优化重组卷高考数学复习系列(真题模拟)专题重组第八章

第八章 解析几何
36．直线与圆
1．(2015·广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2
＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0
2．(2015·新课标全国Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( )
A ．2 6
B ．8
C ．4 6
D ．10
3．(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2
＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A ．－53或－35
B ．－32或－23
C ．－54或－45
D ．－43或－34
4．(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的对称
轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )
A ．2
B ．4 2
C ．6
D ．210
考点1 直线的方程
1．(2013·福建)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．(2013·新课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )
A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1
B ．y ＝33(x －1)或y ＝－3
3(x －1) C ．y ＝33(x －1)或y ＝－3
3
(x －1) D ．y ＝
22(x －1)或y ＝－2
2
(x －1) 3．(2013·新课标全国Ⅱ)已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤1－
22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12
4．(2013·山东)过点(3，1)作圆(x －1)2
＋y 2
＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直
线AB 的方程为( )
A ．2x ＋y －3＝0
B ．2x －y －3＝0
C ．4x －y －3＝0
D ．4x ＋y －3＝0
5．(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．
考点2 两直线的位置关系
6．(2013·广东)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2
＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x ＋y ＋1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋2＝0
7．(2014·福建)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2
＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x －y ＋2＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
8．(2013·天津)已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2
＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )
A ．－12
B ．1
C ．2 D.12
9．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)
的距离之和最小的点的坐标是________．
考点3 圆的方程
10．(2014·山东)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．
11．(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．
12．(2013·江西)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．
考点4 直线与圆的位置关系 13．(2013·安徽)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 6
14．(2014·浙江)已知圆x 2＋y 2
＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )
A ．－2
B ．－4
C ．－6
D ．－8
15．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )
A.
4π5 B.3π4
C ．(6－25)π D.5π
4
16．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4截得的弦长为________．
17．(2014·大纲全国)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2
＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．
18．(2014·湖北)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2
＝1分成长度相
等的四段弧，则a 2＋b 2
＝________．
19．(2014·重庆)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2
＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．
20．(2014·重庆)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2
＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．
21．(2014·新课标全国Ⅱ)设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2
＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．
22．(2013·山东)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2
＝4的弦，其中最短弦的长为________．
考点5 直线与圆的综合应用
23．(2013·四川)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2
＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |2＝1|OM |2＋1
|ON |2，请将n 表示为m 的函数．
1．(2015·北京海淀模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值是( )
A ．0
B ．2或－1
C ．0或－3
D ．－3
2．(2014·山东省实验中学模拟)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( )
A ．1或－3
B ．－1或3
C ．1或3
D ．－1或3
3．(2015·山东省实验中学期末)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )
A.45
B.43
C.34
D.23
4．(2014·天津市新华中学模拟)倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x －y －1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋1＝0
5．(2014·山东省枣庄模拟)在直角坐标系中，直线3x ＋y －3＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3 6．(2014·天津市新华中学模拟)若直线l 1：ax ＋2y －8＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4
＝0平行，则a的值为( )
A．1 B．1或2 C．－2 D．1或－2
7．(2014·贵州省遵义模拟)过点P(1，3)且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为( )
A．x＋y－4＝0
B．3x－y＝0
C．x＋y－4＝0或3x＋y＝0
D．x＋y－4＝0或3x－y＝0
8．(2014·台州模拟)已知点A(m－1，m＋1)与点B(m，m)关于直线l对称，则直线l的方程是( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0
9．(2015·河南天一大联考)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积为( )
A．5π B．9π C．16π D．25π
10．(2014·北京市朝阳区模拟)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
11．(2014·贵州省六校联盟模拟)若点P(1，1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
12．(2014·广州综合测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
13．(2015·四川遂宁模拟)圆心在原点且与直线y＝2－x相切的圆的方程为________．14．(2015·德州模拟)已知直线3x－y＋2＝0及直线3x－y－10＝0截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是________．
15．(2015·浙江金丽模拟)设直线ax＋2y＋6＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交于点P，Q 两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ，则实数a的值为________．
16．(2015·山师大附中模拟)已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0相交于A，B两点，则线段AB的长度等于________．
17．(2015·山东烟台模拟)已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是________．
18．(2015·湖北荆门模拟)由直线y＝x＋1上的点向圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
19．(2015·山东济南模拟)已知圆C过点(－1，0)，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为________．20．(2014·北京东城模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，则圆心C的坐标为________；若直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k＝ ________．
21．(2015·山东日照模拟)圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为________．
22．(2015·四川遂宁模拟)已知定点A (－2，0)，F (1，0)，定直线l ：x ＝4，动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的1
2.设点P 的轨迹为C ，过点F 的直线交C 于D 、E 两点，直
线AD 、AE 与直线l 分别相交于M 、N 两点．
(1)求C 的方程；
(2)以MN 为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
23．(2014·苏北四市一检)已知△ABC 的三个顶点为A (－1，0)，B (1，0)，C (3，2)，其外接圆为⊙H .
