2014-2015年河南省信阳市高三(上)数学期中试卷和答案(理科)
河南省中原名校2014届高三上学期期中联考试卷 数学(理) 含答案
中原名校2013－2014学年上学期期中联考高三数学（理）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，分别答在答题卷上。
第Ⅰ卷（选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．－≤0}，则A∪B＝1．若集A＝{x｜－1≤2x＋1≤3｝，B＝｛x｜2xxA．｛x｜－1≤x＜2｝B．{x｜－1≤x≤2} C．｛x｜0≤x≤2｝D．｛x｜0≤x≤1} 2．设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3）内近似解的过程中得f（2．25）＜0，f（2．75）＞0，f（2．5）＜0,f（3）＞0,则方程的根落在区间A．（2，2．25) B．（2．25，2．5)C．（2．5，2．75）D．（2．75,3）3．已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件π）的4．函数f（x）＝Asin（ωx＋ϕ）（其中A＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2图象如图所示,为了得到g （x ）＝sin2x 的图象，则只需将f(x ）的图象 度单位 A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长5．已知｛na ｝为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，nS 为｛na ｝的前n 项和，n ∈N ﹡，则S 10的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．1106．已知x ＞0，y ＞0，若222y x m m x y8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2＜m ＜4D ．－4＜m ＜2 7．已知向量a ＝（cos θ,sin θ)，向量b ＝（3,－1),则｜2a －b ｜的最大值与最小A ．42B ．6C ．4D ．168．已知函数f （x ）＝nx ＋11n n ax --＋22n n a x --＋…＋1a x ＋0a （n ＞2且n ∈N﹡）设0x 是函数f(x ）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是A ．0()0f x '≠ B ．0()f x '＝0 C ．0()f x '＞0 D ．0()f x '＜09．给出下列四个命题:①命题p:x∀∈R，sinx≤1,则p⌝：x∃∈R，sinx＜1．②当a≥1时，不等式｜x－4|＋｜x－3｜＜a的解集为非空．③当x＞0时，有lnx＋1ln x≥2．④设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝1－i．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．310．已知F是双曲线2221xa b 2y－＝（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B 两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为A．(1，＋∞）B．（1，2）C．(1,1＋2）D．(2，1＋2）11．已知na＝1()3n，把数列｛n a}的各项排列成如下的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A(10，12）＝A．931()3B．921()3C．941()3D．1121()312．在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0),对于某个正实数k,存在函数f(x）＝a2x(a＞0）．使得OP＝λ·（OAOA ＋OQOQ）(λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为P （1，f （1））,Q （k,f （k ）），则k 的取值范围为A ．（2，＋∞)B ．（3，＋∞）C ．［4，＋∞）D ．［8,＋∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．81()2x x＋的展开式中常数项为___________________．14．设z ＝2x ＋y,其中x,y 满足000x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥－y ≤≤≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为_________．15．在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －2x 与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx （k ＞0）所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为__________．16．如图，在四边形ABCD 中，BC ＝λAD (λ∈R)，|AB |＝｜AD ｜＝2,｜CB －CD ｜＝23,且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形,则CB ·BA 的值为__________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省信阳高级中学高三上学期第六次大考——数学(理)数学(理)
河南省信阳高级中学 2015届高三上学期第六次大考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．在复平面内，复数对应的点位于 （ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 2．已知集合，，则（ ）A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |x ＞1}C ．{x |x ≥2}D ．{x |1＜x ＜2}3．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当时，f （x ）＝x （e 为自然对数的底数）， 则的值为 （ ）A ．ln6＋6B ． ln6－6C ． －ln6＋6D ．－ln6－64.已知等差数列的n 前项和为,其中10150,25,n S S S ==则取得最小值时n 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75．过抛物线＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若｜AF ｜＝3，则△AOB 的面积为( )A ．B ．C ．D ．26．执行右边的程序框图，若输出的S 是127，则判断框内应该是( ) A ．n ≤5 B ．n ≤6 C ．n ≤7 D ．n ≤87.设变量满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线经过该可行域，则的最大值为（ ）A.1B.3C.4D.58．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图 中的x 的值是（ ）A ．2B ．C ．D ．39.设偶函数（的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，，则的值为A ．B ．C ．D ．10.如图，已知中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上且满足2,|2,||3,120,AM MPAB AC BAC AP BC MC PB====∠=︒∙若|则的值为（ ） A. B.2 C. D.11．已知函数f （x ）满足[]11()2(),1,3()=ln ,,33f x f x f x x x x ⎡⎤=∈∈⎢⎥⎣⎦当时，若在区间内，函数的图象与轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．12.已知正项{}n n a S 数列的前n 项和为，奇数项成公差为1的等差数列，当n 为偶数时点===+=+n n n n S n a a a ，x y a a 22122}{,2,123),(项和的前则数列又知上在直线（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．已知，则的值为14.已知是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，过作的平分线的垂线，垂足为.若,则该双曲线的渐近线方程为__________________.15．4D ABC DA ABC ABC DA -⊥=三棱锥中，底面，底面为等边三角形，，AB=3，D ABC -则三棱锥的外接球体积为 。
2014-2015年河南省名校高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年河南省名校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．（5分）在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．（5分）已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}3．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（）A．B．﹣ C．﹣ D．4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣e﹣x（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）A．ln6+6 B．ln6﹣6 C．﹣ln6+6 D．﹣ln6﹣65．（5分）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A．870 B．30 C．6 D．37．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．39．（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan=（）A．1 B．﹣1 C．D．10．（5分）若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则x+2y的最大值是（）A．﹣1 B．C．0 D．111．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]12．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意都成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，0]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣5，1]D．[﹣2，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．14．（5分）设a为g（x）=x3+2x2﹣3x﹣1的极值点，且函数f（x）=，则f（）+f（）的值等于．15．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为．16．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x ﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）∀a∈R，试证明函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线经过定点；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．2014-2015学年河南省名校高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．（5分）在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．复数对应点的坐标（），在第四象限．故选：A．2．（5分）已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：集合M={x|y=lg}，，解得：0＜x＜1，M={x|0＜x＜1}，∴∁R M={x|x≤0或x≥1}N={y|y=x2+2x+3}={y|y≥2}，（∁R M）∩N=[2，+∞）故选：C．3．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（）A．B．﹣ C．﹣ D．【解答】解：∵α∈（﹣，0），∴sinα+cosα＞0，∴（sinα+cosα）2=1+sin2α=，∴sinα+cosα=，故选：A．4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣e﹣x（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）A．ln6+6 B．ln6﹣6 C．﹣ln6+6 D．﹣ln6﹣6【解答】解：∵当x＜0时，f （x）=x﹣e﹣x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6﹣e ln6=﹣ln6﹣6，又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6+6故选：A．5．（5分）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A．870 B．30 C．6 D．3【解答】解：当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=3×2=6；当N=2时，A=6，故数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=6×5=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．9．（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，所以a1+a2015=a1003+a1013=π，b7•b8=b6•b9=2，所以tan=tan=．故选：D．10．（5分）若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则x+2y的最大值是（）A．﹣1 B．C．0 D．1【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z=x+2y，化为直线方程的斜截式得：，由图可知，当直线过可行域内的点A（0，）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，最大值为z=0+2×=1．故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f （a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]【解答】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．12．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意都成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，0]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣5，1]D．