广东省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编 导数及其应用 文 新人教A版

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编
导数及其应用
一、选择题、填空题
1、（潮州市2013届高三上学期期末）定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时
()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，()b f =１，2(2)c f =--，则
A ．a c b >>
B ．c b a >>
C ．c a b >>
D ． a b c >>
答案：A
2、（广州市2013届高三上学期期末）已知e 为自然对数的底数，函数y x =e x 的单调递增
区间是
A . )1,⎡-+∞⎣
B ．(1,⎤-∞-⎦
C ．)1,⎡+∞⎣
D ．(
1,⎤-∞⎦
答案：B
3、（增城市2013届高三上学期期末）函数x x f ln )(=的图像在点1=x 处的切线方程是 ．
答案：1-=x y
4、（中山市2013届高三上学期期末）若曲线4y x =的一条切线与直线480x y +-=垂直，则的方程为 。

答案：4x －y －3＝0
5、（中山市2013届高三上学期期末）函数2()f x x bx a =-+的图象如图所示，则函数
()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是（ ）
A ．11(,)42
B ．1(,1)2
C ．（1，2）
D ． (2,3)
答案：B
二、解答题
1、（潮州市2013届高三上学期期末）二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==，且最小值是14
-．
（1）求()f x 的解析式；
（2）实数0a ≠，函数22()()(1)g x xf x a x a x =++-，若()g x 在区间(3,2)-
上单调递减，求实数a 的取值范围．
解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，
则221()()2
4
a f x ax ax a x =-=--
． 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =． ∴2()f x x x =-； …… 4分
（2）2232222322()()(1)g x xf x a x a x x x ax x a x x ax a x =++-=-++-=+-．
∴22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+． ………… 6分 由'()0g x =，得3a x =
，或x a =-，又0a ≠，故3
a a ≠-．………… 7分 当3a a >-，即0a >时，由'()0g x <，得3
a a x -<<． ………… 8分 ∴()g x 的减区间是(,)3a a -，又()g x 在区间(3,2)-上单调递减， ∴323
a a -≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得36a a ≥⎧⎨≥⎩，故6a ≥（满足0a >）； ……… 10分 当
3a a <-，即0a <时，由'()0g x <，得3
a x a <<-． ∴()g x 的减区间是(,)3a a -，又()g x 在区间(3,2)-上单调递减， ∴332
a a ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩，解得92a a ≤-⎧⎨≤-⎩，故9a ≤-（满足0a <）． ……… 13分 综上所述得9a ≤-，或6a ≥．
∴实数a 的取值范围为(,9][6,)-∞-+∞． ……… 14分
2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知函数()ln f x ax b x c =++，(,,a b c 是常数）
在x=e 处的切线方程为(1)0e x ey e -+-=，1x =既是函数()y f x =的零点，又是它的
极值点．
(1)求常数a,b,c 的值；
(2)若函数2
()()()g x x mf x m R =+∈在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m 的取
值范围；
(3)求函数()()1h x f x =-的单调递减区间，并证明：
ln 2ln 3ln 4ln 2012123420122012⨯⨯⨯⨯<
解：（1）由c x b ax x f ++=ln )(知，)(x f 的定义域为),0(+∞,x b a x f +
=)(', …1分 又)(x f 在e x =处的切线方程为0)1(=-+-e ey x e ，所以有
e
e e b a e
f 1)('--=+=,① …………2分 由1=x 是函数)(x f 的零点，得0)1(=+=c a f ,② …………3分
由1=x 是函数)(x f 的极值点，得0)1('=+=b a f ，③ …………4分
由①②③，得1-=a ，1=b ，1=c . …………5分
（2）由(1)知)0(1ln )(>++-=x x x x f ，
因此，22()()ln (0)g x x mf x x mx m x m x =+=-++>，所以
)0)(2(12)(2'>+-=+
-=x m mx x x x m m x x g . …………6分
要使函数)(x g 在)3,1(内不是单调函数，则函数)(x g 在)3,1(内一定有极值，而 )2(1)(2'm mx x x
x g +-=，所以函数)(x g 最多有两个极值. …………7分 令2()2(0)d x x mx m x =-+>.
