2022-2023学年福建省福州四中高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年福建省福州四中高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知i 为虚数单位，复数Z 满足（1+i ）Z ＝i ，则Z 的虚部（ ）
A ．−12
B ．1
2
C ．√22
D ．1
2
i
2．高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83．这组数据的第75百分位数是（ ） A ．85
B ．86
C ．85.5
D ．86.5
3．端午节放假，甲回老家过节的概率为13
，乙、丙回老家过节的概率分别为14
，15
．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A ．
5960
B ．3
5
C ．1
2
D ．
1
60
4．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，以下结论中，错误的是（ ）
A ．异面直线A 1D 与A
B 1所成的角为60° B ．直线A 1D 与B
C 1垂直 C ．直线A 1
D 与BD 1平行
D ．直线A 1D 与B 1C 平行
5．已知某7个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为x ，标准差为s ，则（ ） A ．x =3，s ＞√3
B ．x =3，s ＜√3
C ．x ＞3，s ＜√3
D ．x ＞3，s ＞√3
6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个红球 C ．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D ．至少有一个黑球与都是红球
7．已知|m →
|＝|n →
|＝1，p →
=m →
+x n →
（x ∈R ），函数f （x ）＝|p →
|，当x =√3
4时，f （x ）有最小值，则m →
在n →
上的投影向量为（ ） A ．
√34
n →
B ．
√32
n →
C ．−√34n →
D ．−√32n →
8．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为2的球的球面上四点，△ABC 是以为BC 底边的等腰三角形，且面积为
3√3
4，∠BAC =120°，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A ．9√32
B ．3√3
C ．
9√34
D ．
3√34
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．已知m 、n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β
B ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊂α，则n ∥β
C ．若α∥β，m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥β
D ．若α∥β，m ⊥α，n ∥β，则m ⊥n
10．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（ ） A ．这组数据的平均数是8 B ．这组数据的极差是4 C ．这组数据的中位数是8.5
D ．这组数据的方差是2
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则能确定B 为钝角的是（ ） A ．sin 2A +sin 2C ＜sin 2B B ．AB →⋅BC →
＜0 C ．c
b ＜cosA
D ．0＜tan A tan C ＜1
12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N ，若线段MN 的最小值为√3−1，则（ ） A ．正方体的外接球的表面积为12π B ．正方体的内切球的体积为
4π3
C ．正方体的棱长为2
D ．线段MN 的最大值为2√3
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A ，B ，C 三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈．已知这三个部门共有64人，其中B 部门24人，C 部门32人，则从A 部门中抽取的访谈人数 ．
14．在△ABC 中，AB =AC =√2BC =2√2，用斜二测画法画出△ABC 的直观图，则该直观图的面积为 ．
15．在正四面体ABCD （各棱都相等）中，E 是BC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成的角的余弦值为 ．
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的
面积为5√15，则该圆锥的侧面积为 ． 四、解答题（共6小题）
17．（10分）已知|a →
|＝3√5，b →
=（1，2），且a →
=λb →
． （1）求a →
的坐标．
（2）当λ＞0时，若c →
=(3，−4)，求a →
与c →
的夹角的正弦值． 18．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且sinB
cosA
=
√3b
a
． （1）求角A ；
（2）若a =√7，b =2，求c ．
19．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计本次考试的第50百分位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
