天津市蓟县届高三模拟考试数学试题及答案(理)

2014天津蓟县高三数学模拟试卷
（理科数学）
本试卷共150分。

考试用时150分钟。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷的答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.
3.考试结束，监考人员将本试题和答题卡一并收回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足
3
(12)12
i z i
+=+，则z =（）
A．34
55
i
+
B．
34
55
i
-+
C．
34
55
i
--
D．
34
55
i
-
2．抛物线
2
1
4
y x
=
的焦点坐标是（）
A．
1
,0
16
⎛⎫
⎪
⎝⎭B．
1
0,
16
⎛⎫
⎪
⎝⎭C．（0，1）D．（1，0）
3．已知定义在复数集C上的函数
)
(x
f
满足⎩
⎨
⎧
∉
-
∈
+
=
R
x
x
i
R
x
x
x
f
)
1(
1
)
(
，则
()
1
f i+
等于
（）
A．2-B．0 C.2D．2i+
4．已知函数
)
2
|
|,0
,0
)(
sin(
)
(
π
ϕ
ω
ϕ
ω<
>
>
+
=A
x
A
x
f
，其导函数
)
(x
f'
的部分图象
如图所示，则函数
)
(x
f
的解析式为（）
A．
)
4
2
1
sin(
2
)
(
π
+
=x
x
f
B．
)
4
2
1
sin(
4
)
(
π
+
=x
x
f
C．
)
4
2
1
sin(
2
)
(
π
-
=x
x
f
D．
)
4
2
1
sin(
4
)
(
π
-
=x
x
f
第4题
5．下列命题中是假命题的是 A ．),0(,)1()(,3
42+∞⋅-=∈∃+-且在是幂函数使m m x
m x f m R 上递减
B ．
有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02
C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R
D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数
6．已知m n 、是两条不重合的直线，αβγ、、是三个重合的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ）
A ．//,//m m αβ
B ．,αγβγ⊥⊥
C ．,,//m n m n αβ⊂⊂
D ．m n 、是异面直线，,//,,//m m n n αββα⊂⊂ 7．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为 （ ）
A ．1
5 B ．25 C ．35 D ．45
8．从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为（ ）
A ．42
B ．30
C ．72
D ．60
9．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的,R x y ∈，等式
()()()f x f y f x y ⋅=+成立，若数列
{}n a 满足1(0)a f =，且
11
()(N )
(2)n n
f a n f a *+=
∈-- 则2009a 的值为（ ）
A ．4016
B ．4017
C ．4018
D ．4019
10．已知圆Γ：
22
(4)(3)25x y -+-=，过圆Γ内定点P （2，1）作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 面积最大值为（ ）
A ．21 B
． C ．21
2 D ．42
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
11．若
1n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为256，则n =_________，其展开式的常数项等于__________。

（用数字作答）
12．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 cm3．
13．已知y x ,满足
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤+≥04
1c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为１，
则=++a c
b a -------
14．在ABC ∆中，||3,||4,||5AB AC BC ===，O 为ABC ∆的内心，且,AO AB BC λμ=+则
λμ+ = .
15．已知ABC ∆内接于椭圆22
2
21(0)x y a b a b +=>>，且ABC ∆的重心G 落在坐标原点O ，则
ABC ∆的面积等于 .
16
．函数()f x =的值域为 .
三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分12分）
已知函数2
()2f x x cox x m ++，其定义域为
[0,]
2π
，最大值为6. （1）求常数m 的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间.
18（本小题满分12分）
袋中装有若干个质地均匀大小一致的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍.每次从袋中摸出一个球然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束.
（1）求摸球3次就停止的事件发生的概率；
（2）记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望.
19．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P ABCD -的底面的菱形，60BCD ︒
∠=，点E 是BC 边的中点，
AC DE 与交于点O ，PO ABCD ⊥平面
（1）求证：PD BC ⊥；
（2）若AB PC P AD C ==--的大小； （3）在（2）的条件下，求异面直线PB 与DE 所成角的余弦值。