（ⅰ）当函数)(x g 在)3,1(内有一个极值时，0)('
=x g 在)3,1(内有且仅有一个根，即
02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根，又因为(1)20d =>，当 0)3(=d ，即9=m 时，02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根
32
x =，当0)3(≠d 时，应有0)3(<d ，即03322<+-⨯m m ，解得9>m ，所以有9m ≥. ………8分
.（ⅱ）当函数)(x g 在)3,1(内有两个极值时，0)('
=x g 在)3,1(内有两个根，即二次函
数02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有两个不等根，所以
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<>+-⨯=>+-=>⨯⨯-=∆,341,0332)3(,
02)1(,02422m m m d m m d m m 解得98<<m . …………9分
综上，实数m 的取值范围是),8(+∞. …10分
（3）由1)()(-=x f x h )0(ln >+-=x x x ，得x x x h -=
1)('， 令0)('≤x h ，得1≥x ，即)(x h 的单调递减区间为[)+∞,1.
由函数)(x h )0(ln >+-=x x x 在[)+∞,1上单调递减可知，
当),1(+∞∈x 时, )1()(h x h <，即1ln -<+-x x ， …………11分 亦即ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞都成立，
亦即x
x x x 1ln 0-<<
对一切(1,)x ∈+∞都成立， ............12分 所以2122ln 0<<， 3233ln 0<<， 4344ln 0<<， (2012)
201120122012ln 0<<
， …………13分 所以有 2012
201143322120122012ln 44ln 33ln 22ln ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯ ， 所以2012120122012ln 44ln 33ln 22ln <⨯⨯⨯⨯ . …………14 3、（佛山市2013届高三上学期期末）设函数1()x e f x x
-=，0x ≠． （1）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性；
（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()1f x a -<成立．
解析：（1）22(1)(1)1()x x x xe e x e f x x x
---+'==， -----------2分 令()(1)1x h x x e =-+，则()(1)x x x
h x e e x xe '=+-=，
当0x >时，()0x h x xe '=>，∴()h x 是()0,+∞上的增函数， ∴()(0)0h x h >=，
故2
()()0h x f x x '=>，即函数()f x 是()0,+∞上的增函数． -----------------6分 （2）11()11x x e e x f x x x
----=-=， 当0x >时，令()1x g x e x =--，则()10x g x e '=->， ---8分
故()(0)0g x g >=，∴1()1x e x f x x
---=， 原不等式化为1x e x a x
--<，即(1)10x e a x -+-<，-----------------10分 令()(1)1x x e a x ϕ=-+-，则()(1)x x e a ϕ'=-+，
由()0x ϕ'=得：1x
e a =+，解得ln(1)x a =+，
当0ln(1)x a <<+时，()0x ϕ'<；当ln(1)x a >+时，()0x ϕ'>． 故当l n (1x a =+
时，()x ϕ取最小值[ln(1)](1)ln(1)a a a a ϕ+=-++，-----------------12分 令()ln(1),01a s a a a a =-+>+，则22
11()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++． 故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0a a a a ϕ+=-++<．
因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立．----------------14分
4、（广州市2013届高三上学期期末）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是
()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y +
+=平行. （1）求()f x 的解析式；
（2）是否存在t ∈N *，使得方程()37
0f x x +=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数
根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.
（1）解法1：∵()f
x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,， ∴可设()()5f x ax x =-，0a >. …………… 1分
∴25f x ax a /()=-. …………… 2分 ∵函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，
∴()
16f /=-. …………… 3分 ∴256a a -=-，解得2a =. …………… 4分 ∴()()225210f x x x x x =-=-. …………… 5分 解法2：设()2f x ax bx c =++，
∵不等式()0f
x <的解集是()05,， ∴方程20ax bx c ++=的两根为05,.
∴02550c a b ,=+=. ① …………… 2分 ∵2f x ax b /()=+.
