【鲁教版】初二数学下期中模拟试卷(附答案)

一、选择题
1．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A ．CD 、EF 、GH
B ．AB 、EF 、GH
C ．AB 、C
D 、GH D ．AB 、CD 、EF 2．如图，点
E 、
F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF S =
（ ）
A ．6
B ．12
C ．15
D ．30 3．下列计算正确的是（ ） A ．236a a a +=
B ．22(3)6a a -=
C ．32222-=
D ．()222x y x y -=- 4．12122x +240x 22x y + ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A 8
B 12
C 12
D 156．估计26 ）
A ．在2～3之间
B ．在3～4之间
C ．在4～5之间
D ．在5～6之间 7．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）
A ．2020
B ．2019(5)
C ．2020(5)
D ．20205 8．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于
E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（ ）
A ．6
B ．7.5
C ．10
D ．20
9．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角形，则∠BDC （ ）
A ．45º
B ．60º
C ．67.5º
D ．75º
10．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=8，将△ABC 沿直线BC 向右平移，得到△EDF ，连接AD ，若四边形ACFD 为菱形，EC=4，则平移的距离为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8 11．已知锐角△ABC 的三边长恰为三个连续整数，AB ＞BC ＞CA ，若边BC 上的高为AD ，则BD ﹣DC ＝（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
二、填空题
13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为DB 、BC 的中点，若AB ＝8，则EF ＝_____．
14．已知最简根式125b a +-与31b -是同类二次根式，则a =________，
b =________．
15．若224y x x =-+-+，则y x 的平方根是__________．
16．若a 是11的小数部分，则()6a a +=_____．
17．如图，在正方形ABCD 中，AB=6，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF ．过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G ．∠ABE 的平分线交AD 于点M ，当满足四边形AGDF 面积2BCE S =△时，线段AM 的长度是_______．
18．如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4，MA=1，MB ＞1．以A 为中心顺时针
旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成ABC ．设AB=x ，若ABC 为直角三角形，则x=__．
19．在平面直角坐标系中，点A(0，－3)，B(4a ＋4，－3a)，则线段AB 的最小值为 ___________．
20．公园3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图” ．如图，设49a =，小正方形ABCD 的面积是9，则弦c 长为_______．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．
（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；
（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠= ︒．
22．在ABC 中，23,AB CD AB =⊥于点,2D CD =．
（1）如图1，当点D 是线段AB 的中点时，
①AC 的长为________；
②延长AC 至点E ，使得CE AC =，此时CE 与CB 的数量关系是_______，BCE ∠与
A ∠的数量关系是_______；
（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，画BCE ∠（点E 与点D 在直线BC 的异侧），使2BCE ∠=,A CE CB ∠=，连接AE ．
①按要求补全图形；
②求AE 的长．
23．计算：（1）231(12)272224
---+
-- （2） 248(31)(31)(31)(31)1++++- 24．已知31,31x y =+=-，求下列代数式的值：
（1）22x y +；
（2）y x x y
+． 25．如图，地面上放着一个小凳子，点A 距离墙面40cm ，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点A 处，50cm OA =．在图②中，木杆的一端与点B 重合，另一端靠在墙上点C 处．
（1）求小凳子的高度；
（2）若90cm OC =，木杆的长度比AB 长60cm ，求木杆的长度和小凳子坐板的宽AB ．
26．已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，以AD 始边作()0180DAE αα∠=︒<<︒．
（1）如图一，当90α=︒且AE AD =时，试说明CE 和BD 的位置关系和数量关系；
（2）如图二，当45α=︒且点E 在边BC 上时，求证：222BD CE DE +=．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB 、CD 、EF 、GH 各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】
解：设小正方形的边长为1，
则AB 2=22+22=8，
CD 2=22+42=20，
EF 2=12+22=5，
GH 2=22+32=13．
因为AB 2+EF 2=GH 2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB 、EF 、GH ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB 、CD 、EF 、GH 各自的长度. 2．C
解析：C
【分析】
延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，易证ADG ABE △≌△所以AE=AG ，
BAE=DAG ∠∠ ， 证AFG AEG △≌△，所以 GF=EF ，设BE=DG=x ，则EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，利用勾股定理得22
2
462x x 解得求出x ，最后求AGF S △问题即可求解．
【详解】
解：延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，
在正方形ABCD 中，AB=AD ，90ADB B C ADC ∠=∠=∠=∠=︒ 90ADG B ∴∠=∠=︒，
ADG ABE(SAS)∴△≌△，
,AG AE BAE DAG ∴=∠=∠，
45EAF ∠=︒ ，
45DAF BAE ∴∠+∠=︒ ，
GAF=45DAG DAF ∴∠∠+∠=︒，
GAF=EAF ∴∠∠，
又AF=AF ，
AFG AEG ∴△≌△(SAS)，
EF=FG ∴，
设BE=DG=x ，则EC=6-x ，FC=4，EF=FG=x+2，
在ECF Rt △中，222=FC CE EF +，
()()22
246=2x x ∴+-+，
解得，x=3， GF=DG DF=2+3=5∴+，
AEF AGF 11S =S =GF AD=56=1522
∴⨯⨯△△， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.
