高级中等学校招生统一考试数学试卷

高级中等学校招生统一考试数学试卷
第Ⅰ卷（机读卷
共32分）
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分．） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．5-的相反数是（ ）
Ａ．5
Ｂ．5-
Ｃ．
15
Ｄ．15
-
2．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2 500 000平方千米．将2 500 000
用科学记数法表示应为（ ） Ａ．7
0.2510⨯
Ｂ．7
2.510⨯
Ｃ．6
2.510⨯
Ｄ．5
2510⨯
3．在函数1
3
y x =
-中，自变量x 的取值范畴是（ ） Ａ．3x ≠ Ｂ．0x ≠ Ｃ．3x >
Ｄ．3x ≠-
4．如图，AD BC ∥，点E 在BD 的延长线上，
若155ADE ∠=，则DBC ∠的度数为（ ） Ａ．155 Ｂ．50
Ｃ．45
Ｄ．25
5．小芸所在学习小组的同学们，响应“为祖国争光，为奥运添彩”的号召，主动到邻近的7个社区关心爷爷，奶奶们学习英语日常用语．他们记录的各社区参加其中一次活动的人数如下：33，32，32，31，28，26，32，那么这组数据的众数和中位数分别是（ ） Ａ．32，31 Ｂ．32，32 Ｃ．3，31 Ｄ．3，32 6．把代数式2
9xy x -分解因式，结果正确的是（ ） Ａ．2
(9)x y -
Ｂ．2
(3)x y +
Ｃ．(3)(3)x y y +-
Ｄ．(9)(9)x y y +-
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
7．掷一枚质地平均的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ） Ａ．
16
Ｂ．
13
Ｃ．
14
Ｄ．
12
8．将如右图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（ ）
高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标B 卷）
第II 卷（非机读卷
共88分）
考生
须知
1．第Ⅱ卷共8页，共八道大题，17个小题．
2．除画图能够用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）
9．若关于x 的一元二次方程2
30x x m -+=有实数根，则m 的取值范畴是
．
10．若2
3(1)0m n -++=，则m n +的值为
．
11．用“>⨯”定义新运算：关于任意实数a ，b ，都有a >⨯21b b +=．例如，
7>⨯211744+==，那么5>⨯3=
；
当m 为实数时，(m m >
>⨯⨯2)=
．
12．如图，在ABC △中，AB AC =，M ，N 分别是AB ，
Ａ．
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
AC的中点，D，E为BC上的点，连结DN，EM．若13cm
AB=，10cm
BC=，5cm
DE=，则图中阴影部分的面积为2
cm．
三、解答题（共5个小题，共25分）
13．（本小题满分5分）
1
1
(2006)
2
-
⎛⎫
--+ ⎪
⎝⎭
．
解：
14．（本小题满分5分）
解不等式组
315
260.
x
x
-<
⎧
⎨
+>
⎩
，
解：
15．（本小题满分5分）
解分式方程
12
2
11
x
x x
+=
-+
．
解：
16．（本小题满分5分）
已知：如图，AB ED
∥，点F，点C在AD上，AB DE
=，AF DC
=．
求证：BC EF
=．
证明：
17．（本小题满分5分）
已知230
x-=，求代数式22
()(5)9
x x x x x
-+--的值．
解：
Ｂ
Ｄ
四、解答题（共2个小题，共11分．） 18．（本小题满分5分）
已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=，45C ∠=，BE CD ⊥于点E ，1AD =，22CD =
． 求：BE 的长． 解： 19．（本小题满分6分） 已知：如图，ABC △内接于
O ，点D 在OC 的延长线上，1
sin 2
B =
，30CAD ∠=．
（1）求证：AD 是
O 的切线；
（2）若OD AB ⊥，5BC =，求AD 的长．
（1）证明：
（2）解：
五、解答题（本题满分5分）
20．依照北京市统计局公布的2000年，2005年北京市常住人口相关数据，绘制统计图表如下： 年份 大学程度人数（指大专及以上）
高中程度人数（含中专） 初中程度人数
小学程度人数
其他人数
2000年 233 320 475 234 120 2005年
362
372
476
212
114
请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题：
Ａ
Ｄ Ｅ
Ｃ
Ｂ
Ｃ Ｄ ＡＯ
2000年，2005年北京市常住人口中教育情形统计表（人数单位：万人）
（1）从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？
（2）2005年北京市常住人口中，少儿（014岁）人口约为多少万人？
（3）请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法．
解：（1）
（2）
（3）
六、解答题（共2个小题，共9分．）
21．（本小题满分5分）
在平面直角坐标系xOy中，直线y x
=-绕点O顺时针旋转90得到直线l．直线l与反比例
函数
k
y
x
=的图象的一个交点为(3)
A a，，试确定反比例函数的解析式．
解：
22．（本小题满分4分）
请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为(0)
x x>．依题意，割补前后图形的
面积相等，有25
x=，解得x=
成的矩形对角线的长．因此，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．
图1 图2
图3
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 说明：直截了当画出图形，不要求写分析过程． 解：
七、解答题（本题满分6分）
23．如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．
请你参考那个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=，AD ，CE 分别是BAC ∠，
BCA ∠的平分线，AD ，CE 相交于点F ．请你判定并写出FE 与FD 之间的数
量关系；
（2）如图3，在ABC △中，假如ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件不变， 请问，你在（1）中所得结论是否仍旧成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 解：画图：
（1）FE 与FD 之间的数量关系为 ．
（2）
图4 图5
N P M O 图
1 图2
图3
八、解答题（本题满分8分）
24．已知抛物线2
y ax bx c =++与y 轴交于点(03)A ，，与x 轴分别交于(10)B ，，
(50)C ，两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线
DC 的解析式；
（3）若一个动点P 自OA 的中点M 动身，先到
达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对
称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E ，点F 的坐标，并
求出那个最短总路径的长．
解：（1）
（2）
（3）
九、解答题（本题满分8分）
