【配套K12】2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系第2课

[14.1 1. 第2课时勾股定理的验证及简单应用]
一、选择题
1．如图K－38－1，△ABD的面积是( )
A．18 B．30 C．36 D．60
图K－38－1
2．如图K－38－2，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，BC＝2，则AD的长为( )
图K－38－2
A．1 B．2 C. 5 D. 3
3．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )
图K－38－3
4．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
图K－38－4
5．如图K－38－4，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m 处有一建筑物工地B，在A，B之间建一条直水管，则水管的长为( )
A．45 m B．40 m
C．50 m D．56 m
6．如图K－38－5，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于( )
图K－38－5
A．6 B. 6
C. 5 D．4
二、填空题
7．如图K－38－6，为测量某池塘最宽处A，B两点间的距离，在池塘边定一点C，使∠BAC ＝90°，并测得AC的长为18 m，BC的长为30 m，则最宽处A，B两点间的距离为________．
图K－38－6
8．在如图K－38－7所示的图形中，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是________．
图K－38－7
9．如图K－38－8，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
图K－38－8
10．如图K－38－9，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2＝________．
图K－38－9
11．2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图K－38－10①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________.
三、解答题
12．如图K－38－11，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段AD∥BC，且使AD＝BC，连结CD；
(2)线段AC的长为______，CD的长为______，AD的长为________．
图K－38－11
13．在如图K－38－12所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离(单位：mm).
图K－38－12
14．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图K－38－13摆放时，可以用“面积法”来证明a2＋b2＝c2.请你写出证明过程.
15．某市决定在相距10千米的A，B两地之间的E处修建一个土特产加工基地，A，E，B三点在同一条直线上，如图K－38－14所示，有C，D两个农庄，且DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD＝8千米，BC＝2千米，要使C，D两农庄到基地的距离相等，那么基地E 应建在距离A地多远的位置？
图K－38－14
问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国三国时期的数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”用探索飞船带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
定理表述请根据图K－38－15①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．
图K－38－15
尝试证明以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角
梯形(如图②)，请你利用图②验证勾股定理．
知识拓展利用图②中的直角梯形，我们可以证明a ＋b
c
<2，其证明如下： ∵BC ＝a ＋b ，AD ＝________．
又∵在直角梯形ABCD 中，有BC ________AD (填“>”“<”或“＝”)，即______________，
∴
a ＋b
c
＜ 2.
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．B
2．D
3．D
4．[解析] C设旗杆的高度为x m，则绳子的长为(x＋1)m，由勾股定理，得(x＋1)2＝x2＋52，
解得x＝12.
5．[解析] B由题意知∠AOB＝90°，由勾股定理得AB＝OA2＋OB2＝322＋242＝40(m)．6．
[解析] B∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴由勾股定理，得AD＝AB2－BD2＝32－22＝ 5.
又∵DC＝1，
∴AC＝DC2＋AD2＝ 6.
7．24 m
8．[答案] 49 cm2
[解析] 如图，∵a2＋b2＝x2，c2＋d2＝y2，
∴a2＋b2＋c2＋d2＝x2＋y2＝72＝49(cm2).
9．4 10． 12.5π
11．10 [解析] 设直角三角形的勾(较短的直角边)为a ，股(较长的直角边)为b.
根据题意，得⎩
⎪⎨⎪
⎧a ＋b ＝14，b －a ＝2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝6，
b ＝8.
由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为62
＋82
＝100＝10， 即正方形EFGH 的边长为10.
12．[解析] (1)根据AD ＝BC 和AD∥BC 即可确定点D ；(2)把AC ，CD ，AD 放在网格中的直角三角形中，用勾股定理分别求出AC ，CD ，AD 的长．
解：(1)如图．
(2)20
5 5
13．解：根据图中的数据得AC ＝90－40＝50(mm )，BC ＝160－40＝120(mm )，根据勾股定理，得AB ＝502
＋1202
＝130(mm )．
即两孔中心A 和B 的距离为130 mm .
14．证明：如图，∵S 五边形＝S 左边梯形＋S 右边梯形＝S 大正方形＋2S 直角三角形， ∴12(b ＋a ＋b)·b＋12(a ＋a ＋b)·a＝c 2
＋2×12ab ，
即1
2
ab＋b2＋a2＋
1
2
ab＝c2＋ab，
∴a2＋b2＝c2.
15．解：∵C，D两农庄到基地E的距离相等，
∴CE＝DE.
在Rt△CBE和Rt△DAE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，DE2＝AD2＋AE2，
∴BE2＋BC2＝AD2＋AE2.
设AE＝x千米，
则BE＝(10－x)千米，
而BC＝2千米，AD＝8千米，
所以(10－x)2＋22＝82＋x2，
解得x＝2，
即基地应建在距离A地2千米的位置．
[素养提升]
解：[定理表述]如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2. [尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB＝∠EDC.
又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，
∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠AED＝90°.
∵S梯形ABCD＝S Rt△ABE＋S Rt△ECD＋S Rt△AED，
∴1
2
(a＋b)(a＋b)＝
1
2
ab＋
1
2
ab＋
1
2
c2，
整理，得a2＋b2＝c2.
[知识拓展]2c ＜a＋b＜2c。