理科数学-学科网3月第一次在线大联考(新课标Ⅰ卷)(全解全析)

学科网 2020 年 3 月高三第一次在线大联考（新课标Ⅰ卷）
理科数学 全解全析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
C
D
B
A
B
B
D
A
D
1．B【解析】因为
z
1
2
i
2 i
1
i
2i
1
3i
，所以
z
的虚部是
3
.故选
B．
2 ． D 【 解 析 】 因 为 A {x | x2 1} {x | 1 x 1} , B {x | log2 x 1} {x | 0 x 2} , 所 以
理科数学 全解全析 第 5页（共 9页）
所以 cos m, n 3 1 5 ，则 sin m, n 1 ( 5 )2 2 5 ，
2 5 5
5
5
所以二面角 A PC B 的正弦值为 2 5 .（12 分） 5
19．（本小题满分 12 分）
【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) .
4
2
则 a b 2 ab 2 6 （当且仅当 a b 6 时，取等号）.（9 分）
由（1）得 c2 a2 b2 ab 2ab ab ab 6 （当且仅当 a b 6 时，取等号），解得 c 6 .（11 分）
所以 a b c 3 6 （当且仅当 a b c 6 时，取等号），
器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角线的长为 12 +22 +22 =3 ,所
以容器体积的最小值为 π ( 3)2 3= 27π .
2
4
17．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）因为 2 cos B 2a b ，所以 b 2c cos B 2a ，（1 分） c
理科数学 全解全析 第 2页（共 9页）
| log2 x | a(x 1)2 2 解集中的整数解之和一定大于 6.
当
a
0
时， g(x)
2
，数形结合（如图），由
f
(x)
2
解得
1 4
x
4
.在
(1 4
,
4)
内有
3
个整数解，为
1，2，
3，满足 N f (x) g(x) 6 ，所以 a 0 符合题意.
则 C(2 3, 0, 0) ， A(0, 2, 0) ， P(0,1, 3) ，
所以 BC (2 3, 0, 0) ， BP (0,1, 3) ， AC (2 3, 2, 0) ， AP (0, 1, 3) .（8 分）
设
m
( x1 ,
y1 ,
z1 )
为平面
BPC
的法向量，则
m m
BC BP
6．B 【解析】直线 3x y m 0 的倾斜角为 π ，易得 | FA || FO | c ．设双曲线 C 的右焦点为 E，可得 △AFE 3
中， FAE 90 ，则 | AE | 3c ，所以双曲线 C 的离心率为 e 2c 3 1 .故选 B． 3c c
7．A【解析】因为 f (0) 1，所以排除 C、D．当 x 从负方向趋近于 0 时，0 cos x x cos x x ，可得 0 f (x) 1 .
}
的奇数项是以
1
为首项，以
2
为公比的等比数列；其偶数项是以
2
为首项，以
2
为公比的等比数列.则
S200
1 (1 2100 ) 1 2
2 (1 2100 ) 1 2
2100
2101
3
3 2100
3
.
16． 27π 【解析】一个长、宽、高分别为 1、2、2 的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容 4
故选 A．
8．B 【解析】2,0,1,9,10 按照任意次序排成一行，得所有不以 0 开头的排列数共 4A44 96 个，其中含有 2
个 10 的排列数共 A24 12 个，所以产生的不同的 6 位数的个数为 96 12 84 .故选 B．
9．B 【解析】延长 C1P 与 BC 交于点 E，则点 E 为 BC 中点，连接 AE，取 A1D1 中点 F，连接 AF， C1F ，
的面积为
9，因此，所求概率为
P
9 37
.故选
C．
5．D 【解析】CPI 一篮子商品中，居住所占权重为 23.0%，最大，选项 A 正确；吃穿住所占权重为
19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50%，选项 B 正确；猪肉在 CPI 一篮子商品中所占权重为 2.5%，选项 C 正
确；猪肉与其他畜肉在 CPI 一篮子商品中所占权重为 4.6%，选项 D 错误.故选 D．
a S
4 1
1 2
，
2
2
所以④正确.故选 A．
12．D 【解析】由题意得， N f (x) g(x) 6 表示不等式 | log2 x | a(x 1)2 2 的解集中整数解之和为 6.