3．C
解析：C
【分析】
根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、二次根式的加减及完全平方公式逐个进行判断即可．
【详解】
解：A ．2a+3a=5a ，因此选项A 不符合题意；
B ．（-3a ）2=9a 2，因此选项B 不符合题意；
C ．322(322=-=C 符合题意；
D ．（x-y ）2=x 2-2xy+y 2，因此选项D 不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查合并同类项、幂的乘方与积的乘方、二次根式的加减及完全平方公式，依据法则
或运算性质逐个进行计算才能得出正确答案．
4．B
解析：B
【分析】
根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分母），判断即可．
【详解】
解：∵2
==|x =，
∴
､，共2个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键． 5．D
解析：D
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
A ，故A 不是最简二次根式；
B ＝，故B 不是最简二次根式；
C C 不是最简二次根式， 故选：
D ．
【点睛】
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
6．C
解析：C
【分析】
先根据二次根式的乘法法则可知，再由16＜24＜25，利用算术平方根的性质
可得4＜5，可得结果．
【详解】
解：∵16＜24＜25，
∴4
5，
即4＜5，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质及二次根式的乘法法则是解答此题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解
【详解】
解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012A A
∵1212B A A A =
∴112A B =
∴第2个正方形
1234B B B B
由题意，以此类推，21C B =22C B =
∴第3个正方形
1234C C C C 25==
…
∴
第n 个正方形的边长为1n -
∴第2020个正方形的边长为2019
故选：B ．
【点睛】
本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．
【详解】 解： 长方形ABCD ，8,4,AD AB ==
//,AD BC ∴
,ADB CBD ∴∠=∠
由对折可得：,CBD C BD '∠=∠
,ADB C BD '∴∠=∠
,BE DE ∴=
设,BE DE x == 则8,AE x =-
由222
,BE AB AE =+ ()2
2248,x x ∴=+-
1680,x ∴=
5,x ∴= 5,DE BE ∴==
115410.22
BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C
【点睛】
本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
由翻折可知：△BDF ≌△BCD ，所以∠EBD=∠CBD ，∠E=∠C=90°，由于△EDF 是等腰三角形，易证∠ABF=45°，所以∠CBD=
12∠CBE=22.5°，从而可求出∠BDC=67.5°． 【详解】
解：由翻折的性质得，∠DBC=∠EBD ，
∵矩形的对边AD ∥BC ，∠E=∠C=90°，
∴∠DBC=∠ADB ，
∴∠EBD=∠ADB ，
∵△EDF 是等腰三角形，∠E=90°，
∴△EDF 是等腰直角三角形， ∴∠DFE=45°，
∵∠EBD+∠ADB=∠DFE ，
∴∠DBF=12
∠DFE=22.5°， ∴∠CBD =22.5°，
∴∠BDC=67.5°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．
10．C
解析：C
【分析】
根据平移的性质可得8,,AB DE AC DF BC EF ====，设
AC DF CF AD x ====，求得BC=4x +，再由勾股定理理出方程求解即可．
【详解】
解：由平移的性质可得：8,,AB DE AC DF BC EF ====
又∵四边形ACFD 是菱形
∴设AC DF CF AD x ====
又∵4EC =
∴4BC EF CF CE x ==+=+
又∵∠90BAC ︒=
∴222AB AC BC +=
∴2228(4)x x +=+
解得，6x =
即6AD DF CF AC ====
故平移的距离为：6AD =
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的基本性质是解答此题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理,因AD 为公共边可以得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2再把三边关系代入解答即可．
