2012年4月概率论与数理统计和答案分析

全国2012年4月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题课程代码：04l83一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A,B 为B 为随机事件，且A B ⊂，则AB 等于( ) A ．AB B.B C.AD.A2．设A ，B 为随机事件，则()P A B -= ( ) A.()()P A P B - B.()()P A P AB - C.()()()P A P B P AB -+D.()()()P A P B P AB +-3．设随机变量X 的概率密度为1,3<x<6,()30,f x ⎧⎪=⎨⎪⎩其他，则{}3<4=P X ≤( )A ．{}1<2P X ≤ B.{}4<5P X ≤ C.{}3<5P X ≤D.{}2<7P X ≤4．已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则X 的分布函数为( )A ．e ,0,()0, 0.x x F x x λλ-⎧>=⎨≤⎩B.1e ,0,()0, 0.x x F x x λλ-⎧->=⎨≤⎩C.1e ,0,()0, 0.x x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩D.1e ,0,()0, 0.x x F x x λ-⎧+>=⎨≤⎩5．设随机变量X 的分布函数为F(x)，则( ) A ．()1F -∞= B.(0)0F = C.()0F +∞=D.()1F +∞=6．设随机变量X 与Y 相互独立，它们的概率密度分别为(),()X Y f x f y ，则(X ，Y )的概率密度为( ) A ．[]1()()2X Y f x f y + B.()()X Y f x f y +C.1()()2X Y f x f y D.()()X Y f x f y7．设随机变量~(,)X B n p ，且() 2.4,() 1.44E X D X ==，则参数n,p 的值分别为( ) A ．4和0.6 B.6和0.4 C.8和0.3D.3和0.88．设随机变量X 的方差D(X)存在，且D(X)>0，令Y X =-，则X γρ=( ) A ．1- B.0 C.1D.29．设总体2~(2,3),X N x 1,x 2,…，x n 为来自总体X 的样本，x 为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是( ) A.23x - B.29x -10．设样本x 1,x 2,…，x n 来自正态总体2(,)N μσ，且2σ未知．x 为样本均值，s 2为样本方 差．假设检验问题为01:1,:1H H μμ=≠，则采用的检验统计量为( )二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11．在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都 是科技书的概率为______．12．设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5,()0.3P A P AB ==，则()P B =______． 13．设A ,B 为随机事件，()0.5,()0.4,()0.8P A P B P A B ===，则()P B A =______．14．设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，则至少取到一个黑球的概率是______．15．设随机变量X 的分布律为 ,则P{x ≥1)=______．16．设二维随机变量(X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，其中0202D x y ≤≤≤≤：，．记 (X ，Y)的概率密度为()f x y ，，则(11)f =，______． 17．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为则P {X =Y }=______．18．设二维随机变量(X ，Y )的分布函数为--(1e )(1-e ),0,0,()0x y x y F x y ⎧->=⎨⎩＞，， 其他，则{}P X Y =≤1,≤1______．19．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则()E 3X -=______．20．设随机变量X 的分布律为 ，a,b 为常数，且E (X )=0，则a b -=______．21．设随机变量X ~N (1，1)，应用切比雪夫不等式估计概率{}P ()2X E X -≥≤______. 22．设总体X 服从二项分布B (2，0.3)，x 为样本均值，则()E x =______．23．设总体X ~N (0，1)，123x x x ，，为来自总体X 的一个样本，且2222123~()x x x n χ++，则n =______． 24．设总体~(1)X N μ，，12x x ，为来自总体X 的一个样本，估计量1121122x x μ=+，2121233x x μ=+ ，则方差较小的估计量是______．25．在假设检验中，犯第一类错误的概率为0.01，则在原假设H 0成立的条件下，接受H 0的概率为______． 三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)26．设随机变量X 的概率密度为()2,010cx x f x ⎧=⎨⎩≤≤，， 其他.求：(1)常数c ；(2)X 的分布函数()F x ；(3)102P x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 27．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为求：(1)(X ，Y )关于X 的边缘分布律；(2)X +Y 的分布律． 四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)28．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布，令,X Y X Y ξη=+=-． 求：(1)(),(),(),()E E D D ξηξη； (2)ξηρ．29．设总体X 的概率密度(1),01,(;)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩ 其他，其中未知参数>1,θ-12,,,n x x x ⋯是来自该总体的一个样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计． 五、应用题(10分)30．某生产线上的产品按质量情况分为A ，B ，C 三类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行抽检，若发现其中两件全是A 类产品或一件A 类一件B 类产品，就不需要调试设备，否则需要调试．