简单几何体的再认识课件-2024届高三数学一轮复习
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(1)分割法：
通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再
相加即得所求几何体体积．
(2)补形法：
通过补形构造出一个规则几何体，然后进行计算．
(3)等体积法：
三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都
可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶
点和底面进行转换，以方便求解．
A.1∶1
B.1∶ 2
C.1∶ 3
D.1∶2
（2）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，
则该棱台的侧面积为（ B ）
A.80
B.240
C.320
D.640
（3）《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺.
问：积几何？答曰：四万六千五百尺”.所谓堑堵，就是两底面为直角三角形的直棱柱，
2π
例4（1）某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为 的扇形，
3
则此圆锥的母线长为
3
，体积为
2 2π
3
.
<3> 台体（圆台、棱台）的体积
例5 圆台的母线长为12 cm，上、下底面的面积分别为4π cm2和25π cm2.
（1）求此圆台的体积；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.
<3> 台体（圆台、棱台）的体积
B.3倍
C.4倍
D.5倍
（4）圆台的上、下底面中心分别为1，2，过直线12的截面是上、下
底边长分别为2和4，且高为 3的等腰梯形，则该圆台的侧面积为（ C ）
A.3π
B.3 3π
C.6π
D.6 3π
（5）在Rt△ 中，∠＝90°，＝3，＝4，以所在直线为轴
旋转一周，所得几何体的表面积等于（
圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为
.
（2）直角梯形中，∥， ⊥ ，＝3 cm ，＝1 cm，
＝2 cm.将此直角梯形绕边所在的直线旋转一周，由此形成的几何
体的体积为
cm3.
四 组合体的表面积与体积
例6
（1）在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的
则剩余部分几何体的表面积为（ C ）
A.8π+6+6 2
B.6π+6+6 2
C.8π+4+6 2
D.6π+4+6 2
在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 4 cm，母线长最短 5 cm，最长 8 cm，
3
则斜截圆柱的体积 V＝________cm
.
26π
不规则立体图形：分割+补形
在多面体 ABCDEF 中，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ADE，
上底面扩大
上底面缩小为一个点
顶点拓展
二 柱、锥、台的体积
<1> 柱体（圆柱、棱柱）的体积
例3
(1) 在正三棱柱Leabharlann − 111中，为棱1的中点，若△ 1
是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为
.
(2) 若圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则圆柱的体积是（
2
A.
π
4
B.
π
8
5
.
5
4
3
4
3
四棱锥 − 的底面为平行四边形，＝2，
若三棱锥 − 的体积为1，三棱锥 −
1
A.
2
1
B.
3
1
C.
4
1
的体积为2，则 =(
2
1
D.
6
B)
对棱相等模型
四面体A-BCD中,AB=CD= ,BC=AD= ,,BD=AC=5，
求其体积.
【特征：相对的棱长相等】
对棱相等模型的外接球半径=长方体的外接球半径
如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，
且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5. 求此几何体的体积.
解
方法一
如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”
把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
若过直线12的平面截该圆柱所得的截面是正方形，则12＝（ B ）
A.2 3
B.2 2
C. 3
D. 2
（2）若圆锥的表面积为3π，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（ C ）
A.1
B. 2
C. 3
D.2
（3）若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的表面积是
底面积的（ C ）
A.2倍
13
cm.
跟踪训练 如图所示，已知长方体 − ′′′′的棱长′＝5，＝3，＝4，
一只蚂蚁从长方体的顶点′出发，沿长方体表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路
程的长为
74
.
组合体的表面积与体积
在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱，如图所示，已知实心圆柱底面
直径为2，高为3，内接直三棱柱的底面为斜边长是2的等腰直角三角形，
其中为棱柱、棱锥的底面周长，1，2分别为棱台的上、下底面周长，
ℎ为棱柱的高，ℎ′为棱锥、棱台的斜高.