20．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM ＝AC ＝1，∠ACB ＝90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°． （1）求证：平面MAP ⊥平面SAC ．
（2）求二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角的正切值．
21．（12分）甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工．其计酬方
式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式而：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（n ）的频数分布表（见表）后，乙以频率最大的n 值为依据作出选择，丙以n 的平均值为依据作出选择．
（Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；
（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？
（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率．
22．（12分）已知正三角形A ′BC 的边长为a ，CD 是A ′B 边上的高，E ，F 分别是A ′C ，BC 的中点，现将三角形A ′DC 沿CD 翻折至ADC 的位置，使平面ADC ⊥平面BCD ，如图所示． （1）试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）若三棱锥E ﹣DFC 的体积为
√3
24
，求实数a 的值．； （3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得BP ⊥DF ？若存在，求出AP AC
的值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年福建省福州四中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知i 为虚数单位，复数Z 满足（1+i ）Z ＝i ，则Z 的虚部（ ） A ．−12
B ．1
2
C ．
√22
D ．1
2
i
解：由（1+i ）Z ＝i ，得Z =i 1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=−i 2+i 12+12=12+12i ，∴Z =12−12i ，则Z 的虚部为−1
2
．
故选：A ．
2．高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83．这组数据的第75百分位数是（ ） A ．85
B ．86
C ．85.5
D ．86.5
解：从小到大的顺序排列数据为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90， 因为10×75%＝7.5，所以这组数据的75百分位数是第八个数据86， 故选：B ．
3．端午节放假，甲回老家过节的概率为1
3
，乙、丙回老家过节的概率分别为1
4
，1
5
．假定三人的行动相互之
间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A ．
5960
B ．3
5
C ．1
2
D ．
1
60
解：端午节放假，甲回老家过节的概率为13
，乙、丙回老家过节的概率分别为14
，15
． 假定三人的行动相互之间没有影响，
这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节， ∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为： p ＝1﹣（1−1
3）（1−1
4）（1−1
5）=3
5． 故选：B ．
4．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，以下结论中，错误的是（ ）
A．异面直线A1D与AB1所成的角为60°B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行D．直线A1D与B1C平行
解：对A，正方体中A1B1∥DC，且A1B1＝DC，故平行四边形A1B1CD，故A1D∥B1C，
由题意得正△ACB1，故异面直线A1D与AB1所成的角为直线B1C与AB1所成的角为∠AB1C＝60°，故A正确；
对B，因为正方形BCC1B1，故直线B1C与BC1垂直，又A1D∥B1C，故A1D与BC1垂直，故B正确；
对C，因为A1D⊥BC1，C1D1⊥平面AA1D1D，
故C1D1⊥A1D，又C1D1，BC1⊂平面BC1D1，故A1D⊥平面BC1D1，
因为BD1⊂平面BC1D1，故直线A1D与BD1垂直，故C错误；
对D，由A可知平行四边形A1B1CD，故A1D∥B1C，D正确．
故选：C．
5．已知某7个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为x，标准差为s，则（）
A．x=3，s＞√3B．x=3，s＜√3C．x＞3，s＜√3D．x＞3，s＞√3
解：∵某7个数的平均数为3，方差为3，
现又加入一个新数据3，
此时这8个数的平均数为x，标准差为s，
∴x=7×3+3
8
=3，s2=
7×3+(3−3)2
8
=
21
8
，s=√
42
4
＜√3，
故选：B．
6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球
解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确；
对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；
对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
