欧氏空间标准正交基的几种求法_郭茜

ε3= （- 1，0，0，1），ε4= （1，- 1，- 1，1） 变成标准正交基。
2 姨
姨
姨
解：基
ε1，ε2，ε3，ε4
的度量矩阵
A=
1 姨
姨
姨
-姨
姨
1
姨
0 姨
姨
1 -1 2 -1 -1 2 00
0姨 姨
姨
0
姨
姨姨，对
0姨 姨
姨
4姨 姨
A 作合同变换
1 姨
姨
姨
姨 姨
姨
2
姨
姨
0姨
姨
姨
C=
姨 姨
姨
姨0
β2，…，βn 即为所求的正交向量组。
3） 取 ηi=
βi ui
姨 1，2，…，n 姨 ，则向量组 β1，β2，…，βn 即
为 n 维线性空间的标准正交基。
例：已知基向量组 α1= （1，0，- 1） '，α2= （0，1，1） '，α3= （1，0，2） ' 试求标准正交基。
姨 姨 1 0 1
解 ： 令 A= （ α1， α 2， α ）3 = 0 1 0 ， 则 A'= -1 1 2
姨 姨 姨 姨 姨 姨 1 0 - 1 0 1 0 ， AA'=
2 -1 -1
A' A
-1 2 2 则
=
A
102
-1 2 5
姨 姨
2
0
姨
姨
-姨
姨
1
姨
3 2
姨
姨
-姨
姨
1
3
姨 姨
2
姨
姨
姨1
1
姨 姨
2
姨
0 姨
姨
1
姨
姨
-姨
姨姨
1
姨
1 2
0姨 姨 姨
3姨 姨
2姨 姨 姨
9姨 姨 姨
2姨 姨 姨
3姨 姨
2姨 姨 姨
［参考文献］
［１］ 电力工程高压送电线路设计手册．国家电力公司东北电力设计院编． ［２］ １１０ｋＶ￣７５０ｋＶ 架空输电线路设计规范．（ＧＢ ５０５４５－ ２０１０）． ［３］ 交流电气装置过电压保护和绝缘配合．（ＤＬ／ Ｔ ６２０－ １９９７）．
118 2013 年 6月（ 下）
1
姨
姨
1 2
姨
1姨 姨 姨
姨
1
-1
=姨
姨 姨
（β1，β2，β）3 ，显然向量组β1，β2，β3
1
姨
1姨 姨
2
姨 姨
姨 姨 为正交向量组，令η1=
β1 u1
=
1 ，0，- 1
姨2
姨2
'，η2=
β2 u2
=
姨 姨 姨 姨 1 ， 2 ， 1 姨6 姨6 姨6
'，η3=
β3 u3
=
1 ，- 1 ， 1 姨3 姨3 姨3
姨6
姨12
姨12
姨12
姨12
1 姨12
，1 姨12
，
3 姨12
），η4=
1 2
ε4= （12
，-
1 2
，-
1 2
，
1 2
），
则 η1，η2，η3，η4 为所求的一组标准正交基。 2 初等变换法
下面我们给出仅利用初等列变换即可将基向量化为标准正交基的
方法，思路简洁，算法简单，且具有很强的计算机编程实现的特点。
姨
姨
，α = 姨
3姨
0 姨
姨
姨
姨姨所张成的向量空间
姨 姨
姨姨
姨姨
姨
姨
0姨 姨
姨姨
0姨 姨
姨姨
1姨
姨
姨
姨
的一组标准正交基。
解：1） 以 a1，a2，a3 为列向量构成矩阵； 2） 对矩阵姨 A E 姨 作左初等旋转变换，即依次作左初等旋转变换
117 TECHNOLOGY WIND
姨 姨 姨
姨
2
2 姨
［１］ 吴振奎．线性代数复习及试题选讲［Ｍ］．北京：北京工业大学出版社，２００５． ［２］ 李宗胜．标准正交基的一种求法［Ｊ］．数学通报，１９９４． ［３］ 程云鹏．矩阵论［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，１９８９． ［４］ 北京大学数学系．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３． ［５］ 姚存峰．利用初等变换求标准正交基［Ｊ］．数学通报，１９９２．
0 -1 2
姨3
姨得
姨
2
姨 姨
姨
姨
0 - 姨3 2
-1 2
姨 姨 姨姨 姨
1
0
0 姨3 3
0 - 姨3 3
0
0
00
姨 姨
姨
姨6
姨
0姨 姨
3
姨 姨
姨
姨3 3
姨
0姨 姨 姨
姨
01
姨姨 姨
T34T23T12姨 A E 姨 =
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
