弦长公式的灵活应用
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式一、知识点1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式引例：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．分析：左焦点(1,0)F -，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆设1122(,),(,)A x y B x y ，则||AB ===122||||x x a -= 一般：若直线l 上两点111222(,),(,)P x y Px y，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明：1） 计算12||x x -，可以通过12||x x -=但通常利用12||||x x a -=计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想2） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又112||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则可知，121212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题例1 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B两点，若||7AB =l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：22220x y +-=，得到2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+则||7AB ===所以k =又当k 不存在时，||AB =所以，直线l 的方程1)y x =+配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），则||AB ==，所以，λ= 当λ不存在，即0y =时，||AB =所以直线l 的方程为1x y =- 例2 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）， 法1：||AB ==O l d -，所以1||2AOBO l S AB d ∆-=⋅=2112t t t=≤++（t 当0λ=时，取到 法2：11||||122AOBA B S AB y y ∆=⋅-=⋅，下同解法1 配套练习1：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的取值范围． 解：上题可知：21||)2AB λ=-∈+当λ不存在时，||AB =||AB ∈ 配套练习2：1、经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l 与椭圆分别交于,A B 与,C D 两点，若32||||9AB CD ⋅=，求直线1l 的方程 参考解答：设直线1:(1)l y k x =+，则21:(1)l y x k=-+，则可知||AB =，同理知22221))||221k k CD k k++==++，则由32||||9AB CD ⋅=可知1k =±，1:(1)l y x =±+例3（备用）已知椭圆22:14x G y +=，作圆221x y +=的切线l 交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB∆面积的最大值．解：设直线l ： x y n λ=+1=，所以221n λ=+代入椭圆方程：22440x y +-=，得到：222(4)240y n y n λλ+++-=，则222222=44(4)(4)16(4)=48n n n λλλ∆-+-=+-则211||11223AOB S AB t ∆=⋅==≤+t =）当λ= 配套练习：1、已知椭圆：22143x y +=，直线l ：2y x m =+与椭圆交于,A B 两点，求AOB S ∆的最大值参考解答：可知S =≤。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
直线与圆的弦长公式
直线与圆的弦长公式直线和圆是几何学中常见的两种基本图形。
当这两者相交时，我们通常会关注到弦长，即直线在圆上所截取的线段的长度。
弦长公式是一种用于计算直线与圆相交时弦长的数学公式。
在本文中，我们将介绍直线与圆的弦长公式，并阐述其推导过程及应用领域。
一、直线与圆的基本概念在介绍弦长公式之前，我们先来了解一些与直线和圆相关的基本概念。
1. 直线：直线是由无穷多个点构成的，且在任意两点之间都能找到另一个点的轨迹。
直线既没有长度也没有宽度，是一种无限延伸的几何图形。
2. 圆：圆是由一条封闭曲线组成的，所有在曲线内部距离圆心相等的点构成圆。
