03多元函数微积分学

三、多元函数微分学的经济应用问题
1.边际产品
资本边际产品（MP K ）定义为：当所有其它生产要素都保持不变时，资本的
很小改变所引起的产出量的变化.已知生产函数：
Q=36KL-2K 2-3L 2
对其求关于K 的偏导数K Q ∂∂即可得到MP K..所以，
MP K =K Q ∂∂=36L-4K
对于劳动，类似地有，
MP L =L Q ∂∂=36K-6L
[问题1] 求下列生产函数的各输入或生产要素的边际产品：
()22236y xy x Q a ++=()2225.0L KL K Q b +-=
()2222.05.132z yz y xy x Q c ++++=
[解答] ()y x x Q MP a x 312+=∂∂= y x y
Q MP y 43+=∂∂= ()L K MP b K
2-= K L MP L 22-= ()y x x
Q MP c x 22+=∂∂= Z y x y Q MP y 5.162++=∂∂= z y z
Q MP z 4.05.1+=∂∂= [问题2] 总成本为22265.173y y xy x x C ++++=,
()a 求不同产品的边际成本；
()b 当3,5==y x 时，确定x 的边际成本.
[解答] ()a y x x C MC x 5.176++=∂∂= y x y
C MC y 465.1++=∂∂=
()b 当3,5==y x 时，()()5.4135.1756=++=x
MC
2.需求的收入与交叉弹性 需求的收入弹性y ε度量的是：当所有其他变量都保持不变时，收入的一个小单位的变化率所引起的一种商品的需求量的变化率.需求的交叉价格弹性度量的是：当所有其他变量都保持不变时，一种商品的需求量对另外一种商品价格的变化所作出的相应反应.已知需求函数
mY cP bP a Q ++-=211
其中Y 表示收入，P 2表示一种替代品的价格，
需求的收入弹性为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=∂÷∂=1111Q Y Y Q Y Y Q Q Y ε 需求的交叉弹性为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=∂÷∂=12212211Q P P Q P P Q Q c ε [问题3] 已知Y P Q 05.08400+-=，其中12000,15==Q P .求
()a 需求的收入弹性；
()b 在收入每年增加5%的假设下，产出的增长潜力；
()c 评价产出的增长潜力.
[解答] ()a ()05.0,
8801200005.0)15(8400=∂∂=+-=Y Q Q ∴68.08801200005.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=Q Y Y Q Y ε ()b 整理并代入已知的参数
034.0)05.0(68.0==⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂=∂Y Y Q Q Y ε
需求将增加3.4%.
()c 由于10<<Y ε，需求将随着国民收入的增加而增加，但是以小于 比例的速度增加.所以，当需求绝对地增长时，在扩张的经济中，商
品的相对地市场份额将会减少.如果1>Y ε，对商品需求的增长速度将 快于经济的扩张，而且其市场份额增加.如果0<Y ε，对商品的需求将 随着收入的增加而减少.
[问题4] 已知Y P P P Q 001.023*******++--=，
在26110003,7,51321=====Q Y P P P ，及时，
()a 利用交叉弹性决定商品1与其他商品的关系；
()b 分别考察其他商品的价格上涨10%对 1Q 的影响.
[解答] ()a 81.0267312-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ε 23.0263213=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ε 由于12ε为负，商品1与商品2是互补的，2P 的上涨将会导致1Q 的下降，
由于13ε为正，商品1与商品3是可替代的，3P 的上涨将会导致1Q 上涨. ()b 2
211
12P P Q Q ∂÷∂=ε 整理并代入已知的参数
()081.010.081.0221211-=-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂=∂P P Q Q ε 如果2P 上涨10%，1Q 将下降8.1%.
3
31113P P Q Q ∂÷∂=ε 整理并代入已知的参数
()023.010.023.0331311==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂=∂P P Q Q ε 如果3P 上涨10%，1Q 将增加2.3%.
3.微分和增量的变化
在经济中，我们经常想度量一个自变量的变化（雇佣的劳动量、使用的资本量、销售量）对因变量（成本、收益、利润）的影响。

