高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.2函数的表示方法名师导航学案苏教版必修120171016

2.1.2 函数的表示方法
名师导航
知识梳理
1.函数的表示方法
主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图象法.
一个函数一般可以用以下三种方法表示：
(1)解析法：把一个函数用一个式子表示，这种表示函数的方法叫做解析法.
例如，函数y=2x+1就是用一个代数式2x+1表示函数y的，因此，它是用解析法表示函数.
(2)列表法：把两个变量的一系列对应值列成一个表，这种表示方法叫做列表法.
(3)图象法：把两个变量之间的关系用图象表示，这种方法叫做图象法.
2.“区间”与“无穷大”的两个概念
区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义.
对于［a,b］，(a,b)，［a,b)，(a,b］，都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度.这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法.
无穷大是个符号，不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间.
设a、b是两个实数，且a<b，我们规定：
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做___________，表示为［a,b］.
(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为___________.
(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为___________，
我们已经知道∞表示无穷大数，把∞读作无穷大，-∞读作负无穷大，类似地我们把满足{x|x≥a}，{x|x>a},{x|x≤b},{x|x<b}的实数x的集合分别表示为［a,+∞）,(a,+∞),（-∞,b］,(-∞,b).
函数有哪几种表示法？各有什么优点和不足？
表示函数有三种方法：解析法，列表法，图象法.结合其意义、优点与不足，分别说明如下:
(1)用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确.已学过利用函数的解析式，求自变量x=a 时对应的函数值，还可利用函数的解析式，列表、描点、画函数的图象，进而研究函数的性质，又可利用函数解析式的结构特点，分析和发现自变量与函数间的依存关系，猜想或推导函数的性质(如对称性、增减性等)，探求函数的应用等.不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示，求x 与y 的对应值需要逐个计算,有时比较繁杂.
(2)列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系，于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系的计价表，方便收款.列表法的缺点是只能列出部分自变量与函数的对应值，难以反映函数变化的全貌.
(3)用图象表示函数的优点是形象直观，清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小)值等性质.图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的，观察或由图象确定的函数值往往不够准确. 问题探究
问题1 你能从现实生活中举出用三种方法表示函数的例子吗?
探究思路：现实生活中有许许多多函数的例子，如：商场中各种商品与其价格之间的函数关系就是用列表法表示的；房地产公司出售的商品房，总价格与面积之间的函数关系就是用解析式来表示的；工厂每月的产量与月份之间的函数关系是用图表来表示的.
问题2 函数的表示方法中的解析式法是我们表示函数最常用的一种方法，你能说出求函数解析式的常用方法吗？ 探究思路：一般用字母x 表示函数的自变量，字母y 表示函数值，列出x 与y 之间的等量关系，化简成y=f(x)的形式.求函数的解析式的方法很多，常用的有代入法、换元法、待定系数法、配凑法、方程或方程组法等. 典题精讲
例1 已知函数f(x)=2x 2
+1，x ∈［0，2］，求f(2x+1).
思路解析 由题意知道了函数f(x)的表达式即知道了对应法则“f ”，所以求f(2x+1)可用代入法求解.
解答：∵f(x)=2x 2
+1，
∴f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x 2
+8x+3.
又由题意知0≤2x+1≤2，∴-21≤x ≤2
1. ∴f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x 2
+8x+3，x ∈［-21，2
1］.
例2 已知函数f(x+1)=x 2
-1，x ∈［-1，3］，求f(x)的表达式.
思路解析 函数是一类特殊的对应，已知函数f(x+1)=x 2-1，即知道了x+1的象是x 2
-1，求出x 的象，即是f(x)的表达式.求解f(x)的表达式,本题可用“配凑法”或“换元法”.
解法一：(配凑法)∵f(x+1)=x 2-1=(x+1)2-2(x+1)，∴f(x)=x 2
-2x.
又x ∈［-1，3］时，(x+1)∈［0，4］，∴f(x)=x 2
-2x ，x ∈［0，4］.
解法二：(换元法)令x+1=t ，则x=t-1，且由x ∈［-1，3］知t ∈［0，4］，
∴由f(x+1)=x 2-1，得f(t)=(t-1)2-1=t 2
-2t ，t ∈［0，4］.
∴f(x)=(x-1)2-1=x 2
-2x ，x ∈［0，4］.
例3 已知二次函数f(x)的图象过点A(1，1)、B(2，0)及点C(6，0)，求f(x)的表达式.
思路解析 二次函数是我们熟悉的一种函数，其形式有：一般式f(x)=ax 2
+bx+c(a 、b 、c ∈R 且a ≠0)；交点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a ∈R 且a ≠0)，其中x 1、x 2分别是f(x)的图象与x 轴
的两个交点的横坐标；顶点式f(x)=a(x-m)2
+n(a ∈R 且a ≠0)，(m ，n)是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数，所以可用待定系数法求解f(x)，具体解法如下.
解法一：(一般式)由题意可设f(x)=ax 2
+bx+c(a 、b 、c ∈R 且a ≠0). ∵f(x)的图象过点A(1，1)、B(2，0)及点C(6，0)，
∴⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.512
,58,51.0636,024,1c b a c b a c b a c b a 解得
∴f(x)=
51x 2-58x+5
12. 解法二：(交点式)∵f(x)的图象过点B(2，0)及点C(6，0)，
∴f(x)的图象与x 轴的两交点的横坐标分别是2和6. ∴可设f(x)=a(x-2)(x-6)，a ∈R 且a ≠0.
∵f(x)的图象过点A(1，1)，∴1=a(1-2)(1-6).解得a=
5
1. ∴f(x)=
5
1
(x-2)(x-6)， 即f(x)=51x 2-58x+5
12
.