圆由一个中心点和一个半径决定。
3. 弦：弦是一条连结圆上两个不同点的线段。
弦的两个端点位于圆的边界上。
二、直线与圆的相交情况直线和圆的相对位置关系可以分为3种情况：相离、相切和相交。
1. 直线与圆相离：当直线和圆没有交点时，它们被认为是相离的。
2. 直线与圆相切：当直线恰好与圆边界的一个点相接触时，两者被认为是相切的。
3. 直线与圆相交：当直线与圆有两个交点时，两者被认为是相交的。
三、直线与圆的弦长公式的推导在推导弦长公式之前，我们需要引入两个重要的定理，即相交弦定理和弦切角定理。
1. 相交弦定理：若两条不同弦在圆内相交，则它们互相交换位置，得到的仍然是相交的两条弦。
2. 弦切角定理：在圆内，由同一条弦所截取的两个弧上所对的弧度相等。
基于这两个定理，我们可以推导出直线与圆的弦长公式。
设直线与圆相交于A、B两点，圆心为O，半径为r。
我们要求的是弦AB的长度。
根据弦切角定理，我们找到弦AB所对的圆心角α。
由于角AOB是一个直角（直线与圆的切线与半径垂直），我们可以利用勾股定理找到AO和OB的长度：AO² + OB² = AB²同时，由于AO和OB都等于r（半径）：r² + r² = AB²2r² = AB²因此，我们可以计算得到弦AB的长度为AB = √(2r²) = √2r。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即AB = 1 k 2x 1 x 2或者 AB= 1+( k 1)2y 1 y 2 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公 式： 2ab2AB 2 2a 2b 2 ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便 .a2 c 2 cos 2下面我们用万能弦长公式， 余弦定理， 焦半径公式， 仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式， 这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用 .解法一 ：根据弦长公式直接带入解决 .22题：设椭圆方程为 x2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于A( x 1 , y 1), B ( x 2 , y 2 )两点，求弦长 AB .22椭圆方程 x2 y 2 1可化为b 2x 2a 2y 2 a 2b 2⋯⋯①， a2b 2直线 l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c ( 斜率不存在即为 m 0时 ) ，代入①得：(b 2m 2a 2)y 2 2mcb 2 y b 2c 2 a 2b 2 0 ，整理得， (b 2m 2 a 2)y 22mcb 2y b 4∴y1y 2b 2m 22mcb 22 ,y 1y 2 a b 4b 2m 2aAB = 1+( k 1)2y 1y 21 m2(2 2 bm 2mcb 2 )2 2)a4b 42 2 2b m a1 m 24a 2b 4(1 m 2)2 2 2 2(b m a )∴ AB2ab 22 2 2 b m a1m1)若直线 l 的倾斜角为，且不为 90o ,则1 tan ，则有：ABb 2m 2a 2b a 2 1 m 2b m a2ab 22 1 2 b 2 atan1tan 2由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为AB2ab 22 2 2 a c cos②.2)若 =90o ，则 m 0，带入 AB2 2ab 22 2 2 b m a1 m 2,得通径长为 2b 2，同样满足②式 .并且由a解法二 ：根据余弦定理解决22题：设椭圆方程为 x 2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab 圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .AB2ab 21 m2 =2a(b 2m 2a 2) 2a 32ab 22 2 21 m =2 2 2b m a b m a2a2a 2(a 22 b 22) 2a2a(a 22 b 2) 2b 2b m a a,当且仅当 m 0 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为2b 22b，故可知通径是最短的焦点弦， a综上，焦点弦长公式为 AB2ab 22 2 2 a c cos22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 a 2 b21，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .