(新课标)湘教版七年级数学下册《垂线》同步练习题及答案解析一
湘教版数学七年级下册_《第2课时垂线的性质》同步练习
《垂线的性质》同步练习一、选择题（本大题5个小题，每小题6分，共30分）1．如图：已知AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是（）A．3 B．3.5 C．4 D．52．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（）A．两点之间线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线3．下列图形中，通过测量线段AB的长可以知道点A到直线l的距离的是（）A．B．C．D．4．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA=3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（）A．0＜d＜3 B．0≤d＜3 C．0＜d≤3 D．0≤d≤35．如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥AD+BD＞AB．A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题5个小题，每小题6分，共30分）6．自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO ⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是．7．如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式PA，PB，PC，PD中，最短的是．8．如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB的距离是线段的长度．9．如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是cm，点A到BC的距离是cm，C到AB的距离是cm．10．如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE=10cm，CD=8cm，CF=12cm，则点C到AB的距离是．三、综合题（第11题12分，第12题12分，第13题16分，共40分）11．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．12．已知：点P是直线MN外一点，点A、B、C是直线MN上三点，分别连接PA、PB、PC．（1）通过测量的方法，比较PA、PB、PC的大小，直接用“＞”连接；（2）在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．13．如图，P是∠AOB的边OB上一点．（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；（3）点O到直线PC的距离是线段的长度；（4）比较PH与CO的大小，并说明理由．试题解析一．选择题1．A【分析】根据垂线段的性质，可得答案．【解答】解：由AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，得AP≥AB，AP≥3.5，故选：A．【点评】本题考查了垂线短的性质，利用垂线段的性质是解题关键．2．C【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【解答】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：C．【点评】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．3．C【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断．【解答】解：表示点A到直线l的距离的是C选项图形．故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离的概念，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．4．C【分析】根据垂线段最短即可求出答案．【解答】解：由垂线段最短可知：0＜d≤3，当d=3时此时PA⊥l故选：C．【点评】本题考查点的直线的距离，解题的关键是熟练运用垂线段最短，本题属于基础题型．5．C【分析】根据点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系，可得答案．【解答】解：由∠BAC=90°，AD⊥BC，得AB⊥AC，故①正确；AD与AC不垂直，故②错误；点C到AB的垂线段是线段AC的长，故③错误；点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；AD+BD＞AB，故⑥正确；故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系是解题关键．二．填空题6．垂线段最短．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．【解答】解：根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】此题主要考查垂线段最短在实际生活中的应用．7．PC．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短，据此作答．【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∵PC⊥AD，∴PC最短．故答案为：PC．【点评】此题主要考查了垂线段最短，掌握从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短是解题关键．8．CE．【分析】根据点到直线的距离的定义，找出点C到AB的垂线段即可．【解答】解：如图，∵CE⊥AB，垂足是E，∴点C到线段AB的距离是线段CE的长度．故答案为：CE．【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度．9． 4.8cm．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则线段BC的长即为点B到AC的距离，再根据三角形的面积公式求出CD的长；再根据点到直线距离的定义即可得出结论．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点B到AC的距离，∵BC⊥AC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm，∴CD=6×8÷10=4.8cm，点A到BC的距离是6cm，点B到AC的距离是8cm．故答案为：8，6、4.8．【点评】本题考查了点到直线的距离，是基础题，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键．10．8cm．【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【解答】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD=8cm，∴点C到AB的距离是CD=8cm，故答案为：8cm．【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题关键．三．综合题11．【分析】根据点到直线的垂线段距离最短解答．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，在D处开沟，则沟最短．因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．【点评】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，属于基础题．13．【分析】（1）（2）根据题意画垂线；（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH的长度是点P到OA的距离，线段OP的长是点C到直线OB的距离；（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC＞PH，CO＞CP，即可得到线段PH、OC的大小关系．【解答】解：（1）作图，（2）作图，（3）OP，故答案为：OP；（4）PH＜CO，∵垂线段最短，∴PH＜PO，PO＜OC，∴PH＜CO．【点评】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图．。
湘教版七年级下册数学 第4章 垂 线
【点拨】A.因为 a⊥b，b∥c，所以 a⊥c，故本选项错误；B.因 为 a⊥b，b⊥c，所以 a∥c，故本选项错误；C.因为 a∥b，b⊥c， 所以 a⊥c，故本选项错误；D.因为 a∥b，b∥c，所以 a∥c，故 本选项正确．
【答案】D
9．老师把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边 BC，
第4章 相交线与平行线
4.5 垂 线 第1课时 垂 线
提示：点击 进入习题
新知笔记 1 直角；垂足
2 平行
答案显示
3 垂直
1C
2B
3C
4C
5C
6C 11 B
7A 12 B
8D
9C
10 C
13 见习题 14 见习题 15 见习题
16 见习题
1．两条直线相交所成的四个角中，有一个角是__直__角___时，这两 条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂 线，它们的交点叫做___垂__足___．垂直用符号“⊥”表示，AB 与 CD 互相垂直，记做 AB⊥CD，读做 AB 垂直于 CD.
2．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线_平__行___． 3．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，
那么这条直线__垂__直____于另一条．
1．两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不 能判定这两条直线互相垂直的条件是( C ) A．任何一对相邻的两角相等 B．有三个角相等 C．两对对顶角分别相等 D．有一对对顶角互补
【点拨】A.因为 OE⊥AB，所以∠AOE＝90°，即∠AOC＋∠COE ＝90°，正确；B.因为 OE⊥AB，所以∠BOE＝90°，又∠BOD＋ ∠BOE＋∠COE＝180°，所以∠BOD＋∠COE＝90°，正确；C. 因为 OE⊥AB，所以∠BOE＝90°，又∠COE 为锐角，所以∠BOE ＋∠COE＜180°，错误；D.∠AOC 与∠BOD 是对顶角，正确．
七年级下册相交线与垂直线练习题及答案
七年级下册相交线与垂直线练习题及答案第一部分相交线与垂直线的基础知识
1. 请为以下图形标出所有的垂线和水平线。
2. 以下哪条直线是垂直线？
A. 直线AB
B. 直线CD
C. 直线EF
D. 直线GH
3. 若线段AB ⊥线段BC，且角ABC = 78°，则角ABD 等于多少度？
第二部分题目练
1. 见以下图形，若线段AB ⊥线段CD，EF 与 GH 垂直，且角AED = 58°，则角FHB 等于多少度？
2. 见以下图形，线段AB ⊥线段CD，EF 垂直 BC 于点G，且角AED = 46°，则角ABF 等于多少度？
3. 见以下图形，若线段AB ⊥线段CD，角ABC = 50°，角EFG = 68°，则角EDF 等于多少度？
第三部分答案
第一部分
1. 垂线：AD, BC, FE 水平线：BE, DG
2. 直线CD 是垂直线
3. 角ABD = 12°
第二部分
1. 角FHB = 32°
2. 角ABF = 34°
3. 角EDF = 62°
希望以上内容能帮助您顺利完成七年级下册相交线与垂直线部分的练习题。
湘教版数学七年级下册_《垂线》拓展训练
《垂线》拓展训练一、选择题1．在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A．5B．4C．3D．22．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短3．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD的最小值是（）A．﹣2B．﹣2C．D．25．如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO，若∠1=155°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°6．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥AB，∠COE=32°，∠FOG=29°，则∠AOC的度数是（）A．19°B．29°C．32°D．39°7．如图，AB、CD交于O，OE⊥CD于O，∠AOC=36°，则∠BOE的度数为（）A．36°B．64°C．54°D．144°8．如图，OA⊥OB，∠BOC=30°，OD平分∠AOC，则∠BOD的大小是（）A．20°B．30°C．40°D．60°9．已知∠BOC=60°，OF平分∠BOC．若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是（）A．45°B．15°C．30°或60°D．45°或15°10．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CO，∠AOF与∠BOD的度数之比为3：2，则∠AOC的度数是（）A．18°B．45°C．36°D．30°二、填空题11．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=2∠COM，则∠BOD的度数为．12．如图CD⊥AB于点D，EF⊥AB于F，∠DGC=84°，∠BCG=96°，则∠1+∠2=．13．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF=α，下列说法①∠AOC=α﹣90°；②∠EOB=180°﹣α；③∠AOF=360°﹣2α，其中正确的是．14．如图，若OA⊥OB，OC⊥OD，且∠AOC：∠BOD=1：2，则∠BOD=°．15．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13．点A到CD边的距离是；点C到AB边的距离是．三、解答题16．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线OF⊥CD，OG⊥OE，∠BOD=52°．（1）求∠AOF的度数；（2）∠EOF与∠BOG是否相等呢？请说明理由；（3）直接写出图中∠AOE的所有余角．17．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．18．如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．（1）若∠BOC=40°，请依题意补全图，并求∠BOE的度数；（2）若∠BOC=α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的代数式表示）．19．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，则∠2的余角有．