抛物线中两线段的和最小问题(及差最大问题)

抛物线中两线段和最小问题〔及差最大问题〕〔已整理A4〕
1. 〔2021湖北恩施8分〕如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A 〔﹣1，0〕，C 〔2，3〕两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． 〔1〕抛物线及直线AC 的函数关系式； 〔2〕设点M 〔3，m 〕，求使MN+MD 的值最小时m 的值； 〔3〕假设抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？假设能，求点E 的坐标；假设不能，请说明理由；
〔4〕假设P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．
2. 〔2021湖北黄冈14分〕如图，抛物线的方程C 1:()()1
y x 2(x m)m 0m
=-
+->与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧. (1)假设抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积．
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?假设存在，求m 的值；假设不存在，请说明理由．
3 〔2021湖南郴州10分〕如图，抛物线2y ax bx c =++经过A 〔4，0〕，B 〔2，3〕，C 〔0，3〕三点．
〔1〕求抛物线的解析式及对称轴．
〔2〕在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MA+MB 的值最小，并求出点M 的坐标．
〔3〕在抛物线上是否存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？假设存在，请求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．
4. 〔2021四川自贡14分〕如图，抛物线l 交x 轴于点A 〔﹣3，0〕、B 〔1，0〕，交y 轴于点C 〔0，﹣3〕．将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线l 1． 〔1〕求l 1的解析式；
〔2〕在l 1的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点A 1及C 两点的距离差最大，并说出理由； 〔3〕平行于x 轴的一条直线交抛物线l 1于E 、F 两点，假设以EF 为直径的圆恰与x 轴相切，求此圆的半径．
1，〔2021湖北恩施8分〕
【分析】〔1〕利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。

〔2〕根据轴对称的性质和三角形三边关系作N 点关于直线x=3的对称点N′，当M 〔3，m 〕在直线DN′上时，MN+MD 的值最小。

〔3〕分BD 为平行四边形对角线和BD 为平行四边形边两种情况讨论。

〔4〕如图，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，设Q 〔x ，x+1〕，那么P 〔x ，﹣x 2+2x+3〕，求得线段PQ=﹣x 2+x+2。

由图示以及三角形的面积公式知APC
APQ CPQ S S +S ∆∆∆=，由二次函数的最值的求法可知△APC 的面积的最大值
解：〔1〕由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A 〔﹣1，0〕及C 〔2，3〕得，1b+c=04+2b+c=3
--⎧⎨
-⎩， 解得b=2c=3
⎧⎨
⎩。

∴抛物线的函数关系式为2
y x
2x 3=-++。

设直线AC 的函数关系式
为y=kx+n ，由直线AC 过点A 〔﹣1，0〕及C 〔2，3〕得k+n=02k+n=3
-⎧⎨
⎩，解得k=1n=1
⎧⎨
⎩。

∴直线AC 的函数关系式为y=x+1。

〔2〕作N 点关于直线x=3的对称点N′， 令x=0，得y=3，即N 〔0，3〕。

∴N′〔6， 3〕由()2
2
y x 2x 3=x 1+4=-++--得D 〔1，4〕。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t ，那
么6s+t=3s+t=4⎧⎨⎩，解得1s=521t=5⎧-⎪⎪⎨
⎪⎪⎩。

∴故直线DN′的函数关系式为121y x 55=-+。

根据轴对称的性质和三角形
三边关系，知当M 〔3，m 〕在直线DN′上时，MN+MD 的值最小，∴12118m 3=555=-⨯+。

∴使MN+MD
的值最小时m 的值为185。

〔3〕由〔1〕、〔2〕得D 〔1，4〕，B 〔1，2〕， ①当BD 为平行四边形对角线时，
由B 、C 、D 、N 的坐标知，四边形BCDN 是平行四边形，此时，点E 与点C 重合，即E 〔2，3〕。

②当BD 为平行四边形边时，∵点E 在直线AC 上，∴设E 〔x ，x+1〕，那么F 〔x ，2
x
2x 3-++〕。

又∵BD=2∴假设四边形BDEF 或BDFE 是平行四边形时，BD=EF 。

∴()2x 2x 3x 1=2-++-+，即2x x 2=2-++。

假设2
x x 2=2-++，解得，x=0或x=1〔舍去〕，∴E 〔0，1〕。

假设2
x x 2=2-++-，解得，117x=2
±，∴E 1+17
3+172
2⎛⎫ ⎪
⎪⎝
⎭ ，或E 11731722⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭
，。

综上，满足条件的点E 为〔2，3〕、〔0，1〕、1+17
3+1722⎛⎫ ⎪
⎪⎝
⎭ ，、11731722⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭
，。

〔4〕如图，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ， 设Q 〔x ，x+1〕，那么P 〔x ，﹣x 2+2x+3〕。

