新津县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

新津县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交且过圆心
D ．相交但不过圆心2． 已知，，那么夹角的余弦值（ ）
A ．
B ．
C ．﹣2
D ．﹣
3． 设集合
,,则( )
A B
C D
4． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（
）
A ．12+
B ．12+23π
C ．12+24π
D ．12+π
5． 若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）
A ．(]0,2016
B ．[]0,2015
C ．(]1,2016
D ．[]1,20176． 若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7． 设a ＞0，b ＞0，若是5a 与5b 的等比中项，则+的最小值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．1
D ．
8． 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：（1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ，（3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β，其中正确命题是（
）
A ．（1）与（2）
B ．（1）与（3）
C ．（2）与（4）
D ．（3）与（4）　9． 若复数
的实部与虚部相等，则实数等于（ ）2b i
i
++b （A ）
（ B ）
（C ）
（D ） 311
3
12
-
10．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为
（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）i z 311-=i z +=32i 2
1
z z A ．
B ．
C ．
D ．
1-5
4i -i 5
4【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.
12．复数是虚数单位）的虚部为（ ）i i
i
z (21+=
A ．
B ．
C ．
D ．1-i -i 22
【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．
二、填空题
13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．
14．在中，已知，则此三角形的最大内角的度数等ABC ∆sin :sin :sin 3:5:7A B C =于__________.
15．长方体中，对角线与棱、、所成角分别为、、，
1111ABCD A B C D -1A C CB CD 1CC αβ
则 ．　
2
22sin
sin sin αβγ++=16．曲线y=x 2和直线x=0，x=1，
y= 所围成的图形的面积为 ．17．定义在R 上的可导函数()f x ，已知
()
f x y e
=′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．
D 1中，AB=5，BC=4，AA 1=3，沿该长方体对角面ABC 1D 1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．
三、解答题
19．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．
（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；
（Ⅱ）设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．　
20．已知函数f （x ）的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}，且对定义域内的任意x ，y 都有f （x ﹣y ）=成立，且f （1）=1，当0＜x ＜2时，f （x ）＞0．（1）证明：函数f （x ）是奇函数；
（2）试求f （2），f （3）的值，并求出函数f （x ）在[2，3]上的最值．　
21．【南通中学2018届高三10月月考】设，，函数，其中是自然对数的底数，曲线
在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）求证：函数存在极小值；
（Ⅲ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.
22．已知椭圆Γ：（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为，过点A的直线l与椭圆交于另一点M
．
（I）求椭圆Γ的方程；
（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
23．设集合A={x|0＜x﹣m＜3}，B={x|x≤0或x≥3}，分别求满足下列条件的实数m的取值范围．
（1）A∩B=∅；
（2）A∪B=B．
24．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AB⊥SC；
（Ⅱ）设D，F分别是AC，SA的中点，点G是△ABD的重心，求证：FG∥平面SBC；（Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A﹣FD﹣G的余弦值．
新津县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化
【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆：
圆心（2,1），半径2．
圆心到直线的距离为：，所以直线与圆相交。

又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。

故答案为：D
2．【答案】A
【解析】解：∵，，
∴=，||=，=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，
∴cos＜＞===﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C。

