第七章 卡平方测验

多个样本方差是否来自同一总体方差的统计测验
若总共有k个样本，第i个样本的样本方差si2来自总体方 差i2。想了解这k个总体方差之间是否有显著差异。
第二节 2在方差同质性测验中的应用
如果是大样本，计算出的2值可利用正态分布转为u 一个样本方差与已知总体方差的统计测验 值，直接与u比较，做出推断。即： 1.针对研究的问题提出一对统计假设。 u H : 2 = 2vvs 1 H : 2 ≠ 2 22 2 两尾测验时 0 0 A 0 (大端)一尾测验时 H0: 2 ≤ 02 vs HA: 2 ＞ 02 (小端)一尾测验时 H0: 2 ≥ 02 vs HA: 2 ＜ 02 2.利用试验数据计算一个统计量的值。 ( n 1) s 2 用df=n－1查2分布表。 2 计算统计量： 02 3.根据“小概率事件实际上不可能发生”原理作判断。
第二节 2在方差同质性测验中的应用
2 i 多个样本方差是否来自同一总体方差的统计测验 若总共有k个样本，第i个样本的样本方差si2来自总体方 5.077671 96.47574 1 160.4 19 3047.6 差i2。想了解这k个总体方差之间是否有显著差异。 4.782479 90.8671 2 119.4 19 2268.6 1.针对研究的问题提出一对统计假设。 2 vs 84.5662 3H0:85.72 =19 22 1628.3= 4.450853 A: 并非都相等 1 = … H k 用df=k－1查2分布表。 2.利用试验数据计算一个统计量的值。 4.837075 91.90443 4 126.1 19 2395.9 k 1 k 2 2 2 19.14808 ) 计算统计量： 9340.4 dfi ) ln s p (dfi ln si363.8135 76 (

2 ) 0.2927＜ ) ( x np= 2 ( x np22.0 5 (= np0 ) 2 (q0 p0 ) ，认为实际比 x 3.84，接受H0 ( x np0 ) 2 ⑶ 2因为 0 (O0 0E 2 ) 测验中： 2 np0 nq0 np q3 nq0 q0 率与理论比率1:1相符。 0.2927 0 0 .84 E
第三节 适合性测验
例题： 玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是由一对等位 现在看看用2测验
基因控制的性状。淀粉粒加碘将变蓝色，而糊精加碘 如何解决这个问题。 则不会变蓝。如果等位基因的复制是等量的，并且在配 子中分配是随机的，F1代中的两种花粉粒的数目应该 是1:1的。现调查了6919粒花粉，发现有3437粒会变蓝。 问实际比率与理论比率1:1之间是否有显著差异。 因为样本大小为n = 6919，样本中淀粉粒百分率为 ˆ p 3437 / 6919，理论百分率为p0 = 50% = 0.5。 按二项资料百分率测验方法可以解决这个问题。 ⑴ 两尾测验 H0: p = p0 = 0.5 vs HA: p ≠ p0 = 0.5 ⑵ 计算统计量：u
第三节 适合性测验
适合性测验是比较实际比率与理论比率之间是否有显
著差异的方法。 例题： 玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是由一对等位 基因控制的性状。淀粉粒加碘将变蓝色，而糊精加碘 则不会变蓝。如果等位基的复制是等量的，并且在配 子中分配是随机的，F1代中的两种花粉粒的数目应该 是1:1的。现调查了6919粒花粉，发现有3437粒会变蓝。 问实际比率与理论比率1:1之间是否有显著差异。 这个问题实际上在第五章 第三节就解决了。我们看 看当时是怎样解决的。
田间试验和统计方法
第七章 卡平方测验
第七章
卡平方（ 2）测验
第一节 卡平方（ 2）的定义和分布 第二节 2在方差同质性测验中的应用 第三节 适合性测验 第四节 独立性测验
第一节 卡平方（ 2 ）的定义和分布
以前几章介绍u、t等统计数的分布，本章引进另一种在 统计推断中十分重要的统计数的抽样分布，即卡平方分布。 从总体中抽取n个观察值，构成一个样本，对于每一个 观察值都进行正态标准化，则
( x np20 ) 2 [(n x))2 n(1 p0 )]2 .( x2 np0 ) 2 [ x 5np0 ]2 (O 可以验证: 3459 5) 2=0.2927。 . )2 E (3435 0.5410 (3482 3459 ⑵ 计算： 0.2927 np0 np0 3459.5 nq0 E nq0 3459.5
3482(n-x) 3459.5(n/2) 不变蓝 矫正公式。 可以证明。 基因控制的性状。淀粉粒加碘将变蓝色，而糊精加碘 未矫正前 6919(n) 6919(n) 共计 则不会变蓝。如果等位基因的复制是等量的，并且在配 u=0.5410。 2 2 子中分配是随机的，F1代中的两种花粉粒的数目应该 u 测验中：2 | 3437p0 0.5 p0np0 0.5298 10.)2 本例中： p 6919 n ˆ .5 ( x np 96 ˆ | u 是1:1的。现调查了6919粒花粉，发现有3437粒会变蓝。 u p6919 0.5 0.5 q np np0 q0 0 q0 / n 0 0 问实际比率与理论比率1:1之间是否有显著差异。
yn y1 y2 u1 , u2 ,, u n
( y y ) 2 (n 1)S 2 y 2 ( y ) 2 2 2 u 1 u2 un ( ) 2 2 2
2
定义为 2
第一节 卡平方（ 2 ）的定义和分布