∴
22PQ x 2x 3x 1x x 2=-++--=-++（）（）。

∴APC APQ CPQ 1S S +S PQ AG 2
∆∆∆==
⋅ 2213127x x 23x 2228=-++⨯=--+（）（）。

∵302
<-， ∴当1x=2
时，△APC 的面积取得最大值，最大值为278。

2，〔2021湖北黄冈14分〕【分析】〔1〕将点〔2，2〕的坐标代入抛物线解析式，即可求得m 的值。

〔2〕求出B 、C 、E 点的坐标，从而求得△BCE 的面积。

〔3〕根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B 、C 关于对称轴x=1对称，连接EC 与对称轴的交点即为所求的H 点。

〔4〕分两种情况进行讨论：①当△BEC ∽△BCF 时，如下图，此时可求得22+2。

②当△BEC ∽△FCB 时，如下图，此时得到矛盾
的等式，故此种情形不存在。

解：〔1〕∵抛物线C 1过点M(2，2)，∴()1222(2m)m =-+-，解得m=4。

〔2〕由〔1〕得()1y x 2(x 4)4=-+-。

令x=0，得y 2=。

∴E 〔0，2〕，OE=2。

令
y=0，得()10x 2(x 4)4=-+-，解得x 1=－2，x=4。

∴B 〔－2，，0〕，C 〔4，0〕，BC=6。

∴△BCE 的面积=16262⨯⨯=。

〔3〕由〔2〕可得()1
y x 2(x 4)4=-
+-的对称轴为
x=1。

连接CE ，交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时
BH+EH 最小。

设直线CE 的解析式为y kx+b =，那么
4k+b=0b=2⎧⎨⎩，解得1k=2b=2
⎧-⎪⎨⎪
⎩。

∴直线CE 的解析式为
1y x+22=-。

当x=1时，3y 2= ∴H 〔1，32
〕。

〔4〕存在。

分两种情形讨论： ①当△BEC ∽△BCF 时，如下图。

那么BE BC BC BF =，∴BC 2=BE•BF 。

由〔2〕知B 〔－2，0〕，E 〔0，2〕，即OB=OE ，∴∠EBC=45°，
∴∠CBF=45°。

作FT ⊥x 轴于点F ，那么BT=TF 。

∴令F 〔x ，－x －2〕〔x ＞0〕， 又点F 在抛物线上，∴－x －2=()1
x 2(x m)m
-+-，
∵x+2＞0〔∵x ＞0〕，∴x=2m ，F 〔2m ，－2m －2〕。

此时22BF (2m 2)(2m 2)22m 1BE 22BC m 2=
++--=+==+（），，，
又BC 2=BE•BF ，∴〔m+2〕2=
22 •22m 1+（），解得m=2±22。

∵m ＞0，∴m=22+2。

②当
△BEC ∽△FCB 时，如下图。

那么BC EC BF BC
=，∴BC 2=EC•BF 。

同①，∵∠EBC=∠CFB ，
△BTF ∽△COE ∴TF OE 2 BT OC m
==。

∴令F 〔x ，－2 m 〔x+2〕〕〔x ＞0〕，又点F 在抛物线上，∴－2
m 〔x+2〕
=()1x 2(x m)m -+-。

∵x+2＞0〔∵x ＞0〕，∴x=m+2。

∴F 〔m+2，－2 m 〔m+4〕〕，2EC m 4=
+，
BC=m+2。

又BC 2=EC•BF ，∴〔m+2〕2=
()()
2
222
4m+4m 4m+2+2+
m
+⋅
.整理得：
0=16，显然不成立。

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似，m=22+2。

3，〔2021湖南郴州10分〕,
【分析】〔1〕抛物线上三点A 、B 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式
b
x 2a
=-
求出对称轴。

〔2〕如图1所示，连接AC ，那么AC 与对称轴的交点即为所求之M 点；点A 、C
的坐标，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而求出点M 的坐标。

〔3〕根据梯形定义确定点P ，如图2所示：①假设BC ∥AP 1，确定梯形ABCP 1．此时P 1为抛物线与x 轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P 1的坐标；②假设AB ∥CP 2，确定梯形ABCP 2．此时P 2位于第四象限，先确定CP 2与x 轴交点N 的坐标，然后求出直线CN 的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P 2的坐标。

解：〔1〕∵抛物线2
y ax
bx c =++经过A 〔4，0〕
，B 〔2，3〕，C 〔0，3〕三点， ∴ 16a 4b c 04a 2b c 3 c 3
++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩
，解得3
a 8
3b 4c 3⎧
=-
⎪⎪⎪
=⎨⎪
=⎪⎪⎩。