[﹣2，1）【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，则f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，则f（x﹣2）在区间[，1]上的最小值为f（﹣1）=f（1）若f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意都成立，当时，﹣1≤ax+1≤1，即﹣2≤ax≤0恒成立则﹣2≤a≤0故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．【解答】解：∵已知tan（θ﹣π）=2=tanθ，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3=+3=+3=+3=，故答案为．14．（5分）设a为g（x）=x3+2x2﹣3x﹣1的极值点，且函数f（x）=，则f（）+f（）的值等于8．【解答】解：g′（x）=4x2+4x﹣3=（2x﹣1）（2x+3），令g′（x）=0，得x=或x=﹣，由题意可知a=，∴f（x）=，∴f（）+f（）=+=2+=2+6=8，故答案为：8．15．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为1．【解答】解：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2．∴===1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．∴+﹣==≤1，当且仅当y=1时取等号，即+﹣的最大值是1．故答案为1．16．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x ﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是（1）（2）（4）．【解答】解：（1）∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；（2）∵x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，又其周期T=2，∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；（3）由（2）x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且其周期为2可知，f（x）max=f（1）=21﹣1=20=1，f（x）min=f（0）=20﹣1=，故（3）错误；（4）当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），4﹣x∈（0，1），∴f（4﹣x）=（）1﹣（4﹣x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，∴f（4﹣x）=f（x）=，（4）正确．综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=（cos2xcos+sin2xsin）+（1+cos2x）=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，（3分）∵﹣1≤cos（2x+）≤1，即cos（2x+）最大值为1，∴f（x）的最大值为2，（4分）要使f（x）取最大值，cos（2x+）=1，即2x+=2kπ（k∈Z），解得：x=kπ﹣（k∈Z），则x的集合为{x|x=kπ﹣（k∈Z）}；（6分）（Ⅱ）由题意，f（B+C）=cos[2（B+C）+]+1=，即cos（2π﹣2A+）=，化简得：cos（2A﹣）=，（8分）∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），则有2A﹣=，即A=，（10分）在△ABC中，b+c=2，cosA=，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc，（12分）由b+c=2知：bc≤=1，当且仅当b=c=1时取等号，∴a2≥4﹣3=1，则a取最小值1．（14分）18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列，∴．（2）∵b n=log2a n==n，∴c n==．∴数列{c n}的前n项和T n=+…+==．∵对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，∴，化为=．∵n++5=9，当且仅当n=2时取等号．∴，∴．∴实数k的取值范围是．19．（12分）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…（3分）∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（6分）（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…（10分）∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…（14分）20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）∀a∈R，试证明函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线经过定点；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围．【解答】（1）证明：f′（x）=…（1分）∴f（1）=1+a，f′（1）=2+2a…（2分），∴函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）…（4分）∀a∈R，当时，y=（1+a）（2x﹣1）=0，即切线y=（1+a）（2x﹣1）经过定点…（5分）（2）解：a=0时，f（x）=x2，∵x＞0，∴点（x，x2）在第一象限…（6分）依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0…（7分）a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），从而“∀x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立…（8分）a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得…（9分）设，…（10分）g（x）≥g（1）=﹣1，从而，﹣1＜a＜0…（13分）综上所述，常数a的取值范围﹣1＜a≤0…（14分）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴∠ABC=∠BCD．又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，∴∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．∴△BEC∽△CBD，∴，∴BC2=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f（x）≤6等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x ＜﹣；解②求得﹣≤x ≤；解③求得＜x≤2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|=4，则f（x）的最小值为4．若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a ﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2 }．第21页（共21页）。
河南省南阳市2015届高三上学期期中质量评估数学(理)试题 扫描版含答案
2014年秋期高三年级理科期中考试答案一.选择题: 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DDBADCDAAABD二.填空题:13.5 14.0 15.1 16.①②③④ 三.解答题:17.解：（I ）∵f x ()为偶函数()()∴s i n s i n -+=+ωϕωϕx x 即20s i n c o s ωϕx =恒成立∴cos ϕ=0 ∵，∴02≤≤=ϕπϕπ……………………………………………………………3分 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π ∴T =2π ∴ω=1∴f x x ()c o s = ……………………………………………………………………5分 （II ）∵原式=-++=s i n c o s t a n s i n c o s22112αααα ……………………………7分 又∵，∴s i n c o s s i n c o s αααα+=+=231249 …… ………………………9分 即259s i n c o s αα=-， 故原式=-59………………………………………10分18.解：由⎩⎨⎧+=+=xx y x y 321，得0123=-+-x x x ， 即0)1)(1(2=+-x x ，1=∴x ，∴交点为)2,1(．…………………………………2分 又x x f 2)('=，2)1('=∴f ,∴曲线)(x f y =在交点处的切线1l 的方程为)1(22-=-x y ，……………………5分即x y 2=，又13)('2+=x x g . ∴4)1('=g .∴曲线)(x g y =在交点处的切线2l 的方程为)1(42-=-x y ，即24-=x y . ………………………………………………………………8分取切线1l 的方向向量为)2,1(=a ，切线2l 的方向向量为)4,1(=b ，…………10分 则858591759||||cos =⨯=⋅=b a b a θ. ……………………………………12分19.解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得 由ac b =2及正弦定理得 .s i n s i ns i n 2C A B =则CA AC A C C C A A C A sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+22sin()sin 147.sin sin sin 7A CB B B B +==== …………………………6分 （Ⅱ）由32BA BC ⋅=，得23cos =B ac ，由43cos =B ，可得ac ＝2，即b 2＝2．…………………………………………………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得5cos 2222=+=+B ac b c a ，3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a ……………………12分20.解：（Ⅰ）∵*n N ∈时，n n n a S a -=22， ①当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-， ② ………………………………2分由①－②得，22111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---即2211n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，………………4分 由已知得，当1=n 时， 21112a S a =-，∴11=a .………………………………５分故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*()N n a n n =∈. …………６分 （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ,…………7分∴111133(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.要使得1n n b b +>恒成立,只须113(1)()2n n λ---⋅<. …………８分(1)当n 为奇数时,即13()2n λ-<恒成立.又13()2n -的最小值为1,∴1λ<. ……9分(2)当n 为偶数时,即13()2n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32λ>- ……………………………………１０分∴由(1),(2)得312λ-<<,又0λ≠且λ为整数,……………………１１分∴1λ=-对所有的*N n ∈,都有1n n b b +>成立. ………………１２分21.解：（I ）ax x x x f 22131)(23++-= ，a x x x f 2)('2++-=∴ …………………2分函数)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即导函数在),32(+∞上存在函数值大于零的部分， 0232)32()32('2>++-=∴a f 91->∴a ……………………………………6分(II))(x f 取到最小值316-，而a x x x f 2)('2++-=的图像开口向下，且对称轴方程为21=x ，02)1('>=a f ， 0122)4('<-=a f则必有一点使得0'()0=f x ……………………………………8分此时函数)(x f 在0[1,]x 上单调递增，在0[,4]x 单调递减.612)1(+=a f ,a f 8340)4(+-=,)1()4(f f <∴3168340)4()(min -=+-==∴a f x f , 1=∴a , …………………10分此时，由200000'()202,1()=-++=∴==-舍去f x x x x x ，所以函数max 10()(2)3==f x f ………………………………………………………12分22.解答:[],4,10∈x.3分8分12分。
河南省三门峡、信阳市2015高三11月阶段性联考数学(理)试卷
河南省三门峡、信阳市2015高三11月阶段性联考数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中。
只有一项理符合题目要求的。
)1.设集合{}|ln(1)M x y x ==-，集合{}2|N y y x ==，则MN 等于A ．[)0,1B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．(),1-∞ 2.函数cos(2)2x y x =+的图象的一条对称轴方程是 A ．2x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．x π=3.下列函数中.既是偶函数.又在区间(1，2)内是增函数的为 A ．cos 2,y x x R =∈ B ． 2log ,0y x x R x =∈≠且C ． ,2x xe e y x R --=∈ D ． 31,y x x R =+∈ 4.由函数,xy e y e ==及直线所围成的图形的面积为 A ．12e B ．1 C ．e D ．2“tan 3x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.将函数的图象左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 A ．22cos y x = B ． 22sin y x = C ． 1sin(2)4y x π=++D ． cos 2y x =7.幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()4f 的值为 A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 8.函数()sin xxy e e x -=-⋅的图象大致是9.函数()s i n ()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且1212()()()f x f x x x =≠，则12()f x x +A ．1B ．12 C ． 2 D ． 210.已知函数()1,()2,()ln x f x x g x x h x x x ==+=+的零点分别为123,,x x x ，则 A ． 123x x x << B ． 213x x x << C ． 312x x x << D ． 231x x x << 11.已知21()ln(1),()()2f x xg x x m =+=-，若[][]120,3,1,2x x ∀∈∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是A ． 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ． 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ． 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ． 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 12..给出定义:若1122m x m -<≤+，（其中m.为整数），则m 叫做离实效x 最近的整数。