【详解】
解：设BC ＝n ，则有AB ＝n ＋1，AC ＝n ﹣1，
AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2，
∴ AB 2﹣AC 2＝BD 2﹣CD 2
∴ （n ＋1）2﹣（n ﹣1）2＝（BD ﹣CD ）n ，
∴BD ﹣CD ＝4，
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，根据题意得出 BD ﹣CD 的长是解题关键．
12．B
解析：B
【分析】
由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．
【详解】
设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，
则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，
在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，
∴S=3，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．
二、填空题
13．2【分析】根据直角三角形的性质求出再根据三角形中位线定理计算即可
【详解】解：在中是斜边上的中线分别为的中点是的中位线故答案为：2【点睛】本题考查的是直角三角形的性质三角形中位线定理掌握三角形的中位线 解析：2
【分析】
根据直角三角形的性质求出CD ，再根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，8AB =，
118422
CD AB ∴==⨯=， E 、F 分别为DB 、BC 的中点，
EF ∴是BCD ∆的中位线，
114222
EF CD ∴==⨯=， 故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．【分析】根据同类二次根式的定义得到解方程组即可【详解】由题得：解得：故答案为：1【点睛】此题考查最简二次根式同类二次根式的定义解二元一次方程组正确理解最简二次根式同类二次根式的定义列出方程组是解题的 解析：72
【分析】
根据同类二次根式的定义得到122531
b a b +=⎧⎨
-=-⎩，解方程组即可． 【详解】 由题得：122531b a b +=⎧⎨-=-⎩，解得：721
a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 故答案为：
72
，1． 【点睛】
此题考查最简二次根式、同类二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解最简二次根式、同类二次根式的定义列出方程组是解题的关键． 15．【分析】根据二次根式的有意义的条件得出x 值进而求出y 代入计算即可
【详解】解：要使有意义则：∴∴∴∴的平方根为故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的有意义的条件解题的关键是掌握被开方数大于或等于零 解析：4±
【分析】
根据二次根式的有意义的条件得出x 值，进而求出y ，代入计算即可．
【详解】
解：要使4y =有意义，则：
2020x x -≥⎧⎨-≥⎩
， ∴2x =，
∴4y =，
∴
=
4=±，
∴y x 的平方根为4±，
故答案为：4±．
【点睛】
本题考查了二次根式的有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于或等于零． 16．2【分析】根据＜＜可得的整数部分是3则小数部分a ＝﹣3代入计算即可
【详解】解：∵9＜11＜16∴3＜＜4∴的整数部分是3∴小数部分是a ＝﹣3∴a （a+6）＝（﹣3）（+3）＝11﹣9＝2【点睛】本题
解析：2
【分析】
的整数部分是3，则小数部分a ﹣3，代入计算即可．
【详解】
解：∵9＜11＜16，
∴3
＜4， ∴
3，
∴小数部分是a
﹣3，
∴a （a +6
﹣3）
＝11﹣9
＝2．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，注意在相乘的时候，运用平方差公式简便计算．
17．【分析】根据正方形ABCD 得结合题意推导得通过证明得从而得到正方形面积结合四边形面积计算得到；过点M 作交BE 于点N 连接ME 根据正方形ABCD 通过计算即可完成求解【详解】∵正方形ABCD ∴∴∵过点D 且
解析：3
【分析】
根据正方形ABCD ，得90ADC BAD ∠=∠=，BAC ACD ∠=∠，
AB BC CD AD ====CDF ADG ∠=∠、FCD DAG ∠=∠，通过证明CDF ADG △≌△，得CDF ADG S S =△△，从而得到12
ACD S =正方形ABCD 面