解法三：(顶点式)∵f(x)的图象过点B(2，0)及点C(6，0)， ∴f(x)的图象关于直线x=
2
6
2+，即x=4对称. ∴可设f(x)=a(x-4)2
+m ，其中a 、m ∈R 且a ≠0. 又f(x)的图象过点A(1，1)、B(2，0)，
∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=.
)42(0,)41(12
2
m a m a ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-==⎩⎨⎧=+=+.
54,51.04,19m a a m a m 解得
∴f(x)=
51(x-4)2-54，即f(x)=51x 2-58x+5
12.
例4 (1)已知函数f(x)满足2xf(x)-3f(x)-x 2
+1=0，求f(x)的表达式； (2)已知函数y=f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)=2f(
x
1
)+x ，求f(x)的表达式. 思路解析 题(1)可看成是关于f(x)的方程，通过解方程可解得f(x)的表达式；题(2)应注意到等式f(x)=2f(
x 1)+x ，一方面此等式反映出f(x)与f(x
1)之间的等量关系，这种等量关系可
看作是关于f(x)与f(x
1
)的方程；另一方面此等式是对(0，+∞)内的一切实数x 均成立，故将此等式中的x 换成
x
1
后，相应的等式也应该成立，从而可通过列方程组求解. 解答：(1)∵2xf(x)-3f(x)-x 2
+1=0，∴(2x-3)f(x)=x 2
-1. 又∵x=
23时，方程左边=-49+1=-4
5
≠0， ∴x=23时，f(x)无意义.当x ≠23时，f(x)=3
212--x x .
(2)∵x ＞0时，有f(x)=2f(
x
1
)+x ， ① 而x ＞0时，x 1＞0，∴f(x 1)=2f(x)+x
1
. ②
①②联立解得f(x)=-3
32x
x -为所求. 知识导学
1.函数的表示方法
函数的表示方法有三种：列表法、解析法、图象法.其中后两种方法最为常见.这些表示函数的方法各有优缺点.
用解析法表示函数关系，优点是简明，便于用数学方法进行研究，但是多数的函数关系又往往不能用这种方法表示.
用列表法表示函数关系，优点是容易找到对应于自变量的某一个值(只要表中有)的函数值，但缺点是往往不可能把自变量的值都列在表里. 用图象法表示函数关系，优点是一方面可以容易地找到自变量某一值所对应的函数值，另一方面可以明显地看出自变量变化时，函数值的变化情况，但用图象法表示函数关系只能是局部的、近似的图形. 2.求函数的解析式
根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式，一是要求出对应法则，二是要求出函数的定义域.
求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，但要注意函数定义域还应由实际意义来确定. 疑难导析
由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象. 问题导思
问题1:这样的例子还可以举出很多很多.是不是你也能举出身边的一个例子？ 问题2::求函数的解析式一般要指出函数的定义域. 典题导考
绿色通道 当我们已知函数f(x)的表达式，要求f ［g(x)］的表达式时，一般用“代入法”，即将f(x)中的x 用g(x)取代，化简，而由于f ［g(x)］中的g(x)相当于f(x)中的x 的一个取
值，所以f ［g(x)］的定义域应由g(x)满足f(x)的定义域来确定.求解f ［g(x)］的定义域就是解关于g(x)的不等式. 典题变式
已知f(
x 1)=1
1+x ，那么f(x)的函数解析式为( ) A.x +11 B.x x +1 C.x
x +1 D.1+x 答案:C
绿色通道 已知函数f ［g(x)］的表达式，求f(x)的表达式，解决此类问题一般有两种思想方法，一种是用配凑的方法，一种是用换元的方法.
“配凑法”即把已知的f ［g(x)］配凑成关于g(x)的表达式，而后将g(x)全用x 取代，化简得要求的f(x)的表达式；
“换元法”即令已知的f ［g(x)］中的g(x)=t ，由此解出x ，即用t 的表达式表示出x ，后代入f ［g(x)］，化简成最简式.
需要注意的是，无论是用“配凑法”还是用“换元法”，在求出f(x)的表达式后，都需要指出其定义域，而f(x)的定义域即x 的取值范围应和已知条件f ［g(x)］中g(x)的范围一致，所以说求f(x)的定义域就是求函数g(x)的值域.
绿色通道 已知函数类型求解函数表达式时，一般用待定系数法.如求一次函数可设f(x)=kx+b ，k 、b 为待定系数；求反比例函数可设f(x)=
x
k
，k 为待定系数；指数函数可设成f(x)=a x
(a ＞0且a ≠1)，对数函数可设成f(x)=log a x(a ＞0且a ≠1)等.
本题是求二次函数，由于二次函数有三种形式，设成一般式还是交点式、顶点式要根据题设中的条件来确定.一般情况下，知道二次函数图象过三点时，可选用一般式；知道图象与x 轴交点坐标时可选用交点式；如知道二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程时可选用顶点式.无论选用哪种形式，都需要列方程或方程组求解待定系数. 典题变式
已知函数f(x)的图象如下图所示.
则f(x)的解析式是_________________.
答案:f(x)=⎩
⎨⎧≤≤-<≤-+10,,
01,1x x x x
绿色通道 方程及方程思想是初等数学中的两个重点内容，利用解方程或方程思想来解决数学
问题是我们常用的方法. 典题变式
设函数f(x)满足f(x)+2f(
x
1
)=x(x ≠0)，求f(x).
答案:∵f(x)+2f(
x
1)=x,
①
以
x 1代换x 得f(x 1)+2f(x)=x
1
, ② 解①②组成的方程组得f(x)=
3
32x x .。