导数应用--单调性1
知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性
导数在函数性质中的应用——单调性编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】1. 知识与技能能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间；掌握求函数单调区间的方法和步骤.2. 过程与方法通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法.总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用.3. 情感、态度与价值观通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值.【要点梳理】要点一：函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数()f x在这一区间具有单调性.f x在某个区间是增函数或减函数，那么就说()已知函数2=-+的图象如图所示，f x x x()43由函数的单调性易知，当2f x是增函数.现在我们看看各个单f x是减函数；当2x<时，()x>时，()调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线()f x在改点的导数值，从图象可以看到：y f x=的在某点处切线的斜率就是函数()在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即'()240f x x =<时，()f x 为减函数.在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即'()240f x x =>时，()f x 为增函数.导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数；（2）若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数；（3）若恒有()0f x '=，则()f x 在这一区间上为常函数.反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．要点诠释：①导函数的正负决定了原函数的增减；②在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.注意：只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而()f x 在R 上递增.③当在某区间内恒有()0f x '=，这个函数()y f x =在这个区间上才为常数函数.要点二：利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数.利用导数求函数()f x 单调区间的基本步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数'()f x ；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式'()0f x >或'()0f x <；（4）确定()f x 的单调区间.或者：令'()0f x =，求出它在定义域内的一切实数根。
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围在解题中，我们首先要确定参数的取值范围是有限的，也就是参数不能无限制地取值。
然后我们利用导数的单调性来排除一些不符合要求的取值范围，从而找到参数的合理取值范围。
为了更好地理解这个方法，我们来看一个具体的例子：问题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
如果函数f(x)在定义域内是递增函数，求参数b的取值范围。
解答：首先，我们要明确函数f(x)是递增函数的定义：对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
我们可以通过求函数f(x)的导函数f'(x)来判断函数f(x)的单调性。
在本例中，函数f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。
由于函数f(x)为递增函数，所以f'(x)应该大于0。
即对于任意的x，有f'(x)>0。
我们可以把f'(x) > 0看作是一个一次函数y = 2ax + b > 0的解。
这个一次函数的解为x < -b/2a。
也就是说，对于任意的x<-b/2a，有f'(x)>0。
这样一来，我们就可以得出结论，函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数。
但是我们并不能马上就得出参数b的取值范围是x<-b/2a。
因为函数f(x)的定义域可能不包含这个区间。
为了求出参数b的取值范围，我们需要进一步考虑函数f(x)的定义域。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的定义域是所有实数集合R。
因此，对于任意实数x，函数f(x)都有定义。
由于我们已经确定了函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数，所以我们只需要确定使得这个区间包含在定义域内的参数b的取值范围即可。
如果我们假设b/2a为一个实数k，那么我们可以得出-x>k。
即对于任意的x>-k，函数f(x)是递增的。
然而，x的取值范围是所有实数，所以我们可以把任意实数k当作是b/2a。
导数的应用--函数的单调性
普宁市第一中学数学组
一、复习
1、怎样利用导数的符号判断函数的单调性。 怎样利用导数的符号判断函数的单调性。 设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f (x)>0， f(x)为 设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f´(x)>0，则f(x)为 y=f(x)在某个区间内可导 增函数；如果f (x)<0， f(x)为减函数。 增函数；如果f´(x)<0，则f(x)为减函数。 为减函数 如果在某个区间内恒有f (x)=0， f(x)为常数。 如果在某个区间内恒有f´(x)=0，则f(x)为常数。 为常数 ☆值得注意的是：在判断函数的单调性时，如果出现个别点 值得注意的是：在判断函数的单调性时， (x)=0不会影响包含该点在某个区间上的单调性 不会影响包含该点在某个区间上的单调性， 使f´(x)=0不会影响包含该点在某个区间上的单调性， 例如： f )内 例如： ( x ) = x 3 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 内 是 增 函 数 ， 但 f ′(0)=0
年浙江理) 4、例题：(04年浙江理)设 f ′( x ) 是函数 f ( x ) 例题：(04年浙江理
y o
y = f ′(x )
1 2