2014-2015高三上期中答案
2014-2015 高三上期中参考答案一、听力（每题1.5分，满分30分）1~20 CABBA CBACB CAABC CABAC二、多项选择（每题1分，满分10分）21~30 CBADA ABBBD三、完形（每题1分，满分20分）31-50 CBABB BACBB CACDB ACCBD四、阅读（每题2分，满分40分）51-70 BCDAC DABCA ABDCD BCABD五、完成句子（每题2分，满分20分）71. Dressed in72. to be invited73. when/ at what time it took place74. that she couldn’t drive/ that she was not able to drive/ that she was unable to drive75.His not attaching much importance to study(ing)/That he doesn’t attach much importance to study(ing)76. that is of benefit to/ that benefits/ benefiting77. Disappointed as he was78. (should) strike the balance79. owe it to80. On (the) top of the hill stands/ At the top of the hill/ Standing on (the) top of the hill is六、书面表达（满分30分）One possible version:I would shudder at the thought of a world in which people have no gratitude for their country, society, family and those who helped them because gratitude is not only the greatest of virtues, but also cultivates all others.It is gratitude that makes so many human endeavors meaningful. For one thing, gratitude nurtures other virtues because it brings out the best in people. For another, it is gratitude that warms people’s heart and encourages us to do more for our society. For instance, soldiers sent to the front line would risk their lives to protect their fellow countrymen out of their gratitude and love for their country and people.Ideally, one inch of help deserves one mile of gratitude; if it is hard to be so for most ordinary people, at least one inch of help should be repaid by one inch of gratitude.注意：1. 语态，结构错误零分。
河南省信阳市2015届高三上学期第二次调研检测(期末)数学(理)试题(扫描版)
高三数学理科参考答案一、BCAAC DCABD CB 二、13．3 14. -10 15.2 16. 2三、17. 解：（Ⅰ）x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=+ =2)6π2sin(2++x ， 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时，()0f x =min ， 此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π|. ……………… 6分 （Ⅱ）由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －，所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, ∴函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k -. ……… 12分18.解：（Ⅰ）∵22n n S a =- ① 当2≥n 时，1122--=-n n S a ②①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）． 又当n=1时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a . 又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L n nn T n n ③231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅L n n n n T n n n ④由③-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅L n n n n T n 23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅L n n n n T n∴62)23(1-⋅-=-+n n n T ∴62)32(2+⋅-=+n n n T∴数列{}n c 的前n 项和62)32(1+⋅-=+n n n T ……………………………12分19. 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．∴ 0.0125x =． ..........................3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ∵12000.12144⨯=，∴1200名新生中有144名学生可以申请住宿.................... 6分（Ⅲ）∵X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． .................. 10分812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或1414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1． ................. 12分20．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2.∴椭圆C 的标准方程是12622=+y x . ……………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线P Q 的方程为x ＝my +2，将直线P Q 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3.设M 为P Q 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm .∵TF ⊥P Q ，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m 代入上式，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m . 解得3=t . ………………………………………………12分21.解.（Ⅰ）由1e )(--=ax x f x ，得a x f x -='e )(.又11)0(-=-='a f ，∴2=a .∴12e )(--=x x f x ，2e )(-='x x f . 由02e )(>-='x x f ，得2ln >x .∴函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增. …………4分 (Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e)2(ln )(2ln min -=--==f x f .∴4ln 1)(-≥x f ，即4ln 112e -≥--x x，04ln 22e >-≥-x x.令1e )(2--=x x g x ，则02e )(>-='x x g x.∴)(x g 在),0(+∞上单调递增，∴0)0(1e )(2=>--=g x x g x ， ∴1e 2+>x x.…………（8分） (Ⅲ)首先证明：当0>x 时，恒有331e x x>. 令331e )(x x h x-=，则2e )(x x h x -='. 由(Ⅱ)知，当0>x 时，2e x x >，所以0)(>x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增，∴01)0()(>=>h x h ，所以331e x x>. ∴)31ln(3x x >，即x x ln 33ln >+.依次取nn x 1,,23,12+=Λ，代入上式，则 12ln 33ln 12>+，23ln 33ln 23>+，ΛΛnn n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312nn n n n +⨯⨯⨯>+++++ΛΛ∴()1ln 33ln )131211(+>++++++n n n n Λ，∴()n n n n--+>++++3ln 1ln 3131211Λ，即()n n n n e31ln 1312113+>++++Λ……………………………………12分22. (Ⅰ)∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角 ∴ABP ∆∽CAP ∆ …………………2分∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= ………4分(Ⅱ)由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2 ∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分 又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DB CD AB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分 又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分23．解：(Ⅰ)（方法一）曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x即4)3(22=+-y x ∴曲线C 是圆心为(3,0)，半径为2的圆.∵直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x ………3分 ∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++αααα即21sin =α ………5分 ∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或 ………6分 (法二)将05cos 62=+-θρρ化成直角坐标方程为05622=+-+x y x ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-+ααsin cos 105622t y t x x y x 消去y x ,得012cos 82=+-αt t …………4分 ∵ l 与C 相切 ∴ Δ=64α2cos -48=0 解得cos α=23±∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或 …………6分 (Ⅱ)设θθsin 2,cos 23=+=y x则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223πθ++= ………9分∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. ………10分24．解：(Ⅰ)∵ab b a ab 2222≥+= 即ab ab ≥ ∴1≤ab ………2分 又2b211≥≥+a b a 当且仅当b a =时取等号. ∴ 2m = ………5分 (Ⅱ)()f x 2|1||1|||≥+≥++-=tt t x t x ………9分 ∴ 满足条件的实数x 不存在. ………10分。
2014-2015年河南省名校高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年河南省名校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．（5分）在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．（5分）已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}3．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（）A．B．﹣ C．﹣ D．4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣e﹣x（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）A．ln6+6 B．ln6﹣6 C．﹣ln6+6 D．﹣ln6﹣65．（5分）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A．870 B．30 C．6 D．37．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．39．（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan=（）A．1 B．﹣1 C．D．10．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣5，﹣1]D．[﹣2，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．14．（5分）图中阴影部分的面积等于．15．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为．16．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x ﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．2014-2015学年河南省名校高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．（5分）在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．复数对应点的坐标（），在第四象限．故选：A．2．（5分）已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：集合M={x|y=lg}，，解得：0＜x＜1，M={x|0＜x＜1}，∴∁R M={x|x≤0或x≥1}N={y|y=x2+2x+3}={y|y≥2}，（∁R M）∩N=[2，+∞）故选：C．