解：如右图所示，连结 F 1 A, F 1B ，设 F 2A=x, F 倾斜角为 ，则由椭圆定义可得AF 1F 2 中，由余弦定理得cos( )(2c)2x 2(2a x)2，化简可得4cxBF 1F 2 中，由余弦定理同理可得b 2a ccosABb 2b 2ya ccos a ccos2ab 2222a c cos解法三：利用焦半径公式解决 解：由解法一知x 1x 2=my 1 c my 2 c m(y 1 y 2 ) 2c22 2m 2cb 2 2 2 2bm a 2c22a 22c2 .由椭圆b 2m 2a 2的第二定义可得焦半径公式，那么 F 2A a ex 1, F 2B aex 2，则弦长2 F 1A =2a x中 结 得AB③2 abkc为a2果带入③将此b 1 k 22 2 2 a 2b 2(1 k 2)2 2 2 b 2 a 2k 2b2 a 2k2 A'B'b 2m2 A'B' =b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 2后面分析同解法解法四 ：利用仿射性解决22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .b 1 k 2a 2b 2(1 k 2) 2ab 2(1 k 2)，由 k tan ，带入得AB = b 1 k 2AB =b 2 a 2k 22ab 2m 2 2ab 2 故AB =a ex 1 a ex 2 2a e(x 1 x 2)2 2 2b m ax' x解：利用仿射性， 可做如下变换 a ，则原椭圆变为 (x')2 (y')2 y' ya 2，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆 . 假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为 bak .椭圆中弦长 AB = 1 k 2x 1 x 2 ，经过 变换后变为 A'B' 1 (a k)2 x 1x 2 ，带入，得变换前后弦长关系为AB =(akc )2 b 1 (a bk )2bA'B' =2 a 22ab 2a 2 c 2 cos 22ab 2(1 m 2)勾股定理求得弦长为而我们知道圆的弦长可以用垂径 定理求得 .如图所示，假设直线y a k(x c) ，圆心到直线的距 b离为 d，根据半径1 (a bk)2a4上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为： 记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明 22 例 1已知椭圆 x y25 21 AB2ab 2，2 2 2，a c cos1，过椭圆焦点且斜率为 3 的直线交椭圆于 A, B 两点，求 AB . 分析：如果直接用弦长公式解决， 因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解解：由题， a 5,b 2 21,c 24， = , 带入 AB 3 2ab 2 222a c cos 得 AB =10. 例 2已知点 P(1, 3) 在椭圆 C ：x2 2 a 22y2 1(a> b> 0)上，过椭圆 C 的右焦点 F 2 (1,0)的直线 l与b 椭圆 C 交于 M,N 两点 . 1)求椭圆的标准方程； 2)若AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，且MN PAB ，W AB MN 2,试判断 W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由 . 分析：因为 l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单 9 2 2 2 21 ，又 a b c 4b2 1 解：(1)由题知 c 1，将点 P 带入得 12 a 2 ，解得 a 2 4,b 23 ，故椭 22 圆方程为 x y1. 43 2)假设 A(m,n) ，则 AB 2 m 2 n 2，设倾斜角为 ，则 cos m m 2 n 2 ，根据过焦点的弦长公式则 MN 2ab 22 a 22 c cos 12 2 m 22 mn3m 212(m 2 4n 2 ，故 W n 2) AB MN m 2 =4( 4 2 n )=4. 3 例3如图，已知椭圆 1的左右焦点为 F 1,F 2， 过 F 2 的直线 l 1 交椭圆于 A,C 两点，过 F 1 的直线 l 2交椭圆于 B,D 两点， l 1,l 2交于点 P ( P 在x 轴下方)，且 F 1PF 2 43 ，求四边形 ABCD 的 面积的最大值 . 