y 的导函数， 的图象如图(1)所示， (1)所示 的导函数， = f ′( x ) 的图象如图(1)所示，
x
的图象最有可能是( )。 则 y = f ( x ) 的图象最有可能是( C )。
y 2 1 -2 -1 0 1 -1 -2 2 x -2 -1
3 2 1 0 -1 -2 1 2 x
)。 )。
y y 4 3 2 1 2 x -2 -1 0 -1 -2 1 2 x
图(3)
y 4 3 2 -2 -1 1 0 -1 -2
导数应用—单调性课件
导数在经济学中常用于进行边际分析，例如边际成本、边际收益和边际效用等。通过求导，可以确定企业在一定 条件下的最优产量或价格策略。
04
导数与单调性的综合应用
导数在研究复杂函数单调性中的应用
判断函数单调性
通过求导数，可以判断函 数的单调性，进而研究函 数的极值、拐点等特性。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，通过导数的符 号变化，可以确定函数的 极值点。
导数计算方法
通过求极限或使用导数基 本公式来计算导数。
单调性的定义与分类
单调性定义
函数在其定义域内，对于任意两点x1和x2，当x1<x2时，若函数值f(x1)≤f(x2) ，则称函数在此区间内单调递增；反之，若f(x1)≥f(x2)，则称函数在此区间内 单调递减。
单调性分类
根据单调性的定义，可以将单调性分为递增和递减两类。
单调性与不等式
导数可以用来证明不等式 ，通过研究函数单调性， 可以推导出不等式的正确 性。
导数在解决多变量问题中的应用
最值问题
导数可以用来求多变量函数的最 值，通过求导数并令其为零，可
以找到函数的最值点。
优化问题
导数可以用来解决优化问题，通过 求导数并找到最优解，可以找到最 优的参数配置。
动态分析
导数与单调性的关系
单调递增的导数条件
当函数的导数大于0时，函数在此区 间内单调递增。
单调递减的导数条件
单调性与导数的关系总结
导数的符号决定了函数的单调性，通 过判断导数的符号可以判断函数的单 调性。
当函数的导数小于0时，函数在此区 间内单调递减。
02
导数在研究函数单调性中的应用
导数在判断函数单调性中的应用
导数的应用-单调性nbsp新课件[1].1
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课后作业
P78习题3.3第1、2题
思考题: 函数f(x)=2x3－6x2+7 能不能画
出该函数的草图？
小结:
1.学习函数导数与单调性的关系．首先要确定函 数的定义域，再通过讨论导数的符号来判断函数 的单调区间，或证明函数的单调性． ２.利用导数的符号来判断函数的单调区间，是导 数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用，它 充分体现了数形结合的思想． ３.掌握研究数学问题的一般方法： 从特殊到一般；从简单到复杂。
导数在研究函数中的应用
—单调性
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们 发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发 现在（a，b）上切线的斜率为负，即 在(a,b)内的每一点处的导数值为负，
一般地， 设函数y＝f（x）在区间上可导，
例2、确定函数f(x)=sinx在x∈（０,２π） 上的单调减区间 解: f’(x)=cosx 令f’(x)＜０由cosx ＜０, 又x∈（０ , ２π） ∴x∈（ π／2, 3π／2） 所以函数f(x)单调减区间 是（ π／2 , 3π／2）
例３、若函数f(x)=ax3-x2+x-5(a≠0) 在Ｒ上单调递增,求a取值范围.
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
a
b
x
o a
bபைடு நூலகம்
x
思考:上述结论的逆命题正确吗? 观察三次函数y=x3的图象； 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内 可导,则函数在该区间 如果f(x)为增函数, 则 f′(x) ≥0. 如果f(x)为减函数, 则 f′(x) ≤0. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
导数在研究函数中的使用----单调性、极值、最值
导数在研究函数中的使用----单调性、极值、最值一、 基本概念1、单调性：(1)、已知函数y=f(x),x ∈(a,b) 如对任意的x ∈(a,b),恒有)('x f ＞0,则f(x)为增函数,切线的倾斜角为锐角. 如对任意的x ∈(a,b),恒有)('x f＜0,则f(x)为减函数,切线的倾斜角为钝角.（2）)('x f≥0⇔ f(x)是增函数，)('x f≤0⇔ f(x)是减函数y= f(x)在a 出有极值⇒)('a f=0,)('a f=0⇒ f(x)在a 处有极值.(1) 如果在x 0附近的左侧)('x f＞0,右侧)('x f＜0,,那么f(x 0)是极大值(2) 如果在x 0附近的左侧)('x f＜0, 右侧)('x f＞0,那么f(x 0)是极小值(3) 如果在x附近的左侧及右侧)('x f不变号,那么f(x 0)不是极值3、 最值问题恒成立问题若不等式f(x) ＞A 在区间D 上恒成立⇔fx min)(＞A 若不等式f(x)＜B 在区间D 上恒成立⇔fx max)(＜B(2) 能成立问题若在区间D 上存有实数x,使不等式f(x) ＞A 成立⇔f x max)(＞A若在区间D 上存有实数x,使不等式f(x) ＜B 成立⇔fx min)(＜B(3)、恰成立若不等式f(x) ＞A 在区间D 上恰成立⇔f(x) ＞A 的解集为D 若不等式f(x) ＜B 在区间D 上恰成立⇔f(x) ＜B 的解集为D 函数的单调性典型例题：题型一：研究函数单调区间与原函数图像间的关系例1：求下列函数的单调区间并画出原函数与导函数的图像 (1)f(x)=27623+-x x(2)f(x)=x 21+sinx,(x ∈[0,2π]例2：以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不准确的序号是A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④题型二：单调性与单调区间例3（1）若函数f(x)= 326x ax x --+在（0,1）内单调递减，则实数a 的取值范围（2）已知函数y=3261ax bx x +++的递增区间为（-2,3），求a 、b 的值。
《导数在函数中的应用——单调性》教学反思(精选15篇)
《导数在函数中的应用——单调性》教学反思〔精选15篇〕篇1：《导数在函数中的应用——单调性》教学反思本节课是一节新授课，教材所提供的信息很简单，假如直接得出结论学生也能承受。
可学生只能进展简单的模拟应用，为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课。
设计思路如下以便学生会考虑解决问题。
1、首先从同学们熟悉的过山车模型入手，将实际问题转化为数学模型，提出如何刻画函数的变化趋势，引出课题。
研究从学生熟悉的一次函数，二次函数入手，寻找导数和单调性的`关系，用几何画板演示特殊的三次函数的图像，研究单调性和导数。
