2022年长沙市中考数学模拟试题(2)(解析版)

2022年长沙市中考数学模拟试题（2）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（﹣1）2021等于（）
A．1 B．﹣2021 C．2021 D．﹣1
【答案】D
【解析】（﹣1）2021＝﹣1，
故选：D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
3．（3分）为顺利完成第七次人口普查，切实保证数据质量，有条不紊地推进普查各项工作，陇西县统计局打算采购普查手持移动终端P AD设备，预算金额为419000元．将数据419000用科学记数法表示为（）
A．41.9×104B．4.19×104C．4.19×105D．0.419×105
【答案】C
【解析】将数据419000用科学记数法表示为4.19×105，
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．x5÷x3＝x2B．（y5）2＝y7C．D．
【答案】A
【解析】A、原式＝x2，所以A选项正确；
B、原式＝y10，所以B选项错误；
C、与不能合并，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：A．
5．（3分）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（）
近视眼镜的度数y（度）200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米）0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y＝．
故选：B．
6．（3分）如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得AC＝15m，则树的高度AB为（）
A．B．15tanαm C．D．15sinαm
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，AC＝15m，∠ACB＝α，sinα＝，
∴AB＝AC•sinα＝15sinα（m），
故选：D．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
解不等式①x≤1，
解不等式②得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤1，
故选：B．
8．（3分）小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率＝＝．
故选：B．
9．（3分）有下列说法：
①无限小数都是无理数；
②数轴上的点和有理数一一对应；
③在1和3之间的无理数有且只有，，，，，这6个；
④是分数，它是有理数；
⑤近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305；
其中正确的是（）
A．⑤B．④⑤C．③④⑤D．①④⑤
【答案】A
【解析】①无限小数不一定是无理数，如是无限小数不是无理数，故不符合题意；
②实数与数轴上的点一一对应，故不符合题意；
③在1和3之间的无理数有无数个，故不符合题意；
④是无理数，故不符合题意．
⑤近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305，故符合题意．
故选：A．
10．（3分）如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（）
A．∠α+∠β﹣∠γ＝90°B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180°D．∠α+∠β+∠γ＝180°
【答案】B
【解析】∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故选：B．
11．（3分）为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将420亩荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前2天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山x亩，可列方程为（）
A．﹣＝2 B．+＝2
C．﹣＝D．+＝
【答案】A
【解析】设原来平均每天绿化荒山x亩，则实际平均每天绿化荒山1.5x亩，
依题意，得：﹣＝2．
故选：A．
12．（3分）服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（）
A．150元B．160元C．170元D．180元
【答案】A
【解析】设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）数据1，2，8，5，3，5，4的众数是________，中位数是________．【答案】5，4．
【解析】这组数据中出现次数最多的数是5，出现两次，因此众数是5，
将这七个数从小到大排列得，1，2，3，4，5，5，8，处在第4位的数是4，因此中位数是4，14．（3分）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图
①、图②，已知大长方形的长为a，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是
________．
（用含a的式子表示）
【答案】﹣0.8a．
【解析】设大长方形的宽为b，小长方形的长为x，宽为y，
由①得，a＝3y+x，x＝2y，
∴x＝0.4a，y＝0.2a，
由②得，b＝3y＝0.6a，
设图①阴影部分周长为C1，图②阴影部分周长为C2，
∴C1＝2a+2（b﹣x）＝2a+2（0.6a﹣0.4a）＝2.4a，
C2＝2（a﹣x）+2×3y+2×2y＝2（a﹣0.4a）+6×0.2a+4×0.2a＝3.2a，
∴C1﹣C2＝2.4a﹣3.2a＝﹣0.8a．
15．（3分）圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为________．【答案】4．