一
柱、锥、台的侧面积与表面积
<1> 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
例1 （1）如图，在正方体 − 1111中，三棱锥 − 的表面积与
正方体的表面积的比为（ C ）
则四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的体积为( A )
A．12
B．8
C．20
D．18
现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面
积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)．
2:5
设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S2，则S2:S1=__________．
求体积的几种转化方法
柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱的底面为斜边长是2的等腰直角三
角形，则剩余部分几何体的表面积为（ C ）
A.8π+6+6 2
B.6π+6+6 2
C.8π+4+6 2
D.6π+4+6 2
五
例7
简单几何体侧面上的最短距离问题
已知正三棱柱的底面边长为2 cm，高为5 cm.一质点从点A出发，
沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达点A1的最短路线的长为
由若干个三角形构成
S＝S底＋S侧
1
V＝ S 底·h
3
扇形
S＝πr2＋πrl
1 2
V＝ πr ·h
3
S＝4πr2
4 3
V＝ πr
3
棱锥
圆锥
球
<2> 锥体（圆锥、棱锥）的体积
2π
例4（1）某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为 的扇形，
3
则此圆锥的母线长为
，体积为
.
<2> 锥体（圆锥、棱锥）的体积
C.
π
4 8
D. 或
π π
）
二 柱、锥、台的体积
<1> 柱体（圆柱、棱柱）的体积
例3
(1) 在正三棱柱 − 111中，为棱1的中点，若△ 1
是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为
.
(2) 若圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则圆柱的体积是（ D ）
2
A.
π
4
例5 圆台的母线长为12 cm，上、下底面的面积分别为4π cm2和25π cm2.
（1）求此圆台的体积；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长. ＝20
圆台＝ （上+
＝ （4π+
上 · 下 +下）
· +25π）·
＝ π（cm3）.
跟踪训练
三棱柱 − 111中，，分别是，的中点，平面
简单几何体的再认识
1.柱、锥、台的面积（侧面积 表面积)
2.柱、锥、台的体积
3.球的表面积与体积
4.内切球 外接球问题
新知学习
一 柱、锥、台的侧面展开与面积
1.圆柱、圆锥、圆台
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图依次是矩形、扇形、扇环，如图.
新知学习
一 柱、锥、台的侧面展开与面积
1.圆柱、圆锥、圆台
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图依次是矩形、扇形、扇环，如图.
A.24π
B.12π
4
3
）
A
33π
27π
C.
D.
2
2
§6 简单几何体的再认识
1.柱、锥、台的面积（侧面积 表面积)
2.柱、锥、台的体积
3.球的表面积与体积
4.内切球 外接球问题
二 柱、锥、台的体积
柱体 ＝.
其中为柱体的底面积，为柱体的高.
1.棱柱和圆柱
2.棱锥和圆锥
锥体 ＝ .
△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( A )
4
C.
3
3
B.
3
2
A.
3
2
1
1
3
D.
2
在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E 是棱 BB1
的中点，点 F 是棱 CC1 上靠近 C1 的三等分点，且三棱锥 A1－AEF 的体积为 2，
圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为 96+6π .
（2）直角梯形中，∥， ⊥ ，＝3 cm ，＝1 cm，
＝2 cm.将此直角梯形绕边所在的直线旋转一周，由此形成的几何
体的体积为
cm3.
（3）在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱，如图所示，已知实心圆
则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥.
1
由题知三棱柱 ABC－NDM 的体积为 V1＝2×8×6×3＝72.
1
四棱锥 D－MNEF 的体积为 V2＝3×S 梯形 MNEF×DN
1 1
＝3×2×(1＋2)×6×8＝24，
则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
方法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′
圆柱侧 ＝
圆锥侧 ＝
圆台侧 ＝（ + ）
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别如图.
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别如图.
直棱柱侧 ＝，正棱锥侧 ＝ ′，正棱台侧 ＝ （
+ ）′.
