GeoGebra 数学绘图教室(3) 函数及方程式_详全文

GeoGebra 数学绘图教室(3) 函数及方程式
台北县立锦和高中 陈禾凯
与GSP 比较起来，GeoGebra 多了输入字段，直接输入函数或方程式便立即可看到其对应图形，真是方便极了，也可如同实验一般，试着改变函数的某个参数来观察对应图形的变化，若能配合数值滑杆或其他指令，便能创造出更多的图形.。

一．直线方程式y=mx+k
(1)设定两个数值滑杆，名称分别为m,k
(2)输入y=m*x+k (或y=m x+k 注意m k 之间空一格表示相乘) (3)以鼠标分别拉动滑杆m, k 观察图形的变化
二．参数式
虽然直接在输入字段输入函数关系就立即可看到图形，但以参数式形式输入更能体会到函数中自变量及应变量的关系。

甲.以13)(3+-=x x x f 为例
(1)在X 轴上任取一点A (2)输入t=x(A)
(3)输入 P=(t, t^3-3t-1) 在绘图区会显示P 点
将光标移至P 点，然后按鼠标右键，点选 显示移动踪迹 (5)拉动X 轴上A 点，观察P 点轨迹的变化
乙.利用Curve 指令来输入圆锥曲线的参数式
以椭圆为例 1492
2=+y x 的参数式为⎩⎨⎧<≤==π20sin 2cos 3t t
y t x 设定两个角度滑杆名称分别为α,β数值最小０，最大2pi
输入Curve[3cos(t),2sin(t),t,α,β] 调整滑杆α,β 的大小，即可看到以α,β为范围的椭圆弧线。

三．Sequence 指令的应用
(1)在某个区间内把 X 轴的取样点从少变多,再画出 (x, f(x)) 的描点图,
如此让学生对于函数图形有更深刻的印象 以)sin()(x x f =为例
设定数值滑杆t 最小:0 最大:40, 增量:1 输入Sequence[(a, sin(a)), a, -2pi, 2pi, 2pi / t] 再拉动滑杆观察图形的变化
(2)若想把上例所出现的取样点由左而右依序出现，再加上两个步骤： 新增数值滑杆n ，最小0，最大50，增量1，并将sequence 改为
Sequence[(a, sin(a)), a, -2pi, -2pi+4pi *n/50, 2pi /t]，当拉动滑杆n 时，函数图形由左而右一点一点描绘出来。

四．对数函数及指数函数的图形
GeoGebra 的对数函数符号和国内目前所使用的有所差异，如下表：
在GeoGebra 之中若输入y=log(x) 是代表的是自然对数，而常用对数是输
入 y=lg(x) ，若底数为其他正数则要用换底公式a b
b c c a log log log =，即输入
y=log(x)/log(2) 来表示 x y 2log =
(1) 画出x x a
a a y a y x y x y )1
(,,log ,log 1====四个函数图
把这四个函数画在一起，前两个对称于Ｘ轴，后两个对称于Ｙ轴，又
第一个和第三个以及第二个和第四个有反函数关系，两两对称于y=x 。

绘图步骤
设定数值滑杆a 最小:0.01 最大:10, 增量:0.01 输入y=log(x)/log(a) 输入y=log(x)/log(1/a) 输入y=a^x
输入y=(1/a)^x
利用在y=log(x)/log(a)上画出一点A ，再用对称钮找出在另三
个图形上的点A’,A’’,A’1，拉动滑杆看看图形的变化
(2)观察 y=log a (x) 及y=a x 两图形交点的个数
一般人很容易以纸笔手动方式画出此二函数交于两点及一点的图形，但要画出交于三点的情形则远超出人类描绘的能力，在GeoGebra 中可用数值滑杆来设定底数a 的范围以方便观察此二函数相交情形。

五．利撒求(Lissajous)图形
这是由两个振动所形成的二维图形，每
个振动均为一个正弦波所代表的简谐
运动，即⎩⎨⎧+=+=)sin()
sin(2211φφt w b y t w a x 的轨迹图形
其中a,b 表振幅，w 1,w 2表角速度， φ1, φ2代表相差，t 为时间
绘图步骤
首先设定６个数值滑杆，名称分别为a,b,w_1,w_2,Φ_1,Φ_2 作线段BC （长度适当即可） ,在上任取一点Ｄ 输入t=6 pi *Distance[B, D] / Distance[B, C] (以D 在BC 上的位置来表示0-6π间的数字，范围可根据需要而自行调整) 输入 A=(a*sin(w_1*t+Φ_1),b*sin(w_2*t+Φ_2))
单击按钮，点选要显示的轨迹点Ａ，然后再点选控制点Ｐ，即可画出Lissajous 图形。

Lissajous 图形变化多端，可先从简单的图形开始观察。

以下为21w w =,7,...,2,1,4
,021=-=
=k k π
φφ的情形，
图形为圆、椭圆及线段。

数据源：/wiki/Lissajous_curve
当w ２=2 w 1 时，以w 1=3, w ２=6为例，固定01=φ而变动2φ到接近
57.12
≈π
，
图形的左右两扇区域逐渐缩小，形成抛物线，这可由以下算式看出来
⎪⎩
⎪⎨⎧+==)22sin(sin πθθb y a x
)sin 21(2cos 2
θθ-==⇒b b y )21(22
x b y -=⇒
接着可观察21w w ≠的情形，可设定滑杆w 1最小０，最大12，增量为2，滑杆w ２最小1，最大13，增量为2，0==φφ。

w 1=1, w ２=2
w 1=3, w ２=2
w 1=3, w ２=4
w 1=5, w ２=2
w 1w 1=5, w ２=6
经由以上的观察可以发现Lissajous 的图形为限制在2a×2b 的矩形之中，w 1,w 2皆为整数的情形下曲线不管多复杂，轨迹会重复出现。

六．附录：常用的函数、方程式以及在GeoGebra中的输入形式
圆锥曲线方程式
七、参考数据
1.李政丰、颜贻隆、蔡敏娟、陈明君：函数y=a x与y=log a x的图形交点个数的探索数学传播季刊第28 卷第 4 期
2.左台益、许舜渊、彭建勋、吕凤琳、胡政德、罗骥韡等译:GeoGebra使用说明
3.2
3.Eli Maor着胡守仁译：毛起来说三角天下远见出版
4.麻省理工学院的林肯实验室首页：/
5.维基百科：/wiki/Lissajous_curve。