20．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的两个焦点分别为12F F 和
，且点(A B 在椭圆C
上，又1(F . （1）求焦点F2的轨迹Γ的方程；
（2）若直线(0)y kx b k =+>与曲线Γ交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆经过原点，求实数b 的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知函数2()2ln f x x x =-
（1）若方程1
()0[,]
f x m e e +=在内有两个不等的实根，求实数m 的取值范围；（e 为自
然对数的底数）
（2）如果函数()()g x f x ax =-的图象与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 且120x x <<.求证：12'()0g px qx +<（其中正常数,1,p q p q q p +=≥满足且）.
22（本小题满分14分）
已知数列{}n a
满足：
1
12312
,(3,*)n n n n k a a a a a k a n n N a -+-+====
≥∈其中0k >，数列
{}n b 满足：
2
1
(1,2,3,4,)
n n n n a a b n a +++=
=
（1）求1234b b b b 、、、；
（2）求数列{}n b
的通项公式；
（3）是否存在正数k ，使得数列{}n a
的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果
存在，求出所有的k.
理科数学试题参考答案
由
02x π≤≤
知：726
6
6x π
π
π
≤+
≤
，于是可知()3f x m ≤+
36m ∴+=得3m =.………………………………………………………（6分）
（2）由()2sin(2)4
6f x x π
=++及726
66x πππ≤+≤ 而()f x 在
22
6
2x π
π
π
-
≤+
≤
上单调递增 可知x 满足：26
6
2x π
π
π
≤+
≤
时()f x 单调递增
06x π
∴≤≤
于是()f x 在定义域0,2π⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上的单调递增区间为0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦.………………（12分） 18．解：（1）摸球3次就停止，说明前三次分别都摸到了红球，
则
311
()327p ==
……………………………………………………………（5分） （2）随机变量ξ
的取值为0，1，2，3.
则
055132(0)(1)3243p C ξ==⨯-=
，
1
451180(1)(1)33243p C ξ==⨯⨯-=
22351180
(2)()(1)33243p C ξ==⨯⨯-=
，
33222
2233411111117(3)(1)()(1)()(1)333333381p C C C ξξ==⨯-+⨯⨯-⨯+⨯⨯+⨯=
.
随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望为：
3280801713101232432432438181E ξ=
⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………（12分）
19．解：解答一：（1）在菱形ABCD 中，连接,DB 则BCD ∆是等边三角形。