∴这两个事件是对立事件，∴D 不正确； 故选：C ．
7．已知|m →
|＝|n →
|＝1，p →
=m →
+x n →
（x ∈R ），函数f （x ）＝|p →
|，当x =√3
4
时，f （x ）有最小值，则m →在n →
上的投
影向量为（ ） A ．
√34
n →
B ．
√32
n →
C ．−
√34
n →
D ．−
√32
n →
解：∵|m →
|＝|n →
|＝1，p →
=m →
+x n →
（x ∈R ）， ∴p →
2=1+x 2+2m →
⋅n →
x ，（x ∈R ），
∴当x =−2m →⋅n →
2×1=−m →⋅m →时，p →2取得最小值，即|p →|＝f （x ）也取得最小值，
∴−m →⋅n →
=
√3
4
，∴m →⋅n →
=−
√3
4
，
∴m →
在n →
上的投影向量为(m →⋅n
→
n
→2)n →
=−√34n →
．
故选：C ．
8．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为2的球的球面上四点，△ABC 是以为BC 底边的等腰三角形，且面积为
3√3
4，∠BAC =120°，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A ．9√32
B ．3√3
C ．
9√34
D ．
3√34
解：△ABC 为等腰三角形且面积为
3√3
4，∠BAC ＝120°，可得1
2
•AB 2•sin120°=3√3
4，解得AB =√3， 设球心为O ，△ABC 的外心为O ′，显然D 在O ′O 的延长线与球的交点时三棱锥体积最大， 如图所示：
△ABC 外接圆的半径为O ′A =1
2×AB
sin30°=√3，
OO ′=√OA 2−O′A 2=√22−(√3)2=1， 且三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为O ′O +OD ＝3， 所以三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：V =13
S △ABC •O ′D =13×3√34×3=3√34
． 故选：D ．
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．已知m 、n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β
B ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊂α，则n ∥β
C ．若α∥β，m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥β
D ．若α∥β，m ⊥α，n ∥β，则m ⊥n
解：若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，由α与β相交或平行，A 错； 若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，又n ⊂α，所以n ∥β，B 正确； 若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β，因为m ∥n ，所以n ⊥β，C 正确；
若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β，n ∥β，则β内存在直线c 与n 平行，由m ⊥β得m ⊥c ，则c ∥n 得m ⊥n ，D 正确． 故选：BCD ．
10．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（ ） A ．这组数据的平均数是8 B ．这组数据的极差是4 C ．这组数据的中位数是8.5
D ．这组数据的方差是2
解：对于A ，这组数据的平均数是16
（7+8+9+10+6+8）＝8，故A 正确； 对于B ，这组数据的极差是10﹣6＝4，故B 正确； 对于C ，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10， ∴这组数据的中位数是8，故C 错误；
对于D ，这组数据的方差是S 2=1
6[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2]=
5
3
，故D 错误． 故选：AB ．
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则能确定B 为钝角的是（ ） A ．sin 2
A +sin 2
C ＜sin 2
B
B ．AB →⋅B
C →
＜0
C ．c
b
＜cosA
D ．0＜tan A tan C ＜1
解：选项A ，由正弦定理及sin 2A +sin 2C ＜sin 2B ，知a 2+c 2＜b 2，
由余弦定理得，cos B =a 2+c 2−b
2
2ac
＜0，所以B 为钝角，即选项A 正确； 选项B ，AB →•BC →=|AB →|•|BC →|cos （π﹣B ）＝﹣|AB →|•|BC →
|cos B ＜0，则cos B ＞0，显然B 不可能为钝角，即选项B 错误；
选项C ，由正弦定理及c
b ＜cos A ，得
sinC sinB
＜cos A ，
因为sin B ＞0，所以sin C ＜sin B cos A ，
又sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ，所以sin A cos B ＜0， 因为sin A ＞0，所以cos B ＜0，所以B 为钝角，即选项C 正确； 选项D ，由0＜tan A tan C ＜1，知0＜sinAsinC
cosAcosC ＜1，
因为sin A sin C ＞0，所以cos A cos C ﹣sin A sin C ＞0，即cos （A +C ）＝﹣cos B ＞0， 所以cos B ＜0，所以B 为钝角，即选项D 正确． 故选：ACD ．
