北京朝阳区初三数学模拟试题(一)

北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数 学 试 卷 2008.5
第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 1．-4的倒数是
A ．4
B ．-4
C ．4
1
D ．-41
2．下列各式计算正确的是
A ．3x -2x =1
B ．(x 2)3=x 5
C ．x 3·x=x 4
D ．(a+b)(b -a)=a 2 -b 2
3．人体中红细胞的直径约为0.0000077m ，将0.0000077用科学记数法表示为（ ）
A ．7.7×10-5
B ．7.7×10-6
C ．77×10-7
D ．0.77×10-5
4．要比较两位同学在五次体育测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是
A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差
5．函数x
2
x y +=
中，自变量x 的取值范围是 A ．x≥-2且x≠0 B ．x≥-2 C ．x>-2且x≠0 D ．x >-2
6．某校准备在八年级（1）班的10名团员中选2名作为“奥运志愿者”，其中团员晶晶被选中的概率为
A ．
110 B ．15 C ．25 D ． 1
2
7．下列所给的正方体的展开图中，是中心对称图形的是图
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
8．如图，抛物线2
y ax bx c =++，OA=OC ，下列关系中正确的是
A ．ac+1=b
B ．ab+1=c
C ．bc+1=a
D ．1a
c b
+=
机读答题卡
北京市朝阳区初三年级综合练习（一）
数 学 试 卷 2008.5
第Ⅱ卷（非机读卷 共88分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．因式分解ax 2-10ax+25a =____________________．
10．下面是按一定规律排列的北京08奥运28项比赛项目中的五项比赛项目
的图标(如图)，按此规律画出的第2008个图标应该是__________（请在横线上写出符合题意的运动项目的名称）．
11．如图，△ABC 中，∠ACB=90°, ∠B =30°，以C CA 为半径的圆交AB 于D 点，若AC=6，则AD 的长 为 ________．
12．已知等腰三角形ABC
内接于半径为5的⊙O 中，如果底边BC 的长为8，
那么底角的正切值是________ ．
三、解答题（共13个小题，13题—22题每小题5分，23题7分，24题7
分，25题8分，共72 分） 13．（本小题满分5分）
计算
1024sin 60(-+-︒-．
解：
14．（本小题满分5分）
已知 2
10a a --=，求代数式11
1
a a -
-的值． 解：
15．（本小题满分5分）
解方程：23111
x x x -=+-． 解：
16．（本小题满分5分）
为了让学生知道更多的奥运知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”．为了解这次竞赛成绩情况，抽取部分学生成绩（成绩取整数，满分为100分）作为样本，绘制了如下的直方图，请结合此图回答下列问题：
（1）此样本抽取了多少名学生的成绩？
（2）此样本数据的中位数落在哪一个范围内？
（3）若这次竞赛成绩80分以上（不含80分）的学生可获奖，请估计获奖人数占参赛总人
数的百分比是多少？
解：（1）
（2）
（3）
17．（本小题满分5分）
如图，某场馆门前的台阶的总高度CB 为0．9m ，为了方便残疾人行走，该场馆决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走
的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为8°，请计算从斜坡起点A 到台阶最高点D 的距离（即斜坡AD 的长）．
(结果精确到0．1m ，参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14)
解：
18．（本小题满分5分）
如图，在矩形ABCD 中，以点B 为圆心、BC 长为半径画弧，交AD 边于点E ，连接BE ，过C 点作CF ⊥BE ，垂足为F ．猜想线段BF 与图中现有的哪一条线段相等？
先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明． 结论：BF=_______________． 证明：
19．（本小题满分5分）列方程（组）解应用题：
某新建公园的绿化给公园自身及周边的环境都带来了明显的改变，右面的条形图是这个新建公园近几年来绿地面积的变化图，请你根据图中所给的数据解答下列问题： （1）求这个公园2005年底至2007年底这两年绿地面积的年平均增长率； （2）根据这个平均增长率，请你预测2008年底这个公园的绿地面积将达到多少万平方米？ 解：（1）
F
E
D C B A
E
A
（2）
20．（本小题满分5分）
如图，在矩形ABCD 中，AD=8cm ，AB=6cm ，点A 处有一动点E 以1cm /s 的速度由A 向B 运动，同时点C 处也有一动点F 以2cm /s 的速度由C 向D 运动，设运动的时间为()x s ，四边形EBFD 的面
积为)(2
cm y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围. 解：
21．（本小题满分5分）
已知a 、b 是关于x 的一元二次方程()22330kx k x k +-++=的两个实数根，其中k 为非负整数，点A(a ，b)是一次函数y ＝(k －2)x ＋m 与反比例函数n y=x
图象的交点，且m 、
n 为常数．
(1)求k 的值；
(2)求一次函数与反比例函数的解析式． 解：(1)
(2)
22．（本小题满分5分）
已知：如图，在⊙O 中，弦CD 垂直直径AB ，垂足为M ，AB=4，CD=E 在
