三门峡市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

三门峡市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离1111ABCD A B C D -P 11BB C C P BC 11C D 相等，则动点的轨迹所在的曲线是（
）
P
A 1
C A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.2． 下列哪组中的两个函数是相等函数（
）
A ．
B ．()()4
f x x =
g ()()24
=
,22
x f x g x x x -=-+C ．
D ．()()1,0
1,1,0x f x g x x >⎧==⎨<⎩
()()=f x x x =
，g 3． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ）
A ．2日和5日
B ．5日和6日
C ．6日和11日
D ．2日和11日
4． 设定义在R 上的函数f （x ）对任意实数x ，y ，满足f （x ）+f （y ）=f （x+y ），且f （3）=4，则f （0）+f （﹣3）的值为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣4
C ．0
D ．4
5． 设直线x=t 与函数f （x ）=x 2，g （x ）=lnx 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（
）A ．1
B ．
C ．
D ．
6． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
7． 二进制数化为十进制数的结果为（ ）
（（210101A ．
B ．
C ．
D ．
152133418． 如果集合 ，同时满足,就称有序集对
,A B {}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠U I ，A =班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
为“ 好集对”. 这里有序集对是指当时，和是不同的集对， 那么
(),A B (),A B A B ≠(),A B (),B A “好集对” 一共有（ ）个
A ．个
B ．个
C ．个
D ．个
9
． 如图，已知平面=，
．是直线上的两点，
是平面
内的两点，且
，
，，
．
是平面
上的一动点，且有
，则四棱锥
体积的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．设f （x ）=asin （πx+α）+bcos （πx+β）+4，其中a ，b ，α，β均为非零的常数，f （1988）=3，则f （2008）的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．不确定
11．已知集合{}
ln(12)A x y x ==-，{}
2B x x x =≤，全集，则（
）
U A B =U ()U C A B =I （A ）
（ B ）
（C ） （D ） (),0-∞1,12⎛⎤-
⎥⎝⎦()1,0,12⎡⎤
-∞⋃⎢⎥⎣⎦
1,02⎛⎤
-
⎥⎝⎦
12．已知集合，，则（ ）
2{430}A x x x =++≥{21}x
B x =<A B =I A ．
B ．
C ．
D ．[3,1]--(,3][1,0)-∞--U (,3)(1,0]-∞--U (,0)
-∞二、填空题
13．设椭圆E ：
+
=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO
交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是 ．14．已知,则函数的解析式为_________.
()2
12811f x x x -=-+()f x 15．若函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a 的取值范围是 ．16．直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，则实数a 的值为 ．
17．已知线性回归方程
=9，则b= ．
18．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，CE=3，异面直线A 1C 1与CE 所成角的余弦值为
，且四边形ABB 1A 1为正方形，则球O 的直径为 ．
三、解答题
19．已知函数．()2
1ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈（1）令，讨论的单调区间；
()()()1g x f x ax =--()g x
（2）若，正实数满足，证明．2a =-12,x x ()()12120f x f x x x ++=12x x +≥
20．已知：函数f （x ）=log 2，g （x ）=2ax+1﹣a ，又h （x ）=f （x ）+g （x ）．
（1）当a=1时，求证：h （x ）在x ∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h （x ）有两个零点；（2）若关于x 的方程f （x ）=log 2g （x ）有两个不相等实数根，求a 的取值范围．
21．（本小题满分16分）
给出定义在()+∞,0上的两个函数2
()ln f x x a x =-,()g x x =- （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；
（2）若函数2
()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围；
（3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
22．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n 人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n 的值；
（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率．
（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．
23．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；
（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。

24．解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．
三门峡市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D.
第Ⅱ卷（共110分）
2．【答案】D111]
【解析】
考点：相等函数的概念.
3．【答案】C
【解析】解：由题意，1至12的和为78，
因为三人各自值班的日期之和相等，
所以三人各自值班的日期之和为26，
根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，
据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，
故选：C．
【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
4．【答案】B
【解析】解：因为f （x ）+f （y ）=f （x+y ），令x=y=0，
则f （0）+f （0）=f （0+0）=f （0），所以，f （0）=0；再令y=﹣x ，
则f （x ）+f （﹣x ）=f （0）=0，所以，f （﹣x ）=﹣f （x ），所以，函数f （x ）为奇函数．又f （3）=4，
所以，f （﹣3）=﹣f （3）=﹣4，所以，f （0）+f （﹣3）=﹣4．故选：B ．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数f （x ）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题．　
5． 【答案】D
【解析】解：设函数y=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣lnx ，求导数得
=
当时，y ′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y ′＞0，函数在
上为单调增函数
所以当
时，所设函数的最小值为
所求t 的值为故选D
【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x 2＞lnx 恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x 的值．　
6． 【答案】D
【解析】解：命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，则a ≤1．下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是a=2．故选；D ．　
7． 【答案】B 【解析】
试题分析：，故选B.()21212121101010
2
4
2=⨯+⨯+⨯=考点：进位制
【解析】
试题分析：因为，所以当时，；当
{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠U I ，A ={1,2}A ={1,2,4}B =时，；当时，；当时，；当时，{1,3}A ={1,2,4}B ={1,4}A ={1,2,3}B ={1,2,3}A ={1,4}B ={1,2,4}A =；当时，；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.
{1,3}B ={1,3,4}A ={1,2}B =
考点：元素与集合的关系的判断.
【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]
9． 【答案】A
【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。