分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成F 1PF 23的点 P 在圆 内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值2解：假设 l 1 的倾斜角为,则 l 2的倾斜角为 3+，由椭圆的焦点弦长公式得： AC12 4 cosBD 12 S=1 2ACBD12 12 cos ( )4 2cos4 cos 2() 4设 f( (4 cos )(4 cos ( 7(72 cos2 )( 1 12sin 2 )4))49 7 ( sin2 44+cos 21)+ sin4 8设 sin2 cos2t(t2, 2 ) ，则sin4 t 21,带入得 f(t)49 7t+1(t 2 4481)即f(t)1t 28 7t 97 48f (t)min 99 14 2,此时 t 2，即 sin2 cos22 ，得到 综上，四边形 ABCD 的最大值为 288 2 S=99 14 2 = 8 ，得到l 2的倾斜角为 8 ,刚好两直线关于 y 轴对称，如 右图所示 .5.14 .此时。
弦长公式在相交两圆中的运用
弦长公式在相交两圆中的运用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1弦长公式在相交两圆中的运用重庆市永川区第六中学校 潘祥万（402182）问题：求两圆04026,010102222=-+++=--+y x y x y x y x 的公共弦的长。
（高二数学（上），人教版，P 88 24题）对于此题，我们很多时候都是把这两个方程联立组成方程组，求出其交点坐标，再根据两点间的距离公式求解，这是一种常规解法。
下面，我想就相交两圆公共弦长公式的推导及运用谈点个人看法。
一、弦长公式的推导在初中，我们就知道两圆相交时弦长的求法。
对于高中数学中的相交两圆弦长如何求，大部分学生感到不知所措，甚至解题的方向也把握不准，基于此，我在教学中，我在引领学生回忆初中知识的同时，让学生把所学的知识在头脑中重组、建构，形成一定的网络，更好地为教学服务。
推导：对于圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （其中0422>-+F E D ）和圆的标准方程：222)()(R b y a x =-+-。
这是我们应该熟悉的两个方程，要求学生必须能够互化。
如果两圆222)()(r b y a x =-+-和222)()(R b y a x ='-+'-相交，求公共弦长。
在这里必须引导学生对问题进行分析，看它圆心在弦的同旁，还是两旁。
（一）、两圆心在公共弦的两旁时，公共弦长AB 的求法如图1：设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为R r ,,圆心距(O O ')为d ,则在Rt △ACO 与Rt △AC O '中有222222,AC O A C O OC AO AC -'='-=,又O O '=OC+C O '=d ,∴C O '=d -OC,∴222222)(,AC R OC d OC r AC -=--=,∴22222)(AC R AC r d -=--,其中22)()(b b a a d -'+-'=图1化简得:AB=2AC=[][]d r R d d r R 2222)()(---+ )(r R ≥ ① (二)、两圆心在公共弦的同旁时，公共弦长AB 的求法如右图，设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为)(,r R R r ≥,圆心距(O O ')为d （22)()(b b a a d -'+-'=）,则在Rt △ACO 与Rt △AC O '中，同理得： [][]d r d R R r d AB 2222)()(---+= ② 说明：内切、外切时上两式也成立，只不过AB=0。
弦长的十种计算技巧
弦长的十种计算技巧在圆中，弦长的计算是垂径定理的重要应用之一，常作垂直于弦的直径或半径。
但往往只须作出弦心距作为辅助线构成直角三角形，计算弦长。
题目：已知OA 、OB 为⊙O 的半径，OA ⊥OB ，弦AD 经过OB 的中点C ，⊙O 的半径为4cm ，求AD 之长。
一、作弦心距，构造直角三角形，计算弦长 解：如图1所示。
图1过点O 作OE ⊥AD 于点E ，则AD=2AE 。
在Rt △AOC 中，OA=4cm ，OC=12OB =2cm 。
由勾股定理得AC OA OC cm =+=2225，又1212455OA OC AC OE OE OA OC AC cm ···=⇒==， 在Rt △AEO 中，AE OA OE cm =-=22855， 故AD AE cm ==21655。
二、利用正切三角函数计算弦长 题目和图同上。
解：在Rt △AOC 中，tan ∠OAC OC OA ==12， 又在Rt △AEO 中，cot ∠OAE AEOEAE OE =⇒=·cot /tan ∠∠OAE OE OAC = ==2855OE cm 。
因此AD AE cm ==21655。
三、利用射影定理计算弦长解：如图1在Rt △AOC 中，OE ⊥AC ⇒=⇒==AO AE AC AE AO AC cm 22855·（由解一可知AC cm =25），因此AD AE cm ==21655。