积，结合四边形AGDF 面积BCE =△，计算得到CE ；过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME ，根据ABM NBM BCE NME EDM S
S S S S ++++=正方形ABCD ，通过计算即可完成求解．
【详解】
∵正方形ABCD
∴
90ADC BAD ∠=∠=，//AB CD ，AB BC CD AD ====
∴90CDF ADF ∠+∠=，90BAC CAD ∠+∠=，BAC ACD ∠=∠
∵过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G
∴90FDG ADF ADG ∠=∠+∠=，90CAG CAD DAG ∠=∠+∠=
∴CDF ADG ∠=∠，BAC DAG ∠=∠
∴ACD DAG ∠=∠，即FCD DAG ∠=∠
∴FCD DAG CDF ADG CD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴CDF ADG △≌△
∴CDF ADG S S =△△
∵四边形AGDF 面积=12ADF ADG ADF CDF ACD S S S S
S +=+==
△△△△△正方形ABCD 面积 ∴四边形AGDF 面积=16632⨯⨯= ∵11622BCE S BC CE CE =
⨯=⨯△，且满足四边形AGDF 面积2BCE S =△ ∴12632
CE ⨯
⨯= ∴3CE = ∴22633BE BC CE =+=+=
如图，过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME
∵∠ABE 的平分线交AD 于点M
∴ABM NBM ∠=∠
∵BM BM =，90BAM BNM ∠=∠=
∴ABM NBM △≌△
∴6BN AB ==
，MN AM =
设AM x = 162ABM NBM S S AB x ==⨯=△△
1
2BCE S BC CE =
⨯==△ ()(111
3222NME S NE MN BE BN MN x =
⨯=-⨯=-△ ()())111
222EDM S ED DM CD CE AD AM x =
⨯=-⨯-=△ ∵ABM NBM BCE NME EDM S S S S S ++++=正方形ABCD
∴()11
2322x x x +=
∴3
x ==
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了正方形、全等三角形、一元一次方程、二次根式、三角形角平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、三角形角平分线的性质，从而完成求解．
18．或【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边即可得到关于x 的不等式组求出x 的取值范围再根据勾股定理即可列方程求解【详解】解：∵在△ABC 中AC=1AB=xBC=3-x 解得1＜x ＜2；①∵1＜x 解析：
43或53
【分析】 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x 的不等式组，求出x 的取值范围，再根据勾股定理，即可列方程求解．
【详解】
解：∵在△ABC 中，AC=1，AB=x ，BC=3-x ．
1313x x x x +>-⎧∴⎨+->⎩
， 解得1＜x ＜2；
①∵1＜x ，∴AC 不能为斜边，
②若AB 为斜边，则x 2=（3-x ）2+1，解得x=
53，满足1＜x ＜2， ③若BC 为斜边，则（3-x ）2=1+x 2，解得x=
43 ，满足1＜x ＜2， 故x 的值为：
43或53， 故答案为：43或53
．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键． 19．【分析】根据勾股定理可得整理配方即可求解【详解】解：根据勾股定理可得：∵∴线段AB 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理的应用完全平方公式的应用根据勾股定理表示出是解题的关键 解析：245
【分析】 根据勾股定理可得()()2224433AB a a =++-，整理配方即可求解．
【详解】
解：根据勾股定理可得：
()()2222
2757644332514255525AB a a a a a ⎛⎫=++-=++=++ ⎪⎝⎭， ∵27576576552525a ⎛⎫++≥ ⎪⎝
⎭， ∴线段AB 的最小值为
245， 故答案为：
245
． 【点睛】 本题考查勾股定理的应用、完全平方公式的应用，根据勾股定理表示出2AB 是解题的关键．
20．【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解【详解】解：∵小正方形的面积是9∴AD=CD=3∴a=b-3∵4∴∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式关键是运用了数形结合的数学
【分析】