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品、B 类品和C 类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．求：(1)抽到的两件产品都为B 类品的概率1P ；(2)抽检后设备不需要调试的概率2P ．2012年4月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设B A ,为随机事件，且B A ⊂，则=AB （ C ） A ．B AB ．BC ．AD ．AB A ⊂⇒A AB =⇒=AB A ．2．设B A ,为随机事件，则=-)(B A P （ B ） A ．)()(B P A P -B ．)()(AB P A P -C ．)()()(AB P B P A P +-D ．)()()(AB P B P A P -+AB A B A -=-，且A AB ⊂，所以=-)(B A P )()(AB P A P -．3．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,063,31)(x x f ，则=≤<}43{X P （ B ）A ．}21{≤<X PB ．}54{≤<X PC ．}53{≤<X PD ．}72{≤<X P3131)(}43{4343===≤<⎰⎰dx dx x f X P ，3131)(}54{5454===≤<⎰⎰dx dx x f X P ．4．已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则X 的分布函数为（ C ）A ．⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x F x λλB ．⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λλC ．⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λD ．⎩⎨⎧≤>+=-0,00,1)(x x e x F x λ0>x 时，xex f λλ-=)(，x xt xt xe e dt e dt tf x F λλλλ---∞--=-===⎰⎰1)()(0．5．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，则（ D ） A ．1)(=-∞FB ．0)0(=FC ．0)(=+∞FD ．1)(=+∞F1)(}{)(=Ω=+∞<=+∞P X P F ．6．设X 与Y 相互独立，概率密度分别为)(),(y f x f Y X ，则),(Y X 的概率密度为（ D ）A ．)]()([21y f x f Y X + B ．)()(y f x f Y X +C ．)()(21y f x f Y X D ．)()(y f x f Y XX 与Y 相互独立⇒=),(y x f )()(y f x f Y X ．7．设随机变量X ～),(p n B ，且4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，则参数p n ,的值分别为（ B ） A ．4和6.0B ．6和4.0C ．8和3.0D ．3和8.0由4.2)(==X E np ，44.1)()1(==-X D p np ，得6=n ，4.0=p8．设随机变量X 的方差)(X D 存在，且0)(>X D ，令X Y -=，则=XY ρ（ A ） A ．1-B ．0C ．1D ．2)()(X E Y E -=，)()(X D Y D =，)()(2X E XY E -=，)()]()([)()()(),cov(22X D X E X E Y E X E XY E Y X -=--=-=，1)()()()(),cov(2-=-==X D X D Y D X D Y X XY ρ．9．设总体X ～)3,2(2N ，n x x x ,,,21 为来自总体X 的样本，x 为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是（ C ） A ．32-x B ．92-x C ．nx /32- D ．nx /92- X ～)3,2(2N ⇒x ～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 23,2⇒n x /32-～)1,0(N ． 10．设样本n x x x ,,,21 来自正态总体),(2σμN ，且2σ未知．x 为样本均值，2s 为样本方 差．假设检验问题为1:0=μH ，1:1≠μH ，则采用的检验统计量为（ D ） A ．nx/σB ．nx /1σ-C ．ns x / D ．ns x /1- 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11．在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都 是科技书的概率为___________．1512622=C C ． 12．设随机事件A 与B 相互独立，且5.0)(=A P ，3.0)(=B A P ，则=)(B P ___________． 由独立性得3.0)()()(==B A P B P A P ，又由5.0)(=A P ，得6.0)(=B P ，4.0)(=B P ． 13．设A ,B 为随机事件，5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，则=)|(A B P _______．64.05.08.04.0)()|()()()()|(=⨯===A PB A P B P A P AB P A B P ．14．设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，则至少取到一个黑球的概率是___________．取到黑球的个数X ～⎪⎭⎫ ⎝⎛52,2B ，2516259153521}0{1}1{2002=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=≥C X P X P ．15．设随机变量X 的分布律为，则=≥}1{X P ___________．7.04.03.0}2{}1{}1{=+==+==≥X P X P X P ．16．设二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，其中20,20:≤≤≤≤y x D ．记),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则=)1,1(f ___________．⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=D y x Dy x y x f ),(,0),(,41),(，41)1,1(=f ．17．设),(Y X 的分布律为，则==}{Y X P ___________．4.01.03.0}1,1{}0,0{}{=+===+====Y X P Y X P Y X P ．18．设二维随机变量),(Y X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>--=--其他,00,0),1)(1(),(y x e e y x F yx ，则=≤≤}1,1{Y X P ___________． 