当 a 0 时 ， 数 形 结 合 （ 如 图 ） 得 | log2 x | a(x 1)2 2 的 解 集 中 的 整 数 解 有 无 数 多 个 ，
因为 AF 平面 PCD ， CD 平面 PCD ，所以 AF∥ 平面 PCD .（4 分）
又 EF∥PC ， EF 平面 PCD ， PC 平面 PCD ，所以 EF∥平面 PCD .（5 分） 因为 AF EF F ， AF 、 EF 平面 AEF ，所以平面 AEF∥平面 PCD ，所以 AE∥平面 PCD .（6 分）
（2）因为 △PAB 是等边三角形， AB 2 ，所以 PB 2 .
又因为 PC 4 ， BC 2 3 ，所以 PC2 PB2 BC2 ，所以 BC PB . 又 BC AB ， AB, PB 平面 PAB ， AB PB B ，所以 BC 平面 PAB . 因为 BC 平面 ABCD ，所以平面 PAB 平面 ABCD .在平面 PAB 内作 Bz 平面 ABCD .（7 分） 以 B 点为坐标原点，分别以 BC, BA, Bz 所在直线为 x, y, z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz ，
则四边形 AEC1F 就是正方体 ABCD A1B1C1D1 被平面 截得的截面,四边形 AEC1F 是边长为 5 的菱形，
连接 AC1, EF ，所以 AC1 EF ，且 AC1 2 3, EF 2 2 ，所以四边形 AEC1F 的面积为 2 6 ,故选 B．
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所以 △ABC 的周长的最小值为 3 6 .（12 分）
18．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）如图，作 EF∥PC ，交 BC 于 F ，连接 AF . 因为 PB 3BE ，所以 E 是 PB 的三等分点，可得 BF 2 3 . 3 因为 AB AD 2 ， BC CD 2 3 ， AC AC ，所以 △ABC≌△ADC ，
当 a 0 时，作出函数 f (x) | log2 x | 和 g(x) a(x 1)2 2 的图象，如图所示.
若 N f (x) g(x) 6 ，即 | log2 x | a(x 1)2 2 的整数解只有 1，2，3.
只需满足
f f
(3) (4)
g (3) g (4)
，即
log 2
10．D 【解析】如图所示，设 | QF2 |,| PF2 |,| PF1 |,| QF1 | 依次构成等差数列{an} ，其公差为 d .
根据椭圆定义得 a1
a2
a3
a4
4a
，又
a1
a2
a3 ，则
a1 a1
(a1 (a1
d ) (a1 2d ) d ) a1 2d
(a1
3d )
4a
，解得
2 3 4a 9a 2
2
，解得
log2 3 4
2
a
0
，所以
log2 3 4
2
a
0
.
综上，当 N f (x) g(x) 6 时，实数 a 的取值范围是 (log2 3 2 , 0] .故选 D.
4
13 ． 7 【 解 析 】 因 为 单 位 向 量 a,b 的 夹 角 为 2π ， 所 以 a b | a | | b | cos 2π 1 ， 所 以
d
2 5
a
，
a1
2 5
a, a2
4 5
a, a3
6 5
a, a4
8 5
a
.所以 |
QF1
|
8 5
a
，|
PF1
|
6 5
a
，|
PF2
|
4 5
a
，|
PQ
|
6 5
a
.
