2022届上海市青浦高中高三第四次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数13
log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭
⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞
D ．(0,1)(1,)⋃+∞
2．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( ) A ．0
B ．1
C ．1-
D ．1±
3．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ） A ．9-
B ．1
C ．9-或1
D ．1-或9
4．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2
010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；
（2）已知2(2,)X
N σ，则 (2)0.5P X >=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23y
x =-； （4）“1x ≥”是“1
2x x
+≥”的充分不必要条件. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）
A ．36
B ．45
C ．36-
D ．45-
6．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,
,22n x x x x ++++，下列
结论正确的是（ ） A ．平均数为20，方差为4 B ．平均数为11，方差为4 C ．平均数为21，方差为8
D ．平均数为20，方差为8
7．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
A ．
53
π B ．2π
C ．
52
π D ．3π
8．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）
A ．
55
B ．
306
C ．
66
D ．
25
5
9．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．3
10．点(,)P x y 为不等式组+4
x y y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（ ）
A ．()(),21,-∞-⋃+∞
B ．(]
[),11,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．[]2,1-
11．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种
B ．27种
C ．37种
D ．47种
12．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按A ，B 编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母A ，B 的概率为________.
14．设f （x ）＝e tx （t ＞0），过点P （t ，0）且平行于y 轴的直线与曲线C ：y ＝f （x ）的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1，f （1）），则△PRS 的面积的最小值是_____．
15．若函数2()1(x
f x mx e e =-+为自然对数的底数）在1x x =和2x x =两处取得极值，且212x x ≥，则实数m 的取
值范围是______． 16．给出以下式子：
①tan25°+tan35°3+tan25°tan35°； ②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)； ③
115115tan tan +︒
-︒
其中，结果为3的式子的序号是_____.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()()3
2
16f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x
=
-的导函数()
h x '在5,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上存在零点. ()1求实数a 的取值范围；
()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值； ()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.
18．（12分）已知集合21|11⎧⎫-⎪⎪
==
-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
x A x y x ，集合{|12}=-+B x x a . （1）求集合A ；
（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.
19．（12分）如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．
求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF.
20．（12分）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足
12
112
n
n n
c c c b a a a ++++
=,求数列{}n c 的前2020项的和． 21．（12分）若数列{}n a 满足：对于任意*n ∈N ，12n n n a a a +++-均为数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”．
（1）若数列{}n a 的前n 项和2
42n S n n =-，*n ∈N ，试判断数列{}n a 是否为“T 数列”？说明理由；
（2）若公差为d 的等差数列{}n a 为“T 数列”，求d 的取值范围；
（3）若数列{}n a 为“T 数列”，11a =，且对于任意*n ∈N ，均有22
11n n n n a a a a ++<-<，求数列{}n a 的通项公式．
22．（10分）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O .
（1）求证：AC ⊥平面11BB D D ；
（2）求直线OB 与平面11OB D 所成的角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
利用换元法设()t f x =，则等价为()0f t =有且只有一个实数根，分0,0,0a a a <=> 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.
解：设()t f x = ，则()0f t =有且只有一个实数根.
当0a < 时，当0x ≤ 时，()103x
f x a ⎛⎫=⋅< ⎪⎝⎭
，由()0f t =即13
log 0t =，解得
1t =，
结合图象可知，此时当1t =时，得()1f x = ，则1
3
x =
是唯一解，满足题意； 当0a =时，此时当0x ≤时，()103x
f x a ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭
，此时函数有无数个零点，不符合题意； 当0a > 时，当0x ≤ 时，()[)1,3x
f x a a ⎛⎫=⋅∈+∞ ⎪⎝⎭
，此时()f x 最小值为a ，
结合图象可知，要使得关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，此时1a > . 综上所述：0a < 或1a >. 故选:A. 【点睛】
本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键. 2、C 【解析】
将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.
因为22
22(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，
所以20a ->且210a -=，解得1a =-. 故选：C 【点睛】
本题考查复数的基本定义，属基础题. 3、C 【解析】
由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求k 的值. 【详解】
解：由题意可得2cos1352||||416a b a b ︒
⋅===-⋅+，
求得9k
=-，或1k =，
故选：C. 【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题． 4、C 【解析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2
010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有
210x ->，是错误的；
（2）中，已知(
)2
2,X N σ
~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得
回归直线方程为ˆ23y
x =-是正确；
（4）中，当1x ≥时，可得12x x +
≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x +≥”
成立的充分不必要条件． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 5、A 【解析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】
18i =≤满足，执行第一次循环，()1
20111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()2
21123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4
261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=；
98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题. 6、D 【解析】
由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【详解】
样本1231,1,1,
,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，
所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++的平均数为21020⨯=,方差为2228⨯=.
