湖南省岳阳市一中高三数学第一次质量检测【会员独享】

岳阳市一中2012年下期高三第一次质量检测数学试卷（汉理）
时量：120分钟 分值:150分 命题：高三理科数学备课组
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则)(B C A U ⋂等于( )
A ．∅
B ．{}1
C ．{}1,2
D ．{}1,0,1,2-
2．设复数113i z =-，232i z =-，则
2
1
z z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于( )
A ．()2,1--
B ．()2,1
C ．()3,1-
D ．()3,1-
4． “1a >”是“函数x a x f )()(2=在定义域内是增函数”的( )
A ．必要条件
B ．充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．设随机变量()
2
~1,5X N ，且()()02P X P X a ≤=>-，则实数a 的值为( )
A ． 4
B ． 6
C ． 8
D ．10 6．在正四棱锥V ABCD -中，底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA 与
BD 所成角的大小为( )
A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π 7．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1
x
（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( ) （A ）ln2
2
（B ）1－ln22
（C ）1＋ln22
（D ）2－ln22
8． 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，⎪⎩⎪
⎨⎧>-≤<-=-2),2(2
120,12)(1x x f x x f x ，则函数
1)()(-=x xf x g 在[)+∞-,6上的所有零点之和等于( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分．
（一）选做题（请考生在9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分） 9．在极坐标系中，直线l 经过圆2cos ρθ=的圆心且与直线cos 3ρθ=平行，则直线l 与极
轴的交点的极坐标为_________．
10．若存在实数x 满足52<-+-m x x ，则实数m 的取值范围为___________. 11．如右图，AB 是圆O 的直径，直线CE 与圆O 相切于点C ，
AD CE ⊥ 于点D ，若圆O 的面积为4π，30ABC ∠=，则 AD 的长为 ．
（二）必做题（12～16题）
12．2
5
3
1()x x +的二项展开式中，常数项的值是 . 13．已知程序框图如右，则输出的i = ．K K
14．若实数x ，y 满足约束条件5315
1
,3553x y y x z x
x y +≤⎧⎪
≤+
=+⎨⎪-≤⎩
则的最大值为
15．已知抛物线)0(22
>=p px y 与双曲线122
22=-b
y a x
有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率
为 ．
16．已知数列),3(,,,:21≥n a a a A n 令{
},1,n j i a a x x T j i A ≤<≤+==)(A T card 表示 集合A T 中元素个数.
（1）若:A 1,3,5,7,9，则)(A T card =____________________;
(2) 若)11(1-≤≤=-+n i c c a a i i 为常数，，则)(A T card =____________________;
三、解答题： 本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin
13BAD ∠=，3cos 5ADC ∠=． （1）求sin ABD ∠的值； （2）求BD 的长． 18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(1*N n a S n n ∈-=.
（1）试求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足：)(*N n a n
b n
n ∈=，试求{}n b 的前n 项和n T .
19.（本小题满分12分）
如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，ABCD 为平行四边形，F E ,分别为BP AD ,的中点，3=AD ，5=AP ，=PC （1）求证：EF ∥平面PDC ；
（2）若∠CDP ＝90°，求证DP BE ⊥; （3）若∠CDP ＝120°，求该多面体的体积.
