2020年高考数学一轮复习人教班理科数学课件第四章 第一节 平面向量的线性运算与基本定理

思考1：|a－b|≤|a|＋|b|中等号何时成立？ 提示：当a与b方向相反时，等号成立． 思考2：|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)的几何意义是什么？
提示：当a与b不共线时，几何意义是平行四边形中两邻边长的平 方和的2倍等于两对角线长的平方和．
[拓展]
向量线性运算的常用结论：
1 → → → )；(2)O为△ (1)在△ABC中，若D是BC的中点，则 AD ＝ ( AC ＋ AB 2 → ＋ OB → ＋ OC → ＝0,；(3)四边形ABCD中，若E ABC的重心的充要条件是 OA → ＋DC → ＝2EF →. 为AD的中点，F为BC的中点，则AB
知识点2
向量的线性运算 加法 减法 a ＋ (－ b ) ＝ a－ b 数乘 实数λ与向量a的积是一个 ____________ 向量 ，记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a|
求两个向 定义 量和的运 算
法则(或几 何意义)
Hale Waihona Puke (2)方向：当λ＞0时，λa与a方向
相同 ____________ ；当λ＜0时，λa与a方 相反 向____________ ；当λ＝0时，λa＝0
解析：选A.如图所示， → ＝AC → －AB →. 在△ABC中，BC → ＝3CD → ，∴CD → ＝1BC → ＝1AC → －1AB → ，∴AD → ＝AC → ＋CD → ＝－1 又∵BC 3 3 3 3 4→ → AB＋ AC. 3
4．(知识点3)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共 m 线，则 n ＝________. ⇐ 源自必修四P119A组T9
思考2：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b的充要条件是什 么？
提示：a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
四基精演练 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.(× )
→ 与向量CD → 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线 (2)向量AB 上．( × ) (3)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立．(√ 1 → → → (4)△ABC 中，D 是 BC 的中点，则AD＝ (AC＋AB)．( √ 2 ) )
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(x1－x2，y1－y2) ， (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝__________________ a＋b＝________________
2 (λx1，λy1) ，|a|＝ x1 λa＝____________ ＋y2 1.
知识点3
向量共线定理
向量a(a≠0,)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 思考1：共线向量定理中为什么规定a≠0,?
提示：若不规定a≠0,，则λ可能不存在，也可能有无数个． 思考2：a与b共线(a∥b)的充要条件是什么？ 提示：a∥b⇔∃不全为零的x，y∈R，使xa＋yb＝0.
知识点4
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． → ＝______________ (x2－x1，y2－y1) → |＝ ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ，| AB x2－x12＋y2－y12. 思考1：若a＝b，则a与b坐标相同，对吗？
提示：对，向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只 与其相对位置有关．
(5)若a，b是非零向量且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝ μ2.( × ) x1 (6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成 ＝ x2 y1 .( × ) y2
→ ＝(－4，－3)，则向量 2．(知识点5)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC → ＝( BC A ) ⇐ 源自必修四P101A组T7 B．(7,4) D．(1,4)
解析：由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)， 得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由ma＋nb与a－2b共线， 2m－n 3m＋2n m 1 得 ＝ ，所以 n ＝－ . 4 2 －1
1 答案：－ 2
→ 与a＝(2,3)同向，| AB → |＝ 5．(知识点5)已知点A(1，－2)，若向量 AB 2 13，则点B的坐标为________． ⇐ 源自必修四P101练习T6
→ ＝(x－1，y＋2)， 解析：设点B的坐标为(x，y)，则AB x－1 y＋2 → 因为向量AB与a＝(2,3)同向，所以 ＝ ＞0，① 2 3 → |＝2 13， 因为|AB 所以(x－1)2＋(y＋2)2＝52，②
第一节
平面向量的线性运算与基本定理
教材细梳理 知识点1 平面向量的有关概念
向量 在数学中，把既有大小，又有方向的量叫做____________ ，把只
有大小，没有方向的量称为数量．
思考1：两个不同的向量能比较大小吗？ 提示：不能，但向量的模可以比较大小． 思考2：单位向量都为相等向量，对吗？ 提示：不对，两向量相等，不仅长度相等，而且方向相同．
平面向量基本定理
同一平面内 的两个不共线向量且不是 (1)基底e1，e2满足：必须是____________
零向量． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一，如a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋ λ1＝μ1且λ2＝μ2 μ2e2⇒________________________ .
知识点5
平面向量的坐标运算
A．(－7，－4) C．(－1,4)
→ ＝(3,1)， AC → ＝(－4，－3)， BC → ＝ AC → － AB → ＝(－4， 解析：选A. AB －3)－(3,1)＝(－7，－4)．
→ ＝3CD → ，则( 3．(知识点4)设D为△ABC所在平面内一点，BC A ) ⇐ 源自必修四P92A组T11 → ＝－1AB → ＋4AC → A.AD 3 3 4→ 1→ → C.AD＝ AB＋ AC 3 3 → ＝1AB → －4AC → B．AD 3 3 4→ 1→ → D．AD＝ AB－ AC 3 3