( 4 a)2 (6 a)2 (2c)2 (6 a)2 (6 a)2 (8 a)2
在 △PF1F2 和 △PF1Q 中，由余弦定理得 cos F1PF2 5
3
32
| a 2b | = a2 4a b 4b2 1 4 ( 1 ) 4 = 7 . 2
14 ． 4 2 【 解 析 】 因 为 ( π ) ( π ) π ， 所 以 π π ( π ) . 因 为 (0, π) ， 所 以
6
6 12
4
12
4
6
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由余弦定理得 b 2c a2 c2 b2 2a ，化简得 a2 b2 c2 ab ， 2ac
可得 a2 b2 c2 1 ，解得 cos C 1 ，（4 分）
2ab
2
2
又因为
C
(0,
)
，所以
C
π 3
.（6
分）
（2）因为 S△ABC
1 ab sinC 2
3 ab 3 3 ，所以 ab 6 ，（8 分）
方法二：因为
S6
6(a1 2
a6 )
3(a2
a5 )
，所以
3(2
a5 )
21
，则
a5
5 .故选
C．
4．C 【解析】由题图得， AB 3, BG CI 4 ，根据题意得 DI 32 42 5 .五边形 AGFID 的面积为
S五边形AGFID
25
1 2
3 4
1 2
3 4
37
，正方形
ABCD
f (x) x ， 可 得
f (x) 1 ， 所 以 ② 错 误 . 对 于 ③ ， 因 为 a x
1(x
0
x2 )dx
(1 2
x2
1 3
x3
)
|10
1 6
，所以
1
1
Gini
a S
6 1
1 3
，所以③错误.对于④，因为
a
1
(x
0
x3 )dx
(1 2
x2
1 4
x
4
)
|10
1 4
，所以 Gini
5 2 4 a 6 a
5
5
5
2 6 a 6 a
，整
55
55
理解得 e c 105 .故选 D． a 15
11．A 【解析】对于①，根据基尼系数公式 Gini a ，可得基尼系数越小，不平等区域的面积 a 越小，国民 S
分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得 x (0,1) ，均有
6
3
3
12
4
6
4
6
4
6
2 ( 2 2 ) 2 ( 1) 4 2 .
2
3 23
6
15．3 2100 3（写为 2100 2101 3 也得分）【解析】由 a1 1 ，anan1 2n 得，a2 2 .当 n 2 时，an1an 2n1 ，
所以
an1 an1
＝2
，所以
{an
A B {x | 0 x 1} , A B {x | 1 x 2} ,故选 D．
3．C
【 解 析 】 方 法 一 ： 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为
d
，则
a1 d 2
6a1
6
2
5
d
21
，解得
a1 d
1 1
，所以
a5 1 (5 1) 1 5 .故选 C．
（1）由题意知
F ( p , 0) ， 2
A( y12 , 2p
ห้องสมุดไป่ตู้y1
),
B(
y22 2p
,
y2 ) .设直线 l
的方程为
x
ty
p 2
(t R)
，（1
分）
由
y2
2 px
x
ty
p 2
得
y2
2 pty
p2
0
π ( π , 7π ) ， 又 sin( π ) 1 0 ， 所 以 π (π, 7π ) ， 所 以
6 66
63
6
6
cos( π ) 1 ( 1)2 2 2 . cos( π ) cos[ π ( π )] cos π cos( π ) sin π sin( π )
因为 BC AB ，所以 ABC 90 ，（1 分）
理科数学 全解全析 第 4页（共 9页）
因为 tan ACB AB 2 BC 2 3
3 3
，所以
ACB
ACD
30
，所以
BCD
60
，（2
分）
因为 tan AFB AB 2 3 ，所以 AFB 60 ，所以 AF∥CD ，（3 分） BF 2 3 3
0 0
，即
2 y1
3x1 0 3z1
0
，
令 z1 1 ，可得 m (0, 3, 1) .（9 分）
设
n
(
x2
,
y2
,
z2
)
为平面
APC
的法向量，则
n n
AC AP
0 0
，即
2
3x2 y2
2 y2 3z2
0 0
，
令 z2 1 ，可得 n (1, 3,1) .（10 分）