AB 的延长线上，且tan E =
. （1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）将△ODE 平移，平移后所得的三角形记为△O D E '''．求当点E '与点C 重合时，△O D E '''与⊙O 重合部分的面积．
解：（1）
（2）
我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形．
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的 名称： ．
（2）如图（1），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AC ⊥BD ，垂足为O ．
求证：2222AD BC AB DC +=+，即四边形ABCD 是等平方和四边形． 证明： 图（1）
（3）如果将图(1)中的△AOD 绕点O 按逆时针方向旋转α度（0<α<90）后得到图(2)，那么四边形ABCD 能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由． 证明：
图（2）
如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的
点，且∠EAF＝45°，则有结论EF＝BE＋FD成立；
（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D
＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的
一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证
明；若不成立，请说明理由；
解：
（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
解：
已知抛物线2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C （0，3），过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，直线y= x+5经过D 、M 两点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较∠MAB 和∠ACB 的大小，并说明你
的理由. 解：（1）
（2）
北京朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷参考答案 2008.5
第Ⅰ卷（机读卷 共32分）
一、
第Ⅱ卷（非机读卷 共88分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9．a(x-5)2 10．体操 11．2π 12． 2或2
1
三、解答题（共13个小题，13题—22题每小题5分，23题7分，24题7分，25题8分，
共72 分）
13．（本小题满分5分）
解：原式1412=+--…………………………………………………4分 12
=- ．…………………………………………………………………5分
14．（本小题满分5分）
解：∵210a a --=，
∴21a a -=． ………………………………………………………………1分
()
11111a a a a a a ---=--…………………………………………………………3分 ()
1a a 1=--………………………………………………………4分 21a a
=-- 1.=-……………………………………………………………… 5分
15．（本小题满分5分）
解：方程两边同时乘以()()11x x +-，得
()()()1311x x x x --=+-，…………………………………………2分
2231x x x --=-，
2x =-． ………………………………………………………4分
经检验：2x =-是原方程的解．……………………………………………5分
16．（本小题满分5分）
（1）52231510100+++=，
此样本抽取了100名学生的成绩． …………………………………………2分
（2）中位数落在80.5~90.5这个范围内．…………………………………………3分
（3）()235210075%+÷=，
估计获奖人数占参赛总人数的75%．…………………………………………5分
17．（本小题满分5分）
解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ． ………………………………………………………1分 ∵ ∠B =90°，CD ∥AB ， ∴ DE=CB=0．9．……………………………………………2分
在Rt △ADE 中，∵∠A=8° ，∴ DE 0.9AD 6.4sin80.14
=
≈≈︒． …………………4分 答：斜坡AD 的长约为6．4m ．……………………………………………………5分
18．（本小题满分5分）
结论：BF=AE ；………………………………………………………………………………1分 证：在矩形ABCD 中，
∵AE ∥BC ，∴∠1=∠2．
∵CF ⊥BE ，∴∠BFC=90°.∴∠A=∠BFC=90°．
依题意得，BC=BE. …………………………………………………………………3分 在△AEB 和△FBC 中，
12A=BFC BE=BC ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，，
． ∴△AEB ≌△FBC （AAS ）． ………………………………………………………4分
∴BF=AE ． …………………………………………………………………………5分
19．（本小题满分5分）
解：(1)设这两年底绿地面积年平均增长率为x ．……………………………………………1分
依题意,得 ()2
901108.9x +=.………………………………………………………2分 解得 120.1, 2.1(x x ==-不合题意，舍去）.………………………………………3分
∴0.110%x ==.