3．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（）A．B．﹣ C．﹣ D．【解答】解：∵α∈（﹣，0），∴sinα+cosα＞0，∴（sinα+cosα）2=1+sin2α=，∴sinα+cosα=，故选：A．4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣e﹣x（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）A．ln6+6 B．ln6﹣6 C．﹣ln6+6 D．﹣ln6﹣6【解答】解：∵当x＜0时，f （x）=x﹣e﹣x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6﹣e ln6=﹣ln6﹣6，又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6+6故选：A．5．（5分）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A．870 B．30 C．6 D．3【解答】解：当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=3×2=6；当N=2时，A=6，故数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=6×5=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．9．（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，所以a1+a2015=a1003+a1013=π，b7•b8=b6•b9=2，所以tan=tan=．故选：D．10．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．【解答】解：当x由0→时，t从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t从0→+∞，且单调递增，∴排除A，B，C，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]【解答】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣5，﹣1]D．[﹣2，1]【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，可得出函数图象关于x=1对称，且函数在（﹣∞，1）上减，由此得出自变量离1越近，函数值越小，综合考虑四个选项，四个选项中的集合中都有﹣1，0不存在于A，C两个选项的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通过验证a的值取0与1时两种情况得出正确选项．当a=0时，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）变为f（2）≤f（x﹣1），有函数f（x）图象特征可得出|2﹣1|≤|x﹣1﹣1|，解得x≥3或x≤1，满足，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，由此排除A，C两个选项．当a=1时，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）变为f（x+2）≤f（x﹣1），有函数f（x）图象特征可得出|x+2﹣1|≤|x﹣1﹣1|，解得x≤，不满足不等式f（ax+2）≤f （x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，由此排除D选项．综上可知，B选项是正确的．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．【解答】解：∵已知tan（θ﹣π）=2=tanθ，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3=+3=+3=+3=，故答案为．14．（5分）图中阴影部分的面积等于1．【解答】解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（13﹣03）=1故答案为：115．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为1．【解答】解：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2．∴===1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．∴+﹣==≤1，当且仅当y=1时取等号，即+﹣的最大值是1．故答案为1．16．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x ﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是（1）（2）（4）．【解答】解：（1）∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；（2）∵x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，又其周期T=2，∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；（3）由（2）x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且其周期为2可知，f （x ）max =f （1）=21﹣1=20=1，f （x ）min =f （0）=20﹣1=，故（3）错误； （4）当x ∈（3，4）时，x ﹣4∈（﹣1，0），4﹣x ∈（0，1）， ∴f （4﹣x ）=（）1﹣（4﹣x ）=，又f （x ）是周期为2的偶函数，∴f （4﹣x ）=f （x ）=，（4）正确．综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4）， 故答案为：（1）（2）（4）．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f （x ）的最大值，并写出使f （x ）取最大值是x 的集合； （Ⅱ）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若．求a 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=cos （2x ﹣）+2cos 2x=（cos2xcos +sin2xsin）+（1+cos2x ）=cos2x ﹣sin2x +1=cos （2x +）+1，（3分）∵﹣1≤cos （2x +）≤1，即cos （2x +）最大值为1，∴f （x ）的最大值为2，（4分） 要使f （x ）取最大值，cos （2x +）=1，即2x +=2kπ（k ∈Z ），解得：x=kπ﹣（k ∈Z ），则x 的集合为{x |x=kπ﹣（k ∈Z ）}；（6分）（Ⅱ）由题意，f （B +C ）=cos [2（B +C ）+]+1=，即cos （2π﹣2A +）=，化简得：cos （2A ﹣）=，（8分）∵A ∈（0，π），∴2A ﹣∈（﹣，），则有2A﹣=，即A=，（10分）在△ABC中，b+c=2，cosA=，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc，（12分）由b+c=2知：bc≤=1，当且仅当b=c=1时取等号，∴a2≥4﹣3=1，则a取最小值1．（14分）18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列，∴．（2）∵b n=log2a n==n，∴c n==．∴数列{c n}的前n项和T n=+…+==．∵对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，∴，化为=．∵n++5=9，当且仅当n=2时取等号．∴，∴．∴实数k的取值范围是．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC．又BC⊥AC，所以BC⊥平面A1ACC1，所以AC1⊥BC．…（2分）因为AA1=AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1⊥A1C．所以AC1⊥平面A1BC，所以A1B⊥AC1．…（5分）（Ⅱ）以OC为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，）．=（2，2，0），=（0，1，），设=（x，y，z）是面ABB1的一个法向量，则•=0，•=0，即，取x=，得=（，﹣，1）．同理面CBB1的一个法向量为=（0，﹣，1）．…（10分）因为cos＜＞=．二面角A﹣BB 1﹣C是锐二面角，所以二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．…（12分）20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．【解答】（1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f′（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）；（2）解：①a=0时，f（x）=x2，因为x＞0，所以点（x，x2）在第一象限，依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；②a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），从而“∀x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；③a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，设，g′（x）=+，则g（x）≥g（1）=﹣1，从而，﹣1＜a＜0；综上所述，常数a的取值范围﹣1＜a≤0．（3）证明：直接计算知，设函数g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，，，当a＞e（e﹣1）2或时，＜0，因为y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=；当时，g（1）、g（e）≥0，而且g（1）、g（e）之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以g（x）有最小值，且，此时存在ξ∈（1，e）（或），使g（ξ）=0．综上所述，∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴∠ABC=∠BCD．又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，∴∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．∴△BEC∽△CBD，∴，∴BC2=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f（x）≤6 等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x≤2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|=4，则f（x）的最小值为4．若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a ﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2 }．。
河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞12．（5分）对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）﹣2a，4a﹣2a，4a﹣2，2﹣2，1）．点评：本题考查符合命题的真假判断，注意“或且非“的真假性判断．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC=BC=1，CC1=2，，D、E分别为AA1、A1C的中点．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC；（Ⅱ）求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．考点：直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：数形结合．分析：（Ⅰ）由线面垂直的性质可得BC⊥A1C，由勾股定理可得AC⊥A1C，从而证得A1C⊥平面ABC．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，求出法向量夹角的余弦值，再把余弦值取绝对值，即得平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面AA1C1C，A1C⊂面AA1C1C，∴BC⊥A1C．在△AA1C中，，由余弦定理得，所以．故有AC2+A 1C2=AA12，所以，AC⊥A1C，而AC∩BC=C，∴A1C⊥平面ABC．（Ⅱ）如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA1，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，由此可得：，．设平面BDE的法向量为，则有，得．令z=1，则x=0，，∴是平面BDE的一个法向量，∵A1C⊥平面ABC，∴是平面ABC的一个法向量，∴，所以，平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为．点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求二面角的平面角的大小，求出二面角的两个面的法向量的坐标是解题的关键和难点．21．（12分）在平面直角坐标系中，若=（x﹣1，y），=（x+1，y），且||+||=4．（1）求动点Q（x，y）的轨迹C的方程（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．考点：轨迹方程．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知向量的坐标结合||+||=4可知动点Q（x，y）的轨迹是以（﹣1，0）和（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，由此可得椭圆的标准方程；（2）设出A，B的坐标，分别代入椭圆方程求得A的坐标，由直线的斜率公式得答案．解答：解：（1）∵=（x﹣1，y），=（x+1，y），且||+||=4，∴，即动点Q（x，y）满足到（﹣1，0）和（1，0）的距离的和为定值4．∴动点Q（x，y）的轨迹是以（﹣1，0）和（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，由a=2，c=1得，b2=3，∴轨迹C的方程为；（2）设A（x0，y0），由题意知，B（2x0，2y0﹣3），∵A，B都在椭圆上，∴，，联立解得：或．当A（）时，直线m的斜率为；当A（）时，直线m的斜率为．∴直线m的斜率为．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了中点坐标公式的应用，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．22．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l．直线l：y=kx+b与抛物线交于B，C两点．（1）求抛物线的方程；（2）当直线OB，OC的倾斜角之和为45°时，证明直线l过定点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设抛物线方程为y2=2px，由抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l，利用抛物线的定义，求出p，即可得到抛物线的方程；（2）直线l：y=kx+b与抛物线联立，设直线OB，OC的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则α+β=45°，利用tan（α+β）==tan45°=1，代入斜率，可得直线l的方程为y=kx+4k+4，即可得出直线l过定点．解答：（1）解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0由抛物线的定义知|AF|=1+，又|AF|=2…（2分）所以p=2，所以抛物线的方程为y2=4x…（4分）（2）证明：设B（，y1），C（，y2）联立，整理得ky2﹣4y+4b=0（依题意k≠0），y1+y2=，y1y2=．…（6分）设直线OB，OC的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则α+β=45°，tan（α+β）==tan45°=1，…（8分）其中k1==，k2=，代入上式整理得y1y2﹣16﹣（y1+y2）=0所以﹣16=，即b=4k+4…（10分）直线l的方程为y=kx+4k+4，整理得y﹣4=k（x+4），所以直线l过定点（﹣4，4）…（12分）点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．。