（2）若∠1=∠BOC，求∠AOD和∠BOD的度数．20．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．（1）若∠EOF=54°，求∠AOC的度数；（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．《垂线》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A．5B．4C．3D．2【分析】根据垂线段最短得出结论．【解答】解：根据垂线段最短可知：PC≤3，∴CP长的最大值为3，故选：C．【点评】本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．2．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论．【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．故选：A．【点评】本题考查了垂线段最短，直线和线段的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．3．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据垂线段的定义直接观察图形进行判断．【解答】解：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误．故选：D．【点评】过点B作线段AC所在直线的垂线段，是一条线段，且垂足应在线段AC 所在的直线上．4．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD的最小值是（）A．﹣2B．﹣2C．D．2【分析】取AC的中点O，根据圆周角定理得到点D在以AC为直径的圆上，根据勾股定理可计算出OB=5，当D点在OB上时，BD的值最小，最小值为5﹣3=2．【解答】解：取AC的中点O，∵在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，∴点D在以AC为直径的圆上，∴当D点在OB上时，BD的值最小，在Rt△BOC中，OC=AC=2，BC=3，∴OB==，∴BD的值最小为﹣2．故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．也考查了圆周角定理和勾股定理．5．如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO，若∠1=155°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】先根据邻补角关系求出∠2=25°，再由垂线得出∠COD=90°，最后由互余关系求出∠3=90°﹣∠2．【解答】解：∵∠1=155°，∴∠2=180°﹣155°=25°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣25°=65°；故选：D．【点评】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．6．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥AB，∠COE=32°，∠FOG=29°，则∠AOC的度数是（）A．19°B．29°C．32°D．39°【分析】先根据垂直的定义得出∠BOG=90°，那么∠BOF=61°，由对顶角相等求出∠AOE=∠BOF=61°，进而求出∠AOC=61°﹣32°=29°．【解答】解：∵OG⊥AB，∴∠BOG=90°，∵∠FOG=29°，∴∠BOF=∠BOG﹣∠FOG=90°﹣29°=61°，∴∠AOE=∠BOF=61°，∵∠COE=32°，∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=61°﹣32°=29°．故选：B．【点评】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质；弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．7．如图，AB、CD交于O，OE⊥CD于O，∠AOC=36°，则∠BOE的度数为（）A．36°B．64°C．54°D．144°【分析】由垂直的定义可知∠DOE=90°，∠DOB与∠AOC是对顶角，利用这些关系可解此题．【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠DOE=90°，∵∠DOB=∠AOC=36°，∴∠BOE=∠DOE﹣∠DOB=54°，故选：C．【点评】本题利用垂直的定义，对顶角相等计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．8．如图，OA⊥OB，∠BOC=30°，OD平分∠AOC，则∠BOD的大小是（）A．20°B．30°C．40°D．60°【分析】首先根据题意得出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义得出∠AOD，∠COD的度数，进而得出答案．【解答】解：∵OA⊥OB，∠BOC=30°，∴∠AOC=90°+30°=120°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD=∠AOD=∠AOC=60°，则∠BOD=60°﹣30°=30°．故选：B．【点评】此题主要考查了垂直的定义以及角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．9．已知∠BOC=60°，OF平分∠BOC．若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是（）A．45°B．15°C．30°或60°D．45°或15°【分析】根据垂线的定义，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COE、∠COF的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图1，由AO⊥BO，得∠AOB=90°，由角的和差，得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=∠AOC=×150°=75°，∠COF=∠BOC=×60°=30°．由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣∠COF=75°﹣30°=45°．如图2，由AO⊥BO，得∠AOB=90°，由角的和差，得∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=30°．∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=∠AOC=×30°=15°，∠COF=∠BOC=×60°=30°．由角的和差，得∠EOF=∠COE+∠COF=15°+30°=45°．故选：A．【点评】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差，以及分类思想的运用．10．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CO，∠AOF与∠BOD的度数之比为3：2，则∠AOC的度数是（）A．18°B．45°C．36°D．30°【分析】根据垂直定义可得∠FOC=90°，再根据∠AOF与∠BOD的度数之比为3：2可得∠AOF：∠AOC=3：2，然后可得答案．【解答】解：∵OF⊥CO，∴∠FOC=90°，∵∠AOF与∠BOD的度数之比为3：2，∴∠AOF：∠AOC=3：2，∴∠AOC=90°×=36°，故选：C．【点评】此题主要考查了垂线，以及对顶角，关键是掌握对顶角相等．二、填空题11．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=2∠COM，则∠BOD的度数为60°．【分析】根据垂直得出∠NOM=90°，根据角平分线定义得出∠AOM=∠COM，再利用∠CON=2∠COM，即可得出答案．【解答】解：∵ON⊥OM，∴∠NOM=90°，∵∠CON=2∠COM，∴设∠COM=x，则∠CON=2x，故x+2x=90°，解得：x=30°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM=30°，∴∠AOC=∠BOD=2∠COM=60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了垂直定义，角平分线定义等知识点，能求出∠COM的度数是解此题的关键．12．如图CD⊥AB于点D，EF⊥AB于F，∠DGC=84°，∠BCG=96°，则∠1+∠2= 180°．【分析】求出DC∥EF，求出∠2+∠BCD=180°，由∠DGC=84°，∠BCG=96°，易证DG∥BC，推出∠1=∠BCD，即可求出答案．【解答】解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴DC∥EF，∴∠DCB+∠2=180°，∵∠DGC=84°，∠BCG=96°，∴∠DGC+∠BCG=180°，∴BC∥GD，∴∠1=∠DCB，∴∠1+∠2=180°．故答案为：180°【点评】本题主要考查了平行线的性质及判定定理，综合运用性质定理是解答此题的关键．13．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF=α，下列说法①∠AOC=α﹣90°；②∠EOB=180°﹣α；③∠AOF=360°﹣2α，其中正确的是①②③．【分析】根据垂线、角之间的和与差，即可解答．【解答】解：∵OE⊥CD于O，∠EOF=α，∴∠DOF=α﹣90°，∵OD平分∠BOF，∴∠BOD=∠FOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC=∠FOD，∴∠AOC=α﹣90°，①正确；∴∠BOE=180°﹣∠COE﹣∠AOC=180°﹣90°﹣（α﹣90°）=180°﹣α，②正确；∴∠AOF=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=180°﹣（α﹣90°）﹣（α﹣90°）=360°﹣2α，③正确；故答案为：①②③【点评】本题考查了垂线，解决本题的关键是利用角之间的关系解答．14．如图，若OA⊥OB，OC⊥OD，且∠AOC：∠BOD=1：2，则∠BOD=120°．【分析】根据垂直定义可得∠AOB=90°，∠COD=90°，进而可得∠AOC+∠BOD=180°，然后再根据条件∠AOC：∠BOD=1：2可得∠BOD的度数．【解答】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=180°，∵∠AOC：∠BOD=1：2，∴∠BOD=120°，故答案为：120．【点评】此题主要考查了垂线，以及角的计算，关键是理清图中角的关系．15．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13．点A到CD边的距离是；点C到AB边的距离是．【分析】根据条件分别求出AD、CD的长度即可．【解答】解：由于AC•BC=AB•CD∴CD=在Rt△ACD中，由勾股定理可得：AD=∴A到CD边的距离为：，C在AB边的距离为：故答案为：，【点评】本题考查点到直线的距离，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于中等题型．三、解答题16．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线OF⊥CD，OG⊥OE，∠BOD=52°．（1）求∠AOF的度数；（2）∠EOF与∠BOG是否相等呢？请说明理由；（3）直接写出图中∠AOE的所有余角．【分析】（1）直接利用垂直的定义结合对顶角的定义得出∠AOF的度数；（2）分别求出∠EOF与∠BOG的度数进而得出答案．（3）依据OE是∠AOC的平分线，OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到图中∠AOE的所有余角．【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，又∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD=52°，∴∠AOF=∠COF﹣∠AOC=90°﹣52°=38°；（2）相等，理由：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD=52°，∵OE是∠AOC的平分线，∴∠AOE=∠AOC=26°，又∵OG⊥OE，∴∠EOG=90°，∴∠BOG=180°﹣∠AOE﹣∠EOG=64°，而∠EOF=∠AOF+∠AOE=38°+26°=64°，∴∠EOF=∠BOG．（3）∵OE是∠AOC的平分线，∴∠AOE=∠COE=26°，又∵OF⊥CD，∴∠EOF+∠COE=90°，即∠EOF+∠AOE=90°，又∵OF⊥CD，OG⊥OE，∴∠COG=∠EOF，∴∠COG+∠AOE=90°，∵∠BOG+∠AOE=90°，∠COG+∠COE=90°，∠AOE=∠COE，∴∠BOG=∠COG，∴∠BOG+∠AOE=90°，∴图中∠AOE的所有余角为∠EOF，∠COG，∠BOG．【点评】此题主要考查了垂线的定义以及角平分线的定义和对顶角定义，正确把握相关定义是解题关键．17．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．【分析】（1）根据垂直的定义可得∠1+∠AOC=90°，再求出∠2+∠AOC=90°，然后根据平角等于180°列式求解即可；（2）根据垂直的定义可得∠AOM=∠BOM=90°，然后列方程求出∠1，再根据余角和邻补角的定义求解即可．【解答】解：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠1+∠AOC=90°，∵∠1=∠2，∴∠NOC=∠2+∠AOC=90°，∴∠NOD=180°﹣∠NOC=180°﹣90°=90°；（2）∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠BOM=90°，∵∠1=∠BOC，∴∠BOC=∠1+90°=3∠1，解得∠1=45°，∠AOC=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，∠MOD=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°．【点评】本题考查了垂线的定义，邻补角的定义，熟记概念并准确识图，找准各角之间的关系是解题的关键．18．如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．（1）若∠BOC=40°，请依题意补全图，并求∠BOE的度数；（2）若∠BOC=α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠BOD的度数，然后求得∠AOD的度数，根据角平分线的定义求得∠DOE，然后根据∠BOE=∠DOE﹣∠BOD；（2）与（1）解法相同．