观察数(O) 碘反映 u测验中，当n＜30，np＜5时，需要进行连续型矫正。 第三节 适合性测验 理论数(E) 甚至从它们 再看它们 2 测验中，当自由度为1时，需要进行连续型矫正。 3437(x) 3459.5(n/2) 变蓝 的计算公式也 的连续性 例题： 玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是由一对等位
K.Pearson 根据的定义从属性性状的分布推导出用于次 数资料分析的公式：

2
(O E ) 2 E
其中：O为观察次数，E为理论次数。
第二节 2在方差同质性测验中的应用
一个样本方差与已知总体方差的统计测验
若从一个总体抽取一个大小为n的样本，算得样本方差 为s2，想了解此总体方差 2是否与已知方差02间有显 著的差异。 两个样本方差是否来自同一总体方差的统计测验 若样本方差s12来自总体方差12，样本方差s22来自总体 方差22，想了解这两个总体方差之间是否有显著差异。
si2
dfi SSi=dfisi
lnsi2
dfi lnsi2
其中：
s
2 p
SS , df
k i i 1 k i i 1
C
i 1
i 1

1 C 1 ( 3(k 1)

k 1
)
i
3.如果， 2＞ 2 ,则有(1-)概率推翻H0。 3.根据“小概率事件实际上不可能发生”原理作判断。
2 = 0.2927＜ = 3.84，接受H0，认为实际比率 0.05