在此根底上提出问题：单调性和导数到底有怎样的关系？学生通过考虑、讨论、交流形成结论。
也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
2、在结论得出后，继续引导学生考虑，提出自己的困惑，因为确实有学生对结论有不一样的想法，所以，尽可能地暴露问题，让学生彻底理解、掌握。
3、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题的变式，这样既可以在开场引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾照应。
4、在知识应用中重点指导学生解题步骤，在学生自己总结解题步骤时，发现学生忽略了第一点求函数定义域，所以我就将错就错，给出了求函数的单调区间，很多学生栽了跟头，然后自己总结出应该先求函数定义域。
虽然这道题花了些时间，但我觉得很值得，我想学生印象也会更深化。
5、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切时机去施行，在例1的教学中，我让学生先纯熟法那么，再从形上分析^p ，加深印象，这样在后面紧接的高考题中〔没有给解析式〕，学生会迎刃而解。
为了培养学生的自主学习、自主考虑的才能，激发学习兴趣，在教学中采取引导发现法，利用多媒体等手段引导学生动口、动脑、参与数学活动，发挥主观能动性，主动探究新知。
让学生分组讨论，合作交流，共同讨论问题。
但是，真正做到以学生为中心，学生100%参与，表达三维目的，培养学习才能还是比拟困难。
导数的应用----单调性、极值精华课件
典型例题 4
设 t0, 点 P(t, 0) 是函数 f(x)=x3+ax与 g(x)=bx2+c 的图象的一 个公共点, 两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (1)用 t 表示 a, b, c; (2)若函数 y=f(x)-g(x) 在 (-1, 3) 上单调递减, 求 t 的取值范 围. 解: (1)∵函数 f(x) 的图象过点 P(t, 0), ∴ f(t)=0t3+at=0. ∵t0, ∴a=-t2. 又∵函数 g(x) 的图象也过点 P(t, 0), ∴ g(t)=0bt2+c=0. ∴c=ab. ∵两函数的图象在点 P 处有相同的切线, ∴ f(t)=g(t). 而 f(x)=3x2+a, g(x)=2bx, ∴3t2+a=2bt. 将 a=-t2 代入上式得 b=t. ∴c=ab=-t3. 综上所述, a=-t2, b=t, c=-t3. (2)方法一 y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3. y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 当 y=(3x+t)(x-t)<0 时, y=f(x)-g(x)为减函数.
6.设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 求 f(x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f(x) 在 (a, b) 内的极值; (2)将 f(x) 的各极值与 f(a), f(b) 比较, 其中最大的一个是最大 值, 最小的一个是最小值.
如果应用导数解决实际问题, 最关键的是要建立恰当的数学 模型(函数关系), 然后再运用上述方法研究单调性及极(最)值.
三、知识要点
1.函数的单调性 (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x)>0, 则 y=f(x) 为增函数, 如果 f(x)<0, 则 y=f(x) 为 减函数, (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f(x)≥0 (或 f(x)≤0). 注 当 f (x) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正 (或负)时, f(x) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的. 例 f(x)=x3 在 (-1, 1) 内, f(0)=0, f(x)>0(x0). 显然 f(x)=x3 在 (-1, 1) 上仍旧是增函数.
导数的应用(一)---单调性
01 课前自助餐 02 授人以渔 03 课外阅读
课前自助餐
函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内_可_导__，若 f′(x)__>_ 0，则 f(x) 在这个区间内为增函数；若 f′(x)__<_ 0，则 f(x)在这个区间内为 减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的_定__义_域__； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x)__>_ 0(或 f′(x) _<__0)，解出相应的 x 的范围； ④当_f′_(x_)_>_0___时，f(x)在相应区间上是增函数；当_f_′(_x)_<_0___ 时，f(x)在相应区间上是减函数．
【思路】
根据题意当x≥0时f′(x)＝1－
2 3
cos2x>0，又f(x)
是定义在R上的奇函数，则f(x)在定义域上单调递增，tan
2π 5
>tanπ4 ＝1，0<cos2π 5 <1，log3cos2π 5 <0，由函数的单调性可得出
答案．
【解析】 由题意知当x≥0时，f′(x)＝1－23cos2x>0，所以f(x)在
2．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x) 的图象可能是( C )
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x) 单调递增；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)单调递减；当x>x1 时，f′(x)>0，即函数f(x)单调递增．观察选项易知C正确．故选C.
授人以渔
题型一 求函数的单调区间(自主学习)
例1 求下列函数的单调区间．
导数的应用
2
3
3
因此,f(x)的递增区间是: (2k 2 ,2k 2 )(k Z );
3
3
递减区间是:
(2k
2
3
,2k
4
3
)(k
Z
).
(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f (x) 1
1
x1 .
由xf
(x) 0 1 0
域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与
定义域求两者的交集.
(3) f (x) x ax x2 (a 0);
解:函数的定义域是[0,a],且当x≠0,a时,有:
f ( x) ax x2 x(a 2x) x(3a 4x) . 2 ax x2 2 ax x2
为增函数. 依题意应有 当 x (1,4)时, f (x) 0,当x (6,)时, f (x) 0.