【解答】解：（1）如图，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠COD=∠BOD=20°，∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=20°+90°=110°，又∵OE是∠AOD的平分线，∴∠DOE=∠AOD=55°，∴∠BOE=∠DOE﹣∠BOD=55°﹣20°=35°；（2）同（1）可得∠COD=∠BOD=α，∠AOD=α+90°，∠DOE=∠AOD=（α+90°）=α+45°，则∠BOE=α+45°﹣α=45°﹣α．【点评】本题考查了角度的计算，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，理解角平分线的定义是关键．19．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，则∠2的余角有∠AOC，∠BOD．（2）若∠1=∠BOC，求∠AOD和∠BOD的度数．【分析】（1）由垂线的性质求得∠AOM=∠BOM=90°，然后根据等量代换及余角的定义解答；（2）根据垂直的定义求得∠AOM=∠BOM=90°，再由∠1=∠BOC求得∠BOC=120°；然后根据邻补角定义和对顶角的性质即可求解．【解答】解：（1）∵OM⊥AB，∠1=∠2，∴∠1+∠AOC=∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，可得∠AOC=∠BOD，∴∠2的余角有：∠AOC，∠BOD；故答案为：∠AOC，∠BOD；（2）∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠BOM=90°，∵∠1=∠BOC，∴∠BOC=∠AOD=120°，∠1=∠2=30°；又∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=60°，则∠BOD=∠AOC=60°．【点评】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．20．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．（1）若∠EOF=54°，求∠AOC的度数；（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．【分析】（1）依据OF⊥CD，∠EOF=54°，可得∠DOE=90°﹣54°=36°，再根据OE 平分∠BOD，即可得出∠BOD=2∠DOE=72°，依据对顶角相等得到∠AOC=72°；（2）依据OE平分∠BOD，可得∠BOE=∠DOE，再根据OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到∠EOF+∠DOE=90°，∠AOG+∠BOE=90°，依据等角的余角相等，可得∠EOF=∠AOG．【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF=54°，∴∠DOE=90°﹣54°=36°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOD=2∠DOE=72°，∴∠AOC=72°；（2）①如图所示：②∠AOG=∠EOF；理由：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵OF⊥CD，OG⊥OE，∴∠EOF+∠DOE=90°，∠AOG+∠BOE=90°，∴∠EOF=∠AOG．【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及余角的综合运用，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，解决问题的关键是掌握：等角的余角相等．。
七年级数学下册《垂线》练习题及答案
七年级数学下册《垂线》练习题及答案一、选择题1．下面说法中错误的是（）A．两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直B．若两对顶角之和为1800，则两条直线互相垂直C．两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直D．两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直2．如图所示，AB⊥CD，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，那么图中的直角一共有（）A．2个B．3个C．4个D．1个3．如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分⊥EOD，则⊥BOD的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．1404．点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P 到直线的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm5．如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（）①⊥AOB＝⊥COD；②⊥AOB＋⊥COD＝90°；③⊥BOC＋⊥AOD＝180°；④⊥AOC－⊥COD＝⊥BOC.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若⊥1＝26°，则⊥2的度数是（⊥）．A．26°B．64°C．54°D．以上答案都不对7．在下列语句中，正确的是（）．A．在平面上，一条直线只有一条垂线;B．过直线上一点的直线只有一条;C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;D．垂线段的长度就是点到直线的距离8．如图所示，⊥BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（）．①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB; ④点D到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离; ⑥线段AB是点B到AC的距离;⑦AD>BD.A．2个B．4个C．7个D．0个9．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分⊥AOC，ON⊥OM，若⊥AOM=35°，则⊥CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C⊥为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C 点的个数为（）．A．3个B．4个C．5个D．6个11．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B．C．D．12．下列语句正确的是（）A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线互相垂直C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直13．过线段外一点画这条线段的垂线，垂足一定在（）A．线段上B．线段的端点上C．线段的延长线上D．以上情况都有可能14．如图，直线AD⊥BD，垂足为D，则点B到线段AC的距离是（）A．线段AC的长B．线段AD的长C．线段BC的长D．线段BD的长15．如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以OM和ON重合，理由是（）A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短16．当两条直线相交所成的四个角中，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫，它们的交点叫．17．过直线上或直线外一点，与已知直线垂直．18．如图所示，若AB⊥CD于O，则⊥AOD＝；若⊥BOD＝90°，则AB CD．19．如图所示，已知AO⊥BC于O，那么⊥1与⊥2．20．如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为．21．如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分⊥AOC，⊥AOB＋⊥DOE＝90°，试问：⊥COD 与⊥DOE之间有怎样的关系?说明理由.－com22．如图，⊥1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求⊥2、⊥3的度数．23．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是⊥BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①；②．（2）如果⊥AOD＝40°，则①⊥BOC＝；②OP是⊥BOC的平分线，所以⊥COP＝度；③求⊥BOF的度数．24．如图，已知⊥AOB，OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC.（1）若⊥AOB是直角，⊥BOC＝60°，求⊥EOF的度数；（2）猜想⊥EOF与⊥AOB的数量关系；（3）若⊥AOB＋⊥EOF＝156°，则⊥EOF是多少度？25．直线AB、CD相交于点O.OE、OF分别是⊥AOC、⊥BOD的平分线.（1）画出这个图形.（2）射线OE、OF在同一条直线上吗?（3）画⊥AOD的平分线OG.OE与OG有什么位置关系?并说明理由.参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】C12．【答案】C13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】有一个直角；另一条直线的垂线；垂足17．【答案】有且只有一条直线18．【答案】90°；⊥19．【答案】互余20．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直21．【答案】相等，理由：⊥AOB＋⊥DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以⊥BOC＋⊥COD＝90°．因为OB平分⊥AOC，所以⊥AOB＝⊥BOC，通过等量代换，可以得知⊥COD与⊥DOE相等．22．【答案】∵⊥1与⊥3是对顶角∴⊥1＝⊥3，因为⊥1＝30°∴⊥3＝30°．∵AB⊥CD∴⊥BOD＝90°∵⊥2＋⊥3＝⊥BOD∴⊥2＝90°－⊥3＝60°．23．【答案】（1）⊥AOD＝⊥BOC；⊥BOP＝⊥COP（2）40°；20°；50°24．【答案】（1）∵⊥AOC＝⊥AOB＋⊥BOC，∴⊥AOC＝90°＋60°＝150°.∵OE平分⊥AOC，∴⊥EOC ＝150°÷2＝75°.∵OF平分⊥BOC，∴⊥COF＝60°÷2＝30°.∵⊥EOC＝⊥EOF＋⊥COF,∴⊥EOF＝75°－30°＝45°.（2）∵OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC．∴⊥COE＝⊥AOC，⊥COF＝⊥BOC∵⊥AOB＝⊥AOC－⊥BOC∴⊥EOF＝⊥COE－⊥COF＝⊥AOC－⊥BOC＝（⊥AOC－⊥BOC）＝⊥AOB（3）∵OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC，∴⊥COE＝⊥AOC，⊥COF＝⊥BOC∴⊥EOF＝⊥AOC－⊥BOC＝（⊥AOC－⊥BOC）＝⊥AOB．又∵⊥AOB＋⊥EOF＝156°∴⊥EOF＝52°．25．【答案】（1）如图：（2）射线OE、射线OF在同一条直线上．理由如下：∵直线AB、CD相交于点O，∴⊥AOC=⊥BOD，⊥AOC+⊥AOD=180°，∵OE、OF分别是⊥AOC、⊥BOD的平分线，∴⊥AOE=12⊥AOC，⊥DOF=12⊥BOD ∴⊥AOE=⊥DOF，∴⊥AOE+⊥DOF=⊥AOC，∴⊥AOE+⊥DOF+⊥AOD=180°，∴射线OE、射线OF在同一条直线上；（3）如图OE⊥OG．理由如下：∵OG平分⊥AOD，∴⊥AOG=⊥DOG，∵⊥AOE=⊥DOF，⊥AOE+⊥DOF+⊥AOD=180°，∴⊥AOE+⊥AOG=90°，∴OG⊥OE．。
(新课标)湘教版七年级数学下册《垂线》同步练习题及答案解析
新课标 2017-2018学年湘教版七年级数学下册4.5.2 垂线的基本事实及垂线段核心笔记:1.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.垂线段的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简单地说成垂线段最短.3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.基础训练1.如图,三角形ABC是锐角三角形,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C到直线AB的距离是( )A.线段CA的长B.线段CD的长C.线段AD的长D.线段AB的长2.下列说法中,正确的有( )①同一平面内,互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角;②过平面内任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两条直线相交,所成的角中有两个角相等,则这两条直线互相垂直;④垂线段就是点到直线的距离.A.1个B.2个C.3个D.4个3.同一平面内,过点P作直线AB的垂线可以作( )A.1条B.2条C.无数条D.不能确定4.A为直线l外一点,B为直线l上一点,点A到l的距离为5cm,则AB___________5cm,其根据是___________.5.如图,一小孩想牵牛到河边饮水,那么小孩应该如何走才能保证走的路程最短?请你在图中画出他走的路线.6.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,若AC=4,BC=6,BE=5.求:(1)点B到直线AC的距离;(2)点A到直线BC的距离.7.如图,AOB为一条在O处拐弯的河道,要修一条从村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路,哪种方案更经济?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案,并简要说明理由.培优提升1.下列说法正确的有( )①两条直线相交构成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线互相垂直;②两条直线相交构成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在同一平面内,OA⊥l,OB⊥l,垂足为O,则OA与OB重合的理由是( )A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.直线l外一点P与直线l上三点所连线段的长度分别为4cm,5cm,6cm,则点P到直线l的距离( )A.是4cmB.是5cmC.不超过4cmD.大于6cm4.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条5.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了两点间的距离、点到直线的距离等,类似地,若点P是圆O外一点(如图所示),则点P与圆O的距离应定义为( )A.线段PO的长度B.线段PA的长度C.线段PB的长度D.线段PC的长度6.