2
(O E )2 (3435 3459.5)2 (3482 3459.5)2 0.2927 E 3459.5 3459.5
观察数(O) 理论数(E) 碘反映 第三节 适合性测验 甚至从它们 3437(x) 3459.5(n/2) 变蓝 3437 3459.5 的计算公式也 例题： 玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是由一对等位 3482(n-x) 3459.5(n/2) 3482 3459.5 不变蓝 可以证明。 基因控制的性状。淀粉粒加碘将变蓝色，而糊精加碘 6919(n) 6919(n) 6919 6919 共计 则不会变蓝。如果等位基因的复制是等量的，并且在配 2 2 u 测验中： 2 p p np np ( x np )2 子中分配是随机的，F01代中的两种花粉粒的数目应该 0 0 正态离差 u 的平方就等于 2ˆ。以本例为例，可以验证 u ˆ p q /n 是1:1的。现调查了6919粒花粉，发现有3437粒会变蓝。 np0 q0 两种测验的本质是一样的。 np0q0 0 0 问实际比率与理论比率1:1之间是否有显著差异。 ˆp u 2 测验中：u | p(O 0E )2 3437np0 ) 2 n . x .5410 1.96 测验中：| 2 ( x / 6919 [( 0 5 ) 0nq0 ]2 先将数据列成上面的表。 / 0 5 H :比率不是1:1 ⑴ 测验假设 H0: p0 q0E n 比率为1:1 .np0 0.5 /A6919 nq0 vs
两尾测验时， 2＞ 2/2或 2 ＜ 21-/2有(1-)概率推翻H0； (大端)一尾测验时， 2＞ 2 ,则有(1-)概率推翻H0； (小端)一尾测验时， 2 ＜ 21- ,则有(1-)概率推翻H0。
第二节 2在方差同质性测验中的应用
p.410的附表6的数值是专为(大端)一尾测验使用的。 两尾测验怎么办？用附表6只能用=0.1或=0.02做。 两个样本方差是否来自同一总体方差的统计测验 若大小为n1的样本方差s12来自总体方差12，大小为n2的 p.114例4.11属两尾测验，H0:12=22 vs HA:12≠22 样本方差 s22 来自总体方差 22，想了解这两个总体方差 F =2 1.92/0.147=13.06, df 1=12-1=11, df 2=9-1=8，因为 1 之间是否有显著差异。 F = 13.06＞F0.02/2 =F0.01 = 5.74，拒绝H0，判断12 ≠22 。 1.针对研究的问题提出一对统计假设。 两尾测验时 H0: 12 = 22 vs HA: 12 ≠22 (大端)一尾测验时 H0: 12 ≤ 22 vs HA: 12 ＞22 2.利用试验数据计算一个统计量的值。 1－1, df 2= n2－1 用df 1= n 2 2 计算统计量： s大 / s小 F 查 F 分布表。 3.根据“小概率事件实际上不可能发生”原理作判断。 两尾测验时，F ＞F/2或 F ＜ F1-/2有(1-)概率推翻H0；
以一定的样本容量n进行抽样，每个样本可以计算一个 2值，这样可以从总体中抽取很多个样本，就可以得到很 多个2值，得到2分布的衍生总体，就可以做出2分布的 曲线。
第一节 卡平方（ 2 ）的定义和分布
样本容量n不同，计算出的值不同，所以分布与自由度有 关，分布曲线是一系列曲线而不是一条曲线，它随着自由度 的改变而改变，值最小为0，最大为＋∞，因而在坐标轴的第 一象限。自由度小时呈偏态，随着自由度增加，偏度降低， 至＋∞时，呈现对称分布。该分布的平均数为ν，方差为2v。 附表6为时的右尾概率表，当v=12时，，它的统计意义是 从总体中以n=13进行抽样，计算出的值大于21.03的概率有5%。
ˆ p p0 3437 / 6919 0.5 0.5 0.5 / 6919 0.5410 p0 q0 / n
⑶ 因为|u|= 0.5410＜1.96，接受H0，认为实际比率为1:1。
观察数(O) 理论数(E) 碘反映 适合性测验 第三节 3437 3459.5 变蓝 例题： 玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是由一对等位 3482 3459.5 不变蓝 基因控制的性状。淀粉粒加碘将变蓝色，而糊精加碘 6919 6919 共计 则不会变蓝。如果等位基因的复制是等量的，并且在配 子中分配是随机的，F1代中的两种花粉粒的数目应该 注意这里 2 的自 是1:1的。现调查了6919粒花粉，发现有3437粒会变蓝。 由度为1。因为自由度 问实际比率与理论比率1:1之间是否有显著差异。 =分组数-1。 先将数据列成上面的表。 ⑴ 测验假设 H0: 比率为1:1 vs HA:比率不是1:1 ⑵ 计算： 2 ⑶ 因为 与理论比率1:1相符。