(1)若直线l 过点C ，且被⊙H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；
(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求⊙C 的半径r 的取值范围．
37.椭圆
(2015·浙江)
已知椭圆x 2
2＋y 2
＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．
考点1 椭圆定义的应用
1．(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为3
3
，
过F 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )
A.x 23＋y 22＝1
B.x 2
3＋y 2
＝1
C.x 2
12＋y 28＝1 D.x 212＋y 2
4
＝1 2．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 2
4＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的
对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．
考点2 求椭圆的标准方程
3．(2013·新课标全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F
的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A.x 245＋y 236＝1
B.x 236＋y 2
27
＝1
C.x 227＋y 218＝1
D.x 218＋y 2
9
＝1 4．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2
＋y 2
b
2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过点F 1的
直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．
考点3 椭圆性质的应用
5．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2
＋(y －6)2
＝2和椭圆x 2
10＋y 2
＝1上的点，则P ，Q 两
点间的最大距离是( )
A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2
6．(2014·江西)过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b
2＝1(a ＞b ＞0)相交于
A ，
B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆
C 的离心率等于________．
7．(2013·福建)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .
若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
8．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞
0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．
9．(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交
于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝4
5
，则C 的离心率e ＝________．
10．(2013·大纲全国)椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左，右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直
线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，1 考点4 直线与椭圆的位置关系的应用
11．(2014·新课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，
M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .
(1)若直线MN 的斜率为3
4
，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .
12．(2014·浙江)
如图，设椭圆C ：x 2
a
2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．
(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；
(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .
1．(2014·云南省玉溪模拟)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )
A.x 216＋y 212＝1
B.x 212＋y 2
8＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 212＋y 2
4
＝1 2．(2015·山东省聊城模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于
点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.
22 B.33 C.12 D.13
3．(2015·江西师大模拟)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，右焦点F (
c ，0)(c >0)，方程
ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)必在( )
A ．圆x 2＋y 2
＝2内
B ．圆x 2＋y 2
＝2外
C ．圆x 2＋y 2
＝1上
D ．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2
＝2形成的圆环之间
4．(2014·唐山二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2
，若在椭圆C 1
上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，1
5．(2015·湖北黄冈模拟)在等腰梯形ABCD 中，E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折起后所在的平面记为α，P ∈α，设PB ，PC 与α所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)．若θ1＝θ2，则点P 的轨迹为( )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
6．(2015·江西重点联盟模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆方程为x 24a ＋y 2
a 2－1
＝1，随着a 的
增大该椭圆的形状( )
A ．越接近于圆
B ．越扁
C ．先接近于圆后越扁
D ．先越扁后接近于圆
7．(2015·河北唐山模拟)在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2
a 2
＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于3
2
的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132
8．(2014·山东省实验中学模拟)若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1
2
，则m ＝
________．
9．(2015·安徽江南十校模拟)椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上任意一点P 到两焦点的距离之和
为6，且椭圆的离心率为1
3
，则椭圆方程为________．
10．(2015·江苏淮安模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶
点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在直线x ＝a 2
c
上，则椭圆的离
心率为________．
11．(2014·北京市西城模拟)已知椭圆x 24＋y 2
2＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上．若
|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是________．
12．(2015·江苏启东模拟)已知点P (m ，4)是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是
椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为3