四、利用相交弦定理计算弦长解：如图2，延长BCO 交AD ⋂于点F ，图2则CF OF OC cm CB OB cm =+===6122，， 依相交弦定理有BC CF AC CD BC CF AC AD AC AD BC CFACAC cm cm·····×=⇒=-⇒=+=+=()()2625251655五、利用切割线定理计算弦长 解：如图3，图3同解一作OE ⊥AD 于点E ，则AD=2AE 。
高中数学圆锥曲线弦长公式
安全生产三同时是什么安全生产三同时是指安全生产三个同时，即生产安全、生态环保和节能减排三方面同时推进的工作原则。
它是在实践中总结出来的，旨在保护员工安全、保护环境、节约资源，实现可持续发展的目标。
下面将从安全生产、生态环保和节能减排三个方面详细介绍安全生产三同时的含义和重要性。
一、安全生产是安全生产三同时的重要组成部分。
安全生产是企业生产经营的首要任务，也是保障员工人身安全和财产安全的基本要求。
安全生产涉及到员工的生命安全和健康，对企业的可持续发展也具有重要意义。
在推进安全生产的过程中，需要完善安全管理体系，加强安全培训和教育，建立安全生产责任制，提高员工的安全意识和紧急处理能力，改善工作环境，确保安全设施的完好运行等。
只有安全生产得到有效保障，企业才能够稳步发展，员工才能够安心工作。
二、生态环保是安全生产三同时的重要内容。
生态环境是人类生存的基础，保护和改善生态环境是人类的共同责任。
在推进生态环保的过程中，需要加强环境监测和评估，严格执行环境法规和标准，加强对污染源的监管和治理，推广清洁生产和循环经济，推动绿色发展，改善生态环境质量。
企业应该积极履行环境保护义务，减少污染排放，推动资源的有效利用，保护自然生态系统的平衡，建设美丽中国。
三、节能减排是安全生产三同时的重要任务。
能源是人类生产和生活不可或缺的资源，但也是有限的资源。
能源消耗的过程中会产生大量的二氧化碳等温室气体，对气候和环境造成不利影响。
为了减少对地球的影响，实现可持续发展，需要实施节能减排政策。
在生产经营活动中，企业需要采用节能技术和设备，提高能源利用效率，降低能源消耗。
同时，还需要减少排放的废气、废水和固体废弃物，提高环境保护水平。
只有通过节能减排，才能实现可持续发展的目标。
安全生产三同时的实施涉及到政府、企业和个人的共同努力。
政府应制定相关政策和法规，加强监管和执法力度，提供优惠政策和经济支持，推动企业安全生产、生态环保和节能减排工作的开展。
抛物线焦点弦长公式的证明与应用
抛物线焦点弦长公式的证明与应用假设我们有一个以焦点F为顶点的抛物线，并且抛物线上的一点为P。
我们可以将点P的横坐标设为x，纵坐标设为y。
由于抛物线的对称性，我们知道焦点F的横坐标为a，纵坐标为b。
首先，我们需要知道抛物线的定义。
根据定义，抛物线是一条曲线，使得从焦点到曲线上任意一点的距离与该点到直线准线的距离相等。
现在，我们可以使用距离公式来得到抛物线焦点弦长公式。
根据距离公式：距离公式1：PF=√((x-a)²+(y-b)²)（1）根据焦准关系，我们可以得到焦点到点P的距离：距离公式2：PF=√((x-a)²+y²)（2）将公式1和公式2相等，我们可以得到：√((x-a)²+y²)=√((x-a)²+(y-b)²)（3）将上述方程两边平方，我们得到：(x-a)²+y²=(x-a)²+(y-b)²（4）我们可以将方程4进行整理，得到：y²=(y-b)²（5）展开方程5，我们得到：y² = y² - 2by + b² （6）同时，我们可以将方程6进行整理，得到：2by = b² （7）化简方程7，我们得到：y=b/2（8）因此，我们可以得出结论，在抛物线上，从焦点到抛物线上其中一点的线段的长度为焦点到准线的距离的二倍。
现在，我们将探讨一些抛物线焦点弦长公式的应用。
1.焦点弦长和顶点连线的关系根据抛物线焦点弦长公式，从顶点到焦点的弦长等于焦点到准线的距离的二倍。
这个性质使我们能够通过其中一抛物线焦点弦长的已知量，推导出顶点与焦点之间的距离。
2.确定抛物线焦点抛物线焦点弦长公式允许我们通过已知线段的长度和线段的一个端点，确定焦点和抛物线的形状。
例如，我们可能已知抛物线上其中一点到焦点的距离为d，以及该点横坐标的值。
通过使用抛物线焦点弦长公式，我们可以联立方程并求解焦点的坐标。
等分圆周的弦长公式
等分圆周的弦长公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等分圆周的弦长公式是一个在数学中被广泛应用的公式，它可以帮助我们计算任意给定角度下圆上弦的长度。
在实际生活和工程领域中，这个公式可以帮助我们解决很多实际问题，比如建筑、设计、土木工程等等。
在下面的文章中，我们将详细介绍等分圆周的弦长公式的推导和应用。
让我们来看一下什么是等分圆周。
一个圆周是一个封闭曲线，它由圆心和半径确定。
等分圆周就是指将圆周平均分成若干个相等的部分。
在等分圆周中，我们通常使用弧度来表示角度。
弧度是一个无量纲的量，它是角度的一种度量方式。
一个完整的圆周对应的角度是360度或2π弧度。
现在，让我们来推导等分圆周的弦长公式。
设圆的半径为R，圆心角为α，弦长为L。