25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称那个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
（1）写出你所学过的专门四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论． 解：（1）
（2）
高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标Ｂ卷）
答案及评分参考
阅卷须知：
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名． 2．第I 卷是选择题，机读阅卷．
3．第II 卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明要紧过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
第I卷（机读卷共32分）
第II卷（非机读卷共88分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）
三、解答题（本题共30分，每小题5分．）
13
1
1
(2006)
2
-
⎛⎫
--+ ⎪
⎝⎭
12
=+·············································································4分1
=+ ······················································································5分14．解：由不等式315
x-<解得2
x<．················································2分由不等式260
x+>解得3
x>-． ·············································4分则不等式组的解集为32
x
-<<． ·············································5分15．解：(1)2(1)2(1)(1)
x x x x x
++-=+-．················································2分22
12222
x x x x
++-=-．···························································3分
3
x=．·································································4分经检验3
x=是原方程的解．
因此原方程的解是3
x=．······························································5分16．证明：因为AB ED
∥，
则A D
∠=∠． ·········································································1分又AF DC
=，
则AC DF
=． ·········································································2分在ABC
△与DEF
△中，
AB DE
A D
AC DF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
，
，
·······································································3分因此ABC DEF
△≌△．···························································4分因此BC EF
=． ······································································5分17．解：22
()(5)9
x x x x x
-+--
3223
59
x x x x
=-+--·································································2分
2
49x =-． ················································································ 3分 当230x -=时，原式2
49(23)(23)0x x x =-=+-=． ····················· 5分 四、解答题（共2个小题，共11分）
18．解：如图，过点D 作DF AB ∥交BC 于点F ．······································· 1分 因为AD BC ∥，
因此四边形ABFD 是平行四边形． ························································ 2分 因此1BF AD ==．
由DF AB ∥， 得90DFC ABC ∠=∠=．
在Rt DFC △中，45C ∠=
，CD =，
由cos CF
C CD
=
， 求得2CF =． ··················································································· 3分 因此3BC BF FC =+=． ··································································· 4分
在BEC △中，90BEC ∠=， sin BE
C BC
=．
求得BE =
． ·
············································································ 5分 19．解：（1）证明：如图，连结OA ．
因为1
sin 2
B =，
因此30B ∠=．
故60O ∠=．···························· 1分 又OA OC =，
因此ACO △是等边三角形．
故60OAC ∠=． ·············································································· 2分 因为30CAD ∠=， 因此90OAD ∠=．
因此AD 是
O 的切线． ····································································· 3分 （2）解：因为OD AB ⊥， 因此OC 垂直平分AB ． 则5AC BC ==． ············································································· 4分 因此5OA =． ··················································································· 5分
在OAD △中，90OAD ∠=， 由正切定义，有tan AD
AOD OA
∠=
．
因此AD = ·············································································· 6分 五、解答题（本题满分5分） 20．解：（1）153********-=（万人）． ···················································· 1分 故从2000年到2005年北京市常住人口增加了154万人． （2）153610.2%156.672157⨯=≈（万人）．