则
P'
=
姨 姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨姨
姨
姨2 2
姨6 6
-
姨3 6
-
0姨 姨 姨
3姨 姨
2 姨姨 姨
姨 姨
2
0
姨
姨
-姨
姨
1
姨
3 2
姨
姨
-姨
姨
1
3
姨 姨
2
姨
姨
姨1
1
姨 姨
2
姨
0 姨
姨
1
姨
姨
-姨
姨姨
1
姨
1 2
0姨 姨
姨
姨
0姨 姨
姨
姨
姨
3姨 姨
1
姨
姨姨，其中
姨
2
u1
2
= 2，u2
=
3 2
2
，u3
姨
姨
姨
姨
-
1
姨 姨
姨
姨
1姨 姨姨
姨
姨
1 姨
姨
姨
姨
=
3，取
B=
姨 姨
0
姨
姨
-姨
姨
3） 工艺性能是否满足现场施工要求。工艺性能是电缆附件设计和 选型的一个重要的条件，安装工艺应尽量简单，便于现场施工，工期要 短；品质优良的产品对现场环境要求和对安装工人技术水平依赖不高； 安装质量容易控制，质量可靠等。
4） 终端制造厂派遣的安装和施工人员是否受到严格培训和有足够 的施工经验。
5） 终端制造厂与电缆制造厂、终端制造厂各部门之间的协调是否 良好。
在 Euclid 空间中，将一个基化标准正交基在讨论有关问题中占有
特殊的地位，传统的作法是采用 Schmidt 正交化方法，这种方法的特
点是逐个扩充，最后得到正交基，这种构造性方法具有层次分明、清
楚、直观的优点，但整个过程计算量较大，而且对于所求标准正交基与
原基的联系不甚清楚。本文导出其他几种求标准正交基的方法，使所用
（上接第 １１６ 页） 要而又容易被忽视的选型原则。预制型电缆附件出厂时，制造厂提供的 是橡胶预制件、预制应力锥、瓷套、外壳、浸渍剂等零部件和材料，在 现场安装时再装配成整体终端或接头。每一个零部件的制造质量和安装 工艺好坏都直接影响电缆附件的质量。
2） 出厂时是否应该严格对关键零部件 （例如橡胶应力锥、GIS 的 环氧树脂套管、浸演剂、中间接头的预制件等） 进行出厂试验。仔细检 查 （审查） 试验和测量设备是否可靠，试验方法是否有效、试验人员是 否训练有素和试验记录是否齐全。
0 姨
姨
姨
0 姨
姨
姨 姨 姨 姨
姨 姨 姨
姨
6
6 姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
- 姨
姨
，p = 姨
姨
2
姨 姨
姨6 6
姨
姨
姨 姨
姨 姨
姨6
姨 姨
3 姨
姨
姨
姨
姨
0 姨姨
姨
出的标准正交基。
- 姨3 6
姨6 3
姨3 6
姨3 2
姨 姨 姨 姨
姨
-姨
姨
姨3
6 姨
姨
姨
姨
姨 姨
姨 姨
姨
3
姨 姨
6 姨
姨
姨姨，p3=
姨 姨
姨 姨
姨 姨
根据以上的分析，对于 n 维线性空间的基向量组 （a1，a2，…，a）n 的正交化过程可采用初等列变换的方法：
1） 构造矩阵 A= （a1，a2，…，a）n ，求出对称正定矩阵 A'A。
姨 姨 A'A
2） 构造矩阵
，并对其进行列的消法变换直至 A'A 化成
A 2n×n
下三角矩阵，则矩阵 A 同时被化成 AP=B，则矩阵 B 的列向量组 β1，
应用科技
欧氏空间标准正交基的几种求法
郭茜
（西安汽车科技职业学院，陕西西安 ７１００３８）
[摘 要] 本文对欧氏空间的 Ｓｃｈｍｉｄｔ 正交化过程加以分析，给出了几种与该方法不同的欧氏空间标准正交基的求法，其方法思路简洁、算法 简单、计算机编程设计简单有效，为在更多情况下计算标准正交基提供了理论依据，增强了实用性。 [关键词] 标准正交基；正定矩阵；合同变换；初等变换；矩阵变换
1 2
姨2 2
-
姨6 6
姨3 6
1 2
姨
0
0
姨 姨
姨
姨
姨
姨6 3
0
姨 姨 姨 姨
姨
姨
姨3
姨3
姨 姨
6
2姨 姨
姨
1 2
-
1 2
姨 姨 姨姨 姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
则
P=
姨 姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨2 2 姨2 2