又函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，
∴()
16f /=-. ∴26a b +=-. ② …………… 3分
由①②,解得2a =,10b =-. …………… 4分 ∴()2210f x x x =-. …………… 5分
（2）解：由（1）知，方程()37
0f x x +=等价于方程32210370x x -+=.
…………… 6分
设()h x
=3221037x x -+， 则()
()26202310h x x x x x /=-=-. …………… 7分 当1003x ,⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减； ……… 8分 当103x ,⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增. … 9分
∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=> ⎪⎝⎭
， …………… 12分 ∴方程()0h x =在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫ ⎪⎝⎭
内分别有唯一实数根，在区间()03,, ()
4,+∞内没有实数根. …………… 13分 ∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()37
0f x x +=在区间()1t t ,+内有且只
有两个不等的实数根. …………… 14分
5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知函数3()3()f x x ax a R =-∈
（1）当1a =时，求()f x 的极小值；
（2）若直线0x y m ++=对任意的m R ∈都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围；
（3）设()|()|,[1,1]g x f x x =∈-，求()g x 的最大值()F a 的解析式．
解：（1）11,0)(,33)(,1'2'=-==-==x x x f x x f a 或得令时当 …………1分 当)1,1(-∈x 时，),1[]1,(,0)('+∞--∞∈< x x f 当时，0)('>x f ，
上单调递增在上单调递减在),1[],1,(,)1,1()(+∞--∞-∴x f …………2分 )(x f ∴的极小值是(1)2f =- …………………3分
（2）法1：/2()33f x x a =-，直线0=++m y x 即y x m =-+，
依题意，切线斜率/2()331k f x x a ==-≠-，即2
3310x a -+=无解……………4分 043(31)0a ∴∆=-⨯-+< 3
1<∴a ………………6分 法2：f x x a a =-≥-/2()333，……………4分
要使直线0=++m y x 对任意的m R ∈都不是曲线()y f x =的切线，当且仅当a -<-13时成立，3
1<∴a ………………6分 （3）因,]1,1[|3||)(|)(3上是偶函数在--==ax x x f x g
故只要求在]1,0[上的最大值. …………7分
①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)(/x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在 .31)1()(a f a F -== …………………9分
②当0>a 时，),)((333)(2'a x a x a x x f -+=-= （ⅰ）当1,1≥≥a a 即 ()|()|(),g x f x f x ==-
()f x -在[0,1]上单调递增，此时()(1)31F a f a =-=- …………………10分 （ⅱ）当10,10<<<<a a 即时，,],0[)(上单调递减在a x f 在]1,[a 单调递增； 1°当13
1,031)1(<≤≤-=a a f 即时， ,
]1,[,],0[)(),(|)(|)(上单调递减在上单调递增在a a x f x f x f x g --==a a a f a F 2)()(=-=；
2°当3
10,031)1(<<>-=a a f 即 （ⅰ）当a f a F a a f a f 31)1()(,4
10,31)1()(-==≤
<-=≤-时即 （ⅱ）当a a a f a F a a f a f 2)()(,3141,31)1()(=-=<<-=>-时即……13分 综上 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<≤-=)1(,13)141(,2)41(,31)(a a a a a a a x F ………………14分 6、（江门市2013届高三上学期期末）已知函数x x a x x f ln )1( 21)(2---
=，其中R a ∈． ⑴若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值；
⑵若0>∀x ，1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围． 解：⑴x
x a x f 1)1( 1)(/
---=……2分， 因为2=x 是)(x f 的极值点，所以0)2(/=f ……3分， 解021)12( 1=---a 得2
