2023-2024学年福建省福州高二上册期末考试数学试题(含解析)

2023-2024学年福建省福州高二上册期末考试数学试题
一、单选题
1．已知空间四面体OABC 中，对空间内任一点M ，满足1146
OM OB OC λ=++
下列条件
中能确定点,,,M A B C 共面的是（）A ．1
2
λ=
B ．13
λ=C ．512
λ=D ．712
λ=
【正确答案】D
【分析】利用空间中四点共面定理求解即可.
【详解】根据空间中四点共面可知11
146λ++=，解得712
λ=.
故选：D
2．以椭圆22
1259
x y +=的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（
）
A ．216y x =
B ．28y x
=-C ．216y x
=-D ．216x y
=-【正确答案】C
【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.
【详解】由椭圆22
1259
x y +=可得4=c ，
所以左焦点坐标为(4,0)-，
所以以(4,0)-为焦点的抛物线的标准方程为216y x =-，故选：C.
3．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()2
322
l t t t =+，则当
3s t =时，该运动员的滑雪速度为（
）
A ．7.5m /s
B ．13.5m /s
C ．16.5m /s
D ．22.5m /s
【正确答案】B
【分析】根据导数的实际意义，对()2
322
l t t t =+求导再代入3s t =求解即可.
【详解】由题意，()342
t l t ='+，故当3s t =时，该运动员的滑雪速度为()3
34313.52
l '=⨯+
=.
故选：B
4．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为）
A 0y ±=
B ．
x =C ．30x y ±=D ．30
x y ±=
【正确答案】A
【分析】根据离心率求出
b
a
即可求渐近线方程.
【详解】由双曲线的离心率为e ==
==
所以b a =22
221x y a b
-=的渐近线方程为b y x a =±，所以渐近线方程为y =，
0y ±=．故选:A ．
5．数列{}n a 满足()*
331log 1log N n n a a n ++=∈，且1359a a a ++=，则()13579
log a a a ++=（
）
A ．4
B ．
1
4
C ．2-
D ．12
-
【正确答案】C
【分析】根据对数运算求得1,n n a a +的关系式，判断{}n a 是等比数列，结合等差数列的性质求得正确答案.
【详解】由于()*
331log 1log N n n a a n ++=∈，
所以()331log 3log n n a a +=，所以13,0n n n a a a +=>，所以数列{}n a 是公比3q =的等比数列.
由于1359a a a ++=，所以()22
3571359381a a a a a a q ++=++⋅=⨯=，
所以
()12
135799
log log 92a a a -++==-.故选：C
6．若直线():40l x m y +-=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（）
A ．0
3
m <<
B ．0m ≤<
C ．0m <
D ．0m ≤≤【正确答案】B
【分析】化简曲线方程，表示圆心为()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，由直线与曲线的交点个数可以确定m 的取值范围.
【详解】x =表示的曲线是圆心为()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：
直线():40l x m y +-=必过定点()0,4，当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，
2=，结合直线与半圆的相切可得m =当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点，所以要使直线和曲线有两个交点，
则03
m ≤<.故选：B.
7．在数列{}n a 中，()()()111,11N n n a n n a a n *
+=+-=∈，则2022
a
=（
）A ．
4043
2022
B ．
20212022
C ．
40402021
D ．
20202021
【正确答案】A
【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.【详解】因为()1(1)1n n n n a a ++-=，则1111
(1)1
n n a a n n n n +-==-++，
当2n ≥时，
()1n n n a a a -=-+()()1221111111111212n n a a a a a n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-++-+=-+-++-+ ⎪ ⎪
⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12111n n n -=-++=，显然11a =满足上式，即有21n n a n
-=，
所以20224043
2022
a =
．
故选：A 8．
已知a =
b =
c =e 为自然常数），则a 、b 、c 的大小关系为（）
A ．a c b <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c<a<b
【正确答案】D
【分析】将,,a b c 变形，得ln 2
e ln 2
a =，1
2e 12
b =，
c 43
e 43=，构造函数e
()x f x x =(0)x >，利用导数得()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，根据单调性可得1
()(ln 2)2f f >，
4
(ln 4)()3
f f >，再根据(ln 2)(ln 4)f f =可得答案.