如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则AB CD.(填“>”“<”或“=”)7.说出日常生活现象中的数学原理:8.按题目要求画图,并回答相关问题.如图,点P是∠AOB内一点,过点P作PM⊥OA,垂足为点M,作PN ⊥OB,垂足为点N,通过测量∠MPN和∠O的度数,你能得出什么结论?9.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N为位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中分别画出点P和点Q 的位置;(2)当汽车由A向B行驶时,在公路的哪一段上距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论)参考答案【基础训练】1.【答案】B2.【答案】B解：正确的是①②,共2个.3.【答案】A4.【答案】≥;垂线段最短5.解:如图所示,从小孩所在的点向河边作垂线段即可.6.解:(1)因为BE⊥AC,垂足为点E,所以线段BE即为点B到直线AC 的垂线段,因为BE=5,所以点B到直线AC的距离为5.(2)因为AD⊥BC,垂足为点D,所以线段AD的长度即为点A到直线BC的距离,因为BC·AD=AC·BE,所以AD=·==,所以点A到直线BC的距离为.7.解:沿PO修路比沿PM修路更经济些,因为P到AO上各点连接的所有线段中,PO是垂线段,垂线段最短.它不是最佳方案,过P作PN⊥OB于N,PN是P到OB的最短路线. 因为OP>PN,所以PN是P到河道AOB的最短路线,所以沿PN修路是最佳方案.【培优提升】1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D解：能表示点到直线的距离的线段有:线段AD,BA,CA,BD,CD,共5条.5.【答案】B6.【答案】>7.8.解:画图如图所示.结论:∠MPN+∠O=180°.9.解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为点P,过点N作NQ⊥AB,垂足为点Q,则点P,Q就是所要求作的两个点,如图所示.(2)当汽车由A向B行驶时,在AP这段公路上距离两村庄都越来越近,在PQ这段公路上距离村庄N越来越近,距离村庄M越来越远. 解：要求距离最近,可视村庄为一定点,笔直的公路为一条直线,当汽车行驶到“垂足”的位置时,根据垂线段最短知,此时,距离最近.。
湘教版数学七年级下册_《垂线》提高训练
《垂线》提高训练一、选择题1．如图，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是BC边上一动点，则线段AP的长不可能是（）A．2.5cm B．3cm C．4cm D．5cm2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，则图中能表示点到直线距离的垂线段共有（）A．2条B．3条C．4条D．5条3．如图，已知直线AD、BE、CF相交于点O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE的度数为（）A．30°B．35°C．15°D．25°4．如图，OB⊥CD于点O，∠1=∠2，则∠2与∠3的关系是（）A．∠2=∠3B．∠2与∠3互补C．∠2与∠3互余D．不确定5．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，且OE⊥AB，∠AOC=35°，则∠EOD的度数是（）A．155°B．145°C．135°D．125°二、填空题6．在△ABC中∠B=90°，BC=5，AB=12，AC=13，则点B到斜边AC的距离是．7．如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOC，若∠BOE：∠AOC=4：5，则∠EOF为度．8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC=140°，则∠DOE=．9．如图，点A，B，C，D，E在直线l上，点P在直线l外，PC⊥l于点C，在线段PA，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是，理由是10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为．三、解答题11．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点0，OD平分∠BOF，∠BOE=50°，求∠AOC，∠AOF，∠EOF的度数．12．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．（1）若∠EOC=35°，求∠EOD的度数；（2）若∠AOC+∠BOD=100°，求∠EOD的度数．13．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF．（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含a的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB．（1）若∠BOC=4∠AOC，求∠BOD的度数；（2）若∠1=∠2，问OF⊥CD吗？说明理由．15．如图1，已知A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如图2，在∠AOD内引一条射线OF⊥OC，其他不变，设∠DOF=a o（o o＜a ＜90o）．a．求∠AOF的度数（用含a的代数式表示）；b．若∠BOD是∠AOF的2倍，求∠DOF的度数．《垂线》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是BC边上一动点，则线段AP的长不可能是（）A．2.5cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】利用勾股定理列式求出AB，然后根据AC≤AP≤AB求出AP的范围，再选择答案即可．【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴3≤AP≤5，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，垂线段最短的性质，求出AP的取值范围是解题的关键2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，则图中能表示点到直线距离的垂线段共有（）A．2条B．3条C．4条D．5条【分析】根据点到直线的距离的定义，得结论．【解答】解：点C到AB的距离是线段CD，点B到CD的距离是线段BD，点A到CD的距离是线段AD，点A到CB的距离是线段CA，点B到AC的距离是线段BC，故选：D．【点评】本题考查了点到直线的距离，理解点到直线的距离是解决本题的关键．3．如图，已知直线AD、BE、CF相交于点O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE的度数为（）A．30°B．35°C．15°D．25°【分析】根据对顶角相等，以及垂直的定义求出所求角度数即可．【解答】解：∵∠BOC=35°，∠FOG=30°，∴∠EOF=∠BOC=35°，∴∠GOE=∠GOF+∠FOE=65°，∵OG⊥AD，∴∠GOD=90°，∴∠DOE=25°，故选：D．【点评】此题考查了垂线，以及对顶角、领补角，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4．如图，OB⊥CD于点O，∠1=∠2，则∠2与∠3的关系是（）A．∠2=∠3B．∠2与∠3互补C．∠2与∠3互余D．不确定【分析】根据垂线定义可得∠1+∠3=90°，再根据等量代换可得∠2+∠3=90°．【解答】解：∵OB⊥CD，∴∠1+∠3=90°，∵∠1=∠2，∴∠2+∠3=90°，∴∠2与∠3互余，故选：C．【点评】此题主要考查了垂线和余角，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．5．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，且OE⊥AB，∠AOC=35°，则∠EOD的度数是（）A．155°B．145°C．135°D．125°【分析】由对顶角相等可求得∠BOD，根据垂直可求得∠EOB，再利用角的和差可求得答案．【解答】解：∵∠AOC=35°，∴∠BOD=35°，∵EO⊥AB，∴∠EOB=90°，∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90°+35°=125°，故选：D．【点评】本题主要考查对项角相等和垂直的定义，掌握对顶角相等是解题的关键，注意由垂直可得到角为90°．二、填空题6．在△ABC中∠B=90°，BC=5，AB=12，AC=13，则点B到斜边AC的距离是．【分析】设AC边上的高为h，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设AC边上的高为h，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，AC=13，∴AB•BC=AC•h，∴h===．故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键．7．如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOC，若∠BOE：∠AOC=4：5，则∠EOF为115度．【分析】依据∠AOC+∠BOE=90°，∠BOE：∠AOC=4：5，即可得出∠AOC=50°，根据OF平分∠AOC，可得∠COF=25°，进而得到∠EOF=∠COF+∠COE=115°．【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE=90°，∴∠AOC+∠BOE=90°，又∵∠BOE：∠AOC=4：5，∴∠AOC=50°，又∵OF平分∠AOC，∴∠COF=25°，∴∠EOF=∠COF+∠COE=25°+90°=115°，故答案为：115．【点评】本题主要考查垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，关键在于熟练运用各性质定理，推出相关角的度数．8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC=140°，则∠DOE=50°．【分析】运用垂线的定义，对顶角的性质进行计算即可．【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOC=∠AOD=140°，又∵OE⊥AB，∴∠DOE=140°﹣90°=50°，故答案为：50°．【点评】本题主要考查了对顶角和垂线的定义，解题的关键是运用对顶角的性质：对顶角相等．9．如图，点A，B，C，D，E在直线l上，点P在直线l外，PC⊥l于点C，在线段PA，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是PC，理由是垂线段最短【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，根据定义即可选出答案．【解答】解：根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．故答案是：PC；垂线段最短．【点评】本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为140°．【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∴∠EOB=90°，∵∠EOD=50°，∴∠BOD=40°，则∠BOC的度数为：180°﹣40°=140°．故答案为：140°．【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题关键．三、解答题11．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点0，OD平分∠BOF，∠BOE=50°，求∠AOC，∠AOF，∠EOF的度数．【分析】根据题意即可推出∠EOD=90°，∠BOD=40°，既而得，∠AOC=40°，∠BOF=80°，得：∠EOF=130°，∠AOF=100°．【解答】解：∵OE⊥CD于点O，∴∠EOD=90°（垂直的定义）∵∠BOE=50°，∴∠BOD=90°﹣50°=40°，∴∠AOC=∠BOD=40°（对顶角相等）．∵OD平分∠BOF，∴∠BOF=2∠BOD=80°（角平分线的定义），∴∠AOF=180°﹣80°=100°，（平角的定义）∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=130°．答：∠AOC=40°，∠AOF=100°，∠EOF=130°．【点评】本题主要考查垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，关键在于熟练运用各性质定理，推出相关角的度数．12．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．（1）若∠EOC=35°，求∠EOD的度数；（2）若∠AOC+∠BOD=100°，求∠EOD的度数．【分析】（1）根据平角的定义可求∠EOD的度数；（2）根据对顶角的定义可求∠BOD=50°，再根据垂直的定义和角的和差关系可求∠EOD的度数．【解答】解：（1）∵∠EOC=35°，∴∠EOD=180°﹣∠EOC=145°；（2）∵∠AOC+∠BOD=100°，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠BOD=50°，∵EO⊥AB，∴∠BOE=90°，∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=140°．【点评】本题主要考查的是垂直的定义和对顶角的性质，由垂直的定义求得∠BOD的度数是解题的关键．13．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF．（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含a的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？【分析】（1）先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案；（2）先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案；（3）先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，∴∠AOF=140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；（2）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=α，∴∠AOF=180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α；（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．【点评】本题考查了邻补角、对顶角、角平分线定义等知识点，能根据知识点和已知求出∠BOE和∠EOD的度数是解此题的关键．