2
，则此椭圆的离心率为________．
13．(2015·河北唐山模拟)已知椭圆x 2
5＋y 2
＝1，椭圆的中心为坐标原点O ，点F 是椭圆
的右焦点，点A 是椭圆短轴的一个端点，过点F 的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，与OA 所在直线交于E 点，若EM →＝λ1MF →，EN →＝λ2NF →
，则λ1＋λ2＝________．
14．(2015·河南信阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的焦距为4，其长轴长和短轴
长之比为3∶1.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线x ＝t (t ∈R ，t ≠2)上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值．
15.(2014·威海一模)过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的
另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613
BC →
.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1，0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．
16．(2015·湖北黄冈模拟)已知A ，B 是
椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左，右顶点，B (2，0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆
于点M, N, 交直线x ＝4于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若记△AMB ，△ANB 的面积分别为S 1，S 2求S 1S 2
的取值范围．
38.双曲线
1．(2015·福建)若双曲线E ：x
2
9－y
2
16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E
上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
2．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )
A ．x 2
－y 2
4＝1 B.x 2
4－y 2
＝1
C.y 24－x 2
＝1 D ．y 2
－x 2
4
＝1 3．(2015·四川)过双曲线x 2
－y 2
3＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条
渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )
A.
43
3
B ．2 3
C ．6
D ．4 3
4．(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4
，且其右焦点为F 2(5，0)，则
双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 23＝1
B.x 216－y 2
9＝1
C.x 2
9－y 216＝1 D.x 23－y 2
4
＝1 5．(2015·新课标Ⅰ全国)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2
2－y 2
＝1上的一点，F 1，F 2是C
的两个焦点，若MF 1→·MF 2→
<0，则y 0的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－
33，33 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－36
，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233
6．(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线与
抛物线C 2：x 2
＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．
考点1 双曲线的定义、标准方程
1．(2014·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x
＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.x 25－y 220＝1
B.x 220－y 2
5＝1 C.3x 2
25－3y 2
100＝1 D.3x 2
100－3y
2
25
＝1 2．(2013·广东)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于3
2，则C
的方程是( )
A.x 24－y 25＝1
B.x 24－y 2
5＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 2
2－y 2
5
＝1 3．(2014·大纲全国)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |
＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )
A.14
B.13
C.24
D.23 4．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2
＝π
3
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.
433 B.23
3
C ．3
D ．2 5．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 2
4－x 2
＝1具有相同渐近线，则C 的方
程为________；渐近线方程为________．
考点2 双曲线的简单几何性质
6．(2013·福建)双曲线x 2
4－y 2
＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.25
B.45
C.255
D.455
7．(2013·北京)若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±12x
D ．y ＝±2
2
x
8．(2013·湖北)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2
cos 2θ－y 2
sin 2θ＝1与C 2：y
2
sin 2
θ
－x 2
sin 2
θtan 2
θ
＝1的( )
A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等
9．(2014·广东)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的
( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等
10．(2014·新课标全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2
＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )
A. 3 B ．3 C.3m D ．3m
11．(2013·新课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
2
，则C
的渐近线方程为( )
A ．y ＝±14x
B ．y ＝±1
3x
C ．y ＝±1
2
x D ．y ＝±x
12．(2013·四川)抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3＝1的渐近线的距离是( )
A.12
B.3
2
C ．1 D. 3 13．(2014·大纲全国)双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线
的距离为3，则C 的焦距等于( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．4 2
14．(2014·重庆)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，双曲线
上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝9
4
ab ，则该双曲线的离心率为( )
A.43
B.53
C.9
4
D ．3 15．(2014·山东)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b
2＝
1，C 1与C 2的离心率之积为
3
2
，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0
16．(2013·山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 2
3－y 2
＝1的右焦点的
连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )
A.