根据正弦定理，我们可以得到以下关系式：sin(α/2) = L / (2R)将正弦函数的定义sin(α/2) = 2sin(α/2)cos(α/2)代入上式，得到：化简上式，可得到等分圆周的弦长公式：这就是等分圆周的弦长公式。
通过这个公式，我们可以方便地计算任意给定角度下圆上弦的长度。
下面，我们来看一些具体的应用例子。
假设一个圆的半径为10厘米，圆心角为60度。
我们要计算圆上对应这个60度角的弦的长度。
根据上面的公式，我们可以得到：L = 2 * 10 * sin(60/2) * √((1 + cos(60)) / 2)L = 20 * 0.5 * √1.5所以，对应60度角的圆弦的长度约为12.25厘米。
这个例子展示了等分圆周的弦长公式的实际应用。
等分圆周的弦长公式在数学和工程中都有着广泛的应用。
在建筑设计中，我们常常需要计算圆形建筑物或者圆形设施的弦长，以便确定结构的尺寸和布局。
在土木工程中，等分圆周的弦长公式也可以帮助我们计算桥梁和隧道等结构中的圆形部分的弦长。
等分圆周的弦长公式是一个简单而实用的公式，它可以帮助我们解决很多实际问题。
通过掌握这个公式，我们可以更加高效地进行计算和设计工作。
弦长公式初中
弦长公式初中在初中数学的学习中，弦长公式可是一个相当重要的知识点哟！咱们先来说说啥是弦长。
想象一下，在一个圆里，有一条弦，这条弦就是连接圆上两个点的线段。
那弦长公式呢，就是用来计算这条弦的长度的。
比如说，在一个半径为 r 的圆中，有一条弦所对的圆心角为θ（这里的θ 要化成弧度制哦），那么这条弦的长度 L 就可以通过弦长公式L = 2r×sin(θ/2) 来计算。
我记得有一次，我给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这公式咋来的呀？感觉好复杂。
”我笑着对他说：“别着急，咱们一起来琢磨琢磨。
” 我拿出一张纸，画了一个大大的圆，标上圆心、半径，还有那条弦以及对应的圆心角。
我一点点地给他讲解推导的过程，看着他逐渐恍然大悟的表情，我心里那叫一个满足。
咱们再来深入讲讲弦长公式的应用。
比如说，有一道题告诉你一个圆的半径是 5，弦所对的圆心角是 60 度，让你求弦长。
这时候，咱们先把 60 度化成弧度制，60 度= π/3 弧度。
然后把半径 r = 5 和圆心角θ = π/3 代入弦长公式L = 2×5×sin(π/6) ，sin(π/6) = 1/2 ，所以弦长 L =2×5×1/2 = 5 。
是不是还挺简单的？在解决实际问题中，弦长公式也大有用处呢。
比如在建筑设计里，要计算一个圆形拱门的某条弦的长度，就可以用到弦长公式。
还有在物理实验中，研究圆周运动时，也可能会涉及到弦长的计算。
对于同学们来说，掌握弦长公式不仅要记住公式本身，还要多做练习题，加深对它的理解和运用。
有时候，可能会遇到一些稍微复杂点的题目，比如和其他几何图形结合起来，这时候别慌张，静下心来，分析题目中的条件，找到与弦长相关的信息，然后再运用弦长公式。
我还发现，有些同学容易在计算圆心角的时候出错，要么忘记把角度化成弧度制，要么计算正弦值的时候出错。
这可不行哦，一定要细心细心再细心！总之，弦长公式虽然看起来有点小复杂，但只要同学们认真学，多练习，一定能把它拿下！就像咱们攻克其他数学难题一样，一步一个脚印，总会越来越厉害的！希望大家都能在数学的海洋里畅游，享受解题的乐趣。
弦长公式及其运用
弦长公式在职业高中数学解题中的应用邹志勇摘要：直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容之一，而弦长公式的应用是其中的一个重要知识点，也是高考的热点，如何培养学生的创新思维，找到求解弦长的有效方法，在数学教学中显得尤为重要。
关键词：弦长、弦长公式、弦长公式的应用。
与“求弦长”有关的知识点在职高数学教学中经常遇到，而弦长公式是求弦长的最快捷方法之一，在实际应用中，如何让学生灵活地应用弦长公式求弦长在解题中显得至关重要。
一、弦长：这里指的是直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交所截的线段。
二、弦长公式：这里指的是弦长计算公式，弦长公式有好几个，而这里所要讲的是简化后的弦长公式（Ｌ＝ a k ∆+21 ）（1）弦长公式的推导设直线y=kx+t 与圆锥曲线相交于A （1x ，1y ） B （2x ，2y ）两点。
则弦长为AB ,把y=kx+t 代入圆锥曲线方程消去y 化简整理得到一个关于x 的一元二次方程 2x α+bx+c=0 （α≠0） 则1x +2x =－a b ，1x 2x =ac ∴ AB =212212)()(y y x x -+-=[]212212)()()(t kx t kx x x +-++-=2122))(1(x x k -+=)1(2k +212214)(x x x x -+ =)1(2k + ac a b ⋅--4)(2=)1(2k + 224a ac b -=a k ∆+21 ∴ 弦长公式为 =ak ∆+21 （其中k 表示直线的斜率，△=2b -4ac ，α表示一元二次方程中2x 的系数）（2）弦长公式的应用①直线与圆相交时，弦长公式的应用举例。