14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB．（1）若∠BOC=4∠AOC，求∠BOD的度数；（2）若∠1=∠2，问OF⊥CD吗？说明理由．【分析】（1）根据邻补角的定义，可得∠AOC，根据对顶角的性质，可得答案；（2）根据垂直的定义，可得∠AOE，根据余角的性质，可得答案．【解答】解：（1）由邻补角的定义，得∠AOC+∠BOC=180°，∵∠BOC=4∠AOC，∴4∠AOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=36°，由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=36°；（2）OF⊥CD，理由如下：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠1+∠AOC=90°，∵∠1=∠2，即∠FOC=90°，∴OF⊥CD．【点评】本题考查了垂线，解（1）的关键是利用邻补角的定义得出∠AOC，解（2）的关键是利用余角的性质得出∠2+∠AOC=90°．15．如图1，已知A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如图2，在∠AOD内引一条射线OF⊥OC，其他不变，设∠DOF=a o（o o＜a ＜90o）．a．求∠AOF的度数（用含a的代数式表示）；b．若∠BOD是∠AOF的2倍，求∠DOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的性质解答即可；（2）a．根据互余解答即可．b．根据∠BOD是∠AOF的2倍，列方程可得α的值．【解答】解：（1）∵点A，O，B在同一条直线上，∴∠AOC+∠BOC=180°，∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC∴∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=90°，∴∠DOE=90°；（2）a．∵OC⊥OF，∴∠COF=90°，∵∠DOF=αo，∴∠COD=90°﹣α°，∴∠AOF=∠AOD﹣∠DOF=90°﹣α°﹣α°=（90﹣2α）°，b．∵∠BOD是∠AOF的2倍，∴180°﹣（90﹣α）°=2（90﹣2α）°，α=18°，即∠DOF=18°．【点评】此题主要考查了垂线和角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．。
2019年精选湘教版初中数学七年级下册4.5 垂线课后辅导练习【含答案解析】第四篇
2019年精选湘教版初中数学七年级下册4.5 垂线课后辅导练习【含答案解析】第四篇第1题【单选题】如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为( )A、120°B、130°C、135°D、140°【答案】：【解析】：第2题【单选题】如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为( )A有误B有误C、3D、5【答案】：【解析】：第3题【单选题】如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为( )A、35°B、45°C、55°D、65°【答案】：【解析】：第4题【单选题】如图所示，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1=60°，则∠2=( )A、30°B、20°C、25°D、35°【答案】：【解析】：第5题【单选题】如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠ACD=130°，则∠BAC=( )A、40°B、50°C、60°D、70°【答案】：【解析】：第6题【单选题】A、5cmB、6cmC、8cmD、10cm【答案】：【解析】：第7题【单选题】如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出( )A、0条B、1条C、2条D、3条【答案】：【解析】：第8题【单选题】下列说法正确的是( )A、垂线段最短B、线段最短C、过A、B两点作直线AB垂直于直线D、过A、B两点作直线AB平行于直线【答案】：【解析】：第9题【单选题】下列说法中错误的是( )A、A、B两点间的距离为线段ABB、线段AB的中点M到AB两点的距离相等C、A、B两点间的距离为2cmD、A、B两点间的距离是线段AB的长度【答案】：【解析】：第10题【单选题】如图，四边形ABCD中，∠ABC=Rt∠．已知∠A=α，外角∠DCE=β，BC=a，CD=b，则下列结论错误的是( )A、∠ADC=90°﹣α+βB、点D到BE的距离为b?sinβC、AD=D、点D到AB的距离为a+bcosβ【答案】：【解析】：第11题【填空题】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=______．【答案】：【解析】：。
湘教版七年级数学下册 垂线同步练习1
《垂线》同步练习1一、选择题1.下列语句说法正确的个数是()①两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直;②两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么这两条直线垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,OA⊥OB,若∠1=40°,则∠2的度数是()A.20°B.40°C.50°D.60°3.已知,OA⊥OB,∠AOB∶∠AOC=3∶4,则∠BOC的度数为()A.30°B.150°C.30°或150°D.不同于以上答案二、填空题4.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,∠BOD=20°,则∠COE等于度.5.如图所示,OA⊥OB,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON的度数为.6.如图,点O是直线AB上的一点,OC⊥OD,∠AOC-∠BOD=20°,则∠AOC=.三、解答题7.如图,OP平分∠AOB,在OP上任取与O不重合的两点M,N.(1)分别画出M,N两点到OA,OB的垂线段.(2)分别测量点M,N到OA,OB的距离填入下表:(3)由此,:.8.如图,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,OE平分∠BON,若∠EON=20°,求∠AOM和∠NOC的度数.【拓展延伸】9.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图所示.(1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大?在图上标出来.(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校的影响越来越大?哪一段上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大?答案解析1.【解析】选C.两条直线相交成四个角,对顶角一定相等,故①错误.如果有一个角是直角,那么这两条直线垂直,所以②正确.一条直线的垂线可以画无数条,故③正确.在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直,故④正确.所以②③④正确.故选C.2.【解析】选C.因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,所以∠1+∠2=90°.因为∠1=40°,所以∠2=50°.3.【解析】选C.本题分两种情况:如图(1),因为OA⊥OB,∠AOB∶∠AOC=3∶4,所以∠AOC=120°,所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°.如图(2),因为OA⊥OB,∠AOB∶∠AOC=3∶4,所以∠AOC=120°,所以∠BOC=360°-∠AOC-∠AOB=150°.4.【解析】因为∠BOD=20°,所以∠AOC=∠BOD=20°.因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°,所以∠COE=90°-20°=70°.答案:705.【解析】因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,因为∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,所以∠COM=60°,∠CON=15°,所以∠MON=∠COM-∠CON=45°.答案:45°6.【解析】因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠AOD+∠BOC=90°,又∠AOC-∠BOD=20°,即∠AOD-∠BOC=20°,设∠BOC=x°,则∠AOD=(x+20)°,所以x+x+20=90,解得x=35,所以∠BOC=35°,所以∠AOC=180°-∠BOC=145°.答案:145°7.【解析】(1)如图所示:(2)略(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等8.【解析】因为OE平分∠BON,所以∠BON=2∠EON=2×20°=40°,所以∠NOC=180°-∠BON=180°-40°=140°,∠MOC=∠BON=40°.因为AO⊥BC,所以∠AOC=90°,所以∠AOM=∠AOC-∠MOC=90°-40°=50°,所以∠NOC=140°,∠AOM=50°.9.【解析】(1)如图,作MC⊥AB于点C,ND⊥AB于点D,根据垂线段最短,所以在点C处对M 学校的影响最大,在点D处对N学校的影响最大.(2)由点A向点C行驶时,对两个学校的影响逐渐增大;由点C向点D行驶时,对M学校的影响逐渐减小,对N学校的影响逐渐增大.。
七年级数学下册 4.5 垂线同步练习 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中七年级下册数学试题
同步练习一、选择题(本大题共8小题)1. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线2.已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B．C．D．3. 如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是（）A．CD＞AD B．AC＜BC C．BC＞BD D．CD＜BD4. 如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度数（）A. 46°B. 44°C. 36°D. 22°5. 如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2度数为（）A. 45°° C.90° D.120°6. 下列叙述中，正确的是（）A．相等的两个角是对顶角B．一条直线有只有一条垂线C．从直线外一点到这条直线上的各点所连接的线段中，垂线段最短D．一个角一定不等于它的余角7. 如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（）A．120° B．130° C．140° D．150°8. 如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1=50°，则∠2为（）．A．40° B．30° C．50° D．60°二、填空题(本大题共6小题)9. 如图, 直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为.10.如图所示，直线a ∥b ．直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、点B ，AM b ⊥，垂足为点M ，若158∠=︒，则2∠＝ _________11.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，ON ⊥OM ，若∠AOM ＝35°，则∠CON 的度数为.12. 如图,点O 是直线AB 上的一点,OC ⊥OD,∠AOC-∠BOD=20°,则∠AOC=.13.如图所示，在灌溉农田时，要把河(直线l 表示一条河)中的水引到农田P 处，设计了四条路线PA ，PB ，PC ，PD(其中PB ⊥l)，在PA 、PB 、PC 、PD 四条路线中选择才能使渠道距离最短.14. 如图所示,AB ⊥AC,AD ⊥BC,垂足分别为A ，D,AB=6 cm,AD=5 cm,则点B 到直线AC 的距离是__________,点A 到直线BC 的距离是__________.三、计算题(本大题共4小题)15. 如图,直线BC 与MN 相交于点O,AO ⊥BC,OE 平分∠BON,若∠EON=20°,求∠AOM 和∠NOC 的度数.16. 如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=13∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线. (1)求∠COD 的度数;(2)判断OD 与AB 的位置关系,并说明理由.O DCBA17. 如图所示,直线AB ，CD 相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF 平分∠AOE.(1)判断OF 与OD 的位置关系；(2)若∠AOC ∶∠AOD=1∶5,求∠EOF 的度数.18. 如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶,M,N•分别是 位于公路AB 两侧的村庄,设汽车行驶到P 点位置时,离村庄M 最近,行驶到Q 点位置时,•离村庄N 最近,请你在AB 上分别画出P,Q 两点的位置.NMBA参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1.C分析：此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：C ．2.C分析：根据题意画出图形即可．解：根据题意可得图形 ，故选：C ．3. C分析：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短进行分析． 解：A 、CD 与AD 互相垂直，没有明确的大小关系，错误；B 、AC 与BC 互相垂直，没有明确的大小关系，错误；C、BD是从直线CD外一点B所作的垂线段，根据垂线段最短定理，BC＞BD，正确；D、CD与BD互相垂直，没有明确的大小关系，错误，故选C．4. A分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=44°，∵l3⊥l4，∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣44°=46°．故选A．5. C分析：根据垂线的定义可得∠1=90°，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠1．解：∵c⊥a，∴∠1=90°，∵a∥b，∴∠2=∠1=90°．故选C．6.C分析：根据对顶角的定义，垂线的性质，余角的定义作答．解：A、直角都相等，但不一定是对顶角，故本选项错误；B、一条直线有无数条垂线，故本选项错误；C、从直线外一点到这条直线上的各点所连接的线段中，垂线段最短是对的，正确；D、45°角等于它的余角，故本选项错误．故选C．7. C分析：如图，作辅助线；首先运用平行线的性质求出∠DGC的度数，借助三角形外角的性质求出∠ACD即可解决问题．解：如图，延长AC交EF于点G；∵AB∥EF，∴∠DGC=∠BAC=50°；∵CD⊥EF，∴∠CDG=90°，∴∠ACD=90°+50°=140°，故选C．8. A分析：根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3=∠1，根据PM⊥l于点P，则∠MPQ=90°，即可求解．解：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=50°，又∵PM⊥l于点P，∴∠MPQ=90°，∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣50°=40°．故答案是：40．故选A。
