同济三高数期末复习

一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P(
x)
y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
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2.
线性非齐次方程
dy dx
P(x)
y
Q(
x).
讨论
dy y
cos
2
x
C2
sin
2
x
1 8
x
1 8
x
sin
2
x.
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例6 设 y p( x) y f ( x) 有一特解为 1 ，对应 x
的齐次方程有一特解为 x2，试求： （１） p( x), f ( x) 的表达式； （２） 此方程的通解.
解 （１） 由题设可得：
2 p( x)2x 0,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln| x|
sin x
x
e ln| x|dx
C
1 x
si
n
xdx
C
1 cos x C .
x
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二、二阶常系数齐次
线性方程解法 y py qy 0
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
)
a,
(
y* 1
)
0,
代入 y 4 y 1 x，得 4ax 4b 1 x，
2
2
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4a 1，
由
2 解得
4b 0，
a 1，
8 b 0，
y* 1
1 8
x;
(2)
设
y* 2
x(c cos 2x
d sin 2x),
则
(
y* 2
)
(c
2dx)cos
2
x
(d
2cx)sin
2
x,
(
y* 2
)
(4d
4cx)cos
2
x
(4c
4dx)sin
2
x,
代入 y 4 y 1 cos 2x，得 2
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4d cos 2x 4c sin 2x 1 cos 2x, 2
4d 1，
由
2即
4c 0，
故原方程的通解为
c 0，
d
1，
y* 2
1 x sin 2x; 8
8
y
C1
erx 0,
故有 r 2 pr q 0
特征方程
特征根
p r1,2
p2 4q ,
2
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(i):有两个不相等的实根 ( 0)
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
c0 c
2
j
1
k
.
|c| 5 5
k
4 10 j 5k, 2
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例 4 设向量m , n, p 两两垂直，符合右手规则，且
|
m
|
4，|
n
|
2，|
p
|
3，计算(m
n)
p .
解
|
m
n
||
m
||
n
|
sin(m, n)
4 2 1 8,
依题意知m
[(a c )b c (b c )a c]
(b c )[a c a c ]
0
[(a c)b (b c)a]c
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二、两向量的向量积
定c的|义c方|向向| a量既|| ba垂 与|直sibn于的 a向，量又(其积垂中为直于为cba，与a指bb向的符夹合角)
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
必有
M0
M
n
M0M
n
0
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(2) cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
1 ,
2
(3) a b | b | Pr jba
3 .
Pr
4
jba
a b |b|
3.
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例2
证明向量c 与向量(a
c )b
(b
c )a
垂直.
证
[(a c)b (b c)a] c
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
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(ii):有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
p 2
,
一特解为 y1 e r1x ,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u (2r1 p)u (r12 pr1 q)u 0,
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex
cos x,
y2
1 2i
(
y1
y2 )
ex
sin x,
得齐次方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
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定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
例1 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解.
Q( x y
)
P
(
x)dx,
两边积分
ln
y
Q( x)dx y
P( x)dx,
设
Q( x y
)dx为v(
x),
ln y v( x) P( x)dx,
即 y e e v( x) P( x)dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C u( x)
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常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
|
a
|2
|
b
|2
|
a
|2
|
b
|2
cos2
(a,
b)
|
a
|2
|
b
|2
(a
b )2
.
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三、平面的点法式方程 z
n
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做
M0 M
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知
n {A, B, C},
M0( x0 , y0 , z0 ),
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
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例1 求方程 y 1 y sin x 的通解.
x
x
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
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将 y* , ( y* ), ( y* ) 代入原方程比较系数得
a 1, b 1,
6
2
原方程的一个特解为 y* x3 e x x2 e x , 62
故原方程的通解为
y
(C1
C2 x)e x
x3 ex 6
x2 ex. 2
y(1) 1,
(C1
C2
1 )e 3
1,
y
[
b ).
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2: 向量积的坐标表达式
设
a
axi
ay
j
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(ax
i
a
y
j
azk )
(bxi
by
j
bzk )
i i j j k k 0,
i j k,
jk i,
ki j,
j i k, k j i , i k j.