A
B C
D
20．（本小题满分13分）
为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．
（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；
（2）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
21．（本小题满分13分）
设椭圆22
2:12
x y M a +
=(a >的右焦点为1F ，直线2
:2
2-=
a a x l 与x 轴交于点A ，
若112OF AF +=0（其中
O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程；
（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:2
2=-+y x N 的任意一条直径（E 、F
为直径的两个端点），求⋅的最大值．
u u 22．（本小题满分13分）
已知函数()3
2()ln 2123
x f x ax x ax =++--()a ∈R ． （1）若2x =为)(x f 的极值点，求实数a 的值；
（2）若)(x f y =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；
（3）当12a =-时，方程()()3
11+3x b f x x
--=
有实根，求实数b 的最大值．
岳阳市一中2012年下期高三第一次质量检测数学答案（汉理）
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共8小题，考生作答7小题，每
小题5分，满分35分．其中9～10题是选做题，考生只能选做两题． （一）选做题 9．（1,0） 10．(-3,7) 11．1
（二）必做题 12．10 13.9 14．17 15．
16.(1)7 (2)⎩
⎨⎧≠-=)0(,32)
0(,1c n c
三、解答题： 本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
解：（1）因为3cos 5
ADC ∠=
，所以4sin 5ADC ∠==．……2分
因为5sin 13BAD ∠=
，所以12cos 13
BAD ∠==．………4分
因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，
所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠
sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠ ……………6分
412353351351365
=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD AD
BAD ABD =∠∠，……………10分
所以533sin 132533sin 65
AD BAD BD ABD
⨯
⨯∠==
=∠．………………………………12分 18．（本小题满分12分） (1)*
,)2
1
(N n a n n ∈= (2)*1
,22
)1(N n n T n n ∈+-=+
19．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）取PC 的中点为O ，连FO ,DO ，∵F ,O 分别为BP ，PC 的中点， ∴FO ∥BC ，且12FO BC =
,又ABCD 为平行四边形,ED ∥BC ，且1
2
ED BC =,
∴FO ∥ED ，且FO ED =
∴四边形EFOD 是平行四边形 --------------------------------2分 即EF ∥DO 又EF ⊄平面PDC ∴EF ∥平面PDC ． ---------------------- 4分 （Ⅱ）若∠CDP ＝90°,则PD ⊥DC ，又AD ⊥平面PDC ∴AD ⊥DP , ∴PD ⊥平面ABCD , ------------- 6分
∵BE ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥DP ------------ 8分 （Ⅲ）连结AC ,由ABCD 为平行四边形可知ABC ∆与ADC ∆面积相等，
所以三棱锥P ADC -与三棱锥P ABC -体积相等， 即五面体的体积为三棱锥P ADC -体积的二倍.
∵AD ⊥平面PDC ，∴AD ⊥DP,由AD =3，AP =5，可得DP=4又∠CDP ＝120°PC 由余弦定理并整理得24120DC DC +-=, 解得DC =2 ------------------- 10分
∴三棱锥P ADC -的体积11
24sin120332
V =
⨯⨯⨯⨯⨯=
∴该五面体的体积为分
20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）①处填20，②处填0.35；
补全频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图估计这500
名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35＝175．…………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年
龄不低于30岁”的有15人．
由题意知，X 的可能取值为0，1，2，且
P (X ＝0)＝C 2
15C 220＝2138，P (X ＝1)＝C 15C 1
15C 220＝1538，P (X ＝2)＝C 2
5C 220＝238＝1
19．
∴X 的分布列为：
∴E (X )＝0×2138＋1×1538＋2×238＝1
2
．………………………………………（12分）
21．（本小题满分13分）
（1
）由题设知，2A ⎛⎫
⎪⎭
，)
1F ，………………………1分
由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-22222222
a a a a ．………………3分 解得62
=a ．所以椭圆M 的方程为12
6:2
2=+y x M ．…………………4分 （2）方法1：设圆()12:2
2=-+y x N 的圆心为N ，
则()(
)
NP NF NP NE PF PE -⋅-=⋅ ……………………6分
()()
NF NP NF NP =--⋅-……K K …………………………7分
22
2
1NP NF NP =-=-．………………………………………8分
从而求⋅的最大值转化为求2
的最大值．………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，……………………………10分
所以12
62
020=+y x ，即2
02036y x -=．…………………………11分
因为点()2,0N ，所以()()121222
02
02
02
++-=-+=y y x ．……………12分
因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2
取得最大值12．……………13分
所以⋅的最大值为11．……………………………14分
方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ， 因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121
