10.高一寒假数学讲义：幂函数的图像与性质(应用)【学生版】

高一寒假数学讲义
“幂函数的图像与性质（应用）”
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知识定位
熟练掌握幂函数的概念，幂函数的图像及幂函数的性质，会解决幂函数的综合问题及应用问题。

知识梳理
一、幂函数的定义
一般地，形如y xα
=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常
数.如
11
234
,,
y x y x y x-
===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，
都是基本初等函数.
幂函数的几个特点：（1）以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1；（5）幂前的系数也为1。

特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。

二、幂函数的图像
α取值范围不同，图像也不相同，
α的正负：
α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象
限的图象上升；
α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图
象下降，反之也成立
注意判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”。

比如幂函数112
3
4
,,y x y x y x -
===定义域分别为x ∈R ，x ∈R ，x ≠0。

三、 幂函数的性质
（1）所有的幂函数在x ∈（0，+∞）都有定义,并且图象都通过点(1,1) （2）指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数 （3）α>0(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. α<0(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数;
(3)在第一象限内,图象向上与Y 轴无限接近,向右与X 轴无限地接近
.
四、 幂函数的运算
（一）两个重要公式
①⎪⎩
⎪
⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；
②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

（二）有理数指数幂 （1）幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:(0,,1)m n m n
a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11
(0,,1)m
n m n
m
n
a
a m n N n a a
-*=
=
>∈>、且
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质
n 为奇数 n 为偶数
①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 五、 规律总结
1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；
2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．
3. 当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当α=p
q （其中,pq 互质，p 和q ∈Z ），若p 为奇数q 为奇数时，则y=x p
q 是奇函数，若 p 为奇数,q 为偶数时，则y=x p
q
是偶函数，若 p 为偶数q 为奇数时，则y=x p
q 是非奇非偶函数．
4. 幂函数的图象特征：幂函数y ＝α
x ,x ∈（0，+∞），当α>1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 下方，若 x>1，其图象在直线y=x 上方，当α<1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 上方，若x>1， 其图象在直线 y=x 下方．
例题精讲
【试题来源】
【题目】已知函数f(x)＝(2m 2
+m)x
m m 1
2-+为幂函数且是奇函数，则实数m 的值是（ ）
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】 给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数y=|x+2|-2x
在R 上有3个零点；③ 1-x (x −2)≥0的解集为[2，+∞）；④当n ≤0时，幂函数y=x n
的图象与两坐标轴不相交；其中正 确的命题是（ ） 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】下列函数在定义域上既是奇函数，又是单调递增函数的是（ ）
A. y=x|x| B ．y=e x +e -x
C.
D.y=
x
2
5
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】 已知幂函数f(x )＝x
m m 42
-（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在区间（0，+∞）
为减函数。

（1）求m 的值和函数f （x ）的解析式
（2）解关于x 的不等式f （x+2）＜f （1-2x ）． 【难度系数】3
习题演练
【试题来源】
【题目】若f （x ）是幂函数，且满足
)
2()
4(f f =3，则f （21）=（）
A.3
B.-3
C. 31
D.-3
1 【难度系数】2
【试题来源】
【题目】对于幂函数f(x)=x 5
4
，若0＜x1＜x2，则(221x x +),2
)
2()1(x f x f +的大小关系是 （ ）
A.(
221x x +)>2)2()1(x f x f + B.(221x x +)<2)
2()1(x f x f + C.(221x x +)=2
)2()1(x f x f + D.无法确定
【难度系数】3
【试题来源】（2014•漳州一模）
【题目】当α∈{-1，
2
1，1，3}时，幂函数y=x α
的图象不可能经过的象限是（ ） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二、四象限 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】幂函数为减函数，则实数
（ ）
A ．m=2
B ．m= 1
C ．m=2或m=1
D ．
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知幂函数f(x)＝x m 3
-(m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足
)
1(99
+-
a m
<)
23(99
a m --
的a 的取值范围．
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】设a ∈｛-1,1,2,3｝，则使函数的值域为且为奇函数的所值为（ ）
A ．，
B ．，
C ．
，
D ．
，，
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】幂函数y ＝x m m 3
22--（m ∈Z ）的图象如右图所示，则m
的值为（ ）
A. -1＜m ＜3 B ．0 C ．1 D ．2 【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知幂函数f(x)存在反函数，且反函数f -1
(x)过点(2，4)，则f(x)的解析式是（ ） . 【难度系数】2
【试题来源】（2012•宣威市模拟）
【题目】当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2
，g (x )＝
x 2
1，h (x )＝x −2
的大小关系是（ ）
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知幂函数f （x ）的部分对应值如下表：则不等式f （丨x 丨）≤2的解集是（ ）
x
1
2
1
f （x ）
1
2
2
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知幂函数y ＝x m m 3
22
--(m ∈N*)的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函
数．
（1）求m 的值； （2）求满足
)
1(3
+-a m
<
)
23(3
a m --的a 的取值范围．
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】图中曲线是幂函数y ＝xn 在第一象限的图象，已知n 取±2，±四个值，则对应
于曲线C1，C2，C3，C4的n 值依次为( )
A ．－2，－，，2
B ．2，，－，－2
C ．－，－2,2，
D ．2，，－2，－
【难度系数】2
【试题来源】 【题目】已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间（2，3）上为单调函数，求实数的取值范围．
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知点(2，2)在幂函数f （x ）的图象上，点(−2，4
1
）在幂函数g （x ）的图象上．
（1）求函数f （x ），g （x ）的解析式； （2）判断函数g （x ）的单调性并用定义证明； （3）问x 为何值时有f （x ）≤g （x ）． 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知幂函数f （x ）=为偶函数x m m 3
22
-+-，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
(Ⅰ)求函数f （x ）的解析式； (Ⅱ)设函数g （x ）=41f （x ）+ax 3+2
9x 2
-b ，其中a 、b ∈R.若函数g （x ）仅在x=0处有极值，求a 的取值范围． 【难度系数】3。