1 =a ……4分， ⑵（方法一）依题意1ln )1( 212≥---x x a x ，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-，0>x ……5分。

1=x 时，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-恒成立……6分
0>x 且1≠x 时，由)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-得)ln 1()1(22x x x a ---≤
…8分 设x x x g ln 1)(--=，0>x ，x
x g 11)(/-=……9分，当10<<x 时0)(/<x g ，当1>x 时0)(/>x g ……10分，所以0>∀x ，0)1()(=≥g x g ……12分
所以，当0>x 且1≠x 时，0)ln 1()
1(22>---x x x ，从而0≤a ……13分， 综上所述，a 的取值范围为]0 , (-∞……14分． （方法二）由⑴)1(11)1( 1)(/ax x
x x x a x f --=---=……5分， 若0≤a ，则01>-ax ，由0)(/=x f 得1=x ……7分，且当10<<x 时0)(/<x f ，当1>x 时0)(/>x f ……8分，所以0>∀x ，1)1()(=≥f x f ……10分
若0>a ，由0)(/=x f 得1=x 或a x 1=……11分，取⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=a m 1 , 1max 为1与a 1两数的较大者，则当m x >时0)(/<x f ……12分，从而)(x f 在) , (∞+m 单调减少，x x a x x f ln )1( 2
1)(2---=无最小值，1)(≥x f 不恒成立……13分。

（说明一：本段解答如举反例亦可，评分如下：若0>a ，取)3(230>+
=a x ……11分，)23ln()123(2123)(20a a a a x f +--+-+=10)23ln(21<<+---=a
a ，1)(≥x f 不恒成立……13分。

说明二：若只讨论一个特例，例如1=a ，给1分）
综上所述，a 的取值范围为]0 , (-∞……14分．
7、（茂名市2013届高三上学期期末）已知函数321()223
g x ax x x =+-，函数()f x 是函数()g x 的导函数.
（1）若1a =，求()g x 的单调减区间；
（2）当(0,)a ∈+∞时，若存在一个与a 有关的负数M ，使得对任意[],0x M ∈时，
4()4f x -≤≤恒成立，求M 的最小值及相应的a 值。

8、（汕头市2013届高三上学期期末）设函数a x a e a x x f x
+-+-=)1()()(，R a ∈．（注：e 为自然对数的底数．）
(1)当1=a 时，球的单调区间；
(2)(i)设)(x g 是)(x f 的导函数，证明：当2>a 时，在),0(+∞上恰有—个0x 使得
0)(0=x g
(ii)求实数a 的取值范围，使得对任意的]2,0[∈x ，恒有0)(≤x f 成立．
解：(1)当1=a 时，x
x xe x f e x x f =∴+-=)(,1)1()( …………1分
0>x e ，令0)('<x f 得：0<x ；令0)('>x f 得：0>x
所以函数)(x f 的减区间是)0,(-∞；增区间是),0(+∞ …………3分
(2)(i)证明：
)1()(')(+-==a x e x f x g x )2()('),1(+-=∴-+a x e x g a x ………4分
02,2>-∴>a a ，且0,0>>x e x ，
令0)('<x g 得：20-<<a x ；令0)('>x g 得：2->a x
则函数)(x g 在)2,0(-a 上递减；在),2(+∞-a 上递增 ………6分
0)2(,0)0(<-∴=a g g ，又01)(>-+=a e a g a
所以函数)(x g 在)2,0(-a 上无零点，在),2(+∞-a 上有惟一零点
因此在),0(+∞上恰有一个0x 使得0)(0=x g . …………8分 (ii)若2≤a ，则02≥+-a ，对0)2()('],2,0[≥+-=∈∀a x e x g x x
恒成立，
故函数)(x g 在]2,0[上是增函数，0)0()(=≥∴g x g ，因此函数)(x f 在]2,0[内单调递增， 而0)0(=f ，0)0()(=≥∴f x f ，不符题意。

………10分
2>∴a ，由(i)知)(x f 在),0(0x 递减，),(0+∞x 递增，
设)(x f 在[0，2]上最大值为M ，则)}2(),0(max{f f M =，
故对任意的]2,0[∈x ，恒有0)(≤x f 成立等价于⎩
⎨⎧≤≤0)2(0)0(f f ， ……12分
由0)2(≤f 得：022)2(2
≤+-+-a a e a ，23
4
2322222>-+=--≥∴e e e a ，
又0)0(=f ，3
2
222--≥∴e e a 。

……14分
9、（增城市2013届高三上学期期末）圆2
2
1x y +=内接等腰梯形ABCD ，其中AB 为圆的直径（如图）．
（1）设(,)(0)C x y x >，记梯形ABCD 的周长为
()f x ，求()f x 的解析式及最大值；
（2）求梯形ABCD 面积的最大值．
解：（1）过点C 作AB CE ⊥于E , 则)10(<<=x x OE x EB -=∴1 1分
222
2)1(,1x y CB y x -+=
∴=+ 2分