∴抛物线的解析式为：233
y x x 384
=-
++， 其对称轴为：b
x 12a
=-
=。

〔2〕由B 〔2，3〕，C 〔0，3〕，且对称轴为x=1，可知点B 、C 是关于对称轴x=1的对称点。

如图1所示，连接AC ，交对称轴x=1于点M ，连接MB ，那么MA ＋MB=MA ＋MC=AC ，根据两点之间线段最短可知此时MA ＋MB 的值最小。

设直线AC 的解析式为y=kx ＋b ，∵A 〔4，0〕，C 〔0，3〕，
∴ 4k b 0 b 3
+=⎧⎨
=⎩ ，解得3k 4b 3⎧=-⎪⎨
⎪=⎩。

∴直线AC 的解析式为：y=34
-x ＋3。

令x=1，得y=
94 。

∴M 点坐标为〔1，94
〕。

〔3〕结论：存在。

如图2所示，在抛物线上有两个点P 满足题意：①假设BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1。

由B 〔2，3〕，C 〔0，3〕，可知BC ∥x 轴，那么x 轴与抛物线的另一个交点P 1即为所求。

在233y x x 38
4
=-++中令y=0，解得x 1=-2，x 2=4。

∴P 1〔－2，0〕。

∵P 1A=6，BC=2，∴P 1A≠BC 。

∴四边形ABCP 1为梯形。

②假设AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2。

设CP 2与x 轴交于点N ，∵BC ∥x 轴，AB ∥CP 2，∴四边形ABCN 为平行四边形。

∴AN=BC=2。

∴N 〔2，0〕。

设直线CN 的解析式为y=k 1x+b 1，那么有： 1112k b 0b 3
+=⎧⎨
=⎩，解得3k 2b 3
⎧=-⎪⎨
⎪=⎩。

∴直线CN 的解析式为：y=3
2
-
x+3。

∵点P 2既在直线CN ：y=32-
x+3上，又在抛物线：233
y x x 384
=-++上，∴
32-x+3=233
x x 384
-++，化简得：x 2－6x=0，解得x 1=0〔舍去〕
，x 2=6。

∴点P 2横坐标为6，代入直线CN 解析式求得纵坐标为－6。

∴P 2〔6，－6〕。

∵ABCN ，∴AB=CN ，而
CP 2≠CN ，∴CP 2≠AB 。

∴四边形ABCP 2为梯形。

综上所述，在抛物线上存在点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P 的坐标为〔－2，0〕或〔6，－6〕。

4，〔2021四川自贡14分〕,
【分析】〔1〕根据翻折变换的性质，求得A 1和B 1的坐标，用待定系数法即可求得抛物线l 1的解析式，〔2〕根据三角形两边之差小于第三边的性质即可知，B 1C 的延长线与对称轴x=1的交点P ，即为所求。

求出B 1C 的解析式即可求得点P 的坐标。

〔3〕设圆心为D ，半径为r ，根
据直线与圆相切的性质知D 〔1，r 〕，F 〔1+r ，r 〕。

由于点F 在抛物线l 1上，代入即可求得r 。

分圆位于x 轴上方和下方两种情况讨论即可。

解：〔1〕如图1，设经翻折后，点A ．B 的对应点分别为A 1、B 1，依题意，由翻折变换的性质可知 A 1〔3，0〕，B 1〔﹣1，0〕，C 点坐标不变，∴抛物线l 1经过A 1〔3，0〕，B 1〔﹣1，0〕，C 〔0，﹣3〕三点，设抛物线l 1的解析式为y=ax 2+bx+c ，那么
9a+3b+c=0a b+c=0c=3⎧⎪-⎨⎪-⎩，解得a=1b=2c=3⎧⎪-⎨⎪-⎩。

∴抛物线l 1的解析式为：y=x 2﹣2x ﹣3。

〔2〕抛物线l 1的对称轴为：x=b 2
==12a 2
--
-，如图2，连接B 1C 并延长，与对称轴x=1交于点P ，那么点P 即为所求。

此时，|PA 1﹣PC|=|PB 1﹣PC|=B 1C 。

设P′为对称轴x=1上不同于点P 的任意一点，那么有：|P′A ﹣P′C|=|P′B 1﹣P′C|＜B 1C 〔三角形两边之差小于第三边〕，∴|P′A ﹣P′C|＜|PA 1﹣PC|，即|PA 1﹣PC|最大。

设直线B 1C 的解析式为y=kx+b ，那么
k+b=0
b=3-⎧⎨
-⎩
，解得k=b=﹣3。

∴直线B 1C 的解析式为：y=﹣3x ﹣3。

令x=1，得y=﹣6。

∴P 〔1，﹣6〕。

〔3〕依题意画出图形，如图3，有两种情况：
①当圆位于x 轴上方时，设圆心为D ，半径为r ，由抛物线及圆的对称性可知，点D 位于对称轴x=1上，那么D 〔1，r 〕，F 〔1+r ，r 〕。

∵点F 〔1+r ，r 〕在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3上，
∴r=〔1+r 〕2﹣2〔1+r 〕﹣3，化简得：r 2﹣r ﹣4=0
解得r 1=
1+172，r 2=1172-〔舍去〕。

∴此圆的半径为1+17
2
； ②当圆位于x 轴上方时，同理可求得圆的半径为1+17
2
-。

综上所述，此圆的半径为1+172或1+17
2
-。