0
0
姨6 6
-
姨6 6
姨6 3
0
姨
姨 姨
姨
2
2 姨
姨
姨
取
p1=
姨 姨 姨 姨 姨
姨2 2
姨
变换种类与次数尽量少，从而使此方法更具有实用性。
1 合同变换法
这个方法步骤如下：
1） 写出基 ε1，ε2，…，εn 的度量矩阵 A；2） 作合同变换，使
得 C'AC=E；3） 利用所得的矩阵 C根据 1） 就得到一组标准正交基。
例：在 R4 中，把基 ε1= （1，1，0，0），ε2= （1，0，1，0），
'，
则向量组β1，β2，β3为标准正交基。 3 Givens 变换法
最后我们来看 Givens 变换法，该方法对欧氏空间 Schmidt 正交
化过程加以分析，将一组向量组成的矩阵 A 作类似于非奇异矩阵的 QR
分解，利用正交矩阵可以表示成一系列初等旋转矩阵乘积，仅对 A 左连
乘初等旋转矩阵就可得到需要的结果。
姨
姨
姨
姨
0姨姨 姨姨-1 Nhomakorabea1
姨
0姨 姨
姨 6 姨12
姨 姨
姨
2
1
姨
0姨 姨
姨 6 姨12
姨
令 姨
姨
η1
=
1
ε1= （ 1
，
0
3
姨
0姨
姨2
姨2
姨12
姨 姨 姨
0
0
1
姨 姨
姨
2
姨 姨
1 ，0，0），η2= - 1 ε1+ 2 ε2= （ 1 ，- 1 ，
姨2
姨6
姨6
姨6
姨6
2 ，0），η3= 1 ε1+ 1 ε2+ 3 ε3= （- 1 ，
6） 以往的销售和运行记录。
３．３ 施工方面应该考虑以下几个方面 1） 提高施工安装人员的基本技能和理论知识，做到持证上岗。 2） 对电缆附件的各个部件在安装前仔细检查、清洁，发现质量隐 患要求及时更换。 3） 安装前仔细学习安装工艺，严格按工艺要求操作。 4） 严格按照相关指导书进行操作。 4 结论 综上所述，不难发现对高压电缆终端击穿的直接原因很容易得出 结论，但是因为电缆终端的设计选型、加工制造、施工制作是一个相互 联系、戚戚相关的过程，所以电缆终端击穿的真正原因却很难找出来。 我们只能在设计选型、加工制造、施工制作三个方面严把质量关，以来 降低事故发生的机率。
姨
姨
姨
T12 =
-姨
姨 姨
姨2 2
姨
0 姨
姨 姨
0 姨姨
姨
姨2 2
姨2 2
0
0
姨
姨
0
0姨 姨
姨 姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
0
0 T = 姨
姨
姨 姨
23
姨 姨
姨
姨
1
0姨 姨
姨 姨
姨
姨
0
1 姨姨 姨
姨姨 姨
1 姨
姨
姨
姨
0 姨
姨
姨
姨
姨
T34=
姨 姨
姨
0
姨
姨
姨
姨
0 姨
姨姨
姨
0
00
姨 姨
姨
1 姨6
姨
0姨 姨
3
姨 姨
姨
姨3
姨 姨
6 姨
姨
姨
姨
姨 姨姨 姨
姨
姨 姨
姨3
2 姨
姨
-1
姨 姨 姨
2姨 姨
姨
1姨 姨
2姨 姨
姨
姨
姨3
姨 姨
2姨 姨
姨
姨
-1 2
姨 姨 姨 姨
姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨
姨姨是由 a1，a2，a3 得
姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨
作者简介：郭茜，女，就职于西安汽车科技职业学院。
［参考文献］
因此，化欧氏空间于空间的一组基为标准正交基的方法可以归纳
为：1） 由已知一组基 α1，α2，…，αm为列向量构成矩阵 Am×n；2） 对
姨 姨R
分块矩阵姨 A E 姨 进行左初等旋转变换，化 A 为 ，其中 R 是 m 阶上 0
三角矩阵，同时E 也就化为正交矩阵；3） 取正交矩阵 P 的前 m 个列向
量就是所求的标准正交基。
该方法是求欧氏空间子空间的一组标准正交基的新方法，较以往
其它的方法更简便，计算量少，易于操作，很有使用价值，下面通过实
例说明本方法的应用。
1姨 姨
姨姨
1姨 姨
姨姨
- 1 姨
姨
姨
姨
姨姨
姨姨
姨
姨
例：求向量组
α1=
1姨
姨 姨
0姨
姨
姨
姨
0 姨
姨