2020年 九年级数学(下) 期中检测题附答案解析

期中检测题
【本检测题满分:120分，时间:120分钟】
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（2015·广州中考）已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离
是( )
A.2.5
B.3
C.5
D.10
2.如图是教学用的直角三角板，边AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC
=，则边BC的长为（）
A.30 cm
B.20 cm
C.10 cm
D.5 cm
3.一辆汽车沿坡角为的斜坡前进500米，则它上升的高度为（）
A.500sin
B.
500
sinα
C.500cos
D.
500
cosα
4.如图，在△中，=10，∠=60°，∠=45°，则点到的距离是（）
A.1053
B.5+53
C.1553
D.15103
5.（2014·四川南充中考）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直
径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（）
A.40°
B.60°
C.70°
D.80°
6.计算6tan452cos60
︒-︒的结果是( )
A.43
B.4
C.53
D.5
7.如图，在ABC
△中，90,5,3,
∠C AB BC
=︒==则sin A的值是( ) A.
3
4
B.
3
4
C.
3
5
D.
4
5
8.上午9时，一船从处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30 分到达处，
如图所示，从，两处分别测得小岛在北偏东45°和北偏东15°方向，那么处与小岛的距离为（）
A.20海里
B.202海里
第2题
C.153海里
D.203海里
9.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）
A．40° B. 50° C. 60° D.70°
第9题图
10.如图，是的直径，是的切线，为切点，连结交⊙于点,连结,若
∠＝45°,则下列结论正确的是（）
A． B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.在离旗杆20 m的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为，如果测角仪高1.5 m，
那么旗杆的高为________m.
12.如图，PA,PB切⊙于点A,B，点C是⊙上一点，∠ACB=60°，
则∠P= °
13.已知∠为锐角，且sin =
8
17
，则tan 的值为__________.
14.如图，在离地面高度为5 m的处引拉线固定电线杆，拉线与地面成角，则拉线的
长为__________m(用的三角函数值表示).
15.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连结AD，若∠A=25°，
则∠C =__________度.
16.如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A， P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），
过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是．
17.如图所示，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若60APB o ∠，⊙O 的半径为3， 则阴影部分的面积为_______.
18.（2015·上海中考）已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝30°．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________． 三、解答题（共66分）
19.(8分)计算:6 tan 2
30°－cos 30°·tan 60°－2 sin 45°+cos 60°.
20.(8分)如图，李庄计划在山坡上的处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知到水池处的距离是50米，山坡的坡角∠
=15°，由于受大气压的影响，
此种抽水泵的实际吸水扬程不能超过10米，否则无法抽取水池中的水，试问抽水泵
站能否建在处?
21.(8分) 如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点P 是直径AB 上的一点（不与A ，
B 重合），过点P 作AB 的垂线交B
C 的延长线于点Q .
（1）在线段PQ 上取一点D ，使DQ =DC ，连结DC ，试判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若cos B = 3
5
，BP =6，AP =1，求QC 的长.
22.(8分)在Rt △中，∠=90°，∠=50°，=3，求∠和a (边长精确到0.1).
23.(8分) （2015·南京中考）如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头
O 的正北方向C 处，测得∠CAO =45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/ h 和36 km/h.经过0.1 h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处，测得∠DBO ＝58°,此时B 处距离码头O 有多远？ （参考数据：sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60）
第23题图 第24题图 24.(8分)某电视塔
和楼
的水平距离为100 m ，从楼顶处及楼底
处测得塔顶的仰
角分别为45°和60°，试求楼高和电视塔高(结果精确到0.1 m).
25.(8分)（2015·湖北黄冈中考）已知:如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交
AB于点M，交BC于点N，连结AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.
（1）求证:∠BCP=∠BAN;
（2）求证:
第25题图
26.（10分）（北京中考）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC
的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH.
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长.
