学第二附属中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2
x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 3．若复数
221a i
i
++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π
个单位长度后得到的函数的一条对
称轴是（ ） A ．4
x π
=
B ．3
x π
=
C ．56
x π
=
D ．1912
x π
=
5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2
B ．2
C ．4
D ．7
6．在三角形ABC 中，1a =，
sin sin sin sin b c a b
A A
B C
++=+-，求sin b A =（ ）
A ．
2
B ．
3
C ．
12
D ．
2
7．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
8．已知函2
2
()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦，则()f x 的最小值为（ ） A ．22-
B ．1
C ．0
D ．2-
9．i 是虚数单位，21i
z i
=
-则||z =（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
10．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8y x =+，则表中数据m 的值为（ ）
变量x 0 1 2 3 变量y m
3
5.5
7
A ．0.9
B ．0.85
C ．0.75
D ．0.5
11．已知()5
x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10 B ．32
C ．40
D ．80
12．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若非零向量a ，b 满足,6
a b π
=，3a =，7a b +=，则b =______.
14．如图，在平面四边形
中，
，则
_________
15．已知数列{}n a 的前n 项和为1
2n n S m +=+，且145,,2a a a -成等差数列，()()111n
n n n a b a a +=
--，数列{}n b
的前
项和为n T ，则满足2017
2018
n T >
的最小正整数n 的值为______________. 16．若正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,点P 为侧棱1AA 上任意一点,则四棱锥11P BCC B -的体积为
__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，,A B 两点为喷泉，圆心O 为AB 的中点，其中OA OB a ==米，半径10OC =米，市民可位于水池边缘任意一点C 处观赏． （1）若当23
OBC π∠=
时，1
sin 3BCO ∠=，求此时a 的值；
（2）设2
2
y CA CB =+，且22232CA CB +≤． （i ）试将y 表示为a 的函数，并求出a 的取值范围；
（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点C 处观赏喷泉时，观赏角度ACB ∠的最大值不小于6
π
，试求,A B 两处喷泉间距离的最小值．
18．（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占8
13
，统计成绩后得到如下22⨯列联表：
分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时 合计
45
（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”； （2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽
到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；
②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考）
（参考公式22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）
19．（12分）已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=
⎩（α为参数），曲线
2C 的参数方程为38cos 4
3sin
4x t y t ππ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为
参数）.
（1）求1C 和2C 的普通方程；
（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求
||
||
ON OM 的最小值.
20．（12分）过点()1,0P -作倾斜角为α的直线与曲线:x C y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于M 、N 两点． （1）写出曲线C 的一般方程； （2）求PM PN ⋅的最小值．
21．（12分）已知函数
()|2||2|f x x x m =-++，()m ∈R . （1）若4m =时，解不等式()6f x ≤；
（2）若关于x 的不等式()|25|f x x ≤-在[0,2]x ∈上有解，求实数m 的取值范围.
22．（10分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点坐标为(，A ，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭
圆上异于A ，B 的一点，且PA ，PB 所在直线斜率之积为1
4
-. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(0,1)Q 作两条直线，分别交椭圆C 于M ，N 两点（异于Q 点）
.当直线QM ，QN 的斜率之和为定值(0)t t ≠
时，直线MN 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
结合已知可知，1
12T =可求T ，进而可求ω，代入()f x ，结合1()03
f =，可求ϕ，即可判断．
【详解】
图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足12||1x x -=，
∴1
12
T =即2T =，
ωπ∴=，()sin()f x x πϕ=+，且11()sin()03
3
f πϕ=+=，
∴13
k πϕπ+=，k Z ∈，
1||2ϕπ<，13ϕπ∴=-，1
()sin()3
f x x ππ=-，
当16
x =-
时，1()16f -=-为函数的一个极小值点，而1(,0)66π
-∈-．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用． 2、D 【解析】 试题分析：
m α⊥，
,n βαβ∴⊥,故选D.