2019-2020学年湘教版七年级数学下册课后作业：4.5垂线(含答案)
2019-2020学年湘教版数学精品资料课时作业（二十五）垂线(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.下列语句说法正确的个数是( )①两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直;②两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么这两条直线垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2013·福州中考)如图,OA⊥OB,若∠1=40°,则∠2的度数是( )A.20°B.40°C.50°D.60°3.已知,OA⊥OB,∠AOB∶∠AOC=3∶4,则∠BOC的度数为( )A.30°B.150°C.30°或150°D.不同于以上答案二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2013·南通中考)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,∠BOD=20°,则∠COE 等于度.5.如图所示,OA⊥OB,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON的度数为.6.如图,点O是直线AB上的一点,OC⊥OD,∠AOC-∠BOD=20°,则∠AOC= .[三、解答题(共26分)7.(8分)如图,OP平分∠AOB,在OP上任取与O不重合的两点M,N.(1)分别画出M,N两点到OA,OB的垂线段.(2)分别测量点M,N到OA,OB的距离填入下表:点到OA的距离到OB的距离MN(3)由此,你有什么猜想:.8.(8分)如图,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,OE平分∠BON,若∠EON=20°,求∠AOM和∠NOC的度数.【拓展延伸】9.(10分)一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图所示.(1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大?在图上标出来.(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校的影响越来越大?哪一段上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大?答案解析1.【解析】选C.两条直线相交成四个角,对顶角一定相等,故①错误.如果有一个角是直角,那么这两条直线垂直,所以②正确.一条直线的垂线可以画无数条,故③正确.在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直,故④正确.所以②③④正确.故选C.2.【解析】选C.因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,所以∠1+∠2=90°.因为∠1=40°,所以∠2=50°.3.【解析】选C.本题分两种情况:如图(1),因为OA⊥OB,∠AOB∶∠AOC=3∶4,所以∠AOC=120°,所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°.如图(2),因为OA⊥OB,∠AOB∶∠AOC=3∶4,所以∠AOC=120°,所以∠BOC=360°-∠AOC-∠AOB=150°.4.【解析】因为∠BOD=20°,所以∠AOC=∠BOD=20°.因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°,所以∠COE=90°-20°=70°.答案:705.【解析】因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,因为∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC, 所以∠COM=60°,∠CON=15°,所以∠MON=∠COM-∠CON=45°.答案:45°6.【解析】因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠AOD+∠BOC=90°,又∠AOC-∠BOD=20°,即∠AOD-∠BOC=20°,设∠BOC=x°,则∠AOD=(x+20)°,所以x+x+20=90,解得x=35,所以∠BOC=35°,所以∠AOC=180°-∠BOC=145°.答案:145°7.【解析】(1)如图所示:(2)略(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等8.【解析】因为OE平分∠BON,所以∠BON=2∠EON=2×20°=40°,所以∠NOC=180°-∠BON=180°-40°=140°,∠MOC=∠BON=40°.因为AO⊥BC,所以∠AOC=90°,所以∠AOM=∠AOC-∠MOC=90°-40°=50°,所以∠NOC=140°,∠AOM=50°.9.【解析】(1)如图,作MC⊥AB于点C,ND⊥AB于点D,根据垂线段最短,所以在点C处对M学校的影响最大,在点D处对N学校的影响最大.(2)由点A向点C行驶时,对两个学校的影响逐渐增大;由点C向点D行驶时,对M学校的影响逐渐减小,对N学校的影响逐渐增大.。
2020-2021学年湘教版数学七年级下册4.5《垂线》同步练习(含答案)
湘教版数学七年级下册4.5《垂线》同步练习一、选择题1.如图,OA⊥OB,若∠1=40°,则∠2的度数是( )A.20°B.40°C.50°D.60°2.下列语句说法正确的个数是( )①两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直;②两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么这两条直线垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知,OA⊥OB,∠AOB∶∠AOC=3∶4,则∠BOC的度数为( )A.30°B.150°C.30°或150°D.不同于以上答案4.下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是( )A.两点确定一条直线B.两点之间线段最短C.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直D.垂线段最短5.点到直线的距离是指这点到这条直线的( )A.垂线段B.垂线C.垂线的长度D.垂线段的长度6.画一条线段的垂线，垂足在( )A.线段上B.线段的端点C.线段的延长线上D.以上都有可能7.下列说法正确的有( )①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的一个动点,则AP的长不可能是( )A.2.5B.3C.4D.5二、填空题9.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,∠BOD=20°,则∠COE等于度.10.如图,点O是直线AB上的一点,OC⊥OD,∠AOC-∠BOD=20°,则∠AOC= .11.如图，当∠1与∠2满足条件时，OA⊥OB.12.如图,OA⊥OB,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON度数为.三、作图题13.如图所示，在这些图形中，分别过点C画直线AB的垂线，垂足为O.四、解答题14.如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC∶∠AOD=7∶11.(1)求∠COE；(2)若OF⊥OE，求∠COF.15.如图，直线AB与CD相交于点O，OE，OF分别是∠BOD，∠AOD的平分线.(1)∠DOE的补角是__________________；(2)若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度数；(3)判断射线OE与OF之间有怎样的位置关系？并说明理由.参考答案1.答案为：C.2.答案为：C.3.答案为：C.4.答案为：D ；5.答案为：D ；6.答案为：D ；7.答案为：C ；8.答案为：A.9.答案为：7010.答案为：145°11.答案为：∠1＋∠2=90°；12.答案为：45°13.解：如图所示.14.解：(1)因为∠AOC ∶∠AOD=7∶11，∠AOC ＋∠AOD=180°， 所以∠AOC=70°，∠AOD=110°.所以∠BOD=∠AOC=70°，∠BOC=∠AOD=110°.又因为OE 平分∠BOD ，所以∠BOE=∠DOE=12∠BOD=35°. 所以∠COE=∠BOC ＋∠BOE=110°＋35°=145°.(2)因为OF ⊥OE ，所以∠FOE=90°.所以∠FOD=∠FOE －∠DOE=90°－35°=55°. 所以∠COF=180°－∠FOD=180°－55°=125°.15. (1) ∠AOE 或∠COE解：(1)因为OE 是∠BOD 的平分线，所以∠DOE=∠BOE ，又因为∠BOE ＋∠AOE=180°，∠DOE ＋∠COE=180°， 所以∠DOE 的补角是∠AOE 或∠COE(2)因为OE 是∠BOD 的平分线，∠BOD=62°，所以∠BOE=12∠BOD=31°，所以∠AOE=180°－31°=149°，因为∠BOD=62°，所以∠AOD=180°－62°=118°， 因为OF 是∠AOD 的平分线，所以∠DOF=12×118°=59° (3)OE 与OF 的位置关系是OE ⊥OF.理由如下： 因为OE ，OF 分别是∠BOD ，∠AOD 的平分线，所以∠DOE=12∠BOD ，∠DOF=12∠AOD ， 因为∠BOD ＋∠AOD=180°，所以∠EOF=∠DOE ＋∠DOF=12(∠BOD ＋∠AOD)=90°， 所以OE ⊥OF.。
湘教版数学七年级下册_《垂线》基础训练
《垂线》基础训练一、选择题1．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（）A．4.5B．5C．6D．72．如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，且∠AOC=50°，则∠EPF=（）A．50°B．60°C．40°D．30°3．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂直线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边4．如图，三条直线相发开点O，若CO⊥AB，∠1=55°，则∠2等于（）A．30°B．35°C．45°D．55°5．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点C到AB所在直线的距离是线段（）的长．A．CA B．CD C．CB D．以上都不是二、填空题6．在同一平面内，三条不同的直线a、b、c，若a⊥c，b⊥c，则．7．如图，∠C=90°，则图中最长的线段是．8．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，能表示点到直线的距离的线段有条．9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠COE=40°，则∠AOD等于度．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=45°，则∠AOD=．《垂线》基础训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（）A．4.5B．5C．6D．7【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于5，由此判断即可．【解答】解：∵在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，∴AC⊥BC，∴根据垂线段最短，可知AP的长不可小于5，故选：A．【点评】本题主要考查了垂线段最短，解答此题的关键是熟练掌握垂线段最短．2．如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，且∠AOC=50°，则∠EPF=（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】首先由邻补角定义得出∠AOF=180°﹣∠AOC，然后根据垂直的定义得出∠OEP=∠OFP=90°，再根据四边形的内角和定理得出结果．【解答】解：∵∠AOC=50°，∴∠AOF=180°﹣∠AOC=130°．∵PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，∴∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF=360°﹣∠AOF﹣∠OEP﹣∠OFP=50°．故选：A．【点评】本题主要考查了邻补角、垂直的定义及四边形的内角和定理．3．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂直线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边【分析】根据垂线段的性质解答即可．【解答】解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C 路线，是因为垂直线段最短，故选：B．【点评】此题主要考查了垂线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两垂直线段最短．4．如图，三条直线相发开点O，若CO⊥AB，∠1=55°，则∠2等于（）A．30°B．35°C．45°D．55°【分析】首先根据垂直定义可得∠AOC=90°，根据平角定义可得∠1+∠2=90°，再由∠1=55°可得∠2的度数．【解答】解：∵CO⊥AB，∴∠AOC=90°，∵∠1+∠AOC+∠2=180°，∠1=55°，∴∠2=180°﹣∠1﹣∠AOC=35°，故选：B．【点评】此题主要考查了垂直，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．5．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点C到AB所在直线的距离是线段（）的长．A．CA B．CD C．CB D．