故选:D.
【点睛】 样本123,,,,n x x x x 的平均数是x ，方差为2s ，则123,,,,n ax b ax b ax b ax b ++++的平均数为ax b +,方差为22a s .
7、A 【解析】
由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 【详解】
由三视图还原原几何体如图，
该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1． 则几何体的体积为32
145111233
V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 8、C 【解析】
以D 为原点，DA ，DC ，DD 1 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值． 【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则()2,1,0E ，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--， 取平面11AA D D 的法向量为()0,1,0n =，
设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ，则sinθ＝|6
cos ,|6
EF n EF n EF n
⋅=
=
⋅，
∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为66
.
故选C ．
【点睛】
本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题． 9、C 【解析】
先根据奇偶性，求出()()f x g x -的解析式，令1x =，即可求出。

【详解】
因为()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，21()()(1)2x f x g x x ++=+-，用x -替换x ，得
21()()(1)2x f x g x x -+-+-=-+- ，
化简得2
1
()()(1)2
x f x g x x -+-+=--，即1
2()()2
(1)x f x g x x -+-=--
令1x =，所以0(1)(1)201f g -=-=，故选C 。

【点睛】
本题主要考查函数性质奇偶性的应用。

10、B 【解析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z 的几何意义即可得到结论． 【详解】
不等式组40x y y x y +⎧⎪
⎨⎪⎩
作出可行域如图：(4,0)A ，(2,2)B ，(0,0)O ，
2
2y z x +=
-的几何意义是动点(,)P x y 到(2,2)Q -的斜率，由图象可知QA 的斜率为1，QO 的斜率为：1-， 则22y x +-的取值范围是：(-∞，1][1-，)+∞． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键． 11、C 【解析】
由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】
所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种,
故选:C 【点睛】
本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题. 12、C 【解析】
试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.
考点：三视图
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
23
【解析】
根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】
从袋中任意地同时摸出两个球共24C 种情况，其中有11
22C C 种情况是两个球颜色不相同；
故其概率是11222
4222
63
C P C C ⨯=== 故答案为：23
． 【点睛】
本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 14、
2
e 【解析】
计算R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t =，△PRS 的面积为S 2t
e t =，导数S ′()2
12t e t t
-=，由S ′＝0得t ＝1，根据函数的单调性得到最值. 【详解】
∵PQ ∥y 轴，P （t ，0），∴Q （t ，f （t ））即Q （t ，2
t e ），
又f （x ）＝e tx （t ＞0）的导数f ′（x ）＝te tx ，∴过Q 的切线斜率k ＝t 2
t e ，
设R （r ，0），则k 2
20
t t e te t r
-==-，∴r ＝t 1t -，
即R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t
=，
又S （1，f （1））即S （1，e t ），∴△PRS 的面积为S 2t
e
t
=，
导数S ′()2
12t e t t
-=
，由S ′＝0得t ＝1，
当t ＞1时，S ′＞0，当0＜t ＜1时，S ′＜0，∴t ＝1为极小值点，也为最小值点， ∴△PRS 的面积的最小值为2
e ． 故答案为：
2
e ． 【点睛】
本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15、12ln ⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
， 【解析】
先将函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，转化为方程(0)2x
e
m x x
=≠有两不等实根12,x x ，且212x x ≥，再令
()(0)2x e h x x x
=≠，将问题转化为直线
y m =与曲线()2x
h x x e =有两交点，且横坐标满足212x x ≥，用导数方法研究()2x
h x x
e =单调性，作出简图，求出212x x =时，m 的值，进而可得出结果. 【详解】 因为
2()1x f x mx e =-+，所以()2x f x mx e '=-，
又函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，
所以12,x x 是方程20x mx e -=的两不等实根，且212x x ≥，
即(0)2x
e m x x =≠有两不等实根12,x x ，且212x x ≥，
令()(0)2x
e h x x x
=≠，
则直线y m =与曲线()2x h x x
e
=有两交点，且交点横坐标满足212x x ≥，
又22
()42(22)(1)
x x e e h x x x
x x =-'=-， 由()0h x '=得1x =，
所以，当1x >时，()0h x '>，即函数()2x
h x x
e
=在(1,)+∞上单调递增；
当0x <，01x <<时，()0h x '<，即函数()2x h x x
e
=在(,0)-∞和(0,1)上单调递减；
当212x x =时，由121222x x e e x x =得1ln 2x =，此时1112ln 2
x e m x ==， 因此，由212x x ≥得1
ln 2
m >. 故答案为12ln ⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
，
【点睛】
本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型. 16、①②③ 【解析】
由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.
