江西省赣州市宁都县2020届高三数学上学期期末模拟考试试题

江西省赣州市宁都县2020届高三数学上学期期末模拟考试试题
一、单选题：本大题共12题，每小题5分，共60分，每个小题只有一个选项符合题目要求. 1．{123}A =，，
，集合{113}B =-，，，集合S A B =I ，则集合S 的真子集有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个
2．命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）
A ．存在0x R ∈，都有2
00x ≥ B ．对任意x R ∈，使得20x < C ．存在0x R ∈，使得2
00x <
D ．不存在x R ∈，使得20x <
3．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本
12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ）
A ．平均数为20，方差为4
B ．平均数为11，方差为4
C ．平均数为21，方差为8
D ．平均数为20，方差为8
4．双曲线22
184
x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A ．4 B
．5 C ．2 D
．5
5．将函数()cos 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移8π个单位，得到函数()g x 的图象，则下列
说法不正确的是( )
A ．1
62g π⎛⎫=
⎪⎝⎭ B ．()g x 在区间57,88ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数 C ．2
x π
=是()g x 图象的一条对称轴
D ．,08π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是()g x 图象的一个对称中心 6．如图，已知OAB ∆，若点C 满足()2,,AC CB OC OA OB R λμλμ==+∈，则11
λμ
+=
（ ）
A ．13
B ．23
C ．2
9 D ．9
2
7．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、
春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（ ） A ．1．5尺
B ．2．5尺
C ．3．5尺
D ．4．5尺
8．设x ，y 满足约束条件
，则
224
1
x y x +++的取值范围是（ ）
A ．[]4,12
B ．[]4,11
C ．[]2,6
D ．
[]
1,5
9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为 A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知等差数列{}n a 的公差不为0，{}n a 中的部分项123,,......n k k k k a a a a 成等比数列．若
11k =，29k =，349k =，则2019k =（）
A ．2018251⨯-
B ．2019251⨯-
C ．2020251⨯-
D ．2021251⨯-
11．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第二象限的点M 在
椭圆C 上，且2OM OF =，若椭圆C 2MF 的斜率为（ ）
A ．4-
B ．14-
C ．2-
D ．1
2
-
12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，记()f x 的导函数为()'f x ，当0x ≥时，满足
()()'0f x f x ->，若存在x ∈R ，使不等式()()2
22x x f e x x f ae x ⎡⎤-+≤+⎣⎦
成立，则实数a 的最小值为（ ）
A ．11e
-
B ．11e
+
C ．1e +
D ．e
二、填空题:本大题共4题，每小题5分，共20分.
13．一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为
________
14．若数列{}n a 的通项公式(1)(32)n
n a n =--，则1210a a a ++⋯+=________.
15．如图,在平面直角坐标系xoy 中,将直线y 2x
=
与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积V 圆锥1
=⎰π（2x ）2dx 310|1212x ππ
=
=据此类比：将曲线y ＝x 2（x ≥0）与直线y ＝2及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V ＝_____．
16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是____.
①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得DM //平面11B CD ；
③1A DM ∆ ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，
使得12S S =.
三、解答题: 本大题共6题，满分70分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步一骤.
17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 2
2cos 02
A C
B +-=. （1）求角B 的大小；
（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为ABC ∆的周长. 18．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形
ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，ABD ∆是边长为
1的等边三角形，M 为线段BD 中点，3BC =. (1)求证：AF BD ⊥；
(2)求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；
(3)线段BD 上是否存在点N ，使得直线//CE 平面AFN ？若存在，求BN
BD
的值；若不存在，请说明理由.
19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200人
得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整数），并计算(5193)P X <<；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为2
3
，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为
1
3
.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额. （参考数据：()0.6827P X μδμδ-<≤+≈；(22)0.9545P X μδμδ-<≤+≈；
(33)0.9973P X μδμδ-<≤+≈.）
20．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左，右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，点
1,P ⎛- ⎝⎭
在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在斜率为1-的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，使得1
1FM F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
21．已知函数()1
()cos 1()x f x e
x ax a R +=++-∈.