12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N ，若线段MN 的最小值为√3−1，则（ ） A ．正方体的外接球的表面积为12π B ．正方体的内切球的体积为
4π3
C ．正方体的棱长为2
D ．线段MN 的最大值为2√3
解：设正方体的棱长为a ，则正方体的外接球的半径为对角线的一半，即R =√3a
2
，
内切球为棱长的一半，即r =a
2，
由于M 和N 为外接球和内切球上的动点，
对于C ：所以MN min =√3a
2−a
2=√3−1，解得a ＝2．故C 正确； 对于A ：所以外接球的表面积为S =4⋅π⋅(√3)2=12π，故A 正确； 对于B ：内切球的体积为V =
43⋅π⋅13=4π
3，故B 正确； 对于D ：线段MN 的最大值为√3a 2+a
2
=√3+1，故D 错误．
故选：ABC ．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A ，B ，C
三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈．已知这三个部门共有64人，其中B 部门24人，C 部门32人，则从A 部门中抽取的访谈人数 2 ．
解：由题意可知，A 部门一共有64﹣24﹣32＝8人，故采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个部门中抽取16名员工，则从A 部门中抽取的访谈人数为16×8
64
=2． 故答案为：2．
14．在△ABC 中，AB =AC =√2BC =2√2，用斜二测画法画出△ABC 的直观图，则该直观图的面积为
√14
4
． 解：如图所示，作出△ABC 底边上的高h ，
则h =√(2√2)2−1=√7，所以S △ABC =1
2
×2×√7=√7， 所以该直观图的面积S ⬚△ABC =√2
4
×√7=
√14
4
．
故答案为：
√14
4
． 15．在正四面体ABCD （各棱都相等）中，E 是BC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成的角的余弦值为
√3
6
． 解：取BD 的中点F ，连接AF 、EF ，
∵E 、F 分别是BC 、BD 的中点，∴EF ∥CD ，
∴∠AEF 为异面直线AE 与CD 所成的角，
设正四面体ABCD 的棱长为2，则AE ＝AF =√3，EF ＝1，
在△AEF 中，cos ∠AEF =AF 2
+EF 2−AE 2
2×AF×EF =3+1−32×3
=√3
6．
故答案是
√36
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为 40√2π ．
解：圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8，可得sin ∠ASB =√1−(7
8)2=√15
8．
△SAB 的面积为5√15，
可得1
2
SA 2sin ∠ASB ＝5√15，即1
2
SA 2×
√15
8
=5√15，即SA ＝4√5． SA 与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：√2
2×4√5=2√10． 则该圆锥的侧面积：1
2×4√10π×4√5=40√2π．
故答案为：40√2π． 四、解答题（共6小题）
17．（10分）已知|a →
|＝3√5，b →
=（1，2），且a →
=λb →
． （1）求a →
的坐标．
（2）当λ＞0时，若c →
=(3，−4)，求a →
与c →
的夹角的正弦值． 解：（1）∵a →
=λb →
=λ(1，2)=(λ，2λ)， ∴|a →
|=√λ2+4λ2=|λ|√5=3√5，λ=±3， ∴a →
=(3，6)或a →
=(−3，−6)． （2）当λ＞0，a →
=(3，6)， ∴cos〈a →
，c →
〉=
9+(−24)√9+36√9+16=−15
15√5=−√55，
∴sin ＜a →
，c →＞=2√5
5， 即a →
与c →
的夹角的正弦值为
2√5
5
． 18．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且
sinB cosA
=
√3b
a
．
（1）求角A；
（2）若a=√7，b=2，求c．
解：（1）由正弦定理及sinB
cosA =
√3b
a
，得
sinB
cosA
=
√3sinB
sinA
．
∵sin B≠0，
∴sinA=√3cosA，即tanA=√3，∵0＜A＜π，
∴A=π3．
（2）∵a=√7，b=2，A=π3，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，
可得：7=4+c2−2×2×c×1
2
，可得：c2﹣2c﹣3＝0，
∴解得c＝3或c＝﹣1（负值舍去）．
19．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计本次考试的第50百分位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
解：（1）由频率分布直方图，得：
分数在[120，130）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10＝0.3，
0.3
10
=0.03，补全后的直方图如右图所示：
（2）∵[90，120）的频率为（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，[120，130）的频率为：0.030×10＝0.3，
∴第50百分位数为：120+0.5−0.4
0.3
×10=
370
3
；
（3）解：用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，
则分数段为[110，120）中抽取的学生数为：0.015
0.015+0.030
×6=2人，设为A，B，
分数段为[120，130）中抽取的学生数为：0.030
0.015+0.030
×6=4人，设为a，b，c，d，
