山西省吕梁市泰化中学2018-2019学年高三数学理测试题含解析

山西省吕梁市泰化中学2018-2019学年高三数学理测试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，，则集合等于
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
2. 把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）
A． B 。

C。

D。

参考答案：
D
略
3. 已知函数，，若存在实数∈R，满足
，则的取值范围是（）
A．[1，3] B．(1，3)
C．[2一，2+] D．(2一，2+)
参考答案：
D
4. 设，则下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
略
5. 已知α，β是相交平面，直线l?平面α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】α，β是相交平面，直线l?平面α，则“l⊥β”?“α⊥β”，反之也成立．即可判断出结论．
【解答】解：α，β是相交平面，直线l?平面α，则“l⊥β”?“α⊥β”，反之不一定成立．
∴“l⊥β”是“α⊥β”的充要不必要条件．
故选：A．
6. 已知函数，若是的导函数，则函数在原点附近的图象大致是（）
A B C D
参考答案：
A
略
7. 已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（）
A．B．﹣C．D．﹣
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z（1+3i）=i，得，
∴z的虚部为．
故选：A．
8. 如图是我国古代数学家赵爽创制的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形和一个小
正方形组成的边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
A
大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为，面积为
故飞镖落在阴影区域的概率为．
9. 一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
10. 如图，有16个格点，每个格点小正方形的面积为1，给图中间的小正方形内任意投点P，则点P落在图中阴影部分的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果点P在平面区域内，点Q在曲线上，
那么的最小值为_________________ .
参考答案：
12. 一个几何体的三视图如图所示(单位),则刻几何体的体积为．
参考答案：
考点：三视图的识读和几何体的体积的计算．
13. 双曲线－=1的离心率；焦点到渐近线的距离为 .
参考答案：
、4
因，所以，焦点(5,0)到渐近线的距离为
14. 在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是_________．
略
15. 在极坐标系中，直线与圆相交的弦长为＿＿＿＿
参考答案：
16. 已知集,
,则集合所表示图形的面积是
参考答案：
17. 设等差数列的前项和为，若，，，则正整数
= ．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为
，由此求得它的最小正周期．令，求得x 的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）
==．…
因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…
所以．
由，k∈Z，得．
所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…
（Ⅱ）因为，所以，…
所以．…
所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…（13分）
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
19. （本题满分12分）设函数为奇函数，其图象在点
处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
参考答案：
略
20. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标.
参考答案：
（1）的普通方程为：；的直角坐标方程为直线；（2）
的最小值为.
【分析】
（1）消参数可得的普通方程；将的极坐标方程展开，根据，即可求得的直角坐标方程。

（2）设，利用点到直线距离公式表示出点P到直线的距离，根据三角函数的性质即可求得最小值，将代入参数方程即可求得P点坐标。

【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），
移项后两边平方可得，
即有椭圆；
曲线的极坐标方程为，
即有，
由，，可得，
即有的直角坐标方程为直线；
（2）设，
由到直线的距离为
当时，的最小值为，
此时可取，即有.
【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标与普通方程的转化，参数方程在求取值范围中的应用，属于中档题。

21. 已知四边形为矩形，，，且平面，点为
上的点，且平面，点为中点.
（1）求证：平面；（2）求与平面所成线面角的正弦值.
参考答案：
（1）取中的，连接、，因为平面,所以为中
点，,四边形为平行四边形，，平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，所以为中点，，
因为平面，所以平面，所以
以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
，平面的法向量为
.所以线面角正弦值为.
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，与
的延长线交于点，点在的延长线上．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，证明：．
参考答案：
证明：（I）四点共圆，，
又，∽，
，，
． ..........5分
（II），
，又，
∽，，
又四点共圆，，
，. ..........10分
略。