（1）若()f x 在()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）当 1a =-时，若实数1212,()x x x x <满足12()()2f x f x +=，求证：120x x +<.
22．如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆的一个交
点为2,3B π⎛⎫
⎪⎝⎭
，曲线1M 是劣弧OB ，曲线2M 是优弧OB . （1）求曲线1M 的极坐标方程；
（2）设点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，点
2,3Q πρθ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭在曲线2M 上，若||||6OP OQ +=，求θ的
值.
23．已知函数()()4
22f x x m x m m
=-++
>. （1）若4m =，求不等式()5f x >的解集；
（2）证明：()()
4
22f x m m +≥+-
数学试题参考答案
1．BCDCDD BADADA
13．0.88．14．15 . 15．2π 16．①②④ 17．（1
2
2cos (1cos())2
A C
B B A
C +-=-++ ∵A B C π++=
(1cos())(1cos )B A C B B -++=
--
cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭，得：1sin 62B π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
∵(0,)B π∈，∴7,666B π
ππ
⎛⎫
+
∈ ⎪
⎝⎭
，∴566B ππ+=，23B π= （2）由（1）知23B π=
，所以ΔABC
的面积为12sin 23ac π==16ac = 因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==
，b =由余弦定理222
222cos
()323
b a
c ac a c ac π
=+-⋅=+-= ∴2
()3248a c ac +=+=
，∴a c +=所以ΔABC
的周长为18．解:(1)证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．
又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ⋂平面ABCD AD =， 所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF BD ⊥． (2)取AD 中点O,EF 中点K ，连接OB ，OK.于是在△ABD 中，OB OD ⊥，
在正方ADEF 中OK OD ⊥，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，故OB ⊥平面AFEF ，进而0B OK ⊥，
即OB, OD, OK 两两垂直．分别以,,OB OD OK 为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系（如图）．
于是，B ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,C ⎫⎪⎪⎝⎭,1E 0,,12⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
,11M ,0,F 0,,142⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭ 所以3335,,1,,,0,(0,0,1)42MF CD DE ⎛⎫⎛⎫=-
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0
CD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即
5
02
0x y z ⎧-⋅=⎪⎨⎪=⎩
令5x =-
，则y =(5,3,0)n =-． 设直线MF 与平面CDE 所成角为θ，||3
sin |cos ,|||||MF n MF n MF n θ⋅=<>==
(3)
要使直线//CE 平面
AFN ，只需AN //CD ， 设,[0,1]BN BD λλ=∈,则1,,0222n n
n x y z λ⎛⎫
⎛⎫-
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 1,
,0222n n n x y z λ=-==,1
,,0222N λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以311,
,02222AN λ⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
, 又
5(
,0)2CD =
--，由//AN CD 11
22 52λ+
=-，解得2=[0,1]3λ∈
所以线段BD 上存在点N,使得直线//CE 平面AFN ，且2=3
BN BD ． 19．解：（1）由已知频数表得：
53040504520()354555657585200200200200200200
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+10
9565200
⨯
=， 22222()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(8565)0.1(9565)0.05210+-⨯+-⨯=，
由2196225σ<<，则1415σ<<，而214.5210.5210=>，所以14σ≈， 则X 服从正态分布(65,14)N ，所以
(22)()
(5193)(2)2
P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=0.95450.6827
0.81862
+=
=；
（2）显然，()()0.5P X P X μμ<=≥=， 所以所有Y 的取值为15，30，45，60，
121(15)233P Y ==
⨯=，111227(30)2323318P Y ==⨯+⨯⨯=， 1211122(45)2332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，1111
(60)23318P Y ==⨯⨯=，
所以Y 的分布列为：
所以()153045
6030318918
E
Y =⨯
+⨯+
⨯+⨯=，
需要的总金额为：200306000⨯=.