因为，所以PB=2PA 。

作于M ，则。

令AM=t ，则所以
即为四棱锥的高，
又底面为直角梯形，
所以
故答案为：A 10．【答案】B
【解析】解：∵f （1988）=asin （1988π+α）+bcos （1998π+β）+4=asin α+bcos β+4=3，∴asin α+bcos β=﹣1，
故f （2008）=asin （2008π+α）+bcos （2008π+β）+4=asin α+bcos β+4=﹣1+4=3，故选：B ．
【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．　
11．【答案】C 【解析】
,,故选C ．
[]11,,0,1,0,22A B A B ⎛⎫⎡⎫
=-∞== ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
I (],1U =-∞
【解析】，，(,3][1,)A =-∞--+∞U (,0)B =-∞∴．
(,3][1,0)A B =-∞--I U 二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，
于是△OFM ∽△AFB ，且=
=，
即
=可得e==．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，运用中位线定理和三角形相似的性质是解题的关键．　
14．【答案】()2
245f x x x =-+【解析】
试题分析：由题意得，令，则，则，所以函数1t x =-1x t =+()2
2
2(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+()
f x 的解析式为.
()2
245f x x x =-+考点：函数的解析式.15．【答案】　{a|或
}　．
【解析】解：∵二次函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1 的对称轴为 x=a ﹣，
f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，∴a ﹣≥2，或a ﹣≤1，∴a ≥，或 a ≤，故答案为：{a|a ≥，或 a ≤}．
【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．　
16．【答案】1
【解析】
【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a 的值．【解答】解：直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，∴
，解得 a=1．
故答案为 1．
17．【答案】　4　．
【解析】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b ，∴b=4
故答案为：4
【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．　
18．【答案】　4或　．
【解析】解：设AB=2x ，则AE=x ，BC=，
∴AC=
，
由余弦定理可得x 2=9+3x 2+9﹣2×3××
，∴x=1或，
∴AB=2，BC=2，球O 的直径为=4，
或AB=2
，BC=
，球O 的直径为=
．
故答案为：4或
．
三、解答题
19．【答案】（1）当时，函数单调递增区间为，无递减区间，当时，函数单调递增区间0a ≤()0,+∞0a >为，单调递减区间为；（2）证明见解析.
10,
a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【解析】
试
题解析：
（2）当时，，
2a =-()2
ln ,0f x x x x x =++>由可得，
()()12120f x f x x x ++=2
2
121122ln 0x x x x x x ++++=
即，
()()2
12121212ln x x x x x x x x +++=-令，则，
()12,ln t x x t t t ϕ==-()11
1t t t t
ϕ-'=-=
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
()t ϕ()0,1()1,+∞所以，所以，
()()11t ϕϕ≥=()()2
12121x x x x +++≥
又，故，120x x +>12x x +≥由可知．1
120,0x x >>120x x +>考点：函数导数与不等式．
【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.20．【答案】
【解析】解：（1）证明：h （x ）=f （x ）+g （x ）=log 2+2x ，
=log 2（1﹣）+2x ；
∵y=1﹣
在（1，+∞）上是增函数，
故y=log 2（1﹣
）在（1，+∞）上是增函数；
又∵y=2x 在（1，+∞）上是增函数；∴h （x ）在x ∈（1，+∞）上单调递增；同理可证，h （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；而h （1.1）=﹣log 221+2.2＜0，h （2）=﹣log 23+4＞0；
故h （x ）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，
同理可证h （x ）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点，故函数h （x ）有两个零点；
（2）由题意，关于x 的方程f （x ）=log 2g （x ）有两个不相等实数根可化为1﹣=2ax+1﹣a 在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；
故a=；
结合函数a=
的图象可得，
＜a ＜0；
即﹣1＜a ＜0．
【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．　
21．【答案】（1） 2a = （2） a ≥2（3）两个零点．【解析】
试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′
，解得2a = ，需验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′
≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241
x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()2
41x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数
()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <，
4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数
试题解析：（1） ()2a
f x x x
=-′
由已知，(1)0f =′
即: 20a -=,解得：2a = 经检验 2a = 满足题意所以 2a =
………………………………………4分
因为(]0,1x ∈，所以[)1
1,x ∈+∞，所以2min
112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分
（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为(
)2
2ln 6
m x x x x =--+-所以(
)
221m x x x =--+=
=′………12分
当()1,0∈x 时，()0<'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0
>'x m 所以()()min 140m x m ==-<，
……………………………………14分
32
4
1-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424
812(21))0e e e m
e e -++-=>（ 44
42()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：
函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分
考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性
【思路点睛】
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．22．【答案】
【解析】解：（1）由题意可得
，∴n=160；
（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，
f ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ．f ），（c ，d ），（c ，e ），（c ，f ），（d ，e ），（d ，f ），（e ，f ）共15种，其中a 和b 至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，
∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；
（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，
由条件得到的区域为图中的阴影部分
由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1
∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=
∴该代表中奖的概率为=．
23．【答案】（1）点P在直线上
（2）
【解析】（1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为
，24．【答案】
【解析】解：由12x2﹣ax﹣a2＞0⇔（4x+a）（3x﹣a）＞0⇔（x+）（x﹣）＞0，
①a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；
②a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．
综上，当a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；
当a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．。