316 B.38 C.233 D.43
3 17．(2013·浙江)
如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 2
4＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、
四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
A. 2
B. 3
C.32
D.6
2
18．(2013·陕西)双曲线x 2
16－y 2m ＝1的离心率为5
4
，则m 等于________．
19．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一
点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．
20．(2013·江西)抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 2
3
＝1相交于A ，
B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．
21．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐
近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．
考点3 直线与双曲线的位置关系
22．(2014·湖北)设a ，b 是关于t 的方程t 2
cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2
)，B (b ，b 2
)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2
sin 2
θ
＝1的公共点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
1．(2015·山东潍坊模拟)如果双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y
＋3＝0平行，则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D ．3
2．(2015·山东日照模拟)已知抛物线y 2
＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距
离为5，双曲线x 2a
－y 2
＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的
值是( )
A.19
B.125
C.15
D.13
3．(2015·山东青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：
x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.x 220－y 25＝1
B.x 25－y 2
20
＝1 C.3x 2
25－3y 2
100＝1 D.x 2
100－y
2
25
＝1 4．(2014·北京西城一模)“m <8”是“方程x 2
m －10－
y 2
m －8
＝1表示双曲线”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．(2015·河南开封模拟)已知a >b >0，椭圆 C 1 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，双曲线 C 2 的方程
为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1 与 C 2 的离心率之积为3
2
， 则C 1，C 2 的离心率分别为( ) A.12，3 B.22，62 C.64，2 D.1
4
，2 3 6．(2015·山东菏泽一模)设双曲线x 2m ＋y 2n
＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝
8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为( )
A.x 2
3－y 2
＝1 B.x 24－y 2
12＝1 C ．y 2
－x 23＝1 D.x 212－y 2
4
＝1
7．(2015·山东济南一模)点A 是抛物线C 1：y 2
＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，
b >0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于
( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
8．(2015·甘肃河西五地模拟)已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的上，下焦点，
点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )
A ．3 B. 3 C ．2 D. 2
9．(2015·江西师大模拟)双曲线C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2
＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( )
A. 2 B ．1＋ 2 C ．1＋ 3 D ．2＋ 3
10．(2014·北京东城模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2
＝1
相切，则双曲线的离心率为( )
A ．2 B.
22 C.233
D. 2 11．(2015·四川德阳模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为e ＝2，右焦点F 到其渐近
线的距离为
32
，抛物线y 2
＝2px 的焦点与双曲线的右焦点F 重合．过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线x ＝－1上，则△ABC 的边长是( )
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14 12．(2014·山东威海一模)双曲线y 2
－x 2
m
＝1的离心率e ＝2，则以双曲线的两条渐近线
与抛物线y 2
＝mx 的交点为顶点的三角形的面积为( )
A. 3 B ．9 3 C ．27 3 D ．36 3
13．(2014·山东菏泽一模)已知点F (－c ，0)(c >0)是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的左焦点，离心
率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2
＋y 2
＝c 2
交于点P ，且点P 在抛物线y 2
＝4cx
上，则e 2
＝( )
A.
3＋52 B. 5 C.5－12 D.1＋5
2
14．(2014·湖南十三校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y
2
＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )
A ．1 B.3
2
C ．2
D ．3
15．(2014·临沂三月质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2
＝2px (p >0)的交
点为A ，B ，A ，B 连线经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B ．2 C ．3 D.2＋1
16．(2015·山东淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a
2
的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( )
A ．b －a <|MO |－|MT |
B ．b －a >|MO |－|MT |
C ．b －a ＝|MO |－|MT |
D ．b －a ＝|MO |＋|MT |
17．(2015·湖南一模)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)作圆x 2＋y 2
＝
a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE →
＝12
(OF →＋OP →)，
则双曲线的离心率为( )