【详解】ln 2
1
2e 1ln 2ln 2ln 22a ====
，1
2
e 12
b ==
，4
c =
4
3
e 43=，设e ()x
f x x =(0)x >，则2e e ()x x
x f x x ⋅-'=2
1e ()
x x x -=，令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<，所以()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，
因为10ln 212<<<，所以1()(ln 2)2
f f >，即12
e 12
b =>ln 2e ln 2a =，因为28e >，所以2
32e >，所以2ln 23>
，所以4
ln 413
>>，所以4
(ln 4)(3f f >，即4(ln 4)()3f f c >=，
因为ln 4e 4(ln 4)ln 42ln 2f ==
2ln 2
=a =，所以a c >，综上所述.b a c >>故选：D
二、多选题
9．下列结论正确的是（
）
A ．若()()()2,3,3,2,1,A
B
C m --三点共线，则m 的值为0；
B ．已知两点()()3,4,3,2A B -，过点()1,0P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为11k -≤≤；
C ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线
:0l x y -=的距离都等于1；D ．与圆22(2)2x y -+=相切，且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线有三条.【正确答案】ACD
【分析】根据三点共线、直线与线段有公共点、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项，()()5,5,3,3AB AC m =-=-
，
由于,,A B C 三点共线，所以,AB AC
共线，
所以()5353,0m m -=-⨯=，A 选项正确.
B 选项，1,1AP BP k k =-=，结合图象可知，直线l 的斜率k 的取值范围为(][),11,-∞-⋃+∞，所以B 选项错误.
C 选项，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，
圆心到直线l 1，所以圆上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1，
C 选项正确.
D 选项，当直线过原点时，设直线方程为,0y kx kx y =-=，
圆心()2,0到直线0kx y -=
=，解得1k =±，直线方程为y x =或y x =-.
当直线不过原点时，设直线方程为
()1,00x y
x y a a a a
+=+-=≠，圆心()2,0到直线0x y a +-=
22a =-=，解得4a =或0a =（舍去）.
直线方程为40x y +-=，
综上所述，与圆22(2)2x y -+=相切，且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线有三条，D 选项正确.故选：ACD
10．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22
195
x y +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动
点，则下列结论正确的是（）
A ．1PF F 的周长为10
B ．1PF F
面积的最大值为C ．1||PF 的最小值为1D ．椭圆C 的焦距为6
【正确答案】AB
【分析】根据椭圆的方程求出,,a b c ，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解.
【详解】∵椭圆C 方程为：22
195x y +=
，
3,2
a b c ∴===12PF F ∴△的周长为1212||||||2210PF PF F F a c ++=+=，∴A 正确；
∴△PF 1F 2
面积的最大值为1
22
c b ⋅⋅=P 位于短轴的端点，∴B 正确；
P 在椭圆的左顶点时，|PF 1|的最小值为a －c ＝1，又P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，
∴C 错误；
椭圆C 的焦距为2c ＝4，∴D 错误.
故选：AB.
11．已知数列{}n a 满足*1121
,(N )321
n n n a a a n a +==
∈+，则下列结论正确的是（）
A ．12n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
为等比数列
B ．{}n a 的通项公式为1
221
n n n
a -=+C ．{}n a 为递减数列
D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和212
n
n T n -=+-【正确答案】AB 【分析】由1221n n n a a a +=+可推得
1111
2(2)2n n
a a +-=-，从而可判断ABC ，由分组求和可判断D.
【详解】因为*12(N )21
n
n n a a n a +=
∈+，由题意显然10,0n n a a +≠≠，变形得112111122n n n n a a a a ++==⨯+，所以11112(2)2n n
a a +-=-，又因为
1
1
210a -=≠，所以12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，1
2为公比的等比数列，A 正确；
因为1112()2n n a --=，所以11121212()
2
n n n n a --==++，B 正确；
因为11(2
n -递减，所以11
12()2n n a -=
+递增，即{}n a 为递增数列，C 错误；因为1112()2n n a --=，所以1
11()22
n n a -=+，所以111111
(1)2222422
n n n T n n --=+++++=-+ ，所以D 错误.故选：AB.