所以 4 a 1 6. 解得 5 a 7.
所以 a 的取值范围是[5，7].
；可以提现的棋牌游戏 可以提现的棋牌游戏 ；
沿途分布着季节性洲滩湖泊 散居在洪泽湖沿岸 南北长约10000m 河流转向西流横贯库尔勒市区 4%； 松门山海拔90.流域特征 经莎车、泽普、麦盖提、巴楚县 均处于振荡式的负向运动中 喀什地区首府喀什市 濉河 湖面周围形成了223平方千米的湿地 旱情减轻 被称为“白鹤王国” 白虾剥虾仁出肉率高 绕城与石梁河汇合入天井湖 十一圩港南起江阴北 迫使下荆江洪水从“华容隆起”的垭口（原小溪向北的流路）向南漫流 成朱联圩位于南昌市新建区境内 6% 另有淮沭新河和苏北灌溉总渠 向东偏南流 ?环庐山山南公路在鄱阳湖西北岸庐山市和濂溪区
导数在函数的单调性,极值中的应用
导数在函数的单调性、极值中的应用一、知识梳理1．函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f_′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f_′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果f_′(x)＝0，那么f(x)在这个区间内为常数．问题探究1：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f ′(x)≥0，f ′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f_′(x)<0，右侧f_′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近，左侧f_′(x)>0，右侧f_′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题探究2：若f ′(x0)＝0，则x0一定是f(x)的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x)＝x3，在x＝0时，有f ′(x)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．二、自主检测1．函数y＝x－lnx的单调减区间是( )A．(－∞，1) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(0,2)2．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是( )A．0 B．1C．2 D．33．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)4．(2012年山东诸城高三月考)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值5．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．56．(1)函数f(x)在x＝x0处可导，则“f ′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)极值点”的________条件．(2)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．(3)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)≥0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．三、考向指导考点1 求函数的单调区间1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求 f ′(x)，令f ′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．2．证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求 f ′(x)．(2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号．(3)作出结论： f ′(x)>0时，f(x)为增函数； f ′(x)<0时，f(x)为减函数．例1 (2010年全国)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．课堂过手练习：设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数y＝f(x)的单调区间．考点2 由函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且 f ′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．例2 已知函数f(x)＝x3－ax－1，在实数集R上y＝f(x)单调递增，求实数a的取值范围．课堂过手练习：已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(3)是否存在a ，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．考点3 求已知函数的极值运用导数求可导函数 y ＝f(x)极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数 y ＝f(x)的导数 f ′(x)；(2)求方程 f ′(x)＝0的根；(3)检查 f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值．如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．例3 设f(x)＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范围．课堂过手练习：函数f(x)＝x3－3x2＋1在x ＝________处取得极小值．考点4 利用极值求参数已知函数解析式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解析式．例4 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．课堂过手练习：设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.易错点求参数取值时出现典例：已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．(1)当函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x)为常数，函数不具有单调性．∴f (x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，在学习过程中注意思维的严密性．(2)函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与极小值的大小关系不确定．要强化用导数处理单调性、极值、最值、方程的根及不等式的证明等数学问题的意识．(3)如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．纠错课堂练习：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取极值－2.(1)试用c表示a，b；(2)求f(x)的单调递减区间．1．与函数的单调性有关的问题(1)利用导数求函数的单调区间，可通过f ′(x)>0或f ′(x)<0来进行，至于区间的端点是否包含，取决于函数在端点处是否有意义，若有意义，则端点包含与不包含均可；若无意义，则必不能包含端点．(2)若函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)，则在(a，b)上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，若该不等式中含有参数，我们可利用上述结论求参数的范围，它蕴涵了恒成立思想．利用上述方法求得参数的范围后，要注意检验该参数的端点值能否使f ′(x)＝0恒成立．若能，则去掉该端点值；否则，即为所求．2．与函数的极值有关的问题(1)求函数的极值点，可通过f ′(x)＝0来求得，但同时还要注意检验在其两侧附近的导函数值是否异号．(2)若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f ′(x0)＝0，我们可利用上述结论求参数的值．。
导数的应用(单调性、极值、最值)
例5 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
通常用列表讨论。
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
2、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单减.
例1 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 y ex 1, 且 D (, ).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
导数的应用-函数的单调性与极值和最值和应用
课本练习
思考,已知函数 在区间[1,5] 思考,已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间 在区间 内的最小值为2, 内的最小值为 ,求m的值 的值
导数的定义
导数的几何意义
导数
求导公式与法则
多项式函数的导数
函数单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
基本练习 1,曲线 ,曲线y=x4-2x3+3x在点 在点P(-1,0)处的切线的 在点 , 处的切线的 斜率为( 斜率为 ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2,函数y=x100+2x50+4x25的导数为 ) ,函数 的导数为( (A)y'=100(x99+x49+x24) (B) y'=100x99 (C) y'=100x99+50x49+25x24 (D) y'=100x99+2x49
定义法 公式法
练习: 练习: 1,求下列函数的导数 ,
)(x (1)y=(x2-3x+2)( 4+x2-1) ) ( )( ) (2)y=(x/2+t)2 ) ( )
2,设f(x)=ax3-bx2+cx,且f /(0)=0, , ( ) , ) , f /(1)=1,f /(2)=8,求a,b,c ) , ) , , , 3,抛物线f(x)=x2-2x+4在哪一点处的 ,抛物线 ( ) 在哪一点处的 切线平行于x轴 在哪一处的切线与x轴的 切线平行于 轴?在哪一处的切线与 轴的 交角为45 交角为 0?