A.1＋52
B.5
2 C.
1＋3
2
D. 5 18．(2015·江西重点中学模拟)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右
焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(3，＋∞)
C ．(3，2)
D ．(2，＋∞)
19．(2014·广西四市二次联考)已知O 为坐标原点，P 1，P 2是双曲线x 29－y 2
4＝1上的点．P
是线段P 1P 2的中点，直线OP ，P 1P 2的斜率分别为k 1，k 2，若2≤k 1≤4，则k 2的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，29
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，49
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤49，23 20．(2014·江西重点中学盟校二次联考)已知点F (－c ，0)(c >0)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，
b >0)的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2＋y 2＝
c 2交于点P ，且
点P 在抛物线y 2＝4cx 上，则e 2
等于( )
A.
3＋5
2 B. 5 C.
5－12 D.1＋5
2
21．(2015·安徽江南十校模拟)以椭圆x 29＋y 2
5＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，
其左、右焦点分别是F 1、F 2.已知点M 坐标为(2，1)，双曲线C 上点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)满足PM →
·PF 1→
|PF 1→|＝PM →·PF 2
→
|PF 2→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝( )
A ．2
B ．4
C ．1
D ．－1
22．(2015·山东日照模拟)若双曲线x 2a 2－y 2
32＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝________．
23．(2015·河北唐山模拟)若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距
离等于焦距的1
4
，则该双曲线的离心率为________．
24．(2015·山东青岛模拟)如图：正六边形的两个顶点为某双曲线的两个焦点，其余四个顶点都在该双曲线上，则该双曲线的离心率为________．
25．(2015·河南信阳模拟)设斜率为22的直线l 与双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a >0，b >0)交于不同
的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是
________．
26．(2014·石家庄调研)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若
双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1→|＝3|PF 2→
|，则该双曲线的离心率为________．
39.抛物线
1．(2015·陕西)若抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2
＝1的一个焦点，则p ＝________
2．(2015·浙江)如图，
设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
A.|BF |－1|AF |－1
B.|BF |2
－1|AF |2
－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2
＋1|AF |2
＋1
3．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双
曲线的一个焦点在抛物线y 2
＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )
A.x 221－y 228＝1
B.x 228－y 2
21＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 2
3
＝1 4．(2015·四川)设直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2
＋y 2
＝r 2
(r ＞
0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )
A ．(1，3)
B ．(1，4)
C ．(2，3)
D ．(2，4)
考点1 抛物线的定义、标准方程
1．(2014·新课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2
＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5
4
x 0，则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
2．(2013·新课标全国Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )
A ．2
B ．2 2
C ．2 3
D ．4
3．(2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，
若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )
A ．y 2＝4x 或y 2＝8x
B ．y 2＝2x 或y 2
＝8x
C ．y 2＝4x 或y 2＝16x
D ．y 2＝2x 或y 2
＝16x
4．(2013·江西)已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2
＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )
A ．2∶ 5
B ．1∶2
C ．1∶ 5
D ．1∶3 考点2 抛物线的简单几何性质
5．(2013·四川)抛物线y 2
＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1
6．(2014·安徽)抛物线y ＝14
x 2
的准线方程是( )
A ．y ＝－1
B ．y ＝－2
C ．x ＝－1
D ．x ＝－2
7．(2014·新课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，
Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →
，则|QF |＝( )
A.72 B ．3 C.5
2
D ．2
8．(2014·湖南)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2
＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则b a
＝________.
考点3 直线与抛物线的位置关系
9．(2014·新课标全国Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2
＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )
A.
334 B.938 C.6332 D.9
4
10．(2014·新课标全国Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2
＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )
A.
30
3
B ．6
C ．12
D ．7 3 11．(2014·辽宁)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2
＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )
A.12
B.23
C.34
D.43
12．(2014·四川)已知F 为抛物线y 2
＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →
＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.172
8
D.10
13．(2013·大纲全国)已知抛物线C ：y 2
＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →
＝0，则k ＝( )
A.12
B.2
2
C. 2 D ．2 14．(2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2
于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．
15．(2013·浙江)设F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．
16. (2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝5
4
|PQ |.