【详解】
①∵tan60°＝tan （25°+35°
）253512535tan tan tan tan ︒+︒
=
=-︒︒
，
tan25°
+tan35°tan35°；
)12535tan tan =-︒︒tan35°，
=
②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°）， ＝
2sin60°= ③
115451511514545tan tan tan tan tan tan +︒︒+︒
==-︒-︒︒
tan （45°+15°）＝
tan60°=
故答案为：①②③ 【点睛】
本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、()1[]
10,28；()24；()312. 【解析】
()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5
,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有实数解，求出实数a 的取值范围；
()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，
得出正实数b 的最大值；
()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率
()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为
()a g x x '=
，所以切线斜率2
a k x =，即切线方程为
()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12
a
a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩
，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121
022x G x x x x
-=
-=>'，
所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】
()1由题意可知，()2
ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x a
h x x x x
--'=--=
， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有实数解，解得[]
10,28a ∈；
()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，
①当()412160a ∆=--+≤，即47
103
a ≤≤
时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当
47
163
a <<时，令()232160f x x x a =--+='，
解得：x =
=
当x ⎛∈ ⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()2
32160f x x x a =--+='，
解得：10x =
<，2103
x +=>
且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，
若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =， 若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()3
2
160b b a b ---≤，
整理得216b b a -≤-，
因为存在[]
16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤， 综上，b 的最大值为4；
()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，
因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2
113216k x x a =---，
即切线方程()()()2
3
2
111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦
整理得：()2
3
2
111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦
由题意可知，3211212x x -+=-，即32
112120x x --=，
即()()
2
11122360x x x -++=，解得12x =
所以切线方程为()2412y a x =--，
设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()a g x x '=
，所以切线斜率2
a k x =，即切线方程为
()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22
ln a
y x a x a x =
+-. 所以2224ln 12
a
a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩
，消去a ，整理得2
211ln 022x x +-=， 且因为
[]()22410,28a
a a x =-∈，解得257
x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+
-≥ ⎪⎝⎭，则()221121
022x G x x x x
-=-=>'， 所以()G x 在5
,7
⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，
因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题. 18、（1）{|12}=<-或A x x x ；（2）(,3](3,)-∞-+∞.
【解析】 （1
）求出函数y =
（2）化简集合B ，根据B A ⊆确定集合B 的端点位置，建立a 的不等量关系，即可求解. 【详解】 （1）由
21
101
--+x x ，即
201x x -+得1x <-或2x ≥， 所以集合{|1A x x =<-或2}x .
（2）集合{|12}{|12}=-+=---B x x a x a x a ， 由B A ⊆得21-<-a 或12--a ，解得3a >或3a -，
所以实数a 的取值范围为(,3](3,)-∞-+∞.
【点睛】
本题考查集合的运算，集合间的关系求参数，考查函数的定义域，属于基础题. 19、（1）见解析（2）见解析 【解析】
(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.
则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M 22,,122⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭.
∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
. ∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM. ∵NE
⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.
(2)由(1)知AM ＝22,122⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
， ∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，
∴AM ·DF ＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.
20、（1）2n a n =，2n
n b =； （2）2022201928⨯+.