河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞12．（5分）对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为3．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题4．（5分）已知向量=（1，y，﹣2），=（﹣2，2，z），若∥，则y+z=（）A．5B．3C．﹣3 D．﹣55．（5分）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．（5分）在平行六面休ABCD﹣A′B′C′D′中，若=x+2y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．7．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2B．3C．4D．98．（5分）不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式qx2﹣px﹣1＞0的解集是（）A．B．C．D．9．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离10．（5分）（文科做）双曲线的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定是（）A．相交B．内切C．外切D．相离11．（5分）不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为全体实数，则实数a的取值范围是（）A．﹣＜a＜1 B．﹣＜a≤1 C．﹣≤a≤1 D．a＜﹣1或a＞112．（5分）椭圆与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点F1，F2，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）设m为常数，若点F（5，0）是双曲线的一个焦点，则m=．14．（5分）若=（0，2，1）与=（﹣1，1，﹣2），则与的夹角为．15．（5分）如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，则CD的长为．16．（5分）若实数a，b满足ab﹣4a﹣b+1=0（a＞1），则（a+1）（b+2）的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）（文科）设函数f（x）=x2﹣2ax﹣8a2（a＞0），记不等式f（x）≤0的解集为A．（1）当a=1时，求集合A；（2）若（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=1（1）求直线AD1与B1D所成角；（2）求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．19．（12分）设a是实数，有下列两个命题：p：空间两点A（﹣2，﹣2a，7）与B（a+1，a+4，2）的距离||＜3．q：抛物线y2=4x上的点M（，a）到其焦点F的距离|MF|＞2．已知“￢p”和“p∧q”都为假命题，求a的取值范围．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC=BC=1，CC1=2，，D、E分别为AA1、A1C的中点．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC；（Ⅱ）求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．21．（12分）在平面直角坐标系中，若=（x﹣1，y），=（x+1，y），且||+||=4．（1）求动点Q（x，y）的轨迹C的方程（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．22．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l．直线l：y=kx+b与抛物线交于B，C两点．（1）求抛物线的方程；（2）当直线OB，OC的倾斜角之和为45°时，证明直线l过定点．河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞1考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，cosx≤1，￢p：∃x0∈R，cosx0＞1．故选：D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．2．（5分）对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程为y2=4x，先定位再定量．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线分布在一二象限，可得它的开口向右；又∵2p=4，∴=1，∴抛物线的焦点坐标为（1，0）．综上所述，抛物线y2=4x开口向右，焦点为（1，0）．故选C．点评：本题给出抛物线的标准方程，求它的开口方向与焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程及基本概念等知识，属于基础题．3．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．解答：解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选D．点评：本题考查复合命题的真假情况．4．（5分）已知向量=（1，y，﹣2），=（﹣2，2，z），若∥，则y+z=（）A．5B．3C．﹣3 D．﹣5考点：共线向量与共面向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵∥，∴存在实数λ使得．∴，解得y=﹣1，z=4．∴y+z=3．故选：B．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．5．（5分）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：把x=1代入x2﹣3x+2=0成立，而由x2﹣3x+2=0不见的得到x的值一定是1，还可能是2，从而得到要选的结论．解答：解：由x=1，则12﹣3×1+2=0，即x2﹣3x+2=0成立，反之，由x2﹣3x+2=0，得：x=1，或x=2．所以，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查了充分条件、必要条件及充要条件的判断．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．此题是基础题．6．（5分）在平行六面休ABCD﹣A′B′C′D′中，若=x+2y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．考点：空间向量的基本定理及其意义．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，=++，结合条件，求出x，y，z，即可得出结论．解答：解：由题意，=++，∵=x+2y+3z，∴x=1，y=，z=﹣，∴x+y+z=1+﹣=．故选：B．点评：本题考查空间向量的基本定理及其意义，考查空间向量的加法运算，比较基础．7．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2B．3C．4D．9考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．8．（5分）不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式qx2﹣px﹣1＞0的解集是（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：因为不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故2和3是方程x2﹣px﹣q=0的实根，可求p、q的值，代入不等式qx2﹣px﹣1＞0，可解之．解答：解：∵不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，∴2和3是方程x2﹣px﹣q=0的实根，由根与系数关系可得，2+3=p，2×3=﹣q，即p=5，q=﹣6所以不等式qx2﹣px﹣1＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，解得即不等式qx2﹣px﹣1＞0的解集是故选B点评：本题考查一元二次不等式的解集，关键是知道不等式的解集和对应方程的解之间的关系，属基础题．9．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在，判断（0，1）在圆x2+y2=4的关系，可得结论．解答：解：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=4内，圆心坐标（0，0）不满足y=mx+1，所以直线不经过圆的圆心，∴对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选：C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在．10．（5分）（文科做）双曲线的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定是（）A．相交B．内切C．外切D．相离考点：双曲线的简单性质；圆与圆的位置关系及其判定．专题：作图题．分析：由圆与圆的位置关系，判断两圆的位置关系需判断圆心距与半径和或差的关系，本题中圆心距即为焦点三角形的中位线，利用双曲线的定义即可证明圆心距等于半径之差，故为内切解答：解：如图，设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的圆心坐标分别为B，O，半径分别为R，r在三角形PF1F2中，圆心距|OB|====R﹣r∴分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定是内切点评：本题考查了双曲线的定义，圆与圆的位置关系及其判断，恰当的将双曲线定义与半径和、差联系起来，是解决本题的关键11．（5分）不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为全体实数，则实数a的取值范围是（）A．﹣＜a＜1 B．﹣＜a≤1 C．﹣≤a≤1 D．a＜﹣1或a＞1考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：对a分类讨论：当a=1时，当a=﹣1时，当a≠±1时，根据不等式（a2﹣1）x2﹣（a ﹣1）x﹣1＜0的解集为全体实数，可得，解得即可得出．解答：解：当a=1时，不等式化为﹣1＜0，满足题意．当a=﹣1时，不等式化为2x﹣1＜0，解得x，不满足题意，舍去．当a≠±1时，∵不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为全体实数，∴，解得．综上可得：实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了分类讨论的思想方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）椭圆与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点F1，F2，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．分析：由渐近线为x±2y=0，得出双曲线中的实轴长与半焦距的关系a2=，再结合椭圆和双曲线的定义，列出关于PF1，PF2，F1F2的关系式，解出c的值，代入离心率公式计算．解答：解：设F1F2=2c，在双曲线中，=，a2+b2=c2，得a2=．不妨设p在第一象限，则由椭圆的定义得PF1+PF2=，由双曲线的定义得PF1﹣PF2=2a=又∠F1PF2=90°∴PF12+PF22=4c2∴48+=8c2，解c=，∴e===．故选C点评：本题是椭圆和双曲线结合的好题．要充分认识到PF1，PF2，F1F2在两曲线中的沟通作用．二、填空题（每题5分共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）设m为常数，若点F（5，0）是双曲线的一个焦点，则m=16．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由于点F（5，0）是双曲线的一个焦点，可得52=9+m，即可解出．解答：解：∵点F（5，0）是双曲线的一个焦点，∴52=9+m，解得m=16．故答案为：16．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．14．（5分）若=（0，2，1）与=（﹣1，1，﹣2），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；转化思想．分析：求与的夹角，可利用公式求两向量夹角的余弦，再由三角函数值求角解答：解：∵若=（0，2，1）与=（﹣1，1，﹣2），∴与的夹角余弦==0∴与的夹角为90°故答案为90°点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角，解题的关键是熟练掌握利用向量的数量积求两个向量的夹角的余弦的公式，熟练掌握相关公式是成功解题的关键15．（5分）如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，则CD的长为2cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知可得=++，•=0，•=0，利用数量积的性质即可得出．解答：解：由条件，知•=0，•=0．所以||2=||2+||2+||2+2•+2•+2•=62+42+82+2×6×8cos60°=164，所以CD=2cm，故答案为：2cm．点评：本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16．（5分）若实数a，b满足ab﹣4a﹣b+1=0（a＞1），则（a+1）（b+2）的最小值为27．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：先根据ab﹣4a﹣b+1=0求得a和b的关系式，进而代入到（a+1）（b+2）利用均值不等式求得答案．解答：解：∵ab﹣4a﹣b+1═0∴b==4+∴（a+1）（b+2）=6a++3=6a++9=6（a﹣1）++15≥27（当且仅当a﹣1=即a=2时等号成立）故答案为27．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的关键是配出均值不等式的形式．