以上都不是【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．根据点到直线的距离的定义进行解答即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴线段CD的长度表示点C到AB的距离．故选：B．【点评】本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．二、填空题6．在同一平面内，三条不同的直线a、b、c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．【分析】根据平行线的判定解答即可．【解答】解：在同一平面内，三条不同的直线a、b、c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b，故答案为：a∥b．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行的性质，是基础题，熟记平行线的判定是解题的关键．7．如图，∠C=90°，则图中最长的线段是AB．【分析】根据垂线段最短即可得到结论．【解答】解：∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴图中最长的线段是AB，故答案为：AB．【点评】本题考查了垂线的性质，垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．8．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，能表示点到直线的距离的线段有5条．【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案．【解答】解：如图所示：线段AB是点B到AC的距离，线段CA是点C到AB的距离，线段AD是点A到BC的距离，线段BD是点B到AD的距离，线段CD是点C到AD的距离，故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．故答案为：5．【点评】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握定义是解题关键．点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠COE=40°，则∠AOD等于130度．【分析】先根据垂直的定义求出∠AOE=90°，然后求出∠AOC的度数，再根据邻补角的定义求出∠AOD的度数．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠COE=40°，∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=90°﹣40°=50°，∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°．故答案为：130【点评】本题考查了垂线的定义，邻补角的和等于180°，要注意领会由垂直得直角这一要点．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=45°，则∠AOD=135°．【分析】先根据垂直的定义求出∠AOE=90°，然后求出∠AOC的度数，再根据邻补角的定义求出∠AOD的度数．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠COE=45°，∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=90°﹣45°=45°，∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°．故答案为：135°【点评】本题考查了垂线的定义，邻补角的和等于180°，要注意领会由垂直得直角这一要点．。
湘教版数学七年级下册45垂线同步练习3.docx
4.5垂线一、选择题1.如图所示，A0丄BC, 0M丄ON,则图中互余的角有（）A.3对B.4对C.5对D. 6对O2.点到直线的距离是指（）A.直线外一点与这条直线上任意一点的距离’B.直线外一点到这条直线的垂线的长度C.直线外一点到这条直线的垂线段D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度3.如图，若40丄CO, B0丄D0,且ZBOC= a ,则ZAOD等于（）.A.180°—2QB.180°-«C.90°+ 丄GD.26T -90°2二、判断下列语句是否正确4.点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离.（）5・在三角形ABC中，若ZB=90。
，贝ij AOAB.（）6.若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直. （）7.平面内，过线段43外一点有且只有一条直线与43垂直. （.）三、解答题8.噪咅对环境的影响与距离有关，与噪咅来源距离越近噪咅越大.如图，一辆汽车在笔•直的公路AB±由点A向点B行驶，M是位于公路AB —侧的某所学校.通过画图完成下列问题，并说明理由.(1)汽车行驶到什么位置时，学校M受噪音影响最严重？(2)在什么范圉内，学校M受噪音影响越来越大？在什么范围内，学校M受噪•音影响越來越小？•MA ---------------------- B9.如图所示，村庄A要从河流1引水入庄，.需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的最短路线.10.如图所示，O为直线AB ±一点，ZBOC=3ZAOC, OC平分ZAOD.(1)求ZAOC的度数；(2)推测OD与AB的位置关系，并说明理由.11.如图所示，直线AB、CD相交于点O, OE丄AB, OB平分ZDOF,若ZEOC=110°, 求ZBOF、ZCOF的度数.12.已知点试在平面内作出四条直线厶，h，h，使它们分别到点M的距离是1.5cm •• M13.一个锐角与一个钝角互为邻角，过顶点作公共边的垂线，若此垂线与锐角的另5 3一边构成2直角，与钝角的另一边构成直三角，则此锐角与钝角的和等于直角的多少倍?7 7参考答案一、选择题1.B解析：・.・AO』BC, 0M丄ON,ZBOA=ZAOC=ZMON=90° .・•・图中互余的角有ZBOM与ZMOA, ZMOA与ZAON, ZAON与ZNOC, ZBOM 与ZNOC,共4对.2.D解析：注意数学语言叙述的规范性与严密性.3・B.二、判断下列语句是否正确4.V,.5.V,6.V,7.V,三、解答题8.解：⑴如图，根据“垂线段最短”，过点M作线段AB的垂线，垂足为P,所以汽车行驶到P点时，学校M受噪音影响最严重(2)由⑴可知，汽车行驶在AP段吋，学校M受噪咅影响越来越大；汽车行驶在PB段时，学校M受噪音影响越来越小.9 .解：如图所示，过点A作AE丄1于点E,根据垂线段最短，可知AE就是村庄A修筑水渠的路线.10.解:(1)因为ZBOC=3ZAOC, ZBOC+ZAOC=180°,所以ZBOC=135°, ZAOC= 45°.(2)推测：OD丄AB.理由：因为OC平分ZAOD,所以ZDOC=ZAOC=45°,所以ZAOD= 90°,所以OD丄AB.11 .解:Z AOC= Z EOC- Z EOA= 110°-90°=20°.所以Z B OF= Z B OD= Z AOC=20°,所以ZCOF= 180°-Z AOC- ZBOF= 180°-20°-20°= 140°,12.以点M为圆心，以R=\.5c m长为半径画圆M,在圆M上任収四点A, B, C, D, 依次连接AM, BM, CM, DM,再分别过A, B, C, D点作半径AM, BM, CM, DM的垂线A，b，h，h，则这四条直线为所求.13.提示：如图，•/ ZAOE = -x90\ZFOC = -x90°,7 7・•・ ZAOB = -x 90°. ZBOC = —x 90°.7 7•—心尹90。
湘教版7下数学练习题 垂线(2)
第2课时垂线段与点到直线的距离要点感知1在同一平面内,过一点__________直线与已知直线垂直.预习练习1-1过直线AB上一点P,在同一平面内画AB的垂线,可以画的条数是( )A.0B.1C.2D.无数条要点感知2直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,__________最短.简单说成：__________最短.预习练习2-1 如图,计划把河AB中的水引到水池C中,可以先作CD⊥AB,垂足为D,然后沿CD开渠,则能使所打开的水渠最短,这种方案的设计根据是____________________.要点感知3从直线外一点到这条直线的__________的长度,叫做点到直线的距离.预习练习3-1 点到直线的距离是指( )A．从直线外一点到这条直线的连线B．从直线外一点到这条直线的垂线段C．从直线外一点到这条直线的垂线的长D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长3-2 如图，三角形ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C，E，那么点C到线段AB的距离是线段__________的长度.知识点1 垂线、垂线段及其性质1.如图，已知ON⊥a，OM⊥a，可以推断出OM与ON重合的理由是( )A．两点确定一条直线B．过一点只能作一条直线C．垂线段最短D．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2.如图,三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP的长不可能是( )A.2.5B.3C.4D.53.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由是____________________.4.如图,某人站在马路的左侧A点处,要到路的右侧,怎样走最近？为什么？如果他要到马路对面的B点处,怎样走最近？为什么？知识点2 点到直线的距离5.P为直线l外一点，A，B，C为l上三点，且PB⊥l，那么下列说法正确的是( )A.线段PA的长度是点P到直线l的距离B.线段PB的长度是点P到直线l的距离C.线段PC的长度是点P到直线l的距离D.线段AC的长度是点A到PC的距离6.如图，AB⊥BC，BD⊥AC，能表示点到直线的距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条7.如图，A，D是直线l1上两点，B，C是直线l2上两点，且AB⊥BC，CD⊥AD，点A到直线l2的距离是线段______的长，点C与l1的距离是线段__________的长.8.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是,点A到BC的距离是__________,点B到CD的距离是__________.9.已知直线AB，CB ，l 在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( )10.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内,过一点任意画一条直线垂直于已知直线；④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个11.如图，这是一条马路上的人行横道线，即斑马线的示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条线路AC、AB、AD中最短的是( )A．AC B．AB C．AD D．不确定12.下列说法中正确的是( )A．有且只有一条直线垂直于已知直线B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C．互相垂直的两条线段一定相交D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3 cm，则点A到直线c的距离是3 cm13.点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l上，若PA=3 cm，PB=4 cm，PC=6 cm，则点P到直线l的距离是( )A．3 cm B．小于3 cm C．小于或等于3 cm D．4 cm14.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5 cm，BC=3 cm，则BD的长度的取值范围是( )A.大于3 cmB.小于5 cmC.大于3 cm或小于5 cmD.大于3 cm且小于5 cm15.如图，从学校到公路最近的是__________号路线，数学道理是____________________.16.如图,从B村经A村到河边修一条道路,怎样修使道路最短？并说明道理.17.如图，分别画出点A到BC的垂线段,并量出点A到BC的距离.18.如图：在三角形ABC中,∠BCA=90°,CD⊥AB于点D,线段AB，BC，CD的大小顺序如何,并说明理由.19.如图，DE⊥EF,EF=8,DE=15,DF=17.（1）试说出点F到直线DE的距离，点D到直线EF的距离；（2）点E到直线DF的距离是多少？你是怎样求得的？参考答案要点感知1 有且只有一条预习练习1-1 B要点感知2垂线段垂线段预习练习2-1垂线段最短要点感知3垂线段预习练习3-1 D3-2 CE1.D2.A3.垂线段最短4.此人要走到马路的右侧,可沿A点到马路右侧的垂线段走,因为直线外一点到直线的垂线段最短.要到B点处,可沿线段AB走,因为两点之间线段最短.5.B6.D7.AB CD8.4.8 6 6.49.C 10.B 11.B 12.D 13.C 14.D 15.②垂线段最短16.连接AB，过点A作AC垂直于河岸线于点C.理由：两点之间，线段最短；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.17.作图略.18.因为CD⊥AB于点D,所以BC＞CD.因为∠BCA=90°,所以BC⊥AC.所以AB＞BC.所以AB＞BC＞CD.19.（1）因为DE⊥EF,EF=8,DE=15,所以点F到直线DE的距离，点D到直线EF的距离分别是：8,15.（2）设点E到直线DF的距离为h,三角形DEF的面积=12DE·EF=12DF·h,所以17h=8×15,所以h=12017.所以点E到直线DF的距离为12017.。
湘教版七年级下册数学 第4章 相交线与平行线 垂 线
第4章相交线与平行线
4．5 垂线 第1课时 垂 线
提示：点击 进入习题
1 90；90；⊥ 5 C
答案显示
2B
6D
3B
7B
4D
8A
提示：点击 进入习题
9B
10 见习题 11 见习题
12 见习题
答案显示
13 见习题
14 见习题
1．如图，若CD⊥EF，∠1＝∠2，则AB⊥EF，请说明理
A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于
已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
10．(1)在图①中，过AB外一点M作AB的垂线；
【点拨】本题易错之处在于误认为垂足一定落在线 段上．
解：如图①所示．
(2)在图②中，过A，B分别作OB，OA的垂线．
【点拨】本题易错之处在于误认为垂足一定落在线 段上．
解：如图②所示．
11．如图，AB交CD于点O，OE⊥AB. (1)若∠EOD＝20°，求∠AOC的度数；
解：如图，因为OE⊥AB， 所以∠EOB＝90°， 即∠EOD＋∠1＝90°. 又∠EOD＝20°，所以∠1＝70°， 所以∠AOC＝∠1＝70°.
