卓越联盟自主招生数学试题及答案

2013年卓越联盟自主招生数学试题
一、选择题：（本大题共4小题,每小题5分．在每小题给出的4个结论中,只有一项是符合题目要求的．）
（1)已知()f x 是定义在实数集上的偶函数,且在(0,)+∞上递增，则
（A)0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- （B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-
（C ） 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-
（2）已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2
π，为得到()y f x =的图象,可将sin y x =图象上所有点 （A ）先向右平移3
π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (B) 先向左平移3
π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 （C ） 先向左平移3
π个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 (D ） 先向右平移3
π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 （3)如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物,要求同一区域中只种1种植物,相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为
（A ）21 （B)24 (C ）30 （ D)48
(4）设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有
2()()f x f x x -+=,且在(0,)+∞上()f x x '>．若
(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为
(A)[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ （D) [2,)+∞
二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分，共24分）
(5）已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点是双曲线22
18x y p -=的一个焦点,则双曲线的渐 近线方程为 ．
（6)设点O 在ABC ∆的内部，点D ,E 分别为边AC ,BC 的中点，且21OD DE +=， 则23OA OB OC ++= ．
（7)设曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落 入区域22
{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为 ．
(8）如图,AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE
垂直,垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且
,ODC DBC αβ∠=∠=,
则OEC ∠= （用,αβ表示）．
三、解答题(本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
（9）(本小题满分13分）
在ABC ∆中,三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．
已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．
（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值．
(10）（本题满分13分） 设椭圆2221(2)4
x y a a +=>的离心率为3，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．
（1）求椭圆方程;（2）若直线l 与x 轴相交于点G ,且GC DE =，求k 的值； （3）设A 为椭圆的下顶点,AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-．
设0x >，（1）证明:2112x e x x >++
； （2)若2112
x y e x x e =++
，证明:0y x <<．
已知数列{}n a 中,13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈．
（1)若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围；
（2）当2α=-时，证明
*121112()222
n n N a a a +++<∈---．
答案：(1）A ； （2）B; （3）C ； （4）B ．
（5）y x =±； （6)2； (7）11π-; (8)βα-．。