如图所示的几何体是一个堑堵，＝＝4，1＝5，是11的中点，过，，
的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（ B ）
B.25+15 2+3 29
A.40
C.50
4
4
4
5
D.30+20 2+3 29
4
5
N
<2>圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
例2
（1）已知表面积为12π的圆柱的上、下底面的中心分别为 1，2 ，
＝8，
1
1
1
所以 V 几何体＝2V 三棱柱＝2×S△ABC×AA′＝2×24×8＝96.
其中为锥体的底面积，为锥体的高.
3.棱台和圆台
台体 ＝ （上
+ 下 + 上 · 下 ）.
其中上，下分别为台体的上、下底面积，为台体的高.
棱柱、棱锥、棱台的底面发生变化时，能互相转化.
圆柱、圆锥、圆台同理.
台体
柱体
锥体
上底面缩小
上底面缩小为一个点
上底面扩大
顶点拓展
上底面缩小
11将三棱柱分成体积为1，2的两部分，则1: 2＝
N
.
四棱锥 − 的底面为平行四边形，＝2，
若三棱锥 − 的体积为1，三棱锥 −
1
A.
2
1
B.
3
1
C.
4
1
的体积为2，则 =(
2
1
D.
6
B )
四 组合体的表面积与体积
例6
（1）在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的
B.
π
8
C.
π
4 8
D. 或
π π
<2> 锥体（圆锥、棱锥）的体积
2π
例4（1）某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为 的扇形，
3
则此圆锥的母线长为
，体积为
.
柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
体积
直棱柱
长方形
S＝2S底＋S侧
V＝S底·h
圆柱
长方形
S＝2πr2＋2πrl
V＝πr2·l
简单几何体侧面上的最短距离问题
已知正三棱柱的底面边长为2 cm，高为5 cm.一质点从点A出发，
沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达点A1的最短路线的长为
13
cm.
已知长方体 − ′′′′的棱长′＝5，＝3，＝4，
一只蚂蚁从长方体的顶点出发，沿长方体表面爬行到点′，
则蚂蚁爬行的最短路程的长为
通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再
相加即得所求几何体体积．
(2)补形法：
通过补形构造出一个规则几何体，然后进行计算．
(3)等体积法：
三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都
可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶
点和底面进行转换，以方便求解．
A.1∶1
B.1∶ 2
C.1∶ 3
D.1∶2
（2）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，
则该棱台的侧面积为（ B ）
A.80
B.240
C.320
D.640
（3）《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺.
问：积几何？答曰：四万六千五百尺”.所谓堑堵，就是两底面为直角三角形的直棱柱，
2π
例4（1）某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为 的扇形，
3
则此圆锥的母线长为
3
，体积为
2 2π
3
.
<3> 台体（圆台、棱台）的体积
例5 圆台的母线长为12 cm，上、下底面的面积分别为4π cm2和25π cm2.
（1）求此圆台的体积；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.
<3> 台体（圆台、棱台）的体积
B.3倍
C.4倍
D.5倍
（4）圆台的上、下底面中心分别为1，2，过直线12的截面是上、下
底边长分别为2和4，且高为 3的等腰梯形，则该圆台的侧面积为（ C ）
A.3π
B.3 3π
C.6π
D.6 3π
（5）在Rt△ 中，∠＝90°，＝3，＝4，以所在直线为轴
旋转一周，所得几何体的表面积等于（
圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为
.
（2）直角梯形中，∥， ⊥ ，＝3 cm ，＝1 cm，
＝2 cm.将此直角梯形绕边所在的直线旋转一周，由此形成的几何
体的体积为
cm3.
四 组合体的表面积与体积
例6
（1）在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的
则剩余部分几何体的表面积为（ C ）
A.8π+6+6 2
B.6π+6+6 2
C.8π+4+6 2
D.6π+4+6 2
在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 4 cm，母线长最短 5 cm，最长 8 cm，
3
则斜截圆柱的体积 V＝________cm
.