x 22-= 3分 )10(22222)(<<-++=∴x x x x f 4分 令t x =-22，则)20(222<<-=t t x 5分 55)1(24)(22≤+--=+-=∴t t t x f 6分
当1=t ，即2
1
=x 时)(x f 有最大值5 7分 一、设)0)(,(>x y x C ，则y DC AB x S )(21
)(+= 8分
)10(1)1()22(2
12
<<-+=+=x x x y x 9分
22
1221)1(1)(x
x
x x x S --⨯
+
++-='∴ 10分 2
211
2x
x x -+--=
=0 11分
2
1
,0)1)(12(,0122
=∴=+-=-+∴x x x x x 12分 且当210<
<x 时，0)(>'x S ，当12
1
<<x 时，0)(<'x S 13分 所以当21=x 时，)(x S 有最大值4
33，即 14分
或解：设)900(︒<<=∠ααBAC ，过点C 作AB CE ⊥于E
AB 是直径，︒=∠∴90ACB αcos 2=∴AC 8分 αααααcos sin 2sin ,cos
2cos 2
=⋅==⋅=∴AC CE AC AE 9分
1cos sin 2-=∴ααOE 10分 αααααααcos sin 4cos sin 2)2cos sin 42(2
1
)(3=-+=
S 11分 )sin (sin 4cos cos sin 34)(32
αααααα-+⨯='S
0)tan 3(cos sin 4)sin cos 3(sin 4222222=-=-=αααααα 12分 ︒=∴=∴60,3tan αα
13分
当︒<<600α时，0)(>'αS ，当︒<<︒9060α时，0)(<'αS
所以当︒=60α时)(αS 有最大值
4
3
3 14分
或解：设)0)(,(>x y x C ，则y DC AB x S )(2
1
)(+=
8分 )10(1)1()22(2
1
2<<-+=+=x x x y x 9分 )1()1(3x x -+= 10分
)33)(1)(1)(1(3
1
x x x x -+++=
11分 4
3
3)26(314=
≤ 12分 当且仅当331-=+x x ，即2
1
=
x 时等号成立 13分 所以 14分
10、（湛江市2013届高三上学期期末）设函数2
()(2)(0)x
f x x e ax x =--≥，其中e 是自然对数的底，a 为实数。

（1）若a ＝1，求f （x ）的单调区间；
（2）当a ≠1时，f （x ）≥－x 恒成立，求实数a 的取值范围。

11、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知函数2()()x f x ax x e =+，其中e 是自然对数的底数，a R ∈．
（1）当0a >时，解不等式()0f x ≤；
（2）当0a =时，求整数t 的所有值，使方程()2f x x =+在[,1]t t +上有解； （3）若()f x 在[1,1]-上是单调增函数，求a 的取值范围．
解：(1)因为e 0x >，所以不等式()0f x ≤即为20ax x +≤，又因为0a >，所以不等式可化为
1()0x x a +≤，
所以不等式()0f x ≤的解集为1
,0a ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
． (4 分) (2)当0a =时, 方程即为e 2x x x =+，由于e 0x >，所以0x =不是方程的解，所以原方程
等价于2e 10x x --=，令2()e 1x h x x =--，因为22
()e 0x h x x
'=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒
成立，
所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数， 又(1)e 30h =-<，2(2)e 20h =->，
31
(3)e 03h --=-<，2(2)e 0h --=>，所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根，且分别
在区间[]12，
和[]32--，上，所以整数t 的所有值为{}3,1-． （8分）
(3)22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++，
①当0a =时，()(1)e x
f x x '=+，()0f x '≥在[11]-，
上恒成立，当且仅当1x =-时取等号，故0a =符合要求；
(10 分)
②当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因为22(21)4410a a a ∆=+-=+>， 所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >，因此()f x 有极大值又有极小值．
若0a >，因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，所以()f x 在(11)-，
内有极值点， 故()f x 在[]11-，上不单调． （12分）
若0a <，可知120x x >>，
因为()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[11]-，
上单调，因为(0)10g =>，必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨
-⎩≥≥即320,0.