期中检测题参考答案
一、选择题
1. C 解析：根据切线的性质可知：圆心到直线的距离d=r=5.
2.C 解析：在直角三角形ABC中，tan∠BAC=tan30°=根据三角函数定义可知：tan∠BAC=，则BC=AC tan∠BAC=30×=10(cm)．故选C．
3.A 解析：如图，∠=，=500米，则=500sin ．故选A．
第3题答图第4题答图
4.C 解析：如图，作AD ⊥BC ，垂足为点D .在Rt △中，∠=60°，
∴
=
．
在Rt △中，∠=45°，∴ =
，
∴
=（1+）
=10．解得
=15﹣5
．
5. C 解析：∵ PA 和PB 是⊙O 的切线,∴ PA PB =,∴ PAB PBA ∠=∠. ∵ ∠P ＝40°, ∴ PAB PBA ∠=∠=
180180407022
P ︒-∠︒-︒
︒＝＝. ∵ OA PA ⊥,∴ 90PAB BAC ∠+∠=︒.
∵ AC 是⊙O 的直径，∴ 90ABC ∠=︒,∴ 90ACB BAC ∠+∠=︒. ∴ 70ACB PAB ∠=∠=︒,故选项C 正确. 6.D 解析：1
6tan 452cos 6061252
︒-︒=⨯-⨯= .
7.C 解析：3
sin 5
BC A AB =
= . 8.B 解析：如图，过点作⊥于点．
由题意得，=40×=20（海里），∠=105°．
在Rt △中，=
•
45°=10
．
在Rt △中，∠=60°，则∠=30°， 第8题答图 所以
=2
=20
（海里）．故选B ．
9.B 解析：连结OC ，如图所示.
∵ 圆心角∠BOC 与圆周角∠CDB 都对弧BC ， ∴ ∠BOC =2∠CDB ，又∠CDB =20°，∴ ∠BOC =40°， 又∵ CE 为
的切线，∴OC ⊥CE ，即∠OCE =90°，
∴ ∠E =90°40°=50°．故选B.
10.A 解析：∵ 是的直径，与切于点且∠＝
, ∴Rt △
，Rt
△
和Rt △
都是等腰直角三角形.∴ 只有
成立.故选A.
二、填空题
11.（1.5+20tan ） 解析：根据题意可得：旗杆比测角仪高20tan m ，测角仪高1.5 m ， 故旗杆的高为（1.5+20tan ）m ． 12.50 解析：连结OA ，OB ．
PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，则∠PAO =∠PBO =90°，
由圆周角定理知，∠AOB=2∠C =130°，
∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，
∴∠P=180°﹣∠AOB =50°．
第12题答图第13题答图
13.
8
15
解析：由sin==知，如果设=8，则17，结合2+2=2得=15．
∴ tan=．
14.
5
sinα
解析：∵⊥且=5 m，∠CAD=α，
∴=．
15.40 解析：连结OD，由CD切⊙O于点D，得∠ODC=90o.
∵OA=OD,∴250
DOC A
∠=∠=o,
∴90905040.
C DOC
∠=-∠=-=
o o o o
16. 2 解析：如图所示，
连结OA，过点O作AP
OC⊥于点C，所以∠ACO=90°.
根据垂径定理可知，x
AP
AC
2
1
2
1
=
=.
根据切线性质定理得，l
OA⊥.
因为l
PB⊥，所以∠PBA=90°,OA∥PB,
所以APB
OAC∠
=
∠.
又因为∠ACO=∠PBA，所以OAC
△∽APB
△,
所以
,
PB
AC
AP
OA
=
即
y
x
x
2
4
=
，所以
8
2
x
y=，
所以
8
2
x
x
y
x-
=
-=2
)4
(
8
1
2+
-
-x，
所以y
x-的最大值是2.
17.PA，PB切⊙于A，B两点，所以∠=∠，所以∠
所以
所以阴影部分的面积为=.
18.434- 解析：根据题意画出图形，如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F . ∵ 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC ＝30°， ∴ ∠ABC =∠ACB =75°.
由旋转过程可知AD =AC =AB =8，∠CAD =∠BAC =30°， ∴ ∠BAE =60°，∴ ∠BEF =180°－60°－75°=45°， ∴ EF =BF .
在Rt △ABF 中，cos 8cos604AF AB BAF =⋅∠=⨯︒=，
sin 8sin 6043BF AB BAF =⋅∠=⨯︒=.
∴443AE AF EF AF BF =+=+=+. ∴4438434DE AE AD =-=+-=-.