如果当变化量是一个相对小的量时，微分即度量了该影响。

所以，如果),(y x f z =，x 的很小改变量对z 的影响由下面的微分给出
dx z dz x =
大些变化量的影响可由偏导数与给定的变化量之积来近似。

所以，
x z z x ∆≈∆
如果原函数),(y x f z =为线性的，
x
z dx dz ∆∆= 变化的影响将被准确地度量为
x z z x ∆=∆
[问题5] 已知一个三部门收入决定模型，其中
00G I C Y ++= T Y Yd -=
bYd C C +=0 tY T T +=0
20.075.0240330901000000======t b T G I C ，，，，，
()a 什么是均衡收入水平？
()b 政府开支增加50，
()c 自由税增加50时，Y 的变化是多少？
[解答] ()a ()850110000=++-+-=G I bT C bt
b Y ()b 政府开支增加50，则 ()125501100=+-=∆∂∂=∆bt
b G G Y Y
()c 自由税增加50，则
()75.9350100-=+--=∆∂∂=∆bt
b b T T Y Y [问题6] ()a 如果上例中的比例税t 增加10%，收入Y 会有何变化？
()b 如果打算改变原来的20%的边际税率以达到充分就业收入水平1000=fe Y ，t 应变动多少？
[解答] ()a 如果比例税t 增加10%，
02.020.010.0=⨯=∆t
()88.3102.01-=+--=∆∂∂=∆bt
b Y b t t Y Y ()b 政府打算提高收入150元，即150=∆Y 代入t t
Y Y ∆∂∂=∆，得09.0-=∆t 应该大约降低税率0.09，新的税率为11%左右。

4.经济学中多元函数的最优化
生产食品的厂商经常以不同的等级销售同种商品：优质的、标准的、经济的；一些厂商也采用这种策略：以他自己的品牌销售一部分产品，以一个大的连锁店的品牌销售另一部分产品。

服装制造和设计商经常有一个顶级的品牌和为打折商店制造的廉价仿制品。

在这些情形下，追求利润最大或成本最小必涉及多个变量。

所以多元函数极值的判定法则是必要的。

[问题7] 对于生产两种产品的厂商，利润函数为
14324426422-+-+-=y y xy x x π
求利润最大化的两种商品的产出水平，且验证利润确实取得最大。

[解答]（1）求一阶偏导数，令其等于零并联立求解y x ,。

328404464=+-==+-=y x y x y x ππ 求解得到，2440==y x ，。

（2）求二阶直接偏导数，并验证二者确实均为负值，因为这是极大值
的必要条件。

4-=xx π 8-=yy π
（3）求交叉偏导数以验证确实有()2
xy yy xx πππ>成立。

4=xy π
()163248)4(2>>--即 在2440==y x ，时，利润确实取得最大，此时1650=π。

[问题8] 垄断竞争市场中的厂商为获得最大的利润，必须决定其产品的价格。

假设该厂商以两种不同品牌提供一种产品，其需求函数分别为
221
15.02425.014P Q P Q -=-=
联合成本函数为
2
221215Q Q Q Q TC ++= 求利润最大的产出水平以及不同品牌的价格和利润。

[解答] 首先，建立利润函数
()()()2
12222112221212211221153485565248456Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q TC
Q P Q P TC TR --+-=++--+-=-+=-=（总成本）
（总收益）π 然后，仿上例求最大利润：
（1）求一阶偏导数，令其等于零并联立求解21,Q Q 。

05648051056122121
=--==--=Q Q Q Q ππ
求解得到，7.575.221==Q Q ，。

（2）求二阶直接偏导数，并验证二者确实均为负值，因为这是极大值的
必要条件。

1011-=π 622-=π
（3）求交叉偏导数以验证确实有()2
xy yy xx πππ>成立。

512-=π
()2560)5(6)10(2>->--即 在7.575.221==Q Q ，时，利润确实取得最大，此时
，，6.364521==P P 94.213=π。

5.经济学中多元函数的约束最优化
经济问题的求解往往需要满足一定的约束（例如，在满足预算约束下效用最大，以及在满足生产既定产出的最低配额要求下成本最小），利用拉格郎日函数会非常容易完成该项任务。

我们将此类问题归为带有拉格郎日乘子的约束优化模型。

5.1拉格郎日函数法
求解函数()y x f ,满足约束()k y x g =,的极值问题：
（1）构造新函数
()()()()y x g k y x f y x F ,,,-+=λ
（2）求一阶偏导数，令0===λF F F y x ，解出λ，，y x 。

（3）求二阶偏导数，验证
yy
yx y xy xx x y x y x y yy yx x
xy xx F F g F F g g g H g g g F F g F F H 00==或 如果0<H ，则对应为极小值；如果0>H ，则对应为极大值； 如果0=H ，则需进一步检验。

注，此步一般由实际问题直接确定可疑点即为取得最值的点。

[问题9] 已知一个厂商同时生产两种商品，其产量分别记作y x ，，总成本函
数为22128y xy x c +-=，且已知该厂商受合同的制约，必须提供总数为42的商品组合，即满足约束42=+y x 。