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例3 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1，2 1 2i ,
故所求通解为 y ex (C1 cos2x C2 sin 2x).
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例4 求特解 y 2 y y xex e x , y(1) y(1) 1.
数量积也称为“点积”、“内积”.
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1： 数量积的坐标表达式
设
a
axi
ay
j
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay j
az
k)
(bx
i
by
j
b z k
)
i jk, i j j k k i 0,
| i || j || k | 1,
(C1
C2)
(C2
1)x
x3 ]e x , 6
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y(1) 1,
(C1
2C2
5)e 6
1,
由
C1
C2
1 e
1, 3
解得
C1
2C2
1 e
5, 6
C1
2 e
1, 6
C
2
1 2
1, e
所以原方程满足初始条件的特解为
y [2 1 (1 1)x]e x x3 e x x2 e x .
右手系.
向量积也称为“叉积”、“外c积 ”a.
b
关于向量积的说明：
(1)
a a
0.
( 0 sin 0)
a
b
(2)
a // b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
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（（ （3121）） ）: 若分a配向为律b量数：积：(ab符(aab合).)下bc 列aa运(c算b)b规律c.(a：
2 x3
p( x)( 1 ) x2
f ( x),
解此方程组，得
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p( x) 1 , x
f
(x)
3 x3
.
（２） 原方程为 y 1 y 3 .
x
x3
显见 y1 1, y2 x2 是原方程对应的齐次方程 的两个线性无关的特解，
又 y* 1 是原方程的一个特解， x
由解的结构定理得方程的通解为
e6 2e
62
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例5 求解方程 y 4 y 1 ( x cos 2x). 2
解 特征方程 r 2 4 0,
特征根 r1,2 2i,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2x C2 sin 2x.
设原方程的特解为
y*
y* 1
y* 2
.
(1)
设
y* 1
ax
b,
则
(
y* 1
解 特征方程为 r2 2r 3 0 ,
解得 r1 3, r2 1
故所求通解为
y C1e3x C2e x .
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例2 求方程 y 4 y 4 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 4r 4 0 , 解得 r1 r2 2 ,
故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
y
C1
C2 x2
1 x
.
第21页/共171页
第七章：向量代数空间几何
第22页/共171页
一、两向量的数量积 定义
向量a
与b
的数量积为a
b
a
b
|
a
(其中
|为 | ba| c与 osb
的夹角)
b
a
| b | cos
Pr
ja b ,
| a
| cos
Pr
jba,
a b | b | Pr jba | a | Pr jab.
解 特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根 r1 r2 1,
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 设原方程的特解为 y* x2(ax b)e x , 则 ( y* ) [ax3 (3a b)x2 2bx]e x , ( y* ) [ax3 (6a b)x2 (6a 4b)x 2b]e x ,
作变换 y u( x)e P( x)dx
y u( x)e P( x)dx u( x)[P( x)]e P( x)dx ,
第4页/共171页
将y和y代入原方程得 u( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
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(iii) 有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i, r2 i,
y1 e( i ) x ,
y2 e( i ) x ,
重新组合，目的是消去虚部
n
与
p
同向，
(m n,p) 0
(m n)
p
|
m
n
|
|
p
|
cos
83
24.
第32页/共171页
例5
已 证知 明|向a量 ab
|2
0 ，b | a |2
|b0|2，(a
b
)2
.
解
|
a
b
|2
|
a
|2
|
b
|2
sin2
(a,
b
)
|
a
|2
|
b
|2
[1 i j j k k 1. a b axbx a yby azbz
数量积的坐标表达式
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2: 两向量夹角余弦的坐标表示式
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a b ,
| a || b |
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz 2
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
向量积的坐标表达式
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例3
求与a
3i
2
j
4k
，b
i
j
2k
都
垂直的单位向量.
解
i
jki
j
c a b ax ay az 3 2
bx by bz 1 1
|
c
|
102 52 5 5,
两向量夹角余弦的坐标表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为