21)1()1,1(}1,1{--==≤≤e F Y X P ．19．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则=-)3(X E ___________．X ～)3(P ，则3)(=X E ，0)3(=-X E ．20．设X 的分布律为，b a ,为常数，且0)(=X E ，则=-b a _______．⎩⎨⎧==++0)(14.0X E b a ，即⎩⎨⎧=+-=++04.014.0a b a ，解得4.0=a ，2.0=b ，从而2.0=-b a ． 21．设随机变量X ～)1,1(N ，应用切比雪夫不等式估计概率≤≥-}2|)({|X E X P ________．412)(}2|)({|=≤≥-X D X E X P ． 22．设总体X 服从二项分布)3.0,2(B ，x 为样本均值，则=)(x E ___________．X ～)3.0,2(B ⇒6.03.02)()(=⨯==X E x E ．23．设总体X ～)1,0(N ，321,,x x x 为来自总体X 的一个样本，且232221x x x ++～)(2n χ，则=n ___________．3=n ．24．设总体X ～)1,(μN ，21,x x 为来自总体X 的一个样本，估计量2112121ˆx x +=μ，2123231ˆx x +=μ，则方差较小的估计量是___________．214141)ˆ(1=+=μD ，959491)ˆ(2=+=μD ，方差较小的是1ˆμ． 25．在假设检验中，犯第一类错误的概率为01.0，则在原假设0H 成立的条件下，接受0H 的概率为___________．犯第一类错误的概率为01.0=α，在0H 成立的条件下接受0H 的概率为99.01=-α． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,010,)(2x cx x f ．求：（1）常数c ；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210X P ．解：（1）由133)(10312====⎰⎰∞+∞-ccx dx x c dx x f ，得3=c ； （2）0<x 时，0)(=x F ；10≤≤x 时，303023)()(x t dt t dt t f x F xx x ====⎰⎰∞-；1>x 时，13)()(10312====⎰⎰∞-t dt t dt t f x F x ，总之⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=1,110,0,0)(3x x x x x F ；（3）81021)0(212103=-⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<F F X P ．27．设二维随机变量),(Y X 的分布律为求：（1）),(Y X 关于X 的边缘分布律；（2）Y X +的分布律． 解：（1）X 的可能取值为1,0，6.03.01.02.0}1,0{}0,0{}1,0{}0{=++===+==+-====Y X P Y X P Y X P X P ， 4.01.02.01.0}1,1{}0,1{}1,1{}1{=++===+==+-====Y X P Y X P Y X P X P ，),(Y X 关于X 的边缘分布律为（2）Y X +的可能取值为2,1,0,1-，2.0}1,0{}1{=-===-=+Y X P Y X P ，2.01.01.0}1,1{}0,0{}0{=+=-==+====+Y X P Y X P Y X P ， 5.02.03.0}0,1{}1,0{}1{=+===+====+Y X P Y X P Y X P ， 1.0}1,1{}2{=====+Y X P Y X P ，Y X +的分布律为四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布，令Y X +=ξ，Y X -=η． 求：（1）)(ξE ，)(ηE ，)(ξD ，)(ηD ；（2）ξηρ．解：（1）000)()()(=+=+=Y E X E E ξ，000)()()(=+=-=Y E X E E η，211)()()(=+=+=Y D X D D ξ，211)()()(=+=+=Y D X D D η；（2）101)()()(222=+=+=X E X D X E ，101)()()(222=+=+=Y E Y D Y E ，011)()()()(2222=-=-=-=Y E X E Y X E E ξη，0)()()()()(=-=ηξηξξηρξηD D E E E ．29．设总体X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他,010,)1();(x x x f θθθ， 其中未知参数1->θ，n x x x ,,,21 是来自该总体的一个样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计．解：（1）由2121)1()()(101101++=++=+==+++∞∞-⎰⎰θθθθθθθx dx xdx x xf X E ，解得)(11)(2X E X E --=θ，所以θ的矩估计为xx --=112ˆθ； （2）当10<<i x （n i ,,2,1 =）时，似然函数为θθθθθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∏∏==i ni n ni i x x L 11)1()1()(，∑=++=ni i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ，令0ln 1)(ln 1=++=∑=ni i x n d L d θθθ，得θ的极大似然估计为1ln ˆ1--=∑=i ix nθ．五、应用题（本大题10分）30．某生产线上的产品按质量情况分为C B A ,,三类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行抽检，若发现其中两件全是A 类产品或一件A 类一件B 类产品，就不需要调试设备，否则需要调试．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品、B 类品和C 类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．求：（1）抽到的两件产品都为B 类品的概率1p ；（2）抽检后设备不需要调试的概率2p ． 解：（1）设i B ={抽到的第i 件产品是B 类品}，2,1=i ，则0025.005.005.0)()()(21211=⨯===B P B P B B P p ;（2）又设i A ={抽到的第i 件产品是A 类品}，2,1=i ，则)()()()(2121212121212A B P B A P A A P A B B A A A P p ++== )()()()()()(212121A P B P B P A P A P A P ++=9.09.005.005.09.09.09.0=⨯+⨯+⨯=．。