26π
不规则立体图形：分割+补形
在多面体 ABCDEF 中，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ADE，
上底面扩大
上底面缩小为一个点
顶点拓展
二 柱、锥、台的体积
<1> 柱体（圆柱、棱柱）的体积
例3
(1) 在正三棱柱Leabharlann − 111中，为棱1的中点，若△ 1
是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为
.
(2) 若圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则圆柱的体积是（
2
A.
π
4
B.
π
8
5
.
5
4
3
4
3
四棱锥 − 的底面为平行四边形，＝2，
若三棱锥 − 的体积为1，三棱锥 −
1
A.
2
1
B.
3
1
C.
4
1
的体积为2，则 =(
2
1
D.
6
B)
对棱相等模型
四面体A-BCD中,AB=CD= ,BC=AD= ,,BD=AC=5，
求其体积.
【特征：相对的棱长相等】
对棱相等模型的外接球半径=长方体的外接球半径
如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，
且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5. 求此几何体的体积.
解
方法一
如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”
把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
若过直线12的平面截该圆柱所得的截面是正方形，则12＝（ B ）
A.2 3
B.2 2
C. 3
D. 2
（2）若圆锥的表面积为3π，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（ C ）
A.1
B. 2
C. 3
D.2
（3）若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的表面积是
底面积的（ C ）
A.2倍
13
cm.
跟踪训练 如图所示，已知长方体 − ′′′′的棱长′＝5，＝3，＝4，
一只蚂蚁从长方体的顶点′出发，沿长方体表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路
程的长为
74
.
组合体的表面积与体积
在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱，如图所示，已知实心圆柱底面
直径为2，高为3，内接直三棱柱的底面为斜边长是2的等腰直角三角形，
其中为棱柱、棱锥的底面周长，1，2分别为棱台的上、下底面周长，
ℎ为棱柱的高，ℎ′为棱锥、棱台的斜高.
一
柱、锥、台的侧面积与表面积
<1> 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
例1 （1）如图，在正方体 − 1111中，三棱锥 − 的表面积与
正方体的表面积的比为（ C ）
则四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的体积为( A )
A．12
B．8
C．20
D．18
现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面
积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)．
2:5
设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S2，则S2:S1=__________．
求体积的几种转化方法
柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱的底面为斜边长是2的等腰直角三
角形，则剩余部分几何体的表面积为（ C ）
A.8π+6+6 2
B.6π+6+6 2
C.8π+4+6 2
D.6π+4+6 2
五
例7
简单几何体侧面上的最短距离问题
已知正三棱柱的底面边长为2 cm，高为5 cm.一质点从点A出发，
沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达点A1的最短路线的长为
由若干个三角形构成
S＝S底＋S侧
1
V＝ S 底·h
3
扇形
S＝πr2＋πrl
1 2
V＝ πr ·h
3
S＝4πr2
4 3
V＝ πr
3
棱锥
圆锥
球
<2> 锥体（圆锥、棱锥）的体积
2π
例4（1）某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为 的扇形，
3
则此圆锥的母线长为
，体积为
.
<2> 锥体（圆锥、棱锥）的体积
C.
π
4 8
D. 或
π π
）
二 柱、锥、台的体积
<1> 柱体（圆柱、棱柱）的体积
例3
(1) 在正三棱柱 − 111中，为棱1的中点，若△ 1
是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为
.
(2) 若圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则圆柱的体积是（ D ）
2
A.
π
4
例5 圆台的母线长为12 cm，上、下底面的面积分别为4π cm2和25π cm2.
（1）求此圆台的体积；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长. ＝20
圆台＝ （上+
＝ （4π+
上 · 下 +下）
· +25π）·
＝ π（cm3）.
跟踪训练
三棱柱 − 111中，，分别是，的中点，平面
简单几何体的再认识
1.柱、锥、台的面积（侧面积 表面积)
2.柱、锥、台的体积
3.球的表面积与体积
4.内切球 外接球问题
新知学习
一 柱、锥、台的侧面展开与面积
1.圆柱、圆锥、圆台
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图依次是矩形、扇形、扇环，如图.