E BC DE BC PO ABCD
OD PD ABCD PD BC ∴⊥⊥∴∴⊥点是边的中点平面是斜线在底面内的射影
（2）DE BC ⊥由（1）知
122633ABCD DE PD ABCD PD AD
PDO P AD C ABCD AD DE BCD BDC DO DE BC ∴⊥⊥∴⊥∴∠--⊥∆∴∆∆=
===菱形ABCD 中，AD//BC DE AD
又PO 平面，是在平面的射影为二面角的平面角
在菱形中，，由（）知，为等边三角形
点E 是BC 边的中点，AC 与BD 互相平分点O 是BCD 重心AB=63
又在等边中，
66,66
t a n 16
4
--4
OC
OD PC PO PO Rt POD PDO DO PDO P AD C π
π
∴===∴=∴∆∠===∴∠=
∴在中，二面角的大小为
解法二：（1）同解法一；
（2）过点O 作AD 平行线交AB 于F ,以点O 为坐标原点,建立如图的坐标系
6,0),((0,6,0),(0,0,6)
(63,0,0),(0,6,6)(,,)000660000,0(0.1,1)
(0A B C D P AD PD PAD s a m n s PD s AD a m n a m n a m n s OP ∴---∴=-=--=⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⋅--=⎧⎪⎨-+⋅+⋅=⎪⎩=⎧∴⎨
=-⎩=-=设平面的一个法向量为则即不妨取,0,6)2
cos ,||||
ADC s OP
s OP s OP ⋅∴
<>=
=⋅是平面的一个法向量，
∴二面角P AD C --
的大小为4π
（3）由已知，可得点(0,3,0)E
(33,3,6),(0,9,0).2cos ,4||||PB DE PB DE PB DE PB DE ∴=-=⋅∴<>=
=
⋅
即异面直线PB DE 、所成角的余弦值为4
故轨迹方程为2
2
1(0)
4y x x -=>.…………………………………………（6分）
（2）由2
21(0)4y x x y y kx b
⎧-
=>⎪⎨
⎪=+⎩消去整理得
方程
222
(4)2(4)0k x kbx b ---+=有两个正根12,x x . 222222
1212244(4)(4)0 (1)40 (2)
420 (3)4k b k b b x x k kb x x k ⎧∆=+-+>⎪⎪
+⎪
∴=>⎨-⎪
-⎪
+=>⎪-⎩
设
1122(,),(,)M x y N x y ，由条件知12120x x y y +=.
而2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++
221212(1)()0k x x kb x x b ∴++++=
即2222
22
2(1)(4)2044k b k b b k k ++-+=--
整理得22
34(1)b k =+，即2
24(1) (4)3b k =+
由（1）知22
40b k -+>，即22
4(1)403k k +-+>显然成立. 由（2）、（3）知24
0k kb ⎧>⎨
<⎩
而0,0k b >∴<.
224420(1)(41)333b k ∴=+>+=
b ∴<=.
故b
的取值范围为
,3⎛-∞- ⎝⎭……………………（12分） 21．解：（1）由2()2ln f x x x =-，
求导数得到：22(1)(1)()2x x f x x x x -+'=
-= 1x e e ≤≤，故()0f x '=在1x =有唯一的极值点
2211()2,()2,()(1)1f f e e f x f e e =--=-==-极大值，且知
1()()f e f e < 故
1(),m f x e e ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦在上有两个不等实根需满足： 2121m e --≤-<-
故所求m 的取值范围为
211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.………………………………………（6分） （2）2(),g x x a x '=
--又()0f x ax -=有两个实根12,x x
则211122222ln 02ln 0x x ax x x ax ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩
两式相减得到：
121212122(ln ln )()(0,0)x x a x x x x x x -=
-+>>-且 于是12()g px qx '+
12121212122(ln ln )22()()x x px qx x x px qx x x ⎡⎤-=-+--+⎢⎥+-⎣⎦
122112122(ln ln )2(21)()x x p x x px qx x x -=-
+--+-
2121,0q x x ≥>>且，故21(21)()0p x x --≤
要证：12()0g px qx '+<，只需证：1212212(ln ln )20x x px qx x x -+<+-
只需证：211122ln 0(*)x x x px qx x -+<+
令12x t x =，则01t << 只需证明：1()ln 0t u t t pt q -=+
>+在01t <<上恒成立. 又11,,2p q q +=≥则221,1q q p p ≥≥从而
于是由1t <可知
2
2q t p <.故知()0u t '> ∴()(0,1)u t t ∈在上为增函数，则()(1)0u t u <= 从而可知121212ln
0x x x x px qx -+<+，即（*）式成立，从而原不等式得证.………（14分）
22．解：（1）经过计算可知：
451,2,a k a k =+=+ 4563(1)(2)24k a a k k k a k a k k ++++===++. 求得
132421
2,k b b b b k +====.…………………………………………（4分） （2）由条件可知：
121n n n n a a k a a +--=+.…………① 类似地有：
211n n n n a a k a a +-+=+.…………② ①-②有：
122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+. 因此：
2211n n n n n n a a a a a a +-+-++= 即：2,n n b b -=故132123122n n a a b b b a --+====
= 242222321n n a a k b b b a k -++=====
所以：41(1)(*)22n
n k b n N k k +-=+∈.…………………………………………（8分）
（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数.
则由（2）可知：21221222122(1,2,3,)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩…………③
由1a k Z =∈，及624a k Z k =++∈可知12k =或.
当1k =时，213k k +=为整数，利用123
,,a a a Z ∈，结合③式，反复递推，可知4a ，5a ，6a ，7a ，…均为整数.
当2k =时，③变为21221222122(1,2,3)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩………④
我们用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数(1,2,3,)n = 1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故
212212n n n a a a +-=-为偶数，222152n n n a a a ++=-为整数，所以1n k =+时，命题成立.
故数列{}n a 是整数列.
综上所述，k 的取值集合是
{}1,2 (14)。