【解析】∵S侧＝πrl，
∴3πl＝12π，
∴l＝4．
答：这个圆锥的母线长为4．
16．（3分）如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E，若AD ＝1，BD＝7，则CE的长为________．
【答案】．
【解析】如图，连接AD，BC
∵AB为直径
∴∠C＝∠D＝90°
∵AD＝1，BD＝7，
∴AB＝＝＝5
∵点C为半圆的中点，
∴AC＝BC
∴AC2+BC2＝AB2
∴2BC2＝50
∴BC＝AC＝5
∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠AED
∴△BEC∽△AED
∴＝＝＝
∴
∴
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：2cos45°+（﹣）﹣1+（2020﹣）0+|2﹣|．
【答案】见解析
【解析】原式＝2×﹣2+1+2﹣
＝﹣2+1+2﹣
＝1．
18．（6分）先化简：，再从2，﹣2，3，﹣3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】见解析
【解析】原式＝÷（﹣）
＝•
＝﹣，
∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，a+3≠0，
∴a≠2，a≠±3，
∴当a＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
19．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
按要求作图．
（1）利用尺规作图在AC边上找一点D，使点D到AB、BC的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在网格中，△ABC的下方，直接画出所有△EBC，使△EBC与△ABC全等．
【答案】见解析
【解析】（1）如图，点D即为所求．
（2）如图，△BCE和△BCE′即为所求．
20．（8分）为提升学生的艺术素养，学习计划开设四门艺术选修课：A书法；B绘画；C乐器；D 舞蹈，为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有________人，扇形统计图中∠α的度数是________；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有2500名学生，请你估计该校D类学生约有多少人？
【答案】见解析
【解析】（1）8÷20%＝40（人），C组人数为40﹣4﹣8﹣16＝12（人），360°×＝108°，故答案为：40，108°，
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）2500×＝1000（人）．
答：该校2500名学生中D类的约有1000人．
21．（8分）如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AB上一点，以BD为直径作⊙O，CD 与⊙O交于点E，延长AE与BC交于点F，且CF＝BF．
（1）求证：AF与⊙O相切；
（2）若AB＝8，BC＝12，求⊙O半径．
【答案】见解析
【解析】（1）如图，连接OE，BE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵CF＝FB，
∴EF＝CB＝FB，
∴∠FEB＝∠FBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∵∠OBE+∠FBE＝∠OBF＝90°，
∴∠OEB+∠FEB＝∠OEF＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴AF与⊙O相切；
（2）∵AB＝8，BC＝12，
∴EF＝FB＝CB＝6，
∴AF＝＝＝10，
∴AE＝AF﹣EF＝10﹣6＝4，
∵OE＝OB，
∴OA＝AB﹣OB＝8﹣OE，
∵AE2+OE2＝OA2，
∴42+OE2＝（8﹣OE）2，
解得OE＝3．
∴⊙O半径为3．
22．（9分）我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元．
（1）求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
（2）如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
【答案】见解析
【解析】（1）设每个甲种规格的排球的价格为x元，每个乙种规格的足球的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每个甲种规格的排球的价格为50元，每个乙种规格的足球的价格为70元．
（2）设学校购买m个乙种规格的足球，则购买（50﹣m）个甲种规格的排球，
依题意，得：50（50﹣m）+70m≤3210，
解得：m≤35．
又∵m为整数，
∴m的最大值为35．
答：该学校至多能购买35个乙种规格的足球．
23．（9分）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．
（1）如图1，若点E为线段BC的中点，延长AB'交CD于点M，求证：AM＝FM；
（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；
（3）若＝，求∠DAB'的正弦值．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠BAF，
由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，
∴∠F＝∠MAF，
∴AM＝FM．
（2）解：同（1）的证法可得△ACF是等腰三角形，AC＝CF，
在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴CF＝AC＝10，
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴；