考点：点线面的位置关系. 3、B 【解析】 化简复数
221a i
i
++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标．
【详解】
221a i i ++2()(1)
1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．
故选：B ． 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 4、D 【解析】
由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为2
44sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，再求其
对称轴方程即可. 【详解】
解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭的最小正周期是3π，则函数2
()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，经过平移后得到函数解析式为22
44sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=
+∈Z ，当1k =时，1912
x π=. 故选D. 【点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 5、B 【解析】
在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得3a ，再由等差数列通项公式求得公差. 【详解】
在等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()155********
a a S a a +===⇒=
则3123272a a d d d =+=+=⇒= 故选：B 【点睛】
本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.
6、A 【解析】
利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】
sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-，由正弦定理得b c a b
a a
b c
++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22
a c
b B a
c +-==，0B π<<，3B π∴=.
由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 32
b A a B π==⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 7、A 【解析】
首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【详解】
因为ln3ln 1a e =>>，311
log ,log ln 3ln b e c e ππ
====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<. 故选：A 【点睛】
本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8、B 【解析】
())2,4f x x π=++,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，32444x πππ-≤+≤利用整体换元法求最小值.
【详解】
由已知，2
()12sin cos 2cos sin 2cos22f x x x x x x =++=++)2,4
x π
=
++
又44x ππ-
≤≤，32444
x πππ∴-≤+≤，故当244x ππ+=-，即4π
x =-时，min ()1f x =.
故选：B. 【点睛】
本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题. 9、C 【解析】
由复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，即可求解. 【详解】
由2
2(1)
1,||1i i z i z i +=
=-+=-.
故选:C. 【点睛】
本题考查复数的除法和模，属于基础题. 10、A 【解析】
计算,x y ，代入回归方程可得． 【详解】 由题意0123
1.54x +++=
=，3 5.5715.544
m m y ++++==，
∴
15.5
2.1 1.50.854
m +=⨯+，解得0.9m =． 故选：A. 【点睛】
本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ． 11、D 【解析】
根据二项式定理通项公式1r r n r r n T C a b -+=可得常数项，然后二项式系数和，可得a ，最后依据1r r n r
r n T C a b -+=，可得
结果. 【详解】
由题可知：515r r r
r T C x a -+=
当0r =时，常数项为5
1T a =
又()5
x a +展开式的二项式系数和为52
由5522a a =⇒=
所以5152r r r
r T C x -+=
当2r
时，2232
35280T C x x ==
所以2x 项系数为80 故选：D 【点睛】
本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题. 12、A 【解析】 将
整理为
，根据的范围可求得
；根据
，结合
的值域和
的图象，可知
，解不等式求得结果.
【详解】
当时，
又，，
由
在
上的值域为
解得：
本题正确选项： 【点睛】
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1 【解析】
根据向量的模长公式以及数量积公式，得出2||3||40b b +-=，解方程即可得出答案. 【详解】
2
2
2
()27a b a b a a b b +=+=
+⋅+=
2
23cos
376
b b π
∴+⨯⨯⨯+=，即2||3||40b b +-=
解得||1b =或||4b =-（舍） 故答案为：1 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题. 14、
【解析】 由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可．
【详解】 由题意得
，
∴．
【点睛】
突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表
示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷． 15、1 【解析】
本题先根据公式11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-⎩初步找到数列{}n a 的通项公式，然后根据等差中项的性质可解得m 的值，即可
确定数列{}n a 的通项公式，代入数列{}n b 的表达式计算出数列{}n b 的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和n T ，再代入不等式2017
2018
n T >进行计算可得最小正整数n 的值． 【详解】
由题意，当1n =时，11
1124a S m m +==+=+． 当2n 时，11222n n n
n n n a S S m m +-=-=+--=． 则4
4216a ==，5522230a -=-=．
1a ，4a ，52a -成等差数列，
15422a a a ∴+-=，即430216m ++=⨯，
解得2m =-．
12a ∴=．
2n n a ∴=，*n N ∈．
∴111211
(1)(1)(21)(21)2121
n n n n n n n n n a b a a +++===-------．
12n n T b b b ∴=++⋯+
12231
111111
212121212121
n n +=
-+-+⋯+------- 11
121n +=--．
20172018n T >，1120171212018n +∴->-．
即111
212018n +<-，
1212018n +∴->，即122019n +>， 10210242019=<，11220482019=>，
111n ∴+，即10n ．
∴满足2017
2018
n T >
的最小正整数n 的值为1． 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前n 项和，考查了转化思想、方程思想，考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力． 16
【解析】 依题意得11224BB C C
S
=⨯=,再求点P 到平面的距离为点A 到直线BC 的距离p h ,用公式
所以111113
P BB C C BB C C
P V S h -=⨯即可得出答案.