故2005年北京市常住人口中，少儿（014岁）人口约为157万人． ·········· 3分 （3）例如：依数据可得，2000年受大学教育的人口比例为16.86%，2005年受大学教育的人口比例为23.57%．可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高． ············································································································· 5分 六、解答题（共2个小题，共9分）
21．解：依题意得，直线l 的解析式为y x =． ··············································· 2分 因为(3)A a ，在直线y x =上，
则3a =． ··················································································· 3分 即(33)A ，． 又因为(33)A ，在k
y x
=
的图象上， 可求得9k =． ············································································ 4分 因此反比例函数的解析式为9
y x
=
． ················································ 5分 22．解：所画图形如图所示．
说明：图4与图5中所画图形正确各得2
分．分割方法不唯独，正确者相应给分． 七、解答题（本题满分6分．） 23．解：图略．画图正确得1分． （1）FE 与FD 之间的数量关系为FE FD =． ········································ 2分 （2）答：（1）中的结论FE FD =仍旧成立．
证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连结FG ． ····························· 3分 因为12∠=∠，AF 为公共边，
可证AEF AGF △≌△．
图4
图5
因此AFE AFG ∠=∠，FE FG =． ·················· 4分 由60B ∠=，AD CE ，分别是BAC BCA ∠∠，的平分线， 可得2360∠+∠=．
因此60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=．
因此60CFG ∠=． ··········································································· 5分 由34∠=∠及FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△．
因此FG FD =． 因此FE FD =． ················································································ 6分 证法二：如图5，
过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ． ···························· 3分 因为60B ∠=，且AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线，
因此可得2360∠+∠=，F 是ABC △的内心． ············· 4分 因此601GEF ∠=+∠，FG FH =．
又因为1HDF B ∠=∠+∠， 因此GEF HDF ∠=∠． ············································· 5分 因此可证EGF DHF △≌△．
因此FE FD =． ················································································ 6分 八、解答题（本题满分8分） 24．解：（1）依照题意，3c =，
因此3025530.a b a b ++=⎧⎨++=⎩
，
解得3518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
因此抛物线解析式为2318
355
y x x =
-+． ·
·············································· 2分 （2）依题意可得OA 的三等分点分别为(01)，，(02)，
． 设直线CD 的解析式为y kx b =+．
当点D 的坐标为(01)，
时，直线CD 的解析式为1
15y x =-+； ···················· 3分 当点D 的坐标为(02)，时，直线CD 的解析式为2
25
y x =-+． ··················· 4分
图5
（3）如图，由题意，可得302M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
点M 关于x 轴的对称点为302M ⎛
⎫'- ⎪⎝
⎭，， 点A 关于抛物线对称轴3x =的对称点为(63)A '，．
连结A M ''．
依照轴对称性及两点间线段最短可知，A M ''的长确实是所求点P 运动的最短总路径的长． ······································································································· 5分
因此A M ''与x 轴的交点为所求E 点，与直线3x =的交点为所求F 点． 可求得直线A M ''的解析式为33
42
y x =
-． 可得E 点坐标为(20)，，F 点坐标为334⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． ·········································· 7分 由勾股定理可求出15
2
A M ''=
． 因此点P 运动的最短总路径()ME EF FA ++的长为
15
2
． ························· 8分 九、解答题（本题满分8分） 25．解：（1）略．写对一种图形的名称给1分，最多给2分．
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长． ······························································· 3分
已知：四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC BD =，
且60AOD ∠=．
求证：BC AD AC +≥．
证明：过点D 作DF AC ∥，在DF 上截取DE ，使DE AC =． 连结CE ，BE ． ················································································ 4分 故60EDO ∠=，四边形ACED 是平行四边形．
因此BDE △是等边三角形，CE AD =． ···········································
···· 6分
因此DE BE AC ==．
①当BC 与CE 不在同一条直线上时（如图1），
在BCE △中，有BC CE BE +>．
因此BC AD AC +>． ··············································· 7分
②当BC 与CE 在同一条直线上时（如图2）， 则BC CE BE +=．
因此BC AD AC +=． ··············································· 8分 综合①、②，得BC AD AC +≥．
A D
E F
C B
O
图2
A D
E F C B O
图1
x
'
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．。