一类非自治的两互惠捕食者-食饵系统的动力学行为

（ ）， （ ）＋ ２ ｚ（ ） ． ｊ ２ （） ）
其 中 ｚ ￡ 代 表 ￡ 刻 的 食 饵 种 群 密 度 ； （） 表 时 刻 的 捕 食 者 种 群 密 度 ； 数 ｎ（）６（）ｃ（） （）Ｄ （） Ｐ￡， （） （） 时 代 系 ， ， ， ￡ ， ￡ ，（） ， ，
。
（） ， 最 终 进 入 并 保 留在 紧 区域 Ｄ 内 ， 称 系 统 是 一 致 持 久 的 ． ￡） 都 则
引 理 ２ 令 （ （） （） （） ｚ ｆ ， ￡，２ ｆ）是 系 统 （ ） 足 正 初 值 条 件 （ ） 解 ， 满 足 下 列 条 件 （ ） 一 Ｄｆ １满 ２的 若 １ Ｎ 一 Ｄ Ｎｚ＞ ｏ， ； （） ｍ 一 ＞ ０， 存 在 一 个 Ｔ＞ ｏ， 得 ｍ ２ 则 ’ 使
的捕 食 系 统 ， 型 如 下 ： 模 ）
）一 １ ￡ （ ｒ （ ） （） ～ ｌ ￡
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（ ） （ ）＋ ｌ ￡ ｚ（ ） ， ￡ １ ￡ （ ） ￡ ）
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１ ２￡ ［ ， 。 ）都 是 连 续 、 界 、 格 正 的 函 数 ． 方 便 起 见 ， 文 采 取 以下 记 法 ： ｚ ，ｚ ，；∈ Ｏ ＋ 。 有 严 为 本 （ ，１ ）∈ Ｒ ｝一 ｛ｚ， ，２ （ ）∈ Ｒ ： 。
ｚ≥ Ｏ 三 Ｏ — ｌ２ ． ， 三 ， ＝ ， ） 由生 物 学 意 义 ， 在 区 域 Ｉｔ ｛ 内考 虑 系 统 （） 对 解 （ ￡ ， ￡ ， （） 只 ｎＲ １， （） ＿ （） ￡）只考 虑 其 具 有 正 初 值 的 情 ） ，
Ｎ 一 （ ＝ １２ ， ， ） ｍ ＜ ｍ
ｚ ￡ Ｍ （） ，
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证 明 假设 （ （） （） （） 是 系统 （ ） 足 正 初 值 条 件 （ ） ｚ ￡， ， ｆ） １满 ２ 的解 ， １ 的第 一 方 程 得 ： ￡ 由（ ） ｚ （） － ￡（ 一 ｚ ｆ）， ｚ ） （） 于 （
第３ ６卷 第 ６期
２Ｏ Ｏ ８年 ｌ １月
河 南 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
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ＶｒＺ ３ Ｎ ０ ０．６ ．６
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收 稿 日期 ： 。７ 】 一 ３ ２０一 Ｏ Ｏ 基 金项 目 ： 南 省 教 育 厅 自然 科 学 基 金 （ ０ ５ Ｏ ７ ０ ２ 河 ２０ １４ ６ Ｏ ） 作 者简 介 ： 桂 珍 （ ９ ４ ）女 ， 蒙 古 临 河 人 ， 乡学 院教 授 ， 究 方 向 ： 物 数 学 梁 １６ 一 ， 内 新 研 生
条 件 下 得 到 了正 周 期 解 的存 在 唯一 性 和 全局 渐 近稳 定 的充 分条 件 ．
关 键词 ： 持久性 ； 全局渐 近稳定性 ； 自治捕食系统 ； 非 周期解
中图分 类号 ： １５ ０７
文 献标识 码 ： Ａ
近 年 来 ， 种 的 多 样 性 问 题 越 来 越 受 关 注 ， 不 同 的 物 种 之 间 ， 本 的 生 存 关 系 可 分 为 竞 争 关 系 ； 食 被 捕 食 关 系 ； 惠 物 在 基 捕 互
文 章 编 号 ： ０ Ｏ ２ ６ （ Ｏ ８ Ｏ —０ １ ～Ｏ １ ｏ 一 ３ ７ ２ ０ ） ６ ０８ ３
一
类非 自治的两互惠捕食者～食饵系统的动力学行为
梁桂 珍 王 守印 陆志 奇 ， ，
（ ． 乡学 院 数 学 系 ，河 南 新 乡 ４ ３ ０ ；． 南 师 范 大 学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ，河 南 新 乡 ４ ３ ０ ） １新 ５ＯＯ２河 ５ Ｏ ７
摘 要 ： 研究 了非 自治 的捕食者 一食饵模型． 系统是两个具 有互 惠关 系的捕食 者种群捕食一个食饵种群． 该 利
用 比较 原 理 研 究 了系 统 的持 久 性 ， 过 构 造 ａ ｕ ｏ 通 ｐ ｎ ｖ函数 证 明 了系 统 的 全 局 渐 近 稳 定 性 ， 在假 设 系 统 为 周 期 系 统 的
况， ： 即
ｚ（ｏ ￡ ）＞ Ｏ， （ ）＞ Ｏ 一 １ ２ ， ， 三三 ． 三 Ｏ （） ２
对 Ｒ 上 的 有 界 连 续 函数 ｇ （）采 用 下 列 记 法 ：
： ｓ ｐ （） ： ｉｆ （）． 一 ｕ ｇ ， 一 ｎｇ
∈ Ｋ ￡ Ｒ ∈
下 面用 比较 原 理 和构 造 ｕａ ｕ ｏ ｐ ｎ ｖ函 数 的 方 法讨 论 系 统 的 持 久 性 和 全 局 渐 近 稳 定 性 ＿ ； Ｂ ｏ ｗｅ 不 动 点 定 理 讨 论 周 ７ 用 ｒｕ ｒ 期 意 义 下 ， 周 期解 的 存 在 唯 一 性 ． 正
关 系 等 ． 是 许 多物 种 之 间 的关 系并 不 是单 一 的 ， 是 相 对 复 杂 的 ］如 在 文 献 ［］ 作 者 研 究 的 是 ３种 群 食 物 链 捕 食 系 统 ， 但 而 ． ５中
在文献［ ］ ７ 中作者研究 的是具 有阶段结 构的两种群捕食 系统． 本文研究 的是两个 具有互 惠关 系 的捕食 者捕食一食 饵的非 自治
１ 持 久 性 和 全 局 渐 近 稳 定
引理 １ Ｒ ｝是 系 统 （ ） １ 的正 向不 变 集 ．
结论显然．
定 义 １ 对 生 态 系 统 （ ） 如 果 存 在 一 个 紧 区 域 Ｄ （ ｎＲ ， 得 系 统 的 任 何 满 足 正 初 值 条 件 （ ） 解 （ （） （） １， 二 ｔ｝ 使 ＝Ｉ ２的 ｚ ， ，