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．
17．(2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为32
2
.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，
B 为切点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．
1．(2015·河北唐山一模)已知抛物线的焦点F (a ，0)(a <0)，则抛物线的标准方程是( )
A ．y 2＝2ax
B ．y 2
＝4ax
C ．y 2＝－2ax
D ．y 2
＝－4ax
2．(2015·北京石景山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x 2
＝2py (p >0)上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为( )
A ．2
B ．8 C. 3 D ．4
3．(2014·安徽合肥模拟)下列双曲线中，有一个焦点在抛物线x 2
＝2y 准线上的是( )
A ．8x 2－8y 2＝1
B ．20x 2－5y 2
＝1
C ．2x 2－2y 2＝1
D ．5y 2－20x 2
＝1
4．(2014·吉林实验中学模拟)若抛物线y 2
＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4，4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．4个
5. (2014·河南郑州模拟)已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝2
C ．x ＝－1
D ．x ＝－2
6．(2014·大连双基测试)过抛物线y 2
＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →
，则|BC |＝( )
A.92 B ．6 C.13
2
D ．8 7．(2015·山东莱芜模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物
线y 2
＝2px 的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为( )
A ．y 2
＝4x B ．y 2
＝42x
C ．y 2＝82x
D ．y 2
＝8x
8．(2015·山东青岛模拟)已知抛物线y ＝ax 2
的准线方程为y ＝－12，则实数a ＝________．
9．(2015·北京西城模拟)若抛物线C ：y 2
＝2px 的焦点在直线x ＋2y －4＝0上，则p ＝________；C 的准线方程为________．
10．(2015·山东实验中学模拟)已知离心率为355的双曲线C ：x 2
a 2－y
2
4
＝1(a >0)的左焦点
与抛物线y 2
＝mx 的焦点重合，则实数m ＝________．
11．(2015·湖北黄冈模拟)过抛物线C ：x 2
＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF |＝________．
12．(2014·兰州、张掖联考)如图，过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．
13．(2015·安徽江南十校模拟)已知抛物线C ：x 2
＝2y 的焦点为F . (1)设抛物线上任一点P (m ，n )，求证：以P 为切点与抛物线相切的切线方程是mx ＝y ＋n ； (2)若过动点M (x 0，0)(x 0≠0)的直线l 与抛物线C 相切，试判断直线MF 与直线l 的位置关系，并予以证明．
14．(2015·江西重点中学模拟)已知
抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，当直线l 的倾斜角是45°时，AB 的中垂线交y 轴于点Q (0，5)．
(1)求p 的值；
(2)以AB 为直径的圆交x 轴于点M ，N ，记劣弧MN ︵的长度为S ，当直线l 绕F 旋转时，求
S
|AB |的最大值．
15．(2015·福建福州模拟)已知抛物线Г的顶点为坐标原点，焦点为F(0，1)．
(1)求抛物线Г的方程；
(2)若点P为抛物线Г的准线上的任意一点，过点P作抛物线Г的切线PA与PB，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过某一定点；
(3)分析(2)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(2)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题，不要求证明．
40.曲线与方程
(2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，
B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
考点求曲线方程
1．(2014·湖北)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
2.(2013·四川)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，
0)，且椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，13. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |
2
＝
1|AM |
2
＋
1|AN |
2
，求点Q 的轨迹方程．
3．(2014·广东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为(5，0)，离心率为5
3
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的
轨迹方程．
1．(2014·贵州七校联盟模拟)
已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1，0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线
AB 的距离为
7
7
|OB |. (1) 求椭圆C 的方程；
(2) 若椭圆C 1方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，椭圆C 2方程为：x 2m 2＋y 2
n
2＝λ(λ>0，且λ≠1)，
则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若直线y ＝kx ＋b 与两椭圆C 2、C 交于四点(依次为P 、Q 、R 、S )，且PS →＋RS →＝2QS →
，试研究动点E (k ，b )的轨迹方程．。