求满足约束下的最小成本。

[解答] 令约束等于零，乘上λ，构造拉格郎日函数。

)42(12822y x y xy x C --++-=λ
求一阶偏导数，且令其为零，联立求解λ，，y x 。

420240
16=--==-+-==--=y x C y x C y x C y x λλλ 联立求解有3831725===λ，，y x 。

求二阶偏导数验证增广海赛行列式
04201112411
11601111
<-=--==yy yx xy xx C C C C H 即H 为正定的，从而验证1725==y x ，时c 达到最小值。

[问题10] 一个农厂主的利润函数
y y xy x x 14022311022+---=π
其中x 为牛排的片数，y 为牛皮的数量。

由于每一头牛都有两片牛排一张皮，所以产量必须满足下面的比例关系，
y x =2
即y x 2= 求产出量为多少时，该农场主获得最大的利润。

[解答] 令约束等于零，乘上λ，构造拉格郎日函数。

()y x y y xy x x 214022311022-++---=∏λ
求一阶偏导数，且令其为零，联立求解λ，，y x 。

202140420
26110=-=∏=-+--=∏=+--=∏y x y x y x y x λλλ 联立求解有301020===λ，，y x . 由实际问题知，最大利润一定存在，所以301020===λ，，y x 时取 得最大利润1800=π。

5.2拉格郎日乘子λ的经济意义
拉格郎日乘子λ近似于由于约束的常数很小的变化而对目标函数产生的边际影响。

[问题11] 求解函数22634y xy x z ++=满足约束56=+y x 的最小值。

[解答] 令约束等于零，乘上λ，构造拉格郎日函数。

()y x y xy x --+++=∏5663422λ
求一阶偏导数，且令其为零，联立求解λ，，y x 。

5601230
38=-+=∏=-+=∏=-+=∏y x y x y x y x λλλ 联立求解有97443482036=-===z y x ，，，λ.
最小值9744=z 。

[问题12] 求解函数22634y xy x z ++=满足约束57=+y x 的最小值。

[解答] 令约束等于零，乘上λ，构造拉格郎日函数。

()y x y xy x --+++=∏5763422λ
求一阶偏导数，且令其为零，联立求解λ，，y x 。

5701230
38=-+=∏=-+=∏=-+=∏y x y x y x y x λλλ 联立求解有1009514
33541428514513≈===z y x ，，，λ. 最小值10095≈z 。

比较[问题11]和[问题12]：
[问题12]的约束常数增加了一个单位，此时最优值比原来的约束最优值增加了351，接近于问题11的λ的值348。

拉格郎日乘子经常被称为影子价格。

例如在满足预算约束，效用最大化的问题中，λ将估算一元额外收入的最大效用。

[问题13] ()a 当4121==P P ，及某人的预算120=B ,求效用21Q Q U =最大；
()b 估计增加一单位的预算的效应。

[解答] ()a 预算约束为120421=+Q Q ，构造新的函数
()21214120Q Q Q Q U --+=λ
∴04120,04,0211221=--==-==-=Q Q U Q U Q U λλλ 有，15,15,6021===λ及Q Q 。

()b 由于15=λ，增加一单位的预算将导致效用增加大约15。

所以在15,6021==Q Q 处，一元钱的边际效用近似为15。

5.3柯布——道格拉斯生产函数的最优化
经济分析种经常引用柯布——道格拉斯生产函数
11 )100(<<>=βαβα，；A L AK q
其中q 为产出量，K 为资本量，L 为劳动量。

这里的α（产出的资本弹性）度量的是：当L 保持不变时，资本变动一个百分比所引起q 的变动率；β（产出的劳动弹性）度量当K 保持不变时劳动变动一个百分比所引起q 的变动率；A 是效率参数，反映技术水平。

当1=+βα时，严格的柯布——道格拉斯生产函数代表着规模报酬不变； 当1>+βα时，广义的柯布——道格拉斯生产函数代表着规模报酬递增； 当1<+βα时，广义的柯布——道格拉斯生产函数代表着规模报酬递减。

[问题14] 已知预算约束为108，43==L K P P 及，广义的柯布——道格拉
斯生产函数为5.04.0L K
q =，求其极值。

[解答] 法一 拉格郎日函数法(略)
法二 利用微观经济理论中熟悉的产量最大条件
L
K L K P P MU MU = 5.06.04.0L K K q MU K -=∂∂= ， 5.04.05.0-=∂∂=L K L
q MU L 代入上述比例方程
4
35.04.05.04.05.06.0=--L K L K 即K L L K 9375.0,75.08.011==- 代入约束方程10843=+L K
得到 151600==L K 。