A．60°BB．50° C．40°D．30°
8．在同一平面内，已知三条直线a，b，c，若a∥c，b⊥c， 则a与b的位置关系是( ) A
A．a⊥b B．a∥b C．a⊥b或a∥b D．a⊥b或a，b重合
9．【中考·金华】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB 的垂线a和b，得到a∥b.理由是( )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.5 垂线第1课时垂线要点感知1 两条直线相交所成的四个角中,如果有一个是__________角时,这两条直线叫做互相垂直.其中一条直线叫做另一条的__________,它们的交点叫__________.预习练习1-1 如图,∠PQR等于138°,SQ⊥QR,QT⊥PQ,则∠SQT等于__________.要点感知2 在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线__________.预习练习2-1 在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，d∥c，则a与d的位置关系是__________.要点感知3 在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么这条直线____________________.预习练习3-1 直线a，b，c中，若a⊥b，b∥c，则a，c的位置关系是__________.知识点1 垂线的概念1.如图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )A.20°B.40°C.50°D.60°2.如图,平面内三条直线交于点O,∠1=30°,∠2=60°,AB与CD的关系是( )A.平行B.垂直C.重合D.以上均有可能3.如图,点O在直线AB上，且OC⊥OD.若∠COA=36°,则∠DOB的大小为( )A.36°B.54°C.64°D.72°4.如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为__________.5.如图所示，AB与CD交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠BOD=25度，则∠AOE=________度，∠DOF=________度.知识点2 垂线与平行线6.如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2等于( )A.60°B.50°C.40°D.30°7.如图，∠1=∠2，DE⊥AB于点D，则BC与AB的位置关系是__________.8.如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠3,AD平分∠BAC吗？为什么？9.如图，已知∠ABC=90°，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB.试说明：(1)CD⊥CB；(2)CD平分∠ACE.10.如图,直线AB，CD相交于点O,OT⊥AB于O,CE∥AB交CD于点C,若∠ECO=30°,则∠DOT=( )A.30°B.45°C.60°D.120°11.如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM. 若∠AOM=35°，则∠CON的度数为( )A.35°B.45°C.55°D.65°12.如图所示,AB,CD相交于点O,OE⊥AB,下列结论错误的是( )A.∠AOC=∠BODB.∠COE+∠BOD=90°C.∠COE+∠AOD=180°D.∠EOB+∠AOE=180°13.在同一平面内，有2 015条直线：a 1,a 2…a 2 015，如果a 1⊥a 2，a 2⊥a 3，a 3⊥a 4…那么a 1与a 2 015的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．以上都不对14.如图，OA ⊥OC ，OB ⊥OD ，∠AOD=125°，则∠BOC 的度数是__________°.15.如图，直线a ∥b ，点B 在直线b 上，且AB ⊥BC ，∠1=55°，求∠2的度数．16.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM和∠NOC的度数.17.已知：如下图，AB，CD，EF三直线相交于一点O，且OE⊥AB，∠COE=20°,OG平分∠BOD，求∠BOG的度数.18.如图，已知∠ADE=∠B，FG⊥AB，∠EDC=∠GFB，试说明：CD⊥AB.19.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线.(1)试说明∠AOC=∠BOD;(2)若∠BOD=32°,求∠AOE的度数.参考答案要点感知1 直垂线垂足预习练习1-1 42°要点感知2 互相平行预习练习2-1 平行要点感知3 垂直于另一条直线预习练习3-1 垂直1.C2.B3.B4.45°5.65 1156.B7.垂直8.AD平分∠BAC.因为AD⊥BC,EG⊥BC,所以AD∥EG.所以∠1=∠E,∠2=∠3.因为∠3=∠E,所以∠1=∠2.所以AD平分∠BAC.9.(1)因为∠DCA=∠CAB，所以AB∥CD.又因为∠ABC=90°，所以AB⊥CB.所以CD⊥CB.(2)因为∠DCA+∠1=90°，所以∠DCE+∠2=90°.又因为∠1=∠2，所以∠DCA=∠DCE.所以CD平分∠ACE.10.C 11.C 12.C 13.B 14.55 15.因为AB⊥BC，所以∠1+∠3=90°．因为∠1=55°，所以∠3=35°．因为a∥b，所以∠2=∠3=35°．16.因为OE平分∠BON，∠EON=20°，所以∠BON=2∠EON=40°.所以∠NOC=180°-∠BON=140°，∠MOC=∠BON=40°. 又因为AO⊥BC，所以∠AOC=90°.所以∠AOM=∠AOC-∠MOC=50°.即∠NOC=140°，∠AOM=50°.17.因为OE⊥AB，所以∠AOE=90°.因为∠COE=20°，所以∠AOC=90°-20°=70°.所以∠BOD=∠AOC=70°.因为OG平分∠BOD,∠BOD=35°.所以∠BOG=1218.因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC.所以∠EDC=∠DCB.因为∠EDC=∠GFB，所以∠DCB=∠GFB.所以FG∥CD.因为FG⊥AB，所以CD⊥AB.19.（1）因为OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOC+∠BOC=90°,∠BOD+∠BOC=90°.所以∠AOC=∠BOD（同角的余角相等）.(2)因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°.所以∠AOE=180°-∠AOB-∠BOD=180°-90°-32°=58°.第2课时垂线段与点到直线的距离要点感知1 在同一平面内,过一点__________直线与已知直线垂直.预习练习1-1 过直线AB上一点P,在同一平面内画AB的垂线,可以画的条数是( )A.0B.1C.2D.无数条要点感知2 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,__________最短.简单说成：__________最短.预习练习2-1 如图,计划把河AB中的水引到水池C中,可以先作CD⊥AB,垂足为D,然后沿CD开渠,则能使所打开的水渠最短,这种方案的设计根据是____________________.要点感知3 从直线外一点到这条直线的__________的长度,叫做点到直线的距离.预习练习3-1 点到直线的距离是指( )A．从直线外一点到这条直线的连线B．从直线外一点到这条直线的垂线段C．从直线外一点到这条直线的垂线的长D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长3-2 如图，三角形ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C，E，那么点C到线段AB的距离是线段__________的长度.知识点1 垂线、垂线段及其性质1.如图，已知ON⊥a，OM⊥a，可以推断出OM与ON重合的理由是( )A．两点确定一条直线B．过一点只能作一条直线C．垂线段最短D．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2.如图,三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP的长不可能是( )A.2.5B.3C.4D.53.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由是____________________.4.如图,某人站在马路的左侧A点处,要到路的右侧,怎样走最近？为什么？如果他要到马路对面的B点处,怎样走最近？为什么？知识点2 点到直线的距离5.P为直线l外一点，A，B，C为l上三点，且PB⊥l，那么下列说法正确的是( )A.线段PA的长度是点P到直线l的距离B.线段PB的长度是点P到直线l的距离C.线段PC的长度是点P到直线l的距离D.线段AC的长度是点A到PC的距离6.如图，AB⊥BC，BD⊥AC，能表示点到直线的距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条7.如图，A，D是直线l1上两点，B，C是直线l2上两点，且AB⊥BC，CD⊥AD，点A到直线l2的距离是线段______的长，点C与l1的距离是线段__________的长.8.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是,点A到BC 的距离是__________,点B到CD的距离是__________.9.已知直线AB，CB ，l 在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( )10.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内,过一点任意画一条直线垂直于已知直线；④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个11.如图，这是一条马路上的人行横道线，即斑马线的示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条线路AC、AB、AD中最短的是( )A．AC B．AB C．ADD．不确定12.下列说法中正确的是( )A．有且只有一条直线垂直于已知直线B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C．互相垂直的两条线段一定相交D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3 cm，则点A到直线c的距离是3 cm13.点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l上，若PA=3 cm，PB=4 cm，PC=6 cm，则点P到直线l的距离是( )A．3 cm B．小于3 cm C．小于或等于3 cm D．4 cm14.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5 cm，BC=3 cm，则BD的长度的取值范围是( )A.大于3 cmB.小于5 cmC.大于3 cm或小于5 cmD.大于3 cm且小于5 cm15.如图，从学校到公路最近的是__________号路线，数学道理是____________________.16.如图,从B村经A村到河边修一条道路,怎样修使道路最短？并说明道理.17.如图，分别画出点A到BC的垂线段,并量出点A到BC的距离.18.如图：在三角形ABC中,∠BCA=90°,CD⊥AB于点D,线段AB，BC，CD 的大小顺序如何,并说明理由.19.如图，DE⊥EF,EF=8,DE=15,DF=17.（1）试说出点F到直线DE的距离，点D到直线EF的距离；（2）点E到直线DF的距离是多少？你是怎样求得的？参考答案要点感知1 有且只有一条预习练习1-1 B要点感知2 垂线段垂线段预习练习2-1 垂线段最短要点感知3 垂线段预习练习3-1 D3-2 CE1.D2.A3.垂线段最短4.此人要走到马路的右侧,可沿A点到马路右侧的垂线段走,因为直线外一点到直线的垂线段最短.要到B点处,可沿线段AB走,因为两点之间线段最短.5.B6.D7.AB CD8.4.8 6 6.49.C 10.B 11.B 12.D 13.C 14.D 15.②垂线段最短16.连接AB，过点A作AC垂直于河岸线于点C.理由：两点之间，线段最短；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.17.作图略.18.因为CD⊥AB于点D,所以BC＞CD.因为∠BCA=90°,所以BC⊥AC.所以AB＞BC.所以AB＞BC＞CD.19.（1）因为DE⊥EF,EF=8,DE=15,所以点F到直线DE的距离，点D到直线EF的距离分别是：8,15.（2）设点E到直线DF的距离为h,三角形DEF的面积=12DE·EF=12DF·h,所以17h=8×15,所以h=12017.所以点E到直线DF的距离为12017.。