【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)求出数列{}n c 的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和. 【详解】
(1)依题意得: 2324b b b =，
所以2
111(6)(2)(14)a a a +=++ ，
所以22111112361628,a a a a ++=++ 解得1 2.a = 2.n a n ∴=
设等比数列{}n b 的公比为q ，所以34228
2,4
b a q b a ==== 又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b == 因为
1112
1212n n n n n
c c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,
112
121
2n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② 由①-②得，
2n n
n
c a =，即12n n c n +=⋅， 又当1n =时，31122c a b ==不满足上式，
1
8,12,2n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩
. 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯
2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯
设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ③， 则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④， 由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯
2202020222(12)
2020212
-=-⨯-2022420192=--⨯ ，
所以20222020201924T =⨯+， 所以2020S =202220204201928T +=⨯+. 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题. 21、（1）不是，见解析（2）0d ≥（3）1
2
n n a += 【解析】
（1）利用递推关系求出数列的通项公式，进一步验证1n =时，12n n n a a a +++-是否为数列{}n a 中的项，即可得答案； （2）由题意得121(1)||n n n a a a a n d d +++-=+-+，再对公差进行分类讨论，即可得答案；
（3）由题意得数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为(0)t t >，再根据不等式2211n n n n a a a a ++<-<得到公差的值，
即可得答案； 【详解】
（1）当2n ≥时，22
1424(1)2(1)46n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-+
又112412a S ===⨯-，所以46n a n =-+． 所以12464104n n n a a a n n +++-=-++=- 当1n =时，126n n n a a a +++-=，而2n a ≤，
所以1n =时，12n n n a a a +++-不是数列{}n a 中的项，故数列{}n a 不是为“T 数列” （2）因为数列T 是公差为d 的等差数列， 所以121(1)||n n n a a a a n d d +++-=+-+． 因为数列{}n a 为“T 数列”
所以任意*n ∈N ，存在*m ∈N ，使得1(1)||m a n d d a +-+=，即有()||m n d d -=．
①若0d ≥，则只需*1m n =+∈N ，使得()||m n d d -=，从而得12n n n a a a +++-是数列{}n a 中的项． ②若0d <，则1m n =-．此时，当1n =时，0m =不为正整数，所以0d <不符合题意．综上，0d ≥． （3）由题意1n n a a +<，所以1221n n n n n n a a a a a a +++++-=+-，
又因为()21212n n n n n n n n a a a a a a a a +++++<+-=--<，且数列{}n a 为“T 数列”， 所以211n n n n a a a a ++++-=，即212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 为等差数列． 设数列{}n a 的公差为(0)t t >，则有1(1)n a n t =+-，
由22
11n n n n a a a a ++<-<，得1(1)[2(21)]1n t t n t nt +-<+-<+，
整理得()22
231n t t t t ->-+，① ()22221n t t t t ->--．②
若2
20t t -<，取正整数202312t t N t t -+>-， 则当0n N >时，()()
22202231n t t t t N t t -<-<-+， 与①式对应任意*n ∈N 恒成立相矛盾，因此220t t -≥．
同样根据②式可得220t t -≥，
所以220t t -=．又0t >，所以12
t =． 经检验当12
t =时，①②两式对应任意*n ∈N 恒成立， 所以数列{}n a 的通项公式为111(1)22n n a n +=+
-=． 【点睛】
本题考查数列新定义题、等差数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较大.
22、（1）证明见解析（2）
7 【解析】
（1）要证明AC ⊥平面11BB D D ，只需证明AC BD ⊥，1AC DD ⊥即可：
（2）取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF 分别为, , x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求出OB 与平面11OB D 的法向量n ，再利用cos ,||||
O n OB n B O n B ⋅<>=
⨯计算即可. 【详解】
（1）∵底面ABCD 为菱形， AC BD ∴⊥
∵直棱柱11111ABCD A B C D DD -∴⊥，
平面ABCD . ∵AC ⊂平面ABCD .
1AC DD ∴⊥
11,,AC BD AC DD BD DD D ⊥⊥⋂=.
AC ∴⊥平面11BB D D ；
（2）如图，取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF 分别为, , x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系： 3,1AE BE ==， 点1131(0,1,0),(0,1,2),(0,1,2),(3,0,0),,122B B D A O ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， 设平面11OB D 的法向量为(,,)n x y z =，
11133(0,2,0),,,122D B OB ⎛⎫==- ⎪⎝
⎭， 有1112033022D B n y OB n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩
，令2x =，0,3y z ==得(2,0,3)n =
又33,,1,23,||7,||222OB n OB n OB ⎛⎫=--⋅=-== ⎪⎝⎭
， 设直线OB 与平面11OB D 所成的角为θ， 所以2321sin |cos ,|||727
n OB θ=<>==⨯ 故直线OB 与平面11OB D 所成的角的正弦值为
217. 【点睛】
本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.。