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）（文科）设函数f（x）=x2﹣2ax﹣8a2（a＞0），记不等式f（x）≤0的解集为A．（1）当a=1时，求集合A；（2）若（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣2x﹣8，不等式x2﹣2x﹣8≤0，化为（x﹣4）（x+2）≤0，解出即可．（2）由x2﹣2ax﹣8a2≤0，可得（x﹣4a）（x+2a）≤0，由于a＞0，可得﹣2a≤x≤4a，即A=．由于（﹣1，1）⊆A，可得，解得即可．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣2x﹣8，由不等式x2﹣2x﹣8≤0，化为（x﹣4）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤4，∴集合A={x|﹣2≤x≤4}．（2）∵x2﹣2ax﹣8a2≤0，∴（x﹣4a）（x+2a）≤0，又∵a＞0，∴﹣2a≤x≤4a，∴A=．又∵（﹣1，1）⊆A，∴，解得，∴实数a的取值范围是．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=1（1）求直线AD1与B1D所成角；（2）求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD1与B1D的方向向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与B1D所成角；（2）求出平面B1BDD1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D1（1，0，1），B1（0，2，1），D（1，0，0）．∴，∴cos==0，∴=90°，∴直线AD1与B1D所成角为90°；（2）设平面B1BDD1的法向量=（x，y，z），则∵，=（﹣1，2，0），∴，∴可取=（2，1，0），∴直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦为=．点评：本题考查线线角，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．19．（12分）设a是实数，有下列两个命题：p：空间两点A（﹣2，﹣2a，7）与B（a+1，a+4，2）的距离||＜3．q：抛物线y2=4x上的点M（，a）到其焦点F的距离|MF|＞2．已知“￢p”和“p∧q”都为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先由“￢p”和“p∧q”都为假命题，得出p为真命题，q为假命题，然后分别求解，取交集．解答：解：∵¬p和p∧q都是假命题，∴p为真命题，q为假命题，命题p为真：将A（﹣2，﹣2a，7）与B（a+1，a+4，2）代入||＜3化简得，（a+3）2+（3a+4）2+（﹣5）2＜90，即a2+3a﹣4＜0，解得﹣4＜a＜1，命题q：抛物线y2=4x上的准线为x=﹣1，q为假命题，则|MF|=+1≤2，解得﹣2≤a≤2，故所求a的取值范围为（﹣4，1）∩=（2）当直线OB，OC的倾斜角之和为45°时，证明直线l过定点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设抛物线方程为y2=2px，由抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l，利用抛物线的定义，求出p，即可得到抛物线的方程；（2）直线l：y=kx+b与抛物线联立，设直线OB，OC的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则α+β=45°，利用tan（α+β）==tan45°=1，代入斜率，可得直线l的方程为y=kx+4k+4，即可得出直线l过定点．解答：（1）解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0由抛物线的定义知|AF|=1+，又|AF|=2…（2分）所以p=2，所以抛物线的方程为y2=4x…（4分）（2）证明：设B（，y1），C（，y2）联立，整理得ky2﹣4y+4b=0（依题意k≠0），y1+y2=，y1y2=．…（6分）设直线OB，OC的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则α+β=45°，tan（α+β）==tan45°=1，…（8分）其中k1==，k2=，代入上式整理得y1y2﹣16﹣（y1+y2）=0所以﹣16=，即b=4k+4…（10分）直线l的方程为y=k x+4k+4，整理得y﹣4=k（x+4），所以直线l过定点（﹣4，4）…（12分）点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2015年河南省信阳市高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2014-2015学年河南省信阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1]B．[0，1） C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）2．（5分）函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=π3．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（1，2）内是增函数的是（）A．y=cos2x，x∈R B．y=x2+1，x∈RC．y=，x∈R D．y=log2|x|，x∈R且x≠04．（5分）由函数y=e x，y=e及直线x=0所围成的图形的面积为（）A．1 B． e C．e D．25．（5分）“tanx=”是“x=2kπ+）（k∈Z）”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x7．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）函数y=（e x﹣e﹣x）•sinx的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x111．（5分）已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]12．（5分）给出定义：若m﹣（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣]；②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f（x）的最小正周期为1；④函数y=f（x）在（﹣，]上是增函数．则上述命题中真命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③D．②④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）=的x值为．14．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=．15．（5分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为16．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时的值，该渔船演北偏东105°方向，一每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是分钟．三、j解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤17．（10分）已知函数f（x）=2x2﹣2ax+b，当x=﹣1时，f（x）取最小值﹣8，记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x﹣t|≤1}（Ⅰ）当t=1时，求（∁R A）∪B；（Ⅱ）设命题P：A∩B≠∅，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．18．（12分）如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．19．（12分）已知函数f（x）=在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a、b、c且=（Ⅰ）求sinB（Ⅱ）若b=4，求△ABC周长的最大值．21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积．22．（12分）已知函数g（x）=lnx+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴（Ⅰ）确定a与b的关系（Ⅱ）试讨论函数g（x）的单调性（Ⅲ）证明：对任意n∈N*，都有ln（1+n）＞++…+成立．2014-2015学年河南省信阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1]B．[0，1） C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）【解答】解：∵A={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴A∩B=[0，1）．故选：B．2．（5分）函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=π【解答】解：此函数的对称轴方程为，当k=0时，．故选：B．3．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（1，2）内是增函数的是（）A．y=cos2x，x∈R B．y=x2+1，x∈RC．y=，x∈R D．y=log2|x|，x∈R且x≠0【解答】解：对于A．y=cos2x，有f（﹣x）=cos（﹣2x）=f（x），是偶函数，但在（1，）上是减函数，故A错；对于B．y=x2+1，定义域为R，f（﹣x）=（﹣x）2+1=f（x），为偶函数，且在（1，2）递增，故B错；对于C．定义域为R，f（﹣x）==﹣f（x），是奇函数，且e x递增，e﹣x递减，故（1，2）递增，故C对；对于D．定义域关于原点对称，f（﹣x）=log2|﹣x|=f（x），为偶函数，且在（1，2）递增，故D错．4．（5分）由函数y=e x，y=e及直线x=0所围成的图形的面积为（）A．1 B． e C．e D．2【解答】解：由题意得到函数y=e x，y=e的图象交点为坐标是（1，e），故由直线y=e，y轴以及曲线y=e x围成的图形的面积为：∫01（e﹣e x）dx=（ex﹣e x）=1．故选：A．5．（5分）“tanx=”是“x=2kπ+）（k∈Z）”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若tanx=”成立，如，推不出“x=2kπ+）（k∈Z）”成立，若“x=2kπ+）（k∈Z）”成立，所以，所以“tanx=”是“x=2kπ+）（k∈Z）”成立的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数=cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，故选：A．7．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设幂函数为：y=xα∵幂函数的图象经过点（4，），∴=4α∴α=﹣∴y=则f（）的值为：．故选：B．8．（5分）函数y=（e x﹣e﹣x）•sinx的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（﹣x）=（e﹣x﹣e x）（﹣sinx）=（e x﹣e﹣x）sinx=f（x），∴函数f（x）=（e x+e﹣x）sinx是偶函数，排除B、C；当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除D．∴A满足题意．故选：A．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1【解答】解：∵f（x）=x﹣﹣1的零点为＞1，g（x）=x+2x的零点必定小于零，h（x）=x+lnx的零点必位于（0，1）内，∴x2＜x3＜x1．故选：D．11．（5分）已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]【解答】解：因为x1∈[0，3]时，f（x1）∈[0，ln10]；x2∈[1，2]时，g（x2）∈[﹣m，﹣m]．故只需0≥﹣m⇒m≥．故选：A．12．（5分）给出定义：若m﹣（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣]；②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f（x）的最小正周期为1；④函数y=f（x）在（﹣，]上是增函数．则上述命题中真命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③D．②④【解答】解：由题意知，{x}﹣{x}+，则得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣]，故①对；由于k∈Z，f（k）=k﹣{k}=k﹣k=0，但由于f（x）=x﹣{x}∈（﹣]，故函数图象不是中心对称图形，故②错；由题意知函数f（x）=x﹣{x}∈（﹣]的最小正周期为1，故③对；由于{x}﹣{x}+则得f（x）=x﹣{x}为分段函数，且在上是增函数，但在区间（﹣上不是增函数，故命题④错．所以正确的命题为①③故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）=的x值为．【解答】解：∵函数f（x）=，满足f（x）=，∴当x≤1时，，解得x=2，不成立；当x＞1时，log41x=，解得x=．故答案为：．14．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=﹣．【解答】解：∵sin（+θ）=，即+=，平方可得+sin2θ=，解得sin2θ=﹣，故答案为﹣．15．（5分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【解答】解：由函数图象可知f′（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），f′（x）＜0的解集为：（﹣1，1）．由（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0，得①或②解①得：x＜﹣1或x＞3；解②得：﹣1＜x＜1．∴不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）．16．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时的值，该渔船演北偏东105°方向，一每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是40分钟．【解答】解：设两船在B点碰头，由题设作出图形，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，整理，得36x2﹣9x﹣10=0，解得x=，或x=﹣12（舍）．即舰艇到达渔船的最短时间是40分钟．故答案为：40．三、j解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤17．（10分）已知函数f（x）=2x2﹣2ax+b，当x=﹣1时，f（x）取最小值﹣8，记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x﹣t|≤1}（Ⅰ）当t=1时，求（∁R A）∪B；（Ⅱ）设命题P：A∩B≠∅，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．【解答】解：由题意（﹣1，﹣8）为二次函数的顶点，∴f（x）=2（x+1）2﹣8=2（x2+2x﹣3）．A={x|x＜﹣3或x＞1}．