【详解】
解: 正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,
则
11224
BB C C
S=⨯=,
点P到平面的距离为点A到直线BC的距离
所以
p
h==
所以
1111
11
4
33
P BB C C BB C C P
V S h
-
=⨯=⨯=.
故答案为
:
3
【点睛】
本题考查椎体的体积公式,考查运算能力,是基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、
(1)
9
a=；(2)(i)2
2002
y a
=+，(0,4]
a∈；
(ii)40-
【解析】
（1）在OBC
∆中，由正弦定理可得所求；
（2）（i）由余弦定理得2222
10020cos,10020cos
AC a a AOC BC a a BOC
=+-∠=+-∠，两式相加可得所求解析式．（ii）在ABC
∆中，由余弦定理可得
2222222
222
442
cos1
2100
CA CB a CA CB a a
ACB
CA CB CA CB a
+-+-
∠=≥=-
⋅++
，根据ACB
∠
的最大值不小于
6
π
可得关于a的不等式，解不等式可得所求．
【详解】
（1）在OBC
∆中，由正弦定理得
sin sin
OC OB
OBC BCO
=
∠∠
，
所以
1
10
3
2
3
OC sin BCO
OB
sin OBC sinπ
⨯
⋅∠
===
∠
即
9
a=．
（2）（i）在AOC
∆中，由余弦定理得22
10020cos
AC a a AOC
=+-∠，
在BOC
∆中，由余弦定理得22
10020cos
BC a a BOC
=+-∠，
又AOC BOC
π
∠=-∠
所以2222002CA CB a +=+， 即22002y a =+．
又2222002232CA CB a +=+≤，解得04a <≤， 所以所求关系式为22002y a =+，(]
0,4a ∈．
（ii ）当观赏角度ACB ∠的最大时，cos ACB ∠取得最小值． 在ABC ∆中，由余弦定理可得
2222222
222
442cos 12100CA CB a CA CB a a ACB CA CB CA CB a
+-+-∠=≥=-⋅++， 因为ACB ∠的最大值不小于
6
π
，
所以22211002
a a -≤
+，解得20a ≥-
经验证知(]200,4-，
所以240a ≥-
即,A B 两处喷泉间距离的最小值为40-． 【点睛】
本题考查解三角形在实际中的应用，解题时要注意把条件转化为三角形的边或角，然后借助正余弦定理进行求解．解题时要注意三角形边角关系的运用，同时还要注意所得结果要符合实际意义．
18、（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望12；方差4.8 【解析】
（1）完成列联表，代入数据即可判断；
（2）利用分层抽样可得X 的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知(20,0.6)Y B ，计算出期望与方差.
【详解】 （1）
2
2
45(1516104)7.29 6.63525201926
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.
（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取20
9445
⨯
=人， X 的可能取值为0，1，2，3，4，
4
4
420(0)C P X C ==，31416420(1)C C P X C ==，22416420(2)C C P X C ==
13416420(3)C C P X C ==，416
420
(4)C P X C ==，
所以，X 的分布列：
②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为
0.625
=，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则(20,0.6)Y B ，
故()200.612E Y =⨯=，()200.6(10.6) 4.8D Y =⨯⨯-=. 【点睛】
本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.
19、（1）曲线1C 的普通方程为：2
2
(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=（2）1)- 【解析】
（1）消去曲线12,C C 参数方程中的参数，求得1C 和2C 的普通方程.
（2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数值域的求法，求得||
||
ON OM 的最小值.
【详解】
（1）曲线1C 的普通方程为：2
2(2)4x y -+=；
曲线2C 的普通方程为：80x y +-=.
（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫
=≤<≠∈ ⎪⎝⎭
； 由22(2)4x y -+=得22
40x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=
在曲线1C 中，4|o |c s OM β=.