12．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，点,E F 满足1(01)AF AA λλ=<<
，
1CE EC =
.下列结论正确的有（）
A ．若直线BE 与1D F 异面，则12
λ≠B ．若AE BF ⊥，则13
λ=
C ．直线AE 与平面11ABC D
所成角正弦值为15
D ．若直线AE
平面1BFD ，则14
λ=
【正确答案】ACD
【分析】建立空间坐标系，用空间向量逐项计算.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：
1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,2)
A B E D 1(1,0,2),(1,0,1),(1,0,22)
F BE D F λλ=-=-
1(1,1,1),(0,1,2),(1,1,2)
AE BF BD λ=-=-=--
对于A ：若直线BE 与1D F 异面，则
122
11
λ-≠-，则12λ≠，故A 正确；
对于B ：若,0AE A BF E BF ∴⊥⋅=
，(1,1,1)(0,1,2)0λ∴-⋅-=，
1
2
λ∴=，故B 错误；
对于C ：1(0,1,0),(1,0,2)AB D A ==- ，设平面11ABC D 的法向量为()111,,n x y z =
则100
AB n D A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即111020y x z =⎧⎨-=⎩，取(2,0,1)n = 直线AE 与平面11ABC D 所成角θ
满足
sin |cos ,|AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉===⋅
，故C 正确；
对于D ：设平面1BFD 的法向量()222,,m x y z =
110
BD m D F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即2222220(22)0x y z x z λ--+=⎧⎨+-=⎩，取(22,2,1)m λλ=- 若直线AE
平面1BFD ，则22210
AE m λλ⋅=-++=
1
4
λ∴=
，故D 正确；
故选：ACD
三、填空题
13．已知()()ln f x x x x =+，则()f x 在x ＝1处的切线方程是______．【正确答案】32
y x =-【分析】根据导数求出()f x 在x ＝1处的切线斜率，用点斜式求出切线方程.【详解】已知当1x =时()11f =，
由()()1ln 1f x x x x x ⎛⎫
'=+++ ⎪⎝⎭
，得()13
f '=根据点斜式可得：()13132y x y x -=-⇒=-故答案为:32
y x =-14．已知椭圆22
:1167
x y E +=的右焦点F ，P 是椭圆E 上的一个动点，Q 点坐标是(1,3)，则
||||PQ PF +的最大值是______.
【正确答案】13
【分析】设椭圆左焦点(3,0)F '-，根据椭圆的定义将||||PQ PF +转化为
2PQ PF PQ a PF '+=+-，结合图形的几何性质，即可求得答案.
【详解】由22
:1167
x y E +=可知4a =，b =，3
c =设椭圆左焦点(3,0)F '-，则28PQ PF PQ a PF QF ''+=+-≤+
88513==+=，
当且仅当P ，Q ，F '共线时且当P 在QF '的延长线上P '时等号成立．
||||PQ PF ∴+的最大值为13，
故答案为.13
15．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，22
1120n n n n
a a a a ++--=，则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭
前10项的和为___________.【正确答案】
682
2049
【分析】运用因式分解法，结合等比数列的定义、裂项相消法进行求解即可.
【详解】由22
11111)(20(2)20n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++--=⇒-==⇒+，或1n n a a +=-，
当1n n a a +=-时，即1
1n n
a a +=-，所以数列{}n a 是以1-为公比的等比数列，这不符合数列{}n a 的各项均为正数；当12n n a a +=时，即
1
2n n
a a +=，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又12a =，所以1222n n
n a -=⨯=，
因为()()()()111211
1121212121n n n n n n n n a a a +
++==-++++++，
所以()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭
前10项的和为
1223101111111111682212121212121320492049
-+-++-=-=++++++ ，故
6822049
16．过双曲线22
22100x y a b a b
-=>>（，）
的左焦点(0F c -，）作圆x ²+y ²=a ²的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y ²=4cx 于点P ，O 为坐标原点，若()
12
OE OF OP =+
，则双曲线的离心率
为_______.
【正确答案】
12
【分析】由向量的运算法则知E 是PF 中点，由此得OP OF c ==，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，因此利用中位线性得2PG a =，从而由抛物线的可表示出P 的点横坐标，从而得纵坐标，作PH x ⊥轴，垂足为H ，在PH △O 中由勾股定理得出,a c 的方程，变形后可求得离心率e ．
【详解】如图，双曲线的右焦点G 也是抛物线的焦点，1()2
OE OF OP =+
，则E 是PF 中点，
又O 是FG 中点，所以//OE PG ，22PG OE a ==，
设(,)P x y ，
过P 作抛物线的准线的垂线PM ，M 是垂足，则2PM x c PG a =+==，2x a c =-，P 在抛物线上，所以2
44(2)y xc x a c ==-，E 是切点，OE FP ⊥，所以OP OF c ==，
作PH x ⊥轴，垂足为H ，由222PH OH OP +=得22(2)4(2)a c c a c c -+-=，整理得224440c ac a --=，
所以210e e --=，12e =
（负值舍去）．
故12
．
四、解答题
17．设等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，()*141n n n a S a n +=+∈N .
(1)求{}n a 的通项公式；
(2)设5n n a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.