5, 求导的公式与法则 , 求导的公式与法则——
/
(C ) = 0 n / n 1 * ( x ) = nx (n ∈ N )
导数在研究函数中应用之函数单调性
导数在研究函数中应用之函数单调性函数的导数在研究函数的性质时有着广泛的应用，其中之一就是研究函数的单调性。
函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
在实际应用中，研究函数的单调性可以帮助我们分析函数的变化趋势，找出函数取值的最大值和最小值，进而解决一些实际问题。
首先，我们来回顾一下函数的导数定义：对于函数y=f(x)，如果在点x处导数存在，那么函数在点x处的导数就是函数在该点的切线斜率，用符号f'(x)表示。
注意，函数的导数可以看作是函数的变化率，因此函数在其中一区间上单调增加的条件就是函数在该区间上导数恒大于0；同理，函数在其中一区间上单调减少的条件就是函数在该区间上导数恒小于0。
在研究函数的单调性时，我们可以通过分析函数的导数来判断函数在其中一区间上的单调性。
具体来说，我们通过以下几个步骤来研究函数的单调性：1.首先，找出函数的定义域。
函数的定义域是指使得函数有意义的x的取值范围。
在研究函数单调性时，我们只关注函数的定义域内部的区间。
2.接下来，求出函数的导函数。
导函数是函数的导数函数，用来描述函数的变化趋势。
3.然后，解方程f'(x)=0，找出函数导数的零点。
当导数的值为0时，函数可能存在极值点，因此我们需要找出这些点。
4.根据求出的导数的零点，将函数的定义域划分成多个区间，在每个区间内分别讨论函数的单调性。
5.最后，根据导函数的正负变化情况判断函数在每个区间上的单调性。
导函数的正负变化可以通过判断导函数的符号来实现。
如果导函数在一些区间上始终为正，那么函数在该区间上单调增加；如果导函数在一些区间上始终为负，那么函数在该区间上单调减少。
通过以上分析，我们可以得出一个重要结论：函数在导数大于0的区间上单调增加，在导数小于0的区间上单调减少。
当然，导数为0的点除外，因为这些点可能是函数的极值点。
函数的单调性在实际应用中有着很重要的作用。
例如，我们在经济学中经常研究产品的生产与销售关系。
导数的应用函数的单调性
导数的应用函数的单调性1. 导数与函数的单调性在数学中，导数是函数的重要性质之一，它描述了函数在每个点的变化率。
函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势，可以是递增、递减或者保持不变。
通过导数的概念，我们可以研究函数的单调性。
在导数为正的区间上，函数递增；在导数为负的区间上，函数递减；在导数为0的点处，函数可能存在极值。
2. 导数与函数的单调性的关系函数的单调性与其导数之间存在重要的关系。
具体而言，对于一个可导函数，我们可以根据其导数的正负性来判断函数在哪些区间上单调。
•如果函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间上严格递增；•如果函数的导数在某个区间上恒小于0，则函数在该区间上严格递减；•如果函数的导数在某个区间上恒大于等于0，则函数在该区间上递增；•如果函数的导数在某个区间上恒小于等于0，则函数在该区间上递减；•如果函数的导数在某个区间上恒等于0，则函数在该区间上保持不变。
通过以上性质，我们可以通过计算导数来研究一个函数在定义域上的单调性。
3. 导数的应用函数的单调性导数的应用函数的单调性是指通过对函数求导，来研究函数在定义域上的变化趋势。
具体而言，我们可以通过计算函数的导数来判断函数在哪些区间上是递增、递减或者保持不变。
下面通过几个例子来展示导数的应用函数的单调性。
3.1 一次函数的单调性考虑一个一次函数f(x)=ax+b，其中a和b是实数。
对函数f(x)求导，得到的导数为f′(x)=a。
根据导数的正负性，我们可以得出以下结论：•如果a>0，则函数f(x)在整个定义域上是递增的；•如果a<0，则函数f(x)在整个定义域上是递减的；•如果a=0，则函数f(x)在整个定义域上保持不变。
3.2 二次函数的单调性考虑一个二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a eq0。
对函数f(x)求导，得到的导数为f′(x)=2ax+b。
根据导数的正负性，我们可以得出以下结论：•如果a>0，则函数f(x)在 $(-\\infty, -\\frac{b}{2a})$ 和$(\\frac{-b}{2a}, +\\infty)$ 区间上是递增的，而在 $\\left(-\\frac{b}{2a}, \\frac{-b}{2a}\\right)$ 区间上是递减的；•如果a<0，则函数f(x)在 $(-\\infty, -\\frac{b}{2a})$ 和$(\\frac{-b}{2a}, +\\infty)$ 区间上是递减的，而在 $\\left(-\\frac{b}{2a}, \\frac{-b}{2a}\\right)$ 区间上是递增的。
导数的应用1——函数的单调性
f '( x) <0; 当x>4,或x<1时， f '( x) =0.则函数f(x)图象的大致 当x=4,或x=1时， 形状是( D ）。
y
y f ( x)
4 x
y
y f ( x)
4 x
y
y
y f ( x)
o1
y f ( x)
1
o1
o 1
4
x o
4
x
A
B
C
D
练习1
自学《智力报》P7下文
2 2 3 3 9 x1 x2 x1x2 0 2 2 2
2 2 2( x1 x2 ) x1 x 2 x1x2 3x1 3x2 2 2
∴ f ( x1) f ( x2 ) 0
f '( x ) 0 f ( x )在(a, b)内单调递减
结论：导数与单调性关系
f '( x ) 0
f ( x )在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0 f ( x )在(a, b)内单调递减
可用于判断函数单调性，或者证明函数单调性 或者求函数单调区间
应用一：确定函数单调区间 例题1、已知导函数 f '( x) 的下列信息： f '( x) >0; 当1<x<4时，
1 3a
)( x
1 3a
) ,易知此时f(x)
1 3a
,
1 3a
).
