湖北省公安县博雅中学高三数学二轮复习 第4课时《不等式》学生用书

湖北省公安县博雅中学高三数学二轮复习 第4课时《不等式》学生
用书
高考趋势★ 对不等式性质的考查一般不会直接命题，往往与其他知识相结合，如指、对数函数、数列等。

若直接命题，则通常容易题会出现在填空题中；若与其他知识相结合，则有可能在解答题中出现，作为求解或证明的一个步骤，为中档题。

一 基础再现
考点1： 基本不等式
1．函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A
在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n
+的最小值为 2．已知x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y 的最大值是 ． ３．设 02
t π
＜＜，a 是大于0的常数，1()cos 1cos a f t t t
=+-的最小值是16， 则a 的值等于 ４．若a,b
m 的最小值是
５．设,x y 为正数，则有11()()x y x y
++的最小值为________ 考点2：一元二次不等式
６．不等式203
x x ->+的解集是 ７．当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ．
８．若关于x 的方程23(37)40tx t x +-+=的两个实根,αβ满足012αβ<<<<，则实数t 的取值范围是
考点3：线性规划
９．不等式组101002x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域的面积为___________
10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤2，
x －y ≥－1， x ＋y ≥1．
则z ＝2x ＋3y 的最大值是
二 感悟解答
1.答案：８ 点评：利用条件， 找出其中的＂二定＂，采用常数代换的方法创造＂一正＂，再由基本不等式的＂三相等＂求得最小值．
2.答案：
116 点评：211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号. 3.答案：９
解析：令cos x t =，1cos y t =-，则1x y +=，11cos 1cos a a t t x y
+=+-，利用常量代换得： 1()()1a y ax x y a x y x y
++=+++
4.
5.答案：９
6.答案：(3)
(2)-∞-+∞，， 点评：不等式
20(2)(3)03x x x x ->⇔-+>+的解集是(3)(2)-∞-+∞，， 7.答案：5m ≤-
点评：构造函数：2()4,f x x mx =++[12]x ∈，。

由于当(12)x ∈，时，
不等式240x mx ++<恒成立。

则(1)0,(2)0f f ≤≤，
即140,4240m m ++≤ ++≤。

解得：5m ≤-。

8.答案：754
t <<
9.答案：４
10.答案：１８
三 范例剖析
例１ 已知集合{}2230,A x x x x =--∈R ≤{}22240,B x x mx m x m =-+-∈∈≤，R R (Ⅰ)若[]0,3A B =，求实数m 的值； (Ⅱ)若A B ⊆
R ，求实数m 的取值范围．
变式1． 已知关于x 的不等式
250ax x a
-<-的解集为M ．（1）当4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围．
点评：分式不等式转化为整式不等式是求解分式不等式的基本思路和解题策略，转化时要特别注意转化的等价性，另外在本题中还要留心参数a 对不等式解集的影响．
例２ 设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证：
（1）0a >且21b a
-<<-；（2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根
变式2． 设a ，b ，c
为正实数，求证：333111a b c
++≥
例３ 对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：（1-污物质量物体质量(含污物)
)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择,方案甲： 一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a (1≤a ≤3)．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是x +0.8x +1
(x >a -1)，用y 质量的水第二次
清洗后的清洁度是y +ac y+a
，其中c (0.8<c <0.99) 是该物体初次清洗后的清洁度． (Ⅰ)分别求出方案甲以及c =0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少；
(Ⅱ)若采用方案乙,当a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响．
变式3． 为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架. 三角形支架形状如图，要求060=∠ACB ，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5
米. 为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最
短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？
B C D M
N
四 巩固训练
1．已知函数},m ax {},2,1m ax {)(b a x x f x
其中-=表示a,b 中的较大者．则不等式4)(>x f 的解集为
２．若不等式2x
e a ->对于任意的实数x 都成立,则实数a 的取值范围是 . ３．设M 是△ABC 内一点，且23AB AC =BAC ＝30º，定义
f (M )＝(m ，n ，p )，其中m 、n 、p 分别是△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若f (M )＝(12，x ，y )，则14x y +的最小值为 ４．已知:()12320081232008f x x x x x x x x x =-+-+-++-+++++++++ 若(2)20082009f x >⨯，则x 的范围是
５．已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩
，≤，，，则不等式2()f x x ≥的解集为 ６．已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,
,n x x x 和12,,,n y y y ，（ n N *∈，且2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b
成等差数列，12,,,,n a y y y
b ,成等比数
列．吴老师给出下列四个式子：①1()2n
k k n a b x =+=∑；②211n k k x n =>∑； ③2n y ab <；④2n y ab =；⑤2n y ab >．其中一定成立的是 ；一定不成立的是 ．（只需填序号）。