新知学习
一 柱、锥、台的侧面展开与面积
1.圆柱、圆锥、圆台
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图依次是矩形、扇形、扇环，如图.
A.24π
B.12π
4
3
）
A
33π
27π
C.
D.
2
2
§6 简单几何体的再认识
1.柱、锥、台的面积（侧面积 表面积)
2.柱、锥、台的体积
3.球的表面积与体积
4.内切球 外接球问题
二 柱、锥、台的体积
柱体 ＝.
其中为柱体的底面积，为柱体的高.
1.棱柱和圆柱
2.棱锥和圆锥
锥体 ＝ .
△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( A )
4
C.
3
3
B.
3
2
A.
3
2
1
1
3
D.
2
在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E 是棱 BB1
的中点，点 F 是棱 CC1 上靠近 C1 的三等分点，且三棱锥 A1－AEF 的体积为 2，
圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为 96+6π .
（2）直角梯形中，∥， ⊥ ，＝3 cm ，＝1 cm，
＝2 cm.将此直角梯形绕边所在的直线旋转一周，由此形成的几何
体的体积为
cm3.
（3）在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱，如图所示，已知实心圆
则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥.
1
由题知三棱柱 ABC－NDM 的体积为 V1＝2×8×6×3＝72.
1
四棱锥 D－MNEF 的体积为 V2＝3×S 梯形 MNEF×DN
1 1
＝3×2×(1＋2)×6×8＝24，
则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
方法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′
圆柱侧 ＝
圆锥侧 ＝
圆台侧 ＝（ + ）
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别如图.
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别如图.
直棱柱侧 ＝，正棱锥侧 ＝ ′，正棱台侧 ＝ （
+ ）′.
如图所示的几何体是一个堑堵，＝＝4，1＝5，是11的中点，过，，
的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（ B ）
B.25+15 2+3 29
A.40
C.50
4
4
4
5
D.30+20 2+3 29
4
5
N
<2>圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
例2
（1）已知表面积为12π的圆柱的上、下底面的中心分别为 1，2 ，
＝8，
1
1
1
所以 V 几何体＝2V 三棱柱＝2×S△ABC×AA′＝2×24×8＝96.
其中为锥体的底面积，为锥体的高.
3.棱台和圆台
台体 ＝ （上
+ 下 + 上 · 下 ）.
其中上，下分别为台体的上、下底面积，为台体的高.
棱柱、棱锥、棱台的底面发生变化时，能互相转化.
圆柱、圆锥、圆台同理.
台体
柱体
锥体
上底面缩小
上底面缩小为一个点
上底面扩大
顶点拓展
上底面缩小
11将三棱柱分成体积为1，2的两部分，则1: 2＝
N
.
四棱锥 − 的底面为平行四边形，＝2，
若三棱锥 − 的体积为1，三棱锥 −
1
A.
2
1
B.
3
1
C.
4
1
的体积为2，则 =(
2
1
D.
6
B )
四 组合体的表面积与体积
例6
（1）在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的
B.
π
8
C.
π
4 8
D. 或
π π
<2> 锥体（圆锥、棱锥）的体积
2π
例4（1）某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为 的扇形，
3
则此圆锥的母线长为
，体积为
.
柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
体积
直棱柱
长方形
S＝2S底＋S侧
V＝S底·h
圆柱
长方形
S＝2πr2＋2πrl
V＝πr2·l
简单几何体侧面上的最短距离问题
已知正三棱柱的底面边长为2 cm，高为5 cm.一质点从点A出发，
沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达点A1的最短路线的长为
13
cm.
已知长方体 − ′′′′的棱长′＝5，＝3，＝4，
一只蚂蚁从长方体的顶点出发，沿长方体表面爬行到点′，
则蚂蚁爬行的最短路程的长为