.三、解答题
19.解：原式=2
332131
6322212322222⎛⎫⨯-⨯-⨯+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭. 20.解：∵
=50，∠
=15°，又sin ∠
=
AB
AC
， ∴ =·sin ∠= 50sin 15°≈13>10， 故抽水泵站不能建在处. 21. 分析：（1）连结OC ，通过证明OC ⊥DC 得CD 是⊙O 的切线；（2）连结AC ，由直径所对的圆周角是直角得△ABC 为直角三角形，在Rt △ABC 中根据cos B =35
，BP =6，AP =1，求出
BC 的长，在Rt △BQP 中根据cos B =BP
BQ
求出BQ 的长，BQ BC 即为QC 的长.
解：（1）CD 是⊙O 的切线.
理由如下：如图所示，连结OC ，
∵ OC =OB ，∴ ∠B =∠1.又∵ DC =DQ ，∴ ∠Q =∠2. ∵ PQ ⊥AB ，∴ ∠QPB =90°.
∴ ∠B +∠Q =90°.∴ ∠1+∠2=90°.
∴ ∠DCO =∠QCB (∠1+∠2)=180°90°=90°. ∴ OC ⊥DC .
∵ OC 是⊙O 的半径，∴ CD 是⊙O 的切线. （2）如图所示，连结AC ，
∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB =90°.
在Rt △ABC 中， BC =AB cos B =(AP +PB )cos B =(1+6)×35
= 21
5.
在Rt △BPQ 中，BQ =
cos BP B = 635
=10.∴ QC =BQ BC =10-215=29
5.
22.解：∠=90°50°=40°.∵ sin =
a
c
，=3，∴sin ≈3×0.766 0≈2.298
≈2.3.
23. 解：设B 处距离码头O x km. 在Rt △CAO 中，∠CAO =45°. ∵ tan ∠CAO =
∴ CO =AO ·tan ∠CAO =(45×0.1+x )·tan 45°=4.5+x. 在Rt △DBO 中，∠DBO =58°.
∵ tan ∠DBO =,∴ DO=BO ·tan ∠DBO=x ·tan 58°. ∵ DC =DO CO ,∴ 36×0.1= x ·tan 58°(4.5+x ), ∴ x=
≈
=13.5.
因此，B 处距离码头O 大约13.5 km. 24.解：设= m ，∵ =100 m ，∠=45°， ∴·tan 45°=100(m).∴ =(100+)m. 在Rt △中，∵∠=60°，∠=90°， ∴ tan 60°=
AB
BD
，∴ =3，即+100=1003，=100310073.2(m)，
即楼高约为73.2 m ，电视塔高约为173.2 m. 25．证明：（1）∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ANC =90°.∴ AN ⊥BC .
又∵ AB =AC ，∴ ∠1=∠2.
∵ CP 切⊙O 于点C ，∴ CP ⊥A C.∴ ∠3+∠4=90°.
∵ ∠1+∠3=90°，∴ ∠1=∠4.∴ ∠2=∠4，即∠BCP =∠BAN . （2）∵ AB =AC ，∴ ∠3=∠5.
又∵ 四边形AMNC 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠3+∠AMN =180°.
又∵ ∠5+∠CBP =180°，∴ ∠AMN =∠CBP . 又∵ ∠2=∠4，∴ △AMN ∽△CBP .∴ . 26.（1）证明：如图，连结OC .
∵ C 是弧AB 的中点，AB 是⊙O 的直径， ∴ OC ⊥AB .∵ BD 是⊙O 的切线，∴BD ⊥AB , ∴ OC ∥BD .
∵ AO =BO ,∴ AC =CD .
(2)解：∵ OC ⊥AB ，AB ⊥BF , ∴OC ∥BF ，
∴ ∠COE =∠FBE .∵ E 是OB 的中点，∴ OE =BE . 在△COE 和△FBE 中，
,,
,CEO FEB OE BE COE FBE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴ △COE ≌△FBE (ASA).∴ BF =CO .∵ OB =OC =2，∴ BF =2，AB =4.∴ 222 5.AF AB BF =+=
∵ AB 是直径，∴ BH ⊥AF .∵ AB ⊥BF ,∴ △ABH ∽△AFB . ∴ AB BH AF
BF
=,∴45,.
25
AB BF AB BF AF BH BH AF
⋅⋅=⋅=
==∴。