应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
【详解】
解：∵小正方形ABCD 的面积是9，
∴AD=CD=3，
∴a=b-3，
∵49a =， ∴94a =
， ∴214
b =，
∵222+=a b c ， ∴222921+=44c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴4
c =，
． 【点睛】
本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）GH EF ⊥，见解析；（3）25︒
【分析】
（1）利用中位线性质得//EG AB ，且12
GE AB =，//HF AB ，且12HF AB =，可推出//EG HF ，且EG HF =，可证四边形EGFH 是平行四边形；
（2由G F 、分别是BD BC 、的中点，可得12GF CD =，由（1）知12GE AB =，由AB CD =，可证GE GF =，由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，可证四边形EGFH 是菱形即可；
（3）先证四边形EGFH 是平行四边形；再证四边形EGFH 是菱形，由EG ∥AB ，GF ∥CD ，可求∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°利用平角可求∠DGF=180°-∠BGF=110°，利用两角和求∠EGF=130°利用菱形性质求∠GEH=180°-∠EGF=50º，由FE 平分∠GEH ，∠GEF=25︒即可．
【详解】
证明：（1）E G 、分别是AD BD 、的中点，
//EG AB ∴，且12
GE AB =， 同理可证：//HF AB ，且12HF AB =
， //EG HF ∴，且EG HF =，
∴四边形EGFH 是平行四边形；
（2）GH EF ⊥，
理由：G F 、分别是BD BC 、的中点，
12
GF CD ∴=， 由（1）知12
GE AB =，
又
AB CD =，
GE GF ∴=， 又四边形EGFH 是平行四边形，
∴四边形EGFH 是菱形，
GH EF ∴⊥；
（3）E G 、分别是AD BD 、的中点，F H 、分别是BC AC 、的中点，
//EG AB ∴，//HF AB ，12
GE AB =， //EG HF ∴，
同理可证//EH GF ，12
GF CD =， ∴四边形EGFH 是平行四边形，
∵AB CD =，
GE GF ∴=，
∴四边形EGFH 是菱形，
20,70ABD BDC ∠=︒∠=︒，EG ∥AB ，GF ∥CD ， ∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，
∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，
∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，
∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，
∵FE 平分∠GEH ，
∴∠GEF=
11502522
GEH ∠=⨯︒=︒． 故答案为：25︒．
【点睛】 本题考查平行四边形，菱形判断与性质，求菱形内角，掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键．
22．（1）②CE=CB ；∠BCE=2∠A ；（2）①补全的图形见解析；②
【分析】
（1）①由D 是BC 的中点及CD ⊥AB ，根据勾股定理即可求解；②证明△ADC ≌△BDC ，继而得到BC=CE ，根据∠BCE=∠CAB+∠CBA ，∠CAB=∠CBA ，即可得到∠BCE=2∠A ； （2）①根据题干补全图形即可；②作∠ACM=∠BCE ，在射线CM 上截取CF=CA ，连接BF 、AF ，过点C 作CG ⊥AF 于点G ，利用已知条件先证△ACE ≌△FCB ，得到AE=BF ，然后再证四边形ADCG 是矩形，可求得AG=CD=2AF ，Rt △BAF 中，利用勾股定理即可求出BF ，继而可得AE 的长．
【详解】
解：（1）①∵D 是BC 的中点，CD ⊥AB ，
∴∠ADC=∠BDC =90°，
∴在Rt △ADC 中，可得：22
5AC AD CD =+=；
②如图，延长AC 至点E ，使CE=AC ，
在△ADC 和△BDC 中，
DC DC AD BD
ADC BDC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADC ≌△BDC ，
∴AC=BC ，
又∵AC=CE ，
∴CB=CE ，
∵∠BCE=∠CAB+∠CBA ，∠CAB=∠CBA ，
∴∠BCE=
∠CAB+∠CAB=2∠CAB ，
即∠BCE=2∠A ；
（2）①补全的图形见下图：
②如图，作∠ACM=∠BCE ，在射线CM 上截取CF=CA ，连接BF 、AF ，过点C 作CG ⊥AF 于点G ，
∴∠ACM+∠FCE=∠BCE+∠FCE，即∠ACE=∠FCB，