【正确答案】(1)21
n a n =-(2)16
【分析】(1)根据,n n a S 的关系求出数列的首项公差即可求解；(2)根据定义分别写出数列{}n b 的前10项，求和即可.
【详解】（1）设等差数列公差为d ，
因为()*141n n n a S a n +=+∈N ，所以当2n ≥时，1141n n n S a a --=+，
所以1114411n n n n n n a a S S a a -+--=+--，所以114n n n n n a a a a a +-=-，
因为0n a >，所以1124n n a a d +--==，所以2d =，
令1n =得1121141(2)1a a a a a =+=++整理得211210a a -+=解得11a =，
所以12(1)21n a n n =+-=-.
（2）由（1）得215n n b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，所以215n n b -⎡⎤=⎢⎣⎦
的前10项和等于1357111315195555557559155⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
001112233316=+++++++++=.
18．矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点()1,1T -在AD 边所在直线上.
(1)求AD 边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD 外接圆的方程；
(3)若点P 为矩形ABCD 外接圆上一动点，求点()1,1T -与点P 距离的最小值.
【正确答案】(1)320
x y ++=(2)()2
228x y -+=
【分析】（1）根据直线关系，建立斜率方程，求得对应斜率，利用点斜式公式，可得答案；（2）根据矩形外接圆的性质，利用直线求交点，求得圆的半径和圆心，可得答案；（3）先明确点T 与圆的位置关系，利用该点与圆心的距离与半径，可得答案.
【详解】（1）AD 边所在直线与AB 边所在直线垂直，所以1AD AB k k =-⋅，因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，即13
AB k =，所以3AD k =-，又因为点()1,1T -在AD 边所在直线上，所以AD 边所在直线的方程为：()131y x -=-+，化简为：320
x y ++=（2）AB 边所在直线与AD 边所在直线相交于点A ，联立得：320360x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得：02
x y =⎧⎨=-⎩，即()0,2A -，所以矩形ABCD
外接圆的半径r MA ==所以矩形ABCD 外接圆的方程为：()2
228
x y -+=（3）
因为||TM r ==||TM r >，点T 在圆外,所以||TP 最小值为||TM r -
19．新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x 万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e 12ln 7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩
（单位：万元）．（注：每问结果精确到小数点后两位．参考数据2e 7.39≈，3e 20.09≈）
(1)当每月生产5万件口罩时，利润约为多少万元？
(2)当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？
【正确答案】(1)6.67万元
(2)20.09万件
【分析】（1）直接利用函数的关系式代值计算即可.
（2）利用函数的导数，求最值，然后根据分段函数，比较得最大值.
【详解】（1）当5x =时,()212055455 6.6733
p =-⨯+⨯-=≈,故当每月生产5万件口罩时，利润约为6.67万元
（2）因为利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩故当()221107,()456373
x p x x x x <<=-+=--+-,此时当max 6,()7x p x ==.当7x ≥时,()3
e 12ln ,p x x x =--()3322e e ,1x x x
p x x -'=-+=当37e ,()0,x p x '≤≤>此时()p x 单调递增,当3e ,()0,x p x '><此时()p x 单调递减，
故当3e 20.09x =≈时，33
max 3e ()12ln e 12318e p x =--=--=综上，当20.09x =时，所获月利润最大.
20．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，AN BM ∥，2AN AB BC ===，4BM =
，CN =
(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；
(2)在线段CM （不含端点）上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --
若存在，求出的CE EM
值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)见解析
(2)存在，12
CE EM =【分析】（1）由面面垂直的性质可得BC BM ⊥，再得出BM AB ⊥即可证明；
（2）设CE CM λ= ，求出平面BEN 和平面BMN 的法向量，利用向量关系建立方程求出λ即可得出.
【详解】（1）证明：正方形ABCD 中，BC AB ⊥，
平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD ⋂平面ABMN AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面ABMN ，又BM ⊂平面ABMN ，
BC ∴⊥BM ，且BC BN ⊥
，又2,BC CN ==
BN ∴==，又2AB AN == ，222BN AB AN ∴=+，
AN AB ∴⊥，又//AN BM ，BM AB ∴⊥，
又,,BC BA B BA BC =⊂ 平面ABCD ，
∴BM ⊥平面ABCD ；
（2）解：如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2B A C ，()()()2,0,2,2,2,0,0,4,0D N M ，
设点(),,E a b c ，()01CE CM λλ=<< ，()(),,20,4,2a b c λ∴-=-，
()04,0,4,2222a b E c λλλλ=⎧⎪∴=∴-⎨⎪=-⎩
，
()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ∴==- ，
设平面BEN 的法向量为(),,m x y z = ，
()2204220BN m x y BE m y z λλ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+-=⎪⎩
，令221,1,,1,1,11x y z m λλλλ⎛⎫=∴=-=∴=- ⎪--⎝
⎭ ，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =
，
cos ,3BC m BC m BC m ⋅∴= ，
==
，即=即23210λλ+-=，解得13
λ=或1-（舍），所以存在一点E ，且12
CE EM =.