1 1 )、 ( , ). 单调递减区间: (, 3a 3a
应用五：画函数大致图象
例题11 画出函数f(x)=2x3－6x2+7的大致图象
导数在函数单调性中的应用
例3 确定函数f(x)=lnx-x的单调区间.
解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）.
f ' (xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 1, x
令 f ' (x) 0, 解得：0<x<1,
因此，函数f(x)的单调递增区间为(0，1).
令 f ' (x) 0, 解得：x>1,
因此，函数f(x)的单调递减区间为（1，+∞）.
导数法
例2 证明：函数 f (x) 2x3 在（-∞，0）上单调递增.
(92年高考题改编)
证明：设任意 x1 x2 0,
f (x1) f (x2 ) 2x13 2x23， 2(x1 x2 )(x12 x1x2 x22 )，
x1 x2 0, x1 x2 0, x12 0, x22 0，x1x2 0， 即f (x1) f (x2 ).
单调递增.
证明： f ' (x) 6x2 12x, 6x(x 2).
x 0, x 2 0,
6x(x 2) 0, 即f '(x) 0.
函数 f (x) 2x3 6x2 7在（- ∞，0）上单调递增.
变题2 确定函数 f (x) 2x3 6x2 7 的单调区间.
单调区间不止一段时，结果不能合并.
则函数 f (x) 2x3在（-∞，0）上单调递增.
例2 证明：函数 f (x) 2x3 在（-∞，0）上单调递增.
(92年高考题改编)
证明：f ' (x) 6x2 , 当 x 0 时，f ' (x) 6x2 0
则函数 f (x) 2x3在（- ∞，0）上
单调递增.
变题1 证明函数 f (x) 2x3 6x2 7在（-∞，0）上
高中数学-导数的应用(一)—单调性练习
高中数学-导数的应用(一)—单调性练习1．函数y ＝x 2(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(2，＋∞) C ．(0，2) D ．(－2，2)答案 C解析 y ′＝3x 2－6x ，由y ′＜0，得0＜x ＜2. 2．函数f(x)＝1＋x －sinx 在(0，2π)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案 A解析 ∵f ′(x)＝1－cosx>0， ∴f(x)在(0，2π)上递增．3．已知e 为自然对数的底数，则函数y ＝xe x的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]答案 A解析 令y ′＝(1＋x)e x≥0. ∵e x>0，∴1＋x≥0，∴x ≥－1，选A.4．(·湖北八校联考)函数f(x)＝lnx －ax(a>0)的单调递增区间为( ) A ．(0，1a )B ．(1a ，＋∞)C ．(－∞，1a )D ．(－∞，a)答案 A解析 由f ′(x)＝1x －a>0，得0<x<1a .∴f(x)的单调递增区间为(0，1a)．5．(·福建龙岩期中)函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝log 2(x 2＋23bx ＋c 3)的单调递减区间为( )A ．(－∞，－2)B ．[3，＋∞)C ．[2，3]D ．[12，＋∞)答案 A解析 由题意可以看出－2，3是函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即方程f ′(x)＝3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，所以－2b 3＝1，c 3＝－6，即2b ＝－3，c ＝－18，所以函数y ＝log 2(x 2＋23bx ＋c 3)可化为y ＝log 2(x 2－x－6)．解x 2－x －6>0得x<－2或x>3.因为二次函数y ＝x 2－x －6的图像开口向上，对称轴为直线x ＝12，所以函数y ＝log 2(x 2－x －6)的单调递减区间为(－∞，－2)．故选A. 6．若函数y ＝a(x 3－x)的递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜1答案 A解析 y ′＝a(3x 2－1)， 解3x 2－1＜0，得－33＜x ＜33. ∴f(x)＝x 3－x 在(－33，33)上为减函数． 又y ＝a·(x 3－x)的递减区间为(－33，33)．∴a＞0. 7．如果函数f(x)的导函数f ′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )答案 A8．(·四川双流中学)若f(x)＝x 3－ax 2＋1在(1，3)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B ．[92，＋∞)C ．(3，92)D ．(0，3)答案 B解析 因为函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(1，3)上单调递减，所以f ′(x)＝3x 2－2ax≤0在(1，3)上恒成立，即a≥32x 在(1，3)上恒成立．因为32<92，所以a≥92.故选B.9．(·合肥一中模拟)函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f(12)，c ＝f(3)，则( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．c<b<aD ．b<c<a答案 B解析 由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x ＝1， 故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)．又x∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x)<0，可知f ′(x)>0. 即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)<f(0)<f(12)，即c<a<b.10．(·河北唐山期末)已知函数f(x)＝ln(e x＋e －x)＋x 2，则使得f(2x)>f(x ＋3)成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C ．(－3，3) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案 D解析 因为f(－x)＝ln(e －x＋e x)＋(－x)2＝ln(e x＋e －x)＋x 2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．通过导函数可知函数y ＝e x＋e －x在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)＝ln(e x＋e －x)＋x 2在(0，＋∞)上也是增函数，所以不等式f(2x)>f(x ＋3)等价于|2x|>|x ＋3|，解得x<－1或x>3.故选D.11．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a ，b ，若a<b ，则必有( ) A ．af (b)≤bf(a) B ．bf (a)≤af(b) C ．af (a)≤f(b) D ．bf (b)≤f(a)答案 A解析 ∵xf′(x)＋f(x)≤0，f(x)≥0，∴xf ′(x)≤－f(x)≤0.