2025优化设计一轮素能培优(三) 幂、指、对数的大小比较

2
e
3
ln
1-ln
令 f(x)= ,则 f'(x)=
,当 x>e 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,


当 0<x<e 时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
1
又因为2ln
1
2=4ln
1
4,故2ln
1
2=4ln
1
4<3ln
1
3<eln
e,即 a<c<b,故选 A.
(2)(2024·江苏扬州模拟)设
a=t(t>0),则 a= ,b= = ,c=ln b,
ln
e

令 f(x)=ln x-x(x>0),则
1
1-
f'(x)= -1= ,当


0<x<1 时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当 x>1 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以 f(x)≤f(1)=-1<0,即 ln x<x,
=
∵y=log3x 为增函数,∴
∵y=log4x 为增函数,∴
∵y=log3x 为增函数,∴
∵y=log4x 为增函数,∴
3
3
2
3
2,
,
∴
a<c,
∵
0<5
<4
,
∴
5<4
2
5
3
4
5
4,
,
∴
b<c,
∵
4
>3
>0,
∴
4>3
2
5
5
5
4
5
4,
,
∴
a>
,
∵
0<5
<4
,
∴
5<4
4
4
5
5
,
∴
b<
.综上所述,c>a>b,故选
3
又因为 3> 6 > 9,且函数 y=log2x 为增函数,所以 c<b<a,故选 C.
1
1 -2
0.9
0.5
[对点训练1](2024·天津和平模拟)设a=3 ,b=9 , c=(3)
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>a>c
D.b>c>a
1
解析 因为
1
1
a=30.9,b=90.5=(32)0.5=31,c=( ) 2 =(3-1) 2
命题点5
构造函数比较大小
1
2
1

1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<b<a
1
1
1
解析 依题意 ln a=2ln 2,ln b=eln e,ln c=3ln 3,
1
1
1
因此只需比较 ln 2, ln e, ln 3 的大小.
[对点训练3](2024·山东潍坊模拟)已知 a=log2 5 ,b=20.6,c=-log0.26,则实数
a,b,c的大小关系为( C )
A.a>c>b
B.a>b>c
C.b>a>c
D.b>c>a
解析 a=log2 5=log45>1,c=-log0.26=log56>1,
lg4+lg6 2
lg24 2
命题点3
利用基本不等式比较大小
例3(2024·浙江杭州模拟)已知a=log75,b=log97,c=log119,则( A )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
lg5
lg7
lg5lg9-7 − lg9 = lg7lg9 ,lg 7lg 9>0,
z>x>y,故选D.
规律方法
借助函数与方程思想,将要比较大小的量视为相关函数图象上点的纵坐标
或横坐标,然后通过图象的高低位置进行大小比较.
[对点训练4](多选题)(2024·湖北孝感模拟)已知实数a,b,c满足cln a=c·eb=1,
则下列关系式中可能成立的是(ABC )
A.a>b>c
B.a>c>b
1
1
1
1
1
所以 f(2)>f(0)=0,即 tan2 − 2>0,所以 tan2 > 2,

令 g(x)=x-ln(x+1),x∈(0,+∞),则 g'(x)=+1>0,x∈(0,+∞),
1
1 3
1
3
所以函数 g(x)在(0,+∞)内单调递增,所以 g(2)>g(0)=0,即2-ln2>0,即2>ln2,
lg25 2
(
)
(
)
(
)
log5 6

lg4lg6
2
2
2
则 =
= 2 <
=
<
=1,
2
2
2

log4 5
lg 5
所以 c<a;又因为
所以
3
b>2,则
lg 5
lg 5
lg 5
3 5
3 5
0.6 5
a=log2 5=log45<2,b =(2 ) =8>(2) ,
b>a,所以 b>a>c,故选 C.
命题点4
3
=
,则( C )
1
32=30.5,
又因为函数y=3x在R上单调递增,1>0.9>0.5,所以31>30.9>30.5,
所以b>a>c,故选C.
命题点2
借助中间值比较大小
2
例2(1)(2024·甘肃兰州模拟)若 a=(3)
1
2
1
,b=ln2,
c=0.6-0.2,则a,b,c的大小关系为
( B )
A.c>b>a
又因为 lg 7lg 11<(
) =( ) <( ) =lg29,
2
2
2
所以 log97-log119<0,即 b<c,所以 a<b<c,故选 A.
a<b.
规律方法
当两个对数的底数与真数都不相同时,可通过作差并利用换底公式化为同
底数的对数,然后利用基本不等式将两个对数的积进行放缩,从而确定差的
符号,进而得到两个对数的大小关系.
过例题对比较大小的常用方法进行归纳总结.
命题点1
利用函数单调性比较大小
例1(2024·山东日照模拟)已知a=log23,b=log46,c=log89,则a,b,c的大小顺序
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
3
解析 由于 b=log46=log2 6,c=log89=log2 9,
D.c>a>b
解析
所以
1
4
1
4
1
4
1
1
3 3
81
81
1
因为 a=log35=2log325<2log327=2 , 4=(256) <(243) =(3) ,
1
1 4
3
b=2×( ) > 且 b<2,c=3log72+log87=log78+log87>2 log 7 8·log 8 7=2,
3
2
所以 c>b>a,故选 B.
C.c>a>b
D.c>b>a
解析
设 ln
1
由 cln a=c·
e =1 可得 ln a=e = ,
1
b 1
t
a=e = =t,t>0,则 a=e ,b=ln t,c= ,
b
b
在同一坐标系中分别画出函数 y=ex,y=ln x,
1
y= 的图象(如图所示),当