∵CE=CB，
∴△ACE≌△FCB，
∴AE=BF，
又∵CG⊥AF，
∴∠CGF=90°，
∵CF=CA，
∴∠ACF=2∠ACG，AF=2AG，
又∵∠BCE=2∠BAC，∠ACF=∠BCE，
∴∠ACG=∠BAC，
∴CG∥AD，
∴∠AGC=∠BAF=∠ADC=90°，
∴四边形ADCG是矩形，
∴2，
∴AF=2，
在Rt△BAF中，∠BAF=90°，AB=23，AF=2
∴222025
BF AB AF
=+==
又∵AE=BF，
∴AE=25
即AE的长为5
【点睛】
本题考查全等三角形、等腰三角形、矩形的判定和性质、勾股定理及尺规作图，解题的关键是综合运用这些知识．
23．（1）5
2
；（2）
16
33
2
-
【分析】
（1）先由二次根式的性质、立方根、绝对值的意义进行化简，然后进行计算，即可得到答案；
（2）由平方差公式进行化简，然后得到答案．
【详解】
解：（1）原式31322=++52
=； （2）原式248(31)(31)(31)(31)(31)12-++++=-16163133122
--=-=． 【点睛】
本题考查了平方差公式，实数的混合运算，二次根式的性质，以及绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
24．（1）8；（2）4．
【分析】
（1）先计算出x y +和xy 的值，再利用完全平方公式求解即可；
（2）通分后利用（1）的结论求解即可．
【详解】
（1）∵11x y ==，，
∴1)2x y xy +===，
∴22x y +
2()2x y xy =+-
222=-⨯
124=-
8=；
（2）∵22118x y x y ==
+=，，，2xy =， ∴y x x y
+ 22
x y xy
+= 82
= 4=．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．注意整体代入的方法的运用．
25．（1）30cm ；（2）木杆长100cm ，AB =40 cm ．
【分析】
（1）如图①，过A 作AM 垂直于墙面，垂足于点M ，由40cm AM =，利用勾股定理 在Rt AOM 中，2230(cm)OM AO AM =-=即可；
（2）如图②，延长BA 交墙面于点N ，可得90BNC ∠=︒，利用勾股定理在Rt BCN △中，222BN CN BC +=构造方程222(40)60(60)x x ++=+求解即可．
【详解】
解：（1）如图①，过A 作AM 垂直于墙面，垂足于点M ，
根据题意可得：40cm AM =，
在Rt AOM 中，
2222504030(cm)OM AO AM =-=-=，
即凳子的高度为30cm ；
（2）如图②，延长BA 交墙面于点N ，可得90BNC ∠=︒，
设AB xcm =，则60CB x =+，40BN x =+，903060CN =-=，
在Rt BCN △中，222BN CN BC +=，
222(40)60(60)x x ++=+，
40x =，
6040100(cm)BC =+=．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件与结论，关键是构造出符合条件的图形是解题关键．
26．（1）CE BD ⊥，CE BD =，理由见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质证明：ABD △≌ACE △，利用全等三角形的性质可得答案；
（2）将AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AG ．连接EG ，CG ，
同（1）理证明：90GCB ∠=︒，CG BD =，再证明：ADE ≌
AGE ，可得：ED GE =，由勾股定理可得：222CG CE EG +=，等量代换后可得结论．
【详解】
解：（1）∵90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴BAD CAE ∠=∠．
又BA CA =，AD AE =，
∴ABD △≌ACE △（SAS ），
∴CE BD =，45ACE B ∠=∠=︒．
90BAC ∠=︒，AB AC =，
∴ 45ACB B ∠=∠=︒，
∴454590ECB ∠=︒+︒=︒，
∴CE BD ⊥．
∴CE 与BD 位置关系是CE BD ⊥，数量关系是CE BD =．
（2）将AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AG ．连接EG ，CG ，
如图二，
同（1）理：可得90GCB ∠=︒，CG BD =．
∵90DAG =︒∠，45DAE ∠=︒，
∴45GAE DAE ∠=∠=︒，
∵
AD AG =，AE AE =，
∴ADE ≌AGE （SAS ）．
∴ED GE =，
又∵90GCB ∠=︒， ∴222CG CE EG +=，
∴222BD EC DE +=．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．。