例1：已知直线y=2x-5与圆x 2+y 2=25相交于A ，B 两点，求AB解：把y=2x-5代入x 2+y 2=25化简得x 2—4x=0∴ k=2 α=1 △= 2)4(--4×1×0=16 ∴ AB =ak ∆+21=116212+=45②直线与椭圆相交时，弦长公式的应用例2：已知直线y=x+2与椭圆92x +2y =1相交于A ，B 两点，求AB 解：把y=x+2代入92x + y 2=1化简得10x 2+36x+27=0 ∴ AB =ak ∆+21=1027104361122⨯⨯-+=536 ③直线与双曲线相交时，弦长公式的应用 例3：已知直线y=x-2与双曲线2x —22y =1化简得2x +4x-6=0 ∴ AB =a k ∆+21=1)6(1441122-⨯⨯-+=45 ④直线与抛物线相交时，弦长公式的应用例4：已知直线y=2x+m 与抛物线y 2 =4x 相交于Ａ，Ｂ两点，若AB ＝３5，求ｍ的值 解：把ｙ＝2x+m 代入y 2 =4x 化简得42x +（4m —4）x ＋2m =0∵ AB =35 ∴ 444)44(21222m m ⨯⨯--+=35 解得m =—4弦长公式的推导是一个难点，如果弄清了公式的来龙去脉，定能加深对公式的理解和记忆，弦长公式是一个实用性很强的公式，如果能够灵活地应用弦公式，在解题中往往能取到事半功倍的效果。
高考数学复习点拨 例析圆中“弦长公式”的应用
例析圆中“弦长公式”的应用当直线和圆相交时，得一个弦长（设为AB ），根据圆的图形几何性质：半弦长、半径r ，弦心距d构成直角三角形：AB =一特有的“弦长公式”，会突出几何直观性，减少运算量，有事半功倍的作用，例析如下：一、 求公共弦长例1 已知圆2212610C x y x y ++-+=和圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因为两个圆的交点坐标同时满足两个圆的方程，联立方程组求得交点可得直线方程，但若应用圆系方程求弦所在的直线方程更为简洁，再利用弦长公式求出公共弦长．解：如图1，设两圆的交点为1122()()A x y B x y ，，，，则A B ，两点的坐标是方程组2222261042110x y x y x y x y ⎧++-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩，的解， 两个式子相减，得3460x y -+=．由于A B ，两点的坐标都满足此方程，故3460x y -+=为两圆的公共弦所在的直线方程．易知圆1C 的圆心为(13)-，，半径为3r =． 又1C 到直线:3460AB x y -+=的距离为95d =，245AB ==∴． 二、 求直线的方程例2 (30)P ，为圆2282120x y x y +--+=内一点，求过P 点的最短的弦所在直线的方 程．解析：过点(30)P ，的直线有无数条，如图2，设其中一条与圆交于AB 两点，若半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则根据圆的几何性质得到AB =则根据圆的几何性质得到AB =由于半径r 是定值，弦AB 最短时，应当是距离d 最大，只有当(30)P ，为弦AB 中点时，才满足题意．由圆2282120x y x y +--+=变形，得22(4)(1)5x y -+-=，圆心为(41)M ，，10143PM k -==-，AB PM ⊥，1PM k =-． 故所求直线方程为30x y +-=．例3 求过点(64)P -，且被圆2220x y +=截得的弦长为 解析：由题意易知，直线斜率k 存在且0k ≠，设过点(04)P -，的直线方程为4(6)y k x +=-，圆心(00)，到直线的距离d ，半径为r =AB =∴ 解得1k =-或717k =-． 故所求直线方程为20x y +-=或717260x y ++=． 三、 求圆的方程例4 2y x =上，圆被直线0x y -=截得的弦长为解析：根据图形的几何性质：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形且AB =则d =又弦心距等于圆心到直线0x y -=的距离，设圆心坐标为()a b ，，d ==∴又知2b a =，故24a b ==，；或24a b =-=-，． ∴所求圆的方程为22(2)(4)10x y -+-=或22(2)(4)10x y +++=．。
初中求弦长的计算公式
初中求弦长的计算公式
求弦长是在数学课上非常常见的一个问题，要求学生根据给定的条件，求出某个三角形的弦长。
在初中，求弦长的计算公式可以用来解决这个问题。
求弦长的计算公式是：a=√(b²+c²-2bc·cosA)。
它是由勾股定理推导出来的，是一种三角形的限制条件。
其中a、b、c分别代表三边的长度，A代表其中的一个内角的余弦值。
求弦长的计算公式可以用来求解三角形的弦长。
只要我们知道三角形的两条边长度和一个内角的余弦值，就可以根据这个公式求出第三条边的长度。