从中任取2个，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种，其中符合题意得有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共9种，
所以至多有1人在分数段[120，130）内的概率为9
15=
3
5
．
20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC ＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．
（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．
（2）求二面角M﹣AC﹣B的平面角的正切值．
证明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB＝90°
∴AC⊥BC，AC∩SC＝C，BC⊥平面SAC，
又∵P，M是SC、SB的中点
∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，
（2）∵AC⊥平面SCB，
∴面MAP ⊥面SAC ．
∴AC ⊥CM ，AC ⊥CB ，从而∠MCB 为二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角， ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60° ∴过点M 作MN ⊥CB 于N 点，连接AN ，
则∠AMN ＝60°在△CAN 中，由勾股定理得AN =√2． 在Rt △AMN 中，MN =
AN
tan∠AMN =√2•√33=√63
．
在Rt △CNM 中，tan ∠MCN =MN
CN =√6
31=√63
故二面角M ﹣AC ﹣B 的正切值为√6
3
．
21．（12分）甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工．其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式而：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（n ）的频数分布表（见表）后，乙以频率最大的n 值为依据作出选择，丙以n 的平均值为依据作出选择．
（Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；
（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？
（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率． 解：（Ⅰ）按计酬方式一、二的收入分别记为f （n ）、g （n ）， f （10）＝250×（30﹣10）＝5000， g （10）＝120×10+200×20＝5200， 所以甲选择计酬方式二；
由频数分布表知频率最大的n ＝8，
f （8）＝250×（30﹣8）＝5500，
g （8）＝120×8+200×22＝5360， 所以乙选择计酬方式一；
n 的平均值为1
9×（8×3+9×1+10×2+12×2+13×1）＝10，
所以丙选择计酬方式二．
（Ⅱ）甲统计了1个月的情况，乙和丙统计了9个月的情况， 但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据， 所以丙的统计范围最大， 三人中丙的依据更有指导意义．
（Ⅲ）任选一年，此月下雨不超过11天的频率为p =69=2
3
， 以此作为概率，则未来三年中恰有两年，
此月下雨不超过11天的概率为p =C 32
(23)2(1−23)=4
9．
22．（12分）已知正三角形A ′BC 的边长为a ，CD 是A ′B 边上的高，E ，F 分别是A ′C ，BC 的中点，现将三角形A ′DC 沿CD 翻折至ADC 的位置，使平面ADC ⊥平面BCD ，如图所示． （1）试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）若三棱锥E ﹣DFC 的体积为
√3
24
，求实数a 的值．； （3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得BP ⊥DF ？若存在，求出AP AC
的值；若不存在，请说明理由．
解：已知正三角形A ′BC 的边长为a ，CD 是A ′B 边上的高，E ，F 分别是A ′C ，BC 的中点，现将三角形A ′DC 沿CD 翻折至ADC 的位置，使平面ADC ⊥平面BCD ， （1）AB ∥平面DEF ．理由如下：
在△ABC 中，∵E ，F 分别是AC ，BC 的中点， ∴EF ∥AB ，
又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，
∴AB ∥平面DEF ；
（2）由题意，得AD ⊥CD ，∵平面ADC ⊥平面BCD ，∴AD ⊥平面BCD ， 取CD 的中点M ，连接EM ，则EM ∥AD ， ∴EM ⊥平面BCD ，且EM =a 4
， 易得S △DFC =1
2×√3a
2×(12×a
2)=√3a 2
16， ∵三棱锥E ﹣DFC 的体积为
√324
， ∴1
3×a
4×√3a 216=√3
24
，解得a ＝2； （3）在线段AC 上存在一点P ，使得BP ⊥DF ，理由如下：
易知三角形BDF 为正三角形，过B 作BK ⊥DF 交DC 于点K ，连接KF ，过K 作KP ∥DA 交AC 于点P ，连接BP ，则点P 即所求， ∵AD ⊥平面BCD ，KP ∥AD ， ∴PK ⊥平面BCD ，∴PK ⊥DF ， 又BK ⊥DF ，PK ∩BK ＝K ， ∴DF ⊥平面PKB ，∴DF ⊥PB ，
又∠DBK ＝∠KBC ＝∠BCK ＝30°，∴DK =KF =1
2KC ， 故
AP PC
=
DK KC
=12
，从而
AP AC
=1
3
．。