4．【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，
其表面积为
S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]
=12+24π．
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
5．【答案】B
【解析】
6．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，
∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，
∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，
即a=1，b=0．
∴a+b=1．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
7．【答案】B
【解析】解：∵是5a与5b的等比中项，
∴5a•5b=（）2=5，
即5a+b=5，
则a+b=1，
则+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2=2+2=4，
当且仅当=，即a=b=时，取等号，
即+的最小值为4，
故选：B
【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．
8．【答案】B
【解析】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故（1）正确；
∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；
∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；
∵直线l ⊥平面α，l ⊥m ，∴m ∥α或m ⊂α，又∵直线m ⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误；故选B ．
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．　
9． 【答案】C
【解析】
＝＝＋i ，因为实部与虚部相等，所以2b ＋1＝2－b ，即b ＝.故选C.
b ＋i 2＋i (b ＋i)(2－i)(2＋i)(2－i)
2b ＋152－b
51310．【答案】B
【解析】【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：
由题知：
所以故答案为：B 11．【答案】B
【解析】由复数的除法运算法则得，
，所以的虚部为.i i i i i i i i z z 54
531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=2
1z z 54
12．【答案】A 【解析】，所以虚部为-1，故选A.()12(i)
122(i)
i i z i i i +-+=
==-- 二、填空题
13．【答案】　12　．
【解析】解：设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有（15﹣x ）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x ）人，由此可得（15﹣x ）+（10﹣x ）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．　
14．【答案】120
【解析】
考
点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据
，根据正弦定理，可设，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，
sin :sin :sin 3:5:7A B C =3,5,7a b ===熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．15．【答案】【解析】
试题分析：以为斜边构成直角三角形：，由长方体的对角线定理可得：
1AC 1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆.
2222
2
2
1111222111sin sin sin BC DC A C AC AC AC αβγ++=++22212
12()
2AB AD AA AC +
+==考点：直线与直线所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键．16．【答案】 ．
【解析】解：∵曲线y=x 2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）
∴曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为S=（
）dx+
dx=（x ﹣
x 3）
+（x 3﹣x ）
=．
故答案为：．
17．【答案】（﹣∞，2）【解析】试题分析：由()
21()0f x x
e
f x '≤≥⇒≥′时，()21()0f x
x e f x '><⇒<′时，所以()y f x =
的
增区间是（﹣∞，2）考点：函数单调区间18．【答案】　114　．
【解析】解：根据题目要求得出：
当5×3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5×4+5×5+3×4）×2=114．
故答案为：114
【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A，B，
∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，
∴，，
∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为和．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7，
∴，P（X=6）=，P（X=7）=
，
∴随机变量X的分布列为
X567
p
．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
20．【答案】
【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．
又f（x﹣y）=，
所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]====
==，
故函数f（x）奇函数．
（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]==，
令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]===，
∵f（x﹣2）==，
∴f（x﹣4）=，
则函数的周期是4．
先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0，
设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1，
则f（x﹣2）=，即f（x）=﹣＜0，
设2≤x1≤x2≤3，
则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0，
则f（x1）﹣f（x2）=，
∴f（x1）＞f（x2），
即函数f（x）在[2，3]上为减函数，
则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．
21．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存在极小值；
试题解析：
（Ⅰ）∵，∴，由题设得，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴函数在
是增函数，∵，，且函数图像在上不间断，∴，使得，结合函数在是增函数有：
）
递减极小值递增
∴函数存在极小值；
（Ⅲ），使得不等式成立，即，使得不等式成立……
（*），令，，
则，
∴结合（Ⅱ）得，其中，满足，
即，∴，，∴，∴，，∴在内单调递增，
∴，
结合（*）有，即实数的取值范围为．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得，解得，
所以所求的椭圆方程为；
（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切，
因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，
又=﹣1，所以直线MF的方程为y=x﹣2，
由消去y，得3x2﹣8x=0，解得x=0或x=，
所以M（0，﹣2）或M（，），
（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，
则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==≠，
所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；
（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（），半径为r==
=，
所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==r，
所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时k AF=，所以直线l的方程为y=﹣+2，即x+2y﹣4=0，
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．
【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．
23．【答案】
【解析】解：∵A={x|0＜x﹣m＜3}，∴A={x|m＜x＜m+3}，
（1）当A∩B=∅时；如图：
则，
解得m=0，
（2）当A∪B=B时，则A⊆B，
由上图可得，m≥3或m+3≤0，
解得m≥3或m≤﹣3．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴SA⊥AB，又AB⊥AC，SA∩AC=A，
∴AB⊥平面SAC，
又AS⊂平面SAC，∴AB⊥SC．
（Ⅱ）证明：取BD中点H，AB中点M，
连结AH，DM，GF，FM，
∵D，F分别是AC，SA的中点，
点G是△ABD的重心，
∴AH过点G，DM过点G，且AG=2GH，
由三角形中位线定理得FD∥SC，FM∥SB，
∵FM∩FD=F，∴平面FMD∥平面SBC，
∵FG⊂平面FMD，∴FG∥平面SBC．
（Ⅲ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，∵SA=AB=2，AC=4，∴B（2，0，0），D（0，2，0），H（1，1，0），
A（0，0，0），G（，，0），F（0，0，1），
=（0，2，﹣1），=（），
设平面FDG的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（2，1，2），
又平面AFD的法向量=（1，0，0），
cos＜，＞==．
∴二面角A﹣FD﹣G的余弦值为．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．。