（3）①当点E在线段BC上时，如图3，AB'的延长线交CD于点M，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
同（1）的证法可得AM＝FM．
设DM＝x，则MC＝6﹣x，则AM＝FM＝10﹣x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（10﹣x）2＝82+x2，解得：x＝，
则AM＝10﹣x＝10﹣＝，
∴sin∠DAB'＝＝．
②当点E在BC的延长线上时，如图4，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
则DF＝6﹣4＝2，
设DM＝x，同（1）的证法可得AM＝FM＝2+x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（2+x）2＝82+x2，解得：x＝15，
则AM＝2+x＝17，
∴sin∠DAB'＝．
综上所述：当时，∠DAB'的正弦值为或．
24．（10分）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△P AC的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣3，0），C（0，3）代入得到，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
当﹣3＜m＜0时，点P（m，n）在直线AC的上方，过点P作x轴的垂线交AC于Q．则P（m，﹣m2﹣2m+3），Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）
＝﹣m2﹣3m
＝﹣（m+）2+，
∵﹣3＜m＜0，
∴当m＝﹣时，PQ的值最大，
此时S△P AC＝•PQ•AO＝PQ最大，
∴m＝﹣．
（3）由A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），可得AB＝4，OB＝1，OC＝3，
∵BC2＝10，∠CAO＝45°，
∴BA2﹣BC2＝6，
连接BC，过点B作AC的垂线交抛物线于D，交AC于H，连接AD，DC，
则∠AHB＝90°，∠DBA＝∠CAO＝45°，
∴DA2﹣DC2＝HA2﹣HC2＝AB2﹣BC2＝6，
∵∠CAO＝∠DBA，
∴点H在AB的垂直平分线上，
即点H在抛物线的对称轴x＝﹣1上，
∴点D与点C关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
∵C（0，3），
∴点D的坐标为（﹣2，3）．
25．（10分）定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形．（1）已知∠A＝120°，∠B＝50°，∠C＝α，请直接写出一个α的值________，使四边形ABCD为幸福四边形；
（2）如图1，△ABC中，D、E分别是边AB，AC上的点，AE＝DE．求证：四边形DBCE为幸福四边形；
（3）在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作⊙O，与边AB交于另一点F，与边BC交于点G，且BF＝FC．
①求证：EG是⊙O的直径；
②连接FG，若AE＝1，BG＝7，∠BGF﹣∠B＝45°，求EG的长和幸福四边形DBCE的周长．
【答案】见解析
【解析】（1）解：∵∠A＝120°，∠B＝50°，∠C＝α，
∴∠D＝360°﹣120°﹣50°﹣α＝190°﹣α，
若∠A＝∠B﹣∠D，则120°＝50°﹣（190°﹣α），解得：α＝260°（舍），
若∠A＝∠D﹣∠B，则120°＝（190°﹣α）﹣50°，解得：a＝20°，
若∠B＝∠A﹣∠C，则50°＝120°﹣α，解得：α＝70°，
若∠B＝∠C﹣∠A，则50°＝α﹣120°，解得：α＝170°，
若∠C＝∠B﹣∠D，则α＝50°﹣（190°﹣α），无解，
若∠C＝∠D﹣∠B，则α＝（190°﹣α）﹣50°，解得：α＝70°，
若∠D＝∠A﹣∠C，则190°﹣α＝120°﹣α，无解，
若∠D＝∠C﹣∠A，则190°﹣α＝α﹣120°，解得：α＝155°，
综上，α的值是20°或70°或170°或155°（写一个即可），
故答案为：20°或70°或170°或155°（写一个即可）；
（2）证明：如图1，设∠A＝x，∠C＝y，则∠B＝180°﹣x﹣y，
∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠A＝x，
∴∠BDE＝180°﹣x，
在四边形DBCE中，∠B＝180°﹣x﹣y＝∠BDE﹣∠C，
∴四边形DBCE为幸福四边形；
（3）①证明：如图2，∵D、F、G、E四点都在⊙O上，
∴∠ADE＝∠FGE，
∵∠ADE＝∠A，
∴∠FGE＝∠A，
∵∠FGE＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACF，
∵BF＝CF，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠A+∠B+∠BCA＝180°，
∴∠ACF+∠BCF＝90°，即∠ACB＝90°，
∴EG是⊙O的直径；
②如图3，过E作EH⊥AB于H，连接DG，
∵BF＝CF，
∴∠B＝∠BCF＝∠BDG，
∴BG＝DG＝7，
∵EG是⊙O的直径，
∴∠GDE＝90°，
∵DE＝AE＝1，
∴EG＝＝5，
∵∠BGF﹣∠B＝45°，∠BGF﹣∠BCF＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠CEG＝45°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴CE＝CG＝5，
∴BC＝7+5＝12，AC＝5+1＝6，
∴AB＝＝＝6，
∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AHE∽△ACB，
∴，即，
∴AH＝，
∵AE＝DE，EH⊥AD，
∴AD＝2AH＝，
∴幸福四边形DBCE的周长＝BD+ED+CE+BC ＝6﹣+1+5+12
＝18+．。