,
4.x x y y =-⎧⎨
=-⎩ …………………………6分
所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--……………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+--- 2
2
2
2
01011044x x y y y y =-+-+-
22
220001114(4)x y y x y y =+--+-．……………………………9分 因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．…………10分 因为点P 在椭圆M 上，所以22
00162
x y +=，即22
0063x y =-．………………11分 所以PE PF ⋅2
00249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………12分
因为0[y ∈，所以当01y =-时，()
min
11PE PF
⋅=．…………………14分
方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，……………6分
由⎩
⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，
所以12
62
020=+y x ，即2
02036y x -=．…………………8分
所以002PE x y ⎛
⎫
=-+-⎪⎭
………9分 所
以
11)1(21)2(1
)2(11202020222
022
++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ． ………10分
因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．……………11分
②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =， 由2
2
(2)1
x x y =⎧⎨
+-=⎩，解得1y =或3y =．
不妨设，()0,3E ，()0,1F ．……………………55u u …………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，
所以12
62
020=+y x ，即2
02036y x -=．
所以()00,3PE x y =--，()00,1PF x y =--．
所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．
因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．………13分
综上可知，PF PE ⋅的最大值为11．…………………………………14分 22．（本小题满分13分）
解：（1）
22()2221a
f x x x a ax '=
+--+()()22
2144221
x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣⎦
=+．……………1分
因为2x =为()f x 的极值点，所以()20f '=．………………………2分 即
22041
a
a a -=+，解得0a =．…………………………………3分
又当0=a 时，()(2)f x x x '=-，从而2()x f x =为的极值点成立．…………4分
（2）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，
所以()()()22
21442021
x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦
'=
≥+在区间[)3,+∞上恒成立．…5分
①当0=a 时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，所以()[3,)f x +∞在上为增函
数，故0=a
符合题意．…………………………6分
②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有10ax +>2对3x ≥恒成立，故只能
0a >，
所以222(14)(42)0[3,)ax a x a x +--+≥∈+∞对上恒成立．……………7分 令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为1
14x a
=-，……………8分
因为0a >所以1
114a -
<，从而()0[3,)g x ≥+∞在上恒成立，只要(3)0g ≥即可， 因为()3g =2
4610a a -++≥，
解得3344
a +≤≤
． u u
……………………………………9分 因为0a >
，所以304
a +<≤．
综上所述，a
的取值范围为⎡⎢⎣⎦
．………………………………………………………10分
（3）若1
2a =-时，方程3(1)(1)+3x b f x x
--=可化为，x b x x x =-+--)1()1(ln 2．
问题转化为223
ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解，
即求函数3
2ln )(x x x x x g -+=的值域．……………………11分 以下给出两种求函数()g x 值域的方法：
方法1：因为()()
2ln g x x x x x =+-，令2
()ln (0)h x x x x x =+->，
则x
x x x x x h )1)(12(211)(-+=-+=
' ，…………………………………12分 所以当01,()0x h x '<<>时，从而)1,0()(在x h 上为增函数， 当0)(,1<'>x h x 时，从而),1()(+∞在x h 上为减函数，………………………13分 因此()(1)0h x h ≤=．
而0x >，故()0b x h x =⋅≤，
因此当1x =时，b 取得最大值0．…………………………………………14分
方法2：因为()()2
ln g x x x x x =+-，所以2321ln )(x x x x g -++='．
设2
()ln 123p x x x x =++-，则21621
()26x x p x x x x
--'=+-=-．
当0x <<()0p x '>，所以()p x 在⎛ ⎝⎭
上单调递增；
当x >()0p x '<，所以()p x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递减；
因为()10p =，故必有0p >⎝⎭，又2244
1233210p e e e e ⎛⎫=-++-<-< ⎪⎝⎭
，
因此必存在实数021x e ⎛∈ ⎝⎭
使得0'()0g x =，
00,()0x x g x '∴<<<当时，所以()0()0,g x x 在上单调递减；
当0)(,10>'<<x g x x 时，所以()0(),1g x x 在上单调递增； 当()1,'()0,()1,x g x g x ><+∞时所以在上单调递减；
又因为)4
1
(ln )(ln ln )(2
3
2
+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g ，
当1
0,ln 04
x x →+
<时，则()0g x <，又(1)0g =． 因此当1x =时，b 取得最大值0.……………………………………14分。