a a +⎧⎨-⎩≥≥所以2
03a -<≤. 综上可知，a 的取值范围是2,03⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
． (14分)
12、（中山市2013届高三上学期期末）已知函数()b ax x x f +-=3
3
1，其中实数b a ,是常数．
（Ⅰ）已知{}2,1,0∈a ，{}2,1,0∈b ，求事件A ：“()01≥f ”发生的概率； （Ⅱ）若()x f 是R 上的奇函数，()a g 是()x f 在区间[]1,1-上的最小值，求当1≥a 时
()a g 的解析式；
（Ⅲ）记()x f y =的导函数为()x f '，则当1=a 时，对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得12()()f x f x '=，求实数b 的取值范围．
解：（Ⅰ）当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个： (00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，， 其中事件A ： “1
(1)03
f a b =
-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，，
故62()93P A =
=． 即事件“(1)0f ≥”发生的概率2
3
（Ⅱ）31
(),3f x x ax b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==（5分）
∴31(),3
f x x ax =- 2
()f x x a '=-,
① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减， 从而1
()(1)3
g a f a ==
-； ② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，
从而1
()(1)3g a f a =-=-
+, 综上，知1
,13
().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩
（Ⅲ）当1=a 时，
()()1,3
123
-='∴+-=
x x f b x x x f 当()()()()02,1,01,0>'∈<'∈x f x x f x 时当时
()()()上递增上递减，在在2,11,0x f ∴，即()()b f x f +-==3
2
1min
又()()()0322,0f b f b f >+== ，[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈∈∴b b x f x 32,3
2
20时，，当
而()[]2
10,2f x x x '=-∈在上递增，()[1,3]f x '∈-
对任意[]2,01
∈x ，总存在[]2,02
∈x 使得)()(21x f x f '=
()()f x f x '∴⊆的值域的值域，[]2
2-,1,33
3b b ⎡⎤++⊆-⎢⎥⎣⎦即
∴ 2-13b +≥-且233b +≤，解得13-7
3
b ≤≤
13、（珠海市2013届高三上学期期末）已知函数()ln a x
f x x x
-=+
，其中a 为常数，且0>a .
（1）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线12
1
+=x y 垂直，求a 的值； （2）若函数()f x 在区间[1，2]上的最小值为2
1
，求a 的值. 解：2221()1'()x a x a x a f x x x x x x
----=
+=-=(0x >) ………………… 2分 （1）因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线12
1
+=x y 垂直，，
所以'(1)-2f =，即12, 3.a a -=-=解得 ……………………………………4分
(2)当01a <≤时，'()0f x >在（1，2）上恒成立，
这时()f x 在[1，2]上为增函数
min ()(1)1f x f a ∴==- ………………………………………6分 当12a <<时，由'()0f x =得，(1,2)x a =∈
对于(1,)x a ∈有'()0,f x <()f x 在[1，a ]上为减函数，
对于(,2)x a ∈有'()0,f x >()f x 在[a ，2]上为增函数，
min ()()ln f x f a a ∴== …………………………………8分
当2a ≥时，'()0f x <在（1，2）上恒成立，
这时()f x 在[1，2]上为减函数，
min ()(2)ln 212
a
f x f ∴==+-.…………………………………10分 于是，①当01a <≤时，min ()1f x a =-0≤ ②当12a <<时，min ()ln f x a =，令2
1
ln =a ，得e a =…11分
③当a ≤2时，min ()ln 212a f x =+-2
1
2ln >≥…12分
综上，e a =
……………………………14分。