设y ＝f （x ）x ，则y ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2≤0，故y ＝f （x ）x 为减函数或常数函数．又a<b ，∴f （a ）a ≥f （b ）b.∵a ，b>0，∴af (b)≤bf(a)．12．(·福建南平质检)已知函数f (x)(x∈R )图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x －x 0)，那么函数f(x)的单调减区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(－∞，－1)和(1，2) D ．[2，＋∞)答案 C解析 因为函数f (x)(x∈R )图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x －x 0)，所以函数f(x)的图像在点(x 0，y 0)处的切线的斜率k ＝(x 0－2)(x 02－1)，函数f(x)的导函数为f ′(x)＝(x －2)(x 2－1)．由f ′(x)＝(x －2)(x 2－1)<0，得x<－1或1<x<2，即函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，2)．故选C. 13．(·湖北荆州质检)函数f(x)＝lnx －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．答案 (0，5－12) 解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x)＝1x －x －1>0得可解0<x<5－12.14．若函数y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．答案 a>0解析 y ′＝－x 2＋a ，y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a>0.15．已知函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)． (1)实数k 的值为________；(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________． 答案 (1)13 (2)0<k≤13解析 (1)f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13.(2)由f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x≤0并结合导函数的图像可知，必有－2（k －1）k ≥4，解得k≤13.又k>0，故0<k≤13.16．设函数f(x)＝x(e x－1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围．答案 (1)增区间(－∞，－1]，[0，＋∞)，减区间[－1，0] (2)(－∞，1]解析 (1)当a ＝12时，f(x)＝x(e x－1)－12x 2，f ′(x)＝e x－1＋xe x－x ＝(e x－1)(x ＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)＞0；当x∈(－1，0)时，f ′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减． (2)f(x)＝x(e x －1－ax)．令g(x)＝e x－1－ax ，则g ′(x)＝e x－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g ′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.若a ＞1，则当x∈(0，ln a)时，g ′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综上得a 的取值范围为(－∞，1]．17．(·辽宁大连双基自测)已知函数f(x)＝lnx ＋axx ＋1(a∈R )．(1)若函数f(x)在区间(0，4)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f(x)的图像与直线y ＝2x 相切，求a 的值． 答案 (1)a≥－4 (2)4解析 (1)f ′(x)＝1x ＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝（x ＋1）2＋axx （x ＋1）2.∵函数f(x)在区间(0，4)上单调递增， ∴f ′(x)≥0在(0，4)上恒成立，∴(x ＋1)2＋ax≥0，即a≥－x 2＋2x ＋1x ＝－(x ＋1x)－2在(0，4)上恒成立．∵x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，∴a ≥－4.(2)设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，f ′(x 0)＝2，y 0＝lnx 0＋ax 0x 0＋1，∴1x 0＋a （x 0＋1）2＝2① 且2x 0＝lnx 0＋ax 0x 0＋1②由①得a ＝(2－1x 0)(x 0＋1)2，③代入②，得2x 0＝lnx 0＋(2x 0－1)(x 0＋1)， 即lnx 0＋2x 02－x 0－1＝0. 令F(x)＝lnx ＋2x 2－x －1，则 F ′(x)＝1x ＋4x －1＝4x 2－x ＋1x >0，∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∵F(1)＝0，∴x 0＝1，代入③式得a ＝4. 18．设函数f(x)＝xe kx (k≠0)． (1)若k>0，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．答案 (1)增区间为(－1k ，＋∞)，减区间为(－∞，－1k ) (2)[－1，0)∪(0，1]解析 (1)f ′(x)＝(1＋kx)e kx， 若k>0，令f ′(x)>0，得x>－1k，所以函数f(x)的单调递增区间是(－1k ，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1k )．(2)∵f(x)在区间(－1，1)内单调递增， ∴f ′(x)＝(1＋kx)e kx≥0在(－1，1)内恒成立， ∴1＋kx≥0在(－1，1)内恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋k·（－1）≥0，1＋k·1≥0，解得－1≤k≤1. 因为k≠0，所以k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．1．函数f(x)＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x)＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x)>0，解得x>2，故选D. 2.在R 上可导的函数f(x)的图像如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x)<0的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(1，＋∞) C ．