t=t3 时,a>b>c;
当 t=t2 时,a>c>b;当 t=t1 时,c>a>b,故选 ABC.
为( A )
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>c>b
D.b>c>a
解析 令

f(x)=ln(x>0),则
f'(x)=
ln-1
(ln)
2,
当 x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增,
2
3
e
e
a=f(3)=ln3,b=ln e=e,c=f(e2)=ln e2
所以
因此 c>a>b,故选 A.
C.b>c>a
D.c>b>a
解析 因为 a=log 2 2<0,b=log56>1,c=sin 2∈(0,1),
3
所以 b>c>a,故选 C.
3
1
4
(2)(2024·安徽蚌埠模拟)已知a=log35, b=2×(1) ,c=3log72+log87,则( B )
3
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>a>c
D.a>c>b
解析 (方法1 取特殊值法)不妨取a=0,则b=e,c=1,于是有b>c>a,故选C.
(方法2 构造函数法)设f(x)=ln x-x,则
,当0<x<1时,f'(x)>0,则函数
f(x)在(0,1)内单调递增,当x>1时,f'(x)<0,则函数f(x)在(1,+∞)内单调递减,所
以f(x)max=f(1)=-1<0,所以ln x<x,所以a=ln c<c,又因为ln(ln b)=ln c,所以
1
3
所以 tan2>ln2,即 c>b.综上,a<b<c,故选 A.
规律方法
某些数或式子的大小关系问题,看似与函数单调性无关,但仔细挖掘问题的
内在联系,抓住其本质,将各个值中共同的量用变量替换,构造函数,利用导
数研究得到函数的单调性,即可比较大小.
[对点训练5]已知
3
2
a= 3,b=e,c= 2 (e为自然对数的底数),则a,b,c的大小关系
c=ln b<b,所以b>c>a,故选C.
规律方法
当要比较大小的几个量不是具体数值,而是具有某种等量关系的几个字母
时,可以将其中的字母取一组符合等量关系的特殊的简单数值,通过这组特
殊数值来确定它们的大小关系.
[对点训练6](2024·湖南岳阳模拟)已知正数a,b,c,满足aln b=b·ec=c·a,则a,b,c
B.c>a>b
C.b>a>c
D.a>c>b
解析
2 x
2
由于 y=( ) 在(-∞,+∞)内是减函数,所以 0<a=( )
3
3
1
y=ln x 在(0,+∞)内是增函数,所以 b=ln2<ln 1=0,
1
2
2 0
<( ) =1;
3
因为
又因为 y=0.6x 在(-∞,+∞)内是减函数,则 c=0.6-0.2>0.60=1,因此 c>a>b,故选 B.
=
e2
,
2
命题点6
取特殊值法比较大小
例6(1)若e>b>a>
(e是自然对数的底数),m=ab,n=ba,p=logab,则m,n,p这三
个数的大小关系为( C )
A.m>n>p
B.n>p>m
C.n>m>p
D.m>p>n
解析 因为 e>b>a> e,所以取
5
m=ab=22
25
5
a=2,b=2,
则
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
lg7
lg9
lg7lg11-lg2 9
因为 log97-log119=lg9 − lg11 = lg11lg9 ,
lg7+lg11 2 lg77 2 lg81 2

b<b,因为

所以 ln
=
综上,c<b<a,故选 D.

>1,所以
ln
a>b,又因为 c=ln b,得 c<b.
本 课 结 束
2025
高考总复习优化设计
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
素能培优(三) 幂、指、对数的大小比较
幂、指、对数的大小比较是高考的热点题型,常以选择题的形式出现,主要
考查指数、对数的互化、运算性质以及指数函数、对数函数、幂函数的
图象与性质.比较大小时,既有常规方法,也有一些灵活巧妙的方法,以下通
4
4
D.
规律方法
当底数、指数、真数等都不相同时,可寻找中间 量0,1或者其他能判断大
小关系的中间量,借助中 间值进行大小关系的判定.
[对点训练2](1)(2024·山西太原模拟)已知 a=lo2 2 ,b=log56,c=sin 2,则a,b,c
的大小关系为( C )
A.a>b>c
B.b>a>c
A.a<b<c
B.b<a<c
C.c<a<b
D.a<c<b
3 3 27
3
因为(2) = 8 >e,所以2
解析
令 f(x)=tan x-x,x∈(0,1),
1
3
1
a=3,b=ln2,c=tan2,则(
>
1
e3 ,所以
3
ln2>ln
1
e3
A )
=
1
,所以
3
b>a,
1
sin2
则 f'(x)=cos2 -1=cos2 =tan2x>0,x∈(0,1),所以 f(x)在(0,1)内单调递增,
=
= 32 ∈(5,6),n=b
所以 n>m>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关