由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以 而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8
||sin cos ON ββ
=
+，
因此2
8
||2
4
sin cos ||4cos sin cos cos 21
4ON OM ββπββββ
β+===+⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭，
即
||||ON OM
1)=. 【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.
20、（1）22132
x y +=；
（2）43． 【解析】
（1）将曲线的参数方程消参得到普通方程；
（2）写出直线MN 的参数方程，将参数方程代入曲线方程22
132
x y +=，并将其化为一个关于t 的一元二次方程，根
据12PM PN t t ⋅=⋅，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出PM PN ⋅的最小值. 【详解】
（1）由曲线C
的参数方程x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），
可得2222
cos sin 132x y θθ+=+=，即曲线C 的一般方程为22132
x y +=．
（2）直线MN 的参数方程为1x t cos y t sin α
α
=-+⋅⎧⎨
=⋅⎩（t 为参数），
将直线MN 的参数方程代入曲线22
132
x y +=，
得()()2
2
21cos 3sin 6t t αα-++=，整理得()
2
2
3cos 4cos 40t t αα-⋅-⋅-=，
设M ，N 对应的对数分别为1t ，2t ，则122
4
3cos PM PN t t α
⋅=⋅=-， 当cos 0α=时，PM PN ⋅取得最小值为43
． 【点睛】
该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目. 21、（1）8|03x x ⎧
⎫
-≤≤⎨⎬⎩⎭
（2）[5,3]- 【解析】
（1）零点分段法，分2x -≤，22x -<<，2x ≥讨论即可；
（2）当[0,2]x ∈时，原问题可转化为：存在[0,2]x ∈，使不等式333x m x --≤≤-成立，即
min max (3)(33)x m x --≤≤-.
【详解】
解：（1）若4m =时，|2||24|6x x -++≤，
当2x -≤时，原不等式可化为2246x x -+--≤，解得83
x ≥-
，所以8
23x -≤≤-，
当22x -<<时，原不等式可化为2246x x -++≤，解得0x ≤，所以20x -<≤， 当2x ≥时，原不等式可化为2246x x -++≤，解得4
3
x ≤，所以x ∈∅， 综上述：不等式的解集为8|03x x ⎧⎫-
≤≤⎨⎬⎩⎭
； （2）当[0,2]x ∈时，由()|25|f x x ≤-得2|2|52x x m x -++≤-， 即|2|3x m x +≤-，
故323x x m x -≤+≤-得333x m x --≤≤-， 又由题意知：min max (3)(33)x m x --≤≤-， 即53m -≤≤，
故m 的范围为[5,3]-. 【点睛】
本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考查学生的运算能力，是一道容易题.
22、（1）2
214
x y +=（2）直线MN 过定点2,1t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
【解析】 （1）14PA PB
k k ⋅=-⇒221
4
b a -=-，再由223a b =+，解方程组即可；
（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由QM QN k k t +=，得()1212122(1)kx x m x x tx x +-+=，由直线MN 的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可. 【详解】
（1
）由题意知：c =221
4
PA PB
b k k a ⋅=-=-，且222a b
c =+
解得2a =，1b =，
∴椭圆方程为2
214
x y +=，
（2）当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，
由22
44
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222148440k x kmx m +++-=. 则122814km x x k -+=+，2122
44
14m x x k
-=+（*） 由QM QN k k t +=，
得
1212
11kx m kx m t x x +-+-+=， 整理可得()1212122(1)kx x m x x tx x +-+=
（*）代入得22222
448442(1)141414m km m k m t k k k
----=+++， 整理可得(1)(2)0m k tm t --+=， 又1m ≠
21k
m t
=
-， ∴21k
y kx t =+-， 即21y k x t ⎛⎫+=+
⎪⎝⎭， ∴直线过点2,1t
⎛⎫-- ⎪⎝⎭
当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为0x x =，()01,A x y ，()02,B x y ，其中21y y =-， ∴120y y +=， 由QM QN k k t +=，得12120000
1122
y y y y t x x x x --+--+===， 所以02
x t
=-
∴当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 也过定点2,1t
⎛⎫-- ⎪⎝⎭
综上所述，直线MN 过定点2,1t ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题，在处理直线与椭圆的位置关系的大题时，一般要利用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.。