21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设()2,0A -，过点()1,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，连接AM ，AN 分别交直线3x =于P ，Q 两点，若直线PR ､QR 的斜率分别为1k ､2k ，试问：12k k ⋅是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【正确答案】(1)22
142
x y +=(2)是定值，定值2524
-【分析】（1）根据离心率和点到直线距离公式即可得解；
（2）直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程，根据三点共线表示出P 点坐标，同理表示出Q 点坐标，算出斜率即可求解.
【详解】（1）由题意得222222200211c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪-+=⎨+⎪⎪=+⎪⎩222a b c =⎧⎪⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为22
142
x y +=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由22114
2x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222230m y my ++-=，∴12222
m y y m -+=+，12232y y m -=+，
由A ､M ､P 三点共线可知()()
11322P y y x =----，∴1152
P y y x =+同理可得：2252Q y y x =
+，故121212551131314422
Q P P Q y y y y k k y y x x =⋅==⋅⋅--++()()()121221212122525433439
y y y y my my m y y m y y =⋅=⋅+++++222223252512523644624922
m m m m m -⎛⎫+=⋅=⋅-=- ⎪--⎝⎭++++，因此12·k k 为定值2524
-.22．已知函数()()2e 23x f x x a x a =-+++⎡⎤⎣⎦
(1)已知()f x 在R 上为单调递增，求a 的取值范围；
(2)若()f x 在()0,2有两个极值点12,x x ，求证.()()2124e
f x f x <【正确答案】(1)22
a -≤≤(2)证明见解析
【分析】（1）根据()f x 在R 上为单调递增，可得()0f x '≥，在R 上恒成立，即可转化为一元二次不等式210x ax -+≥在R 上恒成立，即可求得a 的取值范围；
（2）若()f x 在()0,2有两个极值点12,x x ，即()()2e 10x f x x ax =-+='有在()0,2上有两个根，
转化为12,x x 为方程210x ax -+=的两个根，根据一元二次方程根的分布可得a 的范围与12
,x x 满足的关系式，从而化简()()12f x f x ()2e 8a a =-+，再将所证问题转化为()22e 84e a a -<，
构造函数()()25e 8,22
a g a a a =-<<，求导得单调性，即可证明.【详解】（1）由()()2e 23x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，x ∈R ，
求导得()()()()22e 2322e 1x x f x x a x a x a x ax '⎡⎤=-++++-+=-+⎣⎦
，因为()f x 在R 上为单调递增，故()()2e 10x f x x ax =-+≥'，在R 上恒成立，
又e 0x >恒成立，所以210x ax -+≥在R 上恒成立，由2Δ40a =-≤时，即22a -≤≤，所以a 的取值范围为22a -≤≤.
（2）证明：()f x 在()0,2上由两个极值点12,x x ，∴()()2e 10x f x x ax =-+='有在()0,2上
有两个根，
即12,x x 为方程210x ax -+=的两个根，所以222Δ40001102210022a a a ⎧=->⎪-+=>⎪⎪⎨-+>⎪⎪<<⎪⎩，解得522a <<，可得1212,1x x a x x +==，且21110x ax -+=，22
210x ax -+=所以()()()()1222121122e 23e 23x x f x f x x a x a x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+++-+++⎣⎦⎣⎦
()()
1222111222e 122122x x x ax x a x ax x a +=-+-++-+-++()()
1212e 2222x x x a x a +=-++-++()()1221212e 422(2)x x x x a x x a +⎡⎤=-++++⎣⎦
将1212,1x x a x x +==代入上式，可得：
()()
222e 422(2)e 42444a a a a a a a a a ⎡⎤=-+++=--+++⎣⎦()2e 8a a =-+，
由题意，需证()()()2212e 84e a f x f x a =-<，
令()()25e 8,22
a g a a a =-<<，求导得()()()()2e 82e 24a a g a a a a a '=--=--+，当522
a <<时，()0g a '<，则()g a 在()2,+∞上单调递减，即()()224e g a g <=，故()()2124e f x f x <.。