答:这两年底绿地面积年平均增长率为10%．…………………………………………4分
(2)108.9(1+10%)=119.79．
答：预测2008年底这个公园的绿地面积将达到119.79万平方米．…………………5分
20．（本小题满分5分）
解： 依题意，得AE=x ，CF=2x ． …………………………………………………………1分
在矩形ABCD 中，AB ∥DC ，AB=CD=6，AD=8，
∴BE=6-x ，DF=6-2x. ． ………………………………………………………………2分
∴四边形EBFD 的面积=()6628.2
x x -+-⨯ 即y = -12x+48．…………………………………………………………………………4分 自变量x 的取值范围是0≤x ＜3． ……………………………………………………5分
21．（本小题满分5分）
解：(1)依题意,得()()20,23430.k k k k ≠⎧⎪⎨--+≥⎡
⎤⎪⎣⎦⎩…………………………………………1分 解得 10k k ≤≠且．
∵k 为非负整数，∴k=1. ………………………………………………………………2分
(2)当k=1时，原方程化为2
440x x -+=．
解得122x x ==．∴A(2,2) ． ………………………………………………………3分 把A(2,2)和 k=1代入y=（k-2）x+m ，得m=4．
∴一次函数的解析式是y=-x+4．………………………………………………………4分 把A(2,2)代入n y=x ，得n=4 ． ∴反比例函数的解析式是4y x
=
．……………………………………………………5分
22．（本小题满分5分）
（1）证：连接OD ． ∵ 弦CD ⊥直径AB ，AB=4，
CD=
∴ MD=12
CD
．∴ OD=12AB =2． 在Rt △OMD 中， ∵ sin ∠
DOM=
2MD OD =， ∴ ∠DOM=60°． 在Rt △DME 中， ∵
tan 3
E =， ∴ ∠E=30°． ∴ ∠ODE=90°．
又∵ OD 是⊙O 的半径，
∴ DE 是⊙O 的切线．……………………………………………………………2分
（2）解：∵∠ODE=90°，OD=2，∠E=30°，
∴ DE=
在Rt △ODM 中，OM=1． 又3CD 2
1CM ==， ∴ AM=3．
在Rt △ACM 中，由勾股定理得，AC=
∴AC=DE=D ′E ′ ．
∵点E ′与点C 重合，
∴平移后的D ′E ′与AC 重合．
设O E ''交⊙O 于点F ，连接OF 、OC 、AF ．
由平移的性质得△ODE ≌△O AC '，
∴∠O ′CA=∠E=30°, ∠AOF=2∠ACO ′=60°．
由平移的性质可知FC ∥AO ．
在Rt △FCD 中，可求得FC=2，∠CFO=∠FOA=60°．
∴△FOC 为等边三角形．
∴FC=OA=2．
∴AFC AFO S S ∆∆=．
∴ π=⨯π==3
2360260S S 2AOF 扇形重合部分． ……………………………………5分
23．（本小题满分7分）
（1）菱形或正方形； ………………………………………………………………………1分
（2）证： ∵AC ⊥BDO,∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°．
∴222222
;;OA OD AD OB OC BC +=+= 222222;.OA OB AB OD OC DC +=+=
∴2222AD BC AB DC +=+．
即四边形ABCD 是等平方和四边形．…………………………………………3分
（3）解：四边形 ABCD 是等平方和四边形.
证：原梯形记为A BCD ''，依题意旋转后得四边形ABCD ，连接AC 、BD 交于点O '，∵ A D ''∥BC ，
∴A OD ''∆∽COB ∆． ∴
OA OD OC OB
''=． ∵OA OA '=，OD OD '=， ∴OA OD OC OB =．
∵AOA DOD α''∠=∠=，
∴∠AOC=∠DOB=180°－α． 又∵OA OD OC OB
=， ∴△AOC ∽△DOB. …………………………………………………………………5分 ∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠4，
∴90AO D AOD '∠=∠=︒．
由（2）的结论得：2222AD BC AB DC +=+．
即四边形ABCD 是等平方和四边形．………………………………………………7分
24．（本小题满分7分）
解：（1）结论EF= BE ＋FD 成立. …………………………………………………………1分
延长EB 到G ，使BG=DF ，连接AG .
∵∠ABG ＝∠D ＝90°, AB ＝AD ，
∴△ABG ≌△ADF .
∴AG ＝AF 且∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=1 2
∠BAD ． ∴∠GAE=∠EAF ．
又AE ＝AE ，
∴△AEG ≌△AEF .∴EG ＝EF ．
即EF=BE+BG=BE ＋FD ．……………………………………………………………3分
（2）结论EF=BE ＋FD 不成立，
应当是EF=B E －FD ．…………………………………………………………………4分 在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ．
∵∠B+∠ADC ＝180°,∠ADF+∠ADC ＝180°，
∴∠B ＝∠ADF ．
∵AB ＝AD ，
∴△ABG ≌△ADF .∴AG ＝AF ．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=1 2
∠BAD ． ∴∠GAE=∠EAF ．
∵AE ＝AE ，
∴△AEG ≌△AEF .∴EG ＝EF
即EF=BE －BG=BE －FD ．……………………………………………………………7分
25．（本小题满分8分）
解：（1）∵CD ∥x 轴且点C （0，3），
∴设点D 的坐标为(x ，3) ．
∵直线y= x+5经过D 点，
∴3= x+5．∴x =－2．
即点D (－2，3) ．
根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1，y ），
又∵直线y= x+5经过M 点，
∴y =－1+5，y =4．即M （－1，4）．
∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =++．
∵点C （0，3）在抛物线上，∴a=－1．
即抛物线的解析式为223y x x =--+．……………………………………3分
（2）作B P ⊥AC 于点P ，M N ⊥AB 于点N ．
由（1）中抛物线223y x x =--+可得
点A （－3，0），B （1，0），
∴AB=4，AO=CO=3，AC=
∴∠PAB ＝45°．
∵∠ABP=45°，∴PA=PB=
∴PC=AC －．
在Rt △BPC 中，tan ∠BCP=PB PC
=2． 在Rt △ANM 中，∵M （-1，4），∴MN=4．∴AN=2．
tan ∠NAM=MN AN
=2． ∴∠BCP ＝∠NAM ．
即∠ACB ＝∠MAB ．…………………………………………………………8分
（说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分）。