(－2，－1)∪(1，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A解析 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)递增，所以f ′(x)>0，使xf ′(x)<0的范围为(－∞，－1)； 在(－1，1)上，f(x)递减，所以f ′(x)<0，使xf ′(x)<0的范围为(0，1)． 综上，关于x 的不等式xf ′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．3．函数y ＝3x 2－2lnx 的单调递增区间为________，单调递减区间为__________． 答案 (33，＋∞)，(0，33) 解析 y ′＝6x －2x ＝6x 2－2x.∵函数的定义域为(0，＋∞)，∴由y ′>0，得x>33. ∴单调递增区间为(33，＋∞)． 由y ′<0，得0<x<33.∴单调递减区间为(0，33)． 4．(·山西怀仁一中期中)已知函数f(x)的定义域为R ，f(－1)＝2，且对任意的x∈R ，f ′(x)>2，则f(x)>2x ＋4的解集为________． 答案 (－1，＋∞)解析 令g(x)＝f(x)－2x －4，则g ′(x)＝f ′(x)－2>0，∴g(x)在R 上为增函数，且g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0.原不等式可转化为g(x)>g(－1)，解得x>－1，故原不等式的解集为(－1，＋∞)． 5．已知f(x)＝e x－ax －1，求f(x)的单调递增区间． 答案 ①a≤0时，f(x)在R 上单调递增； ②a>0时，f(x)增区间为(lna ，＋∞)6．已知函数f(x)＝mln(x ＋1)－xx ＋1(x>－1)，讨论f(x)的单调性．解析 f ′(x)＝m （x ＋1）－1（x ＋1）2(x>－1) 当m≤0时，f ′(x)<0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；当m>0时，令f ′(x)<0，得x<－1＋1m ，函数f(x)在(－1，－1＋1m )上单调递减；令f ′(x)>0，得x>－1＋1m ，函数f(x)在(－1＋1m ，＋∞)上单调递增．综上所述，当m≤0时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；当m>0时，f(x)在(－1，－1＋1m )上单调递减，在(－1＋1m，＋∞)上单调递增．7．已知函数g(x)＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1，若g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．答案 (－∞，－22) 解析 g ′(x)＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g ′(x)＝x 2－ax ＋2<0成立．当x∈(－2，－1)时，a<x ＋2x ≤－22，所以实数a 的取值范围是(－∞，－22)．8．(·四川)已知函数f(x)＝－2xlnx ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a>0. (1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． 答案 (1)当x∈(0，1)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增 (2)略解析 (1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， g(x)＝f ′(x)＝2(x －1－lnx －a)， 所以g ′(x)＝2－2x ＝2（x －1）x.当x∈(0，1)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增．(2)由f ′(x)＝2(x －1－lnx －a)＝0，解得a ＝x －1－lnx.令φ(x)＝－2xlnx ＋x 2－2x(x －1－lnx)＋(x －1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx ，则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0.于是存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－lnx 0＝u(x 0)，其中u(x)＝x －1－lnx (x≥1)． 由u ′(x)＝1－1x ≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故0＝u(1)<a 0＝u(x 0)<u(e)＝e －2<1，即a 0∈(0，1)． 当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f(x 0)＝φ(x 0)＝0. 再由(1)知，f ′(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 当x∈(1，x 0)时，f ′(x)<0，从而f(x)>f(x 0)＝0；当x∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)>0，从而f(x)>f(x 0)＝0；又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x －a 0)2－2xlnx>0. 故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0.综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．。
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导数的应用----求函数的单调区间（一）
一．自主预习
应用导函数求函数的单调区间
1.在y
观察比较两条曲线的明显区别
2.阅读课本24页总结求函数单调区间的方法.
方法：※1.
2.
3.
预习成果展示：
求函数()224
f x x x
=-+的单调区间
二．经典例题：
例1.已知函数()
y f x
=图像如图所示请在图中画出其导函数()
'
y f x
=的草图
()
y f x
=的草图
2.求函数()3241
f x x x x
=-+-的单调区间，并画出草图
三．练吧
1.设()
'
y f x
=
2.求函数2
36ln
y x x
=-的单调区间
探究与反思
.已知函数(0,0)
b
y ax a b
x
=+>>求该函数的单调区间并画出相应的草图.（以小组形式汇报）
导数的应用----求函数的单调区间（二）
一．自主复习
1. 已知函数x x f ln )(=，x
a
x g =)(，设)()()(x g x f x F +=.求当1=a 时，求函数)(x F 的单调区间；
2.函数()y f x =的图像如图，请在坐标系中画出其导函数()'y f x =的草图
已知0a >函数()3
f x x ax =-在()1,+∞上是单调递增函数，则求a 的取值范围.
三．练吧
已知函数()ln f x ax x =-，若()1f x >在区间()1,+∞内恒成立，则求a 的取值范围.
2、若函数()()32
111132
f x x ax a x =
-+-+在区间（1,4）上为减函数，在区间()6,+∞ 上为增函数，试求a 的取值范围.
3.已知函数()'y xf x =图象如图所示，
下列四个图象中()y f x =图象大致是
四．探究与反思
已知()'f x 图象如图所示，则()f x。