（Ⅰ）B={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．∴（C R A）∪B={x|﹣3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}={x|﹣3≤x≤2}．∴（C R A）∪B={x|﹣3≤x≤2}．（Ⅱ）∵B={x|t﹣1≤x≤t+1}．且由题意知：命题P：A∩B≠空集为假命题，所以必有：，解得t∈[﹣2，0]．∴实数t的取值范围是[﹣2，0]．18．（12分）如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵点Q的坐标是，∴．∴=．（Ⅱ）===．∵α∈[0，π），则，∴．故f（α）的值域是．19．（12分）已知函数f（x）=在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？【解答】解：（1）因为f′（x）=，而函数f（x）=在x=1处取得极值2，所以，即，解得．故f（x）=即为所求．（2）由（1）知f′（x）=，令f′（x）＞0，得﹣1＜x＜1，∴f（x）的单调增区间为[﹣1，1]．由已知得，解得﹣1＜m≤0．故当m∈（﹣1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a、b、c且=（Ⅰ）求sinB（Ⅱ）若b=4，求△ABC周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵=，∴=∴sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，∴sin（B+C）=3sinAcosB，∴sinA=3sinAcosB，∴cosB=，∴sinB=；（Ⅱ）∵b=4，∴由余弦定理可得32=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣ac≥（a+c）2﹣=（a+c）2，∴（a+c）2≤96，当且仅当a=c时，等号成立，故a+c≤4，∴△ABC周长的最大值为4+4．21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：由于，则AM=故S AMPN=AN•AM=（4分）（1）由S AMPN＞32得＞32，因为x＞2，所以3x2﹣32x+64＞0，即（3x﹣8）（x﹣8）＞0从而即AN长的取值范围是（8分）（2）令y=，则y′=（10分）因为当x∈[3，4）时，y′＜0，所以函数y=在[3，4）上为单调递减函数，从而当x=3时y=取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN=3米，AM=9米22．（12分）已知函数g（x）=lnx+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴（Ⅰ）确定a与b的关系（Ⅱ）试讨论函数g（x）的单调性（Ⅲ）证明：对任意n∈N*，都有ln（1+n）＞++…+成立．【解答】解：（Ⅰ）g（x）=lnx+ax2+bx，则g′（x）=+2ax+b，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，得g′（1）=1+2a+b=0，则b=﹣2a﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g′（x）=，∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴①当a≤0时，2ax﹣1＜0在（0，+∞）上恒成立，由g′（x）＞0得0＜x＜1，由g′（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；②当a＞0时，令g′（x）=0得x=1或x=，若＜1，即a＞时，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，由g′（x）＜0得＜x ＜1，即函数g （x ）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）单调递减；若＞1，即0＜a ＜时，由g′（x ）＞0得x ＞或0＜x ＜1，由g′（x ）＜0得1＜x ＜，即函数g （x ）在（0，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）单调递减；若=1，即a=时，在（0，+∞）上恒有g′（x ）≥0，即函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a ≤0时，函数g （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当0＜a ＜时，函数g （x ）在（0，1）单调递增，在（1，）单调递减；在（，+∞）上单调递增；当a=时，函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 当a ＞时，函数g （x ）在（0，）上单调递增，在（，1）单调递减；在（1，+∞）上单调递增；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，函数g （x ）=lnx +x 2﹣3x 在（1，+∞）单调递增， ∴lnx +x 2﹣3x ≥g （1）=﹣2，即lnx ≥﹣x 2+3x ﹣2=﹣（x ﹣1）（x ﹣2）， 令x=1+，则ln （1+）＞﹣，∴ln （1+1）+ln （1+）+…+ln （1+）＞1﹣+﹣+…+﹣，∴ln （1+n ）＞+++…+．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：lo glo g (0,1)logbab N N b b a =>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。
河南省开封四中2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案
2014—2015学年上期中考试 高三数学（理）试题说明： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120分钟。
2、将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，复数1z i =+，z 为其共轭复数，则22z zz-等于（ ）A . 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D. 1i +2. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ） A . 6 B . 5 C . 8 D . 73. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图像，可将函数sin 2y x =的图像（ ）A . 向左平移6πB .向右平移6πC .向左平移12πD .向右平移12π4. 数列{}n a 满足11112,1n n n a a a a ++-==+，其前n 项积为n T ，则2015T =（ ） A . 2 B . 1 C . 3 D .-6 5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．16643π-B ．32643π- C ．6416π- D ．64643π-6.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =，ABC ∆的面积为32，那么b =（ ）A.B. 1 C. D .27. 已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>> 的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）俯视图侧视图正视图第（5）题图（第2题）A . （1，2）B .（233, +∞）C . （1，233） D .（2， +∞）8. 若28mn+<(,)m n 必在（ ）A .直线1x y +=的左下方B .直线1x y +=的右上方C .直线31x y +=的左下方D .直线31x y +=的右上方9.在二项式n 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（ ）A . 16B .14 C . 13 D . 51210.在ABC ∆中，133,2,,24AB AC AD AB AC ===+则直线AD 通过ABC ∆的（ ） A ． 垂心 B ． 外心 C ． 内心 D ． 重心11. 已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（ ）A .3B . 3C . 16D . 812. 函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，交点横坐标从小到大依次记为,,,a b c d ，下列说法中错误的是 （ ）A ．[)3,4m ∈B ．)40,abcd e ⎡∈⎣C ．562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭D ．若关于x 的方程()=f x x m +恰有三个不同实根，则m 的取值唯一 二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.13. 如图，矩形ABCD 内的阴影部分是由曲线f (x )＝2x 2－2x 与直线y ＝2x 围成的，现向矩形ABCD 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________.14. 已知变量,x y 满足约束条件1,4,1,x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若z kx y =+的最大值为5，则实数k =__________.15．已知直角梯形ABCD ,AB AD ⊥，CD AD ⊥ ，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积__________.16．给出下列命题，其中正确的命题是________（把所有正确的命题的选项都填上）．①函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称；②在R 上连续的函数()f x 若是增函数，则对任意0x R ∈均有0()0f x '>成立； ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④若P 为双曲线2219y x -=上一点，1F 、2F 为双曲线的左右焦点，且24PF =，则1||2PF =或6；⑤如果52))(1(a x x x -++（a 为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含4x 项的系数为-5.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）数列{}n a 满足112a =,*11()2n na n N a +=∈-； (Ⅰ)求证:1{}1n a -为等差数列,并求出{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设11n nb a =-,数列{}n b 的前n 项和为n B ,对任意2n ≥都有320n n m B B ->成立,求整数m 的最大值.18. （本小题满分12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25． (Ⅰ)求a ，b 的值；(II)从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；(III)从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ⊥侧面11BB C C ，1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=. (Ⅰ)求证：1C B ⊥平面ABC ；(II)设1(01)CE CC λλ=≤≤，且平面1AB E 与1BB E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值.20. （本小题满分12分）定圆M：(2216x y +=，动圆N 过点F)且与圆M相切，记圆心N 的轨迹为E . (Ⅰ)求轨迹E 的方程；(II ）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC CB =，当ABC ∆的面积最小时，求直线AB 的方程．21. （本小题满分12分）已知函数2()ln ,2x f x a x x a R =--∈. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性； (II) 证明：2(1)()2ln 3xx ex x ---+<．请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知，如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，AC =AB ，CO 交⊙O 于点P ，CO 的延长线交⊙O 于点F ，BP 的延长线交AC 于点E . (Ⅰ)求证：AP FAPC AB= ； (II)若⊙O 的直径AB =2，求tan ∠CPE 的值.23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1212x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-．(Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程；(II)若(,)P x y 是直线l 与圆面ρ≤4sin()6πθ-y +的取值范围．24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知实数0,0a b >>，且2292a b +=，若a b m +≤恒成立. (Ⅰ)求实数m 的最小值；(II)若2|1|||x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围.15届 高三数学（理科）答案13.827 14. 13-或15 15. 43π 16.①⑤ 三．解答题：本大题共6小题,共70分. 17. (Ⅰ)112n n a a +=- ,21111111112n n n n na a a a a -===-+----- ， ∴111111n n a a +-=--- ∴1{}1n a -为首项为-2,公差为-1的等差数列，∴11n a -2(1)1n n =---=--， ∴1n n a n =+ …………… 6分(Ⅱ) 111n n b n n +=-=，3111++1+23n n n n C B B n n =-=++ ， 11111310313*******n n C C n n n n n n +-=++->-=++++++，所以{}n C 为单调递增数列，max 262111119()345620n C C B B ==-=+++=，192020m ∴<，m 最大值为18. …………… 12分 18. (Ⅰ)设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有6a +人．则62()205a P A +==．解得 2a =．所以4b =． ……………3分 （II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 6分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，334814764012959595955E ξ=⨯+⨯+⨯==. ………………… 12分 19. 解：(Ⅰ)因为AB ⊥侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥， 在1BCC ∆中, 111,2,,3BC CC BCC π==∠=由余弦定理得：1BC == ……3 分故22211BC BC CC +=，所以1BC BC ⊥，又BCAB B =，所以1C B ⊥平面ABC .