20．解:（1）因为椭圆C 的左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ， 所以2c =.
由椭圆定义可得
2a ==, 解得a =所以2
2
2
642b a c =-=-=,所以椭圆C 的标准方程为22162
x y +=
（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为y x t =-+，
由22
162x y y x t ⎧+=⎪⎨
⎪=-+⎩
得22
3()60x x t +-+-=，即 ()2246360x tx t -+-=，()222(6)443696120t t t ∆=--⨯⨯-=->， 解得t -<<设()11,M x y ，()22,N x y ，则1232t x x +=,21236
4
t x x -=,
由于1
1FM F N =
，设线段MN 的中点为E ，则1
F E MN ⊥， 所以111F E MN K K =-
=又3,44t t E ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以14
132
4
F E t K t ==+，解得4t =-. 当4t =-时，不满足t -<<. 所以不存在满足条件的直线l . 21.解:（1）()1
()sin 1x f x e
x a +'=-+-,由()f x 在()1,-+∞上单调递增，
故当1x >-时，()1
sin 10x e x a +-+-≥恒成立,即()1sin 1x a e x +≤-+
设()()()1
sin 11x g x e
x x +=-+>-，()()1cos 1x g x e x +'=-+，
∵1x >-，∴()1
1,cos 11x e
x +>+≤,∴()0g x ¢>，即()g x 在()1,-+∞上
单调递增，故()()11g x g >-=,∴1a ≤； （2）当1a =-时，()()1
cos 1x f x e
x x +=+++，
()()1sin 110x f x e x +'=-++>,∴()f x 在R 上单调递增，
又∵()11f -=且()()
122f x f x +=，故121x x <-<
要证120x x +<，只需证21x x <-,即证()()21f x f x <-， 只需证()()112f x f x -<-,即证()()1120f x f x +--> 令()()()2h x f x f x =+--，
()h x '()()()()
11sin 11sin 11
x x e x e x +-=-+++-+--112cos1sin x x e e x +-=--⋅
令
()112cos1sin x x x e e x
ϕ+-=--⋅()112cos1cos 22cos1cos 0x x x e e x e x ϕ+-'=+-⋅≥-⋅>
∴()x ϕ在(),1-∞-上单调递增
∴()()2
11sin 20x e ϕϕ<-=--<，故()h x 在(),1-∞-上单调递减，
∴()()()12120h x h f >-=--=，故原不等式成立.
22．解：（1）设以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆上任意一点(,)ρθ， 所以该圆的极坐标方程为4cos ρθ=， 则1M 的方程为4cos 3
2π
πρθθ⎛⎫=≤≤
⎪⎝⎭；
（2）由点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，则114cos 3
2π
πρθθ⎛⎫=≤≤
⎪⎝⎭，
点2,3Q πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线2M 上，则24cos 3233ππππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤-≤ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭， 即224cos 363πππρθθ⎛
⎫⎛⎫=--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为12||,||OP OQ ρρ==，所以12||||OP OQ ρρ+=+， 即||||4cos 4cos 3OP OQ πθθ⎛
⎫+=+- ⎪⎝⎭
3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， 因为32ππθ≤≤，且263ππθ-≤≤，所以32ππθ≤≤， 因为||||6OP OQ +=
，所以63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，即sin 32πθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，所以3πθ=. 23．解:（1）依题意，4215x x -++>； 当21x <-
时，原式化为4215x x --->，解得23x <-； 当142
x -≤≤时，原式化为4215x x -++>，解得0x >，故04x <≤； 当4x >时，原式化为4215x x -++>，解得83
x >，故4x >； 综上所述，不等式()5f x >的解集为2{|3
x x <-或0}x >. （2）依题意，()423,42,43,x m x m m f x x m x m m m x m x m m ⎧-+-<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩
，所以()min 22f m m m f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭=， ()()()42422m m m m f x m m +
≥++-
-222222222
m m m m m m =++-=-++≥--， 当且仅当222m m -=-
，即2m =.。