例如有一个三角形，其中的两条边长度分别是2和3，另一条边的余弦值是0.6，则根据求弦长的计算公式，我们可以求出第三条边的长度：a=√(2²+3²-2·2·3·0.6)=3.5。
可以看出，求弦长的计算公式是一个非常有用的公式，它可以帮助我们快速、准确地求出三角形的弦长，是数学课上学生经常使用的一个公式。
怎样选择弦长公式
怎样选择弦长公式
选择弦长公式，需要根据具体问题进行分析。
以下是几个常用的弦长公式：
1.通过圆周长来计算弦长。
弦长可以通过圆周长公式求解，其公式为弦长=(圆周长÷2π)x角度。
其中，π为圆周率，角度为任意弧度值，弦长单位为米(m)。
通过上面的公式，圆弧物体的弦长可以方便地根据圆周长、圆周率和角度进行计算。
2.弦长计算公式：L=2*pi*R*n/360。
其中pi是圆周率，R是圆半径，n是圆心角（弧度制）。
3.弦长的计算公式：L=2*R*sin(θ/2)。
其中R是半径，θ是圆心角（弧度制）。
请注意，不同的弦长公式适用于不同的情况，因此在选择时应考虑实际情况和具体需求。
弦长公式的推导与简单应用
弦长公式的推导与简单应用目 标：理解弦长公式的意义，掌握弦长公式的几种形式，并能简单的应用 重 难 点：理解弦长公式的意义，掌握弦长公式的几种形式，并能简单的应用 知识再现：1、已知),(),,(2211y x B y x A ，则AB = ；2、已知直线b kx y +=，则直线的斜率为 ；表示的直线有什么特征？3、已知直线m ty x +=，若0≠t ，则直线的斜率为 ；若0=t ，直线有什么特征？ 探讨：1、已知),(),,(2211y x B y x A 是直线b kx y +=上的两点，则AB 如何用21,x x 表示？（不允许用21,y y 表示） ；例如：已知B A ,两点的横坐标分别为－3和2，B A ,在斜率为2的直线l 上，则AB = ；2、已知),(),,(2211y x B y x A 是直线b kx y +=上的两点，则AB 如何用21,y y 表示？ （不允许用21,x x 表示） ；例如：已知B A ,两点的纵坐标分别为－3和2，B A ,在斜率为33的直线l 上，则AB = ；3、已知),(),,(2211y x B y x A 是直线m ty x +=上的两点，则AB 如何用21,y y 表示（不允许用21,x x 表示） ；4、已知),(),,(2211y x B y x A 是直线m ty x +=上的两点，则AB 如何用21,x x 表示（不允许用21,y y 表示） ；例题1：过椭圆19522=+y x 的上焦点作斜率为2的直线，交椭圆与B A ,两点，则AB = 例题2：过椭圆13422=+y x 的右焦点作斜率为21的直线，交椭圆与B A ,两点，则AB =例题3：过椭圆13422=+y x 的右焦点作的直线，交椭圆与B A ,两点，则AB 的最小值为例题4：过椭圆125922=+y x 的上焦点作直线，交椭圆与B A ,两点，AB =3，则直线AB 的斜率为快速做答：1、 已知椭圆1162522=+y x ，过点)0,3(作直线交椭圆于B A ,两点，则线段AB 的最大值和最小值分别为2、 已知椭圆1162522=+y x ，过点)0,3(作斜率为31的直线交椭圆于B A ,两点，则线段AB 的长为3、 已知椭圆422y x +，过)3,0(作直线交椭圆于B A ,两点，则AB = 4、。
抛物线直线弦长公式
抛物线直线弦长公式
抛物线直线弦长公式是解决几何问题时常用的一个公式，它可以帮助我们计算抛物线上两个给定点之间的直线弦长。
这个公式的推导和应用可以让我们更好地理解抛物线的性质和特点。
抛物线直线弦长公式的推导过程相对复杂，但是我们可以通过一个具体的例子来加深理解。
假设我们有一个抛物线，顶点在原点(0, 0)，焦点在点F(x, y)处，且抛物线的方程为y=ax^2（a≠0）。
现在我们要计算抛物线上两个给定点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的直线弦长。
我们可以先求出A点和B点在抛物线上的横坐标x1和x2对应的纵坐标y1和y2。
将这些坐标代入直线弦长公式，即可计算出直线AB 的长度。
具体计算过程如下：
1. 求出A点和B点的纵坐标
将横坐标x1和x2代入抛物线方程y=ax^2，得到A点和B点的纵坐标y1和y2。
2. 计算直线弦长
使用直线弦长公式，即两点间距离公式，计算出直线AB的长度。
直线弦长公式为：
直线AB的长度= √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
通过以上步骤，我们可以得到直线弦长公式的计算结果。
这个公式
可以广泛应用于解决抛物线相关的几何问题，例如计算焦点、顶点等位置，以及求解切线和法线的问题。
总结起来，抛物线直线弦长公式是一个在解决几何问题中常用的公式，它可以帮助我们计算抛物线上两个给定点之间的直线弦长。
它的推导和应用能够帮助我们更好地理解抛物线的性质和特点，从而解决更加复杂的几何问题。
通过运用这个公式，我们可以更加深入地研究和探索抛物线的奥秘。