…………… 4分（II ）以B 为坐标原点，1,,BC BA BC 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则11(1,0,0),(1C C CC =-，()CE λ=-，所以(1,),E λ-又1(1(0,1,0)B A -，所以11(2,0,3(1)),(1,1,B E B A λλ=--=-，设平面1AB E 的法向量1(,,)n x y z =，则0,(2)1)0,x y x z λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩可得1(3(1),2))n λλ=--…………… 7分 又平面1BB E 的法向量2(0,1,0)n =，12cos |cos ,|2n n θ===， 22530λλ-+=，1λ=或32λ=（舍去）. …………… 12分 20. 解：（Ⅰ）因为点(0)F 在圆22:(16M x y +=内，所以圆N 内切于圆M . 因为||NM +||4||NF FM =>，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,a c ==所以1b =，所以轨迹E 的方程为2214x y +=. …………… 4分 （Ⅱ）（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时1||2ABC S OC ∆=⨯⨯||2AB =. （ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =，联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2222244,,1414A A k x y k k ==++ 所以2||OA =2A x2224(1)14Ak y k++=+. 由||||AC CB =知，ABC △为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC AB ⊥，所以直线OC 的方程为1y x k =-，由221,41,x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2224,4C k x k =+2C y =24,4k +2224(1)||4k OC k +=+， 2||||ABC OAC S S OA OC ∆∆==⨯=2=222(14)(4)5(1)22k k k ++++=，所以85ABC S ∆…，当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时ABC △面积的最小值是85. 因为825>，所以ABC △面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y x =或y x =-. ……………12分21．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()()1a x x a f x x x x-+-'=--=，当0,a ≤'()0f x <，()f x 在(0,)+∞内单调递减；当0a >，x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. …………… 6分（Ⅱ）当2a =时，由（Ⅰ）可知()f x 在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减，max 3()(1)2f x f ==-， 即 232ln 22x x x --≤-；令2()(1)2,02xx g x x e x x -=--+>，()(2)(1)x g x x e -'=-+， 易知max 21()(2)2g x g e==+，所以 2233(1)()2ln (1)()(1)22222xxxx x x e x x x e x x x e x -----+<--++-=--+-21322.23e ≤+-< …………… 12分 22． （Ⅰ）∵AC 为⊙O 的切线，PA 是弦 ∴∠PAC =∠F ，∵∠C =∠C ∴△APC ∽△FAC ∴AP PC FA AC = ，∵AB=AC ， ∴AP FA PC AB= …………… 5分 （Ⅱ）∵AC 切⊙O 于点A ，CPF 为⊙O 的割线，则有AC 2=CP •CF =CP （CP +PF ），∵PF =AB =AC =2 ∴CP （CP +2）=4，整理得CP 2+2CP -4=0, 解得1PC =-∵CP >0 ∴CP =1，∵FA ∥BE ∴∠CPE =∠F ，∵FP 为⊙O 的直径， ∴∠FAP =90°， 由（Ⅰ）中证得AP PCFA AC= ，在Rt △FAP 中， 1tan 2AP PC F FA AC ∠===∴tan F ∠=.…..10分23. （Ⅰ） ∵14(cos )2sin 22ρθθθθ=⋅-=-2222x x y ρ=-=+, ∴22(1)(4x y ++=. ………… 5分（Ⅱ） ∵221(11)022t --++≤，∴22t -≤≤,3122y t t t +=+=-，∴22y -≤+≤. ……..10分24. （Ⅰ）∵322a b +≤=当且仅当a b =时，max ()3a b +=∴3m ≥，m 的最小值为3. ………… 5分（Ⅱ）令32,1()212,0123,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=-+=-<<⎨⎪-≤⎩，当53233x x -≥≥时；当231x x -≥≤-时（舍去）；当12333x x -≥≤-时. 综上：13x ≤-或53x ≥. ……..10分。
20河南省三门峡市、信阳市2015届高三阶段(11月)联考
2014-2015学年度高三阶段性考试理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中。
只有一项理符合题目要求的。
)1.设集合{}|ln(1)M x y x ==-，集合{}2|N y y x ==，则M N 等于A ．[)0,1B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．(),1-∞ 2.函数cos(2)2x y x =+的图象的一条对称轴方程是 A ．2x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．x π=3.下列函数中.既是偶函数.又在区间(1，2)内是增函数的为 A ．cos 2,y x x R =∈ B ． 2log ,0y x x R x =∈≠且C ． ,2x xe e y x R --=∈ D ． 31,y x x R =+∈ 4.由函数,x y e y e ==及直线所围成的图形的面积为 A ．12e B ．1 C ．e D ．2“tan 3x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.将函数的图象左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 A ．22cos y x = B ． 22sin y x = C ． 1sin(2)4y x π=++D ． cos 2y x =7.幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()4f 的值为 A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 8.函数()sin xxy e e x -=-⋅的图象大致是9.函数()s i n ()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且1212()()()f x f x x x =≠，则12()f x x +A ．1B ．12 C ． 2 D ． 210.已知函数()1,()2,()ln x f x x g x x h x x x ==+=+的零点分别为123,,x x x ，则 A ． 123x x x << B ． 213x x x << C ． 312x x x << D ． 231x x x << 11.已知21()ln(1),()()2f x xg x x m =+=-，若[][]120,3,1,2x x ∀∈∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是A ． 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ． 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ． 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ． 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 12..给出定义:若1122m x m -<≤+，（其中m.为整数），则m 叫做离实效x 最近的整数。
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7． （5 分）幂函数 y=f（x）的图象经过点（4， ） ，则 f（ ）的值为（ A．1 B．2 C．3 D．4 ）
8． （5 分）函数 y=（ex﹣e﹣x）•sinx 的图象大致是（
A．
B．
C
．
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D． 9． （5 分）函数 f（x）=Asin（ωx+φ） 图所示，若 （ ） 的部分图象如
16． （5 分）某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45°距离为 10 海里的 C 处，此 时的值，该渔船演北偏东 105°方向，一每小时 9 海里的速度向一小岛靠近，舰 艇时速 21 海里，则舰艇到达渔船的最短时间是 分钟．
三、j 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或 验算步骤 17． （10 分）已知函数 f（x）=2x2﹣2ax+b，当 x=﹣1 时，f（x）取最小值﹣8， 记集合 A={x|f（x）＞0}，B={x||x﹣t|≤1} （Ⅰ）当 t=1 时，求（∁RA）∪B； （Ⅱ）设命题 P：A∩B≠∅，若￢P 为真命题，求实数 t 的取值范围． 18． （12 分）如图，设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点，P，Q 是单位圆上两点， O 是坐标原点，且 （Ⅰ）若点 Q 的坐标是 （Ⅱ）设函数 ，∠AOQ=α，α∈[0，π） ． ，求 ，求 f（α）的值域． 的值；
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1． （5 分）设集合 A={x|y=ln（1﹣x）}，集合 B={y|y=x2}，则 A∩B=（ A．[0，1] B．[0，1） C． （﹣∞，1] D． （﹣∞，1） 【解答】解：∵A={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}， B={y|y=x2}={y|y≥0}， ∴A∩B=[0，1） ． 故选：B． ）
，且 f（x1）=f（x2） （x1≠x2） ，则 f（x1+x2）=
A．1
B．
C．
D． ﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别
10． （5 分）已知函数 f（x）=x﹣ 为 x1，x2，x3，则（ A．x1＜x2＜x3 ）
B．x2＜x1＜x3
C．x3＜x1＜x2
D．x2＜x3＜x1
21． （12 分）如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN， 要求 M 在 AB 的延长线上， N 在 AD 的延长线上， 且对角线 MN 过 C 点． 已知 AB=3 米，AD=2 米． （I）设 AN=x（单位：米） ，要使花坛 AMPN 的面积大于 32 平方米，求 x 的取值 范围； （Ⅱ） 若 x∈[3， 4） （单位： 米） ， 则当 AM， AN 的长度分别是多少时， 花坛 AMPN 的面积最大？并求出最大面积．
11． （5 分）已知 f（x）=ln（x2+1） ，g（x）=（ ）x﹣m，若∀ x1∈[0，3]，∃ x2 ∈[1，2]，使得 f（x1）≥g（x2） ，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．[ ，+∞） B． （﹣∞， ] C．[ ，+∞） D． （﹣∞，﹣ ] 12． （5 分）给出定义：若 m﹣ （其中 m 为整数） ，则 m 叫做离实数
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二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13． （5 分） 设函数（ f x） = 14． （5 分）设 sin（ +θ）= ，则 sin2θ= ， 则满足（ f x） = 的 x 值为 ． ．
15． （5 分）已知 R 上可导函数 f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′ （x）＞0 的解集为
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19． （12 分）已知函数 f（x）= （1）求函数 f（x）的表达式；
在 x=1 处取得极值 2．
（2）当 m 满足什么条件时，函数 f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？ 20． （12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对应边分别为 a、b、c 且 （Ⅰ）求 sinB （Ⅱ）若 b=4 ，求△ABC 周长的最大值． =
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2014-2015 学年河南省信阳市高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1． （5 分）设集合 A={x|y=ln（1﹣x）}，集合 B={y|y=x2}，则 A∩B=（ A．[0，1] B．[0，1） C． （﹣∞，1] D． （﹣∞，1） 2． （5 分）函数 y=cos（2x+ A．x=﹣ B．x=﹣ C．x= ）的图象的一条对称轴方程是（ D．x=π ） ） ）
5． （5 分）“tanx=
”是“x=2kπ+
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 个单位，再向上平移 1 个单位，所
6． （5 分）将函数 y=sin2x 的图象向左平移 得图象的函数解析式是（ A．y=2cos2x B．y=2sin2x C． ）
D．y=cos2x ）
x 最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数 f（x）=x﹣{x} 的四个命题： ①y=f（x）的定义域是 R，值域是（﹣ ]；
②点（k，0）是 y=f（x）的图象的对称中心，其中 k∈Z； ③函数 y=f（x）的最小正周期为 1； ④函数 y=f（x）在（﹣ ， ]上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是（ A．①④ B．①③ C．②③ ） D．②④
3． （5 分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（1，2）内是增函数的是（ A．y=cos2x，x∈R B．y=x2+1，x∈R C．y= ，x∈R D．y=log2|x|，x∈R 且 x≠0 ）
4． （5 分）由函数 y=ex，y=e 及直线 x=0 所围成的图形的面积为（ A．1 B． e C．e D．2 ） （k∈Z）”成立的（ ）
22． （12 分）已知函数 g（x）=lnx+ax2+bx，函数 g（x）的图象在点（1，g（1） ） 处的切线平行于 x 轴 （Ⅰ）确定 a 与 b 的关系 （Ⅱ）试讨论函数 g（x）的单调性 （Ⅲ）证明：对任意 n∈N*，都有 ln（1+n）＞ + + …+ 成立．
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2014-2015 学年河南省信阳市高三 （上） 期中数学试卷 （理 科）