高一数学下学期第三次月考试题含解析_1

2021-2021学年度下学期高一年级第三次月考
数学试卷
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕
36060m α=⋅︒+︒，360120k β=⋅︒+︒，〔m ，k Z ∈〕，那么角α与β的终边的位置关系是〔 〕 A. 重合 B. 关于原点对称
C. 关于x 轴对称
D. 关于y 轴
对称 【答案】D 【解析】 【分析】
根据终边一样的角的特点，判断出终边位置，从而得到对称关系. 【详解】()36060m m Z α=⋅+∈ α⇒与60终边一样
()360120k k Z β=⋅+∈ β⇒与120终边一样
又60120180+=，即终边关于y 轴对称
α∴与β终边关于y 轴对称
此题正确选项：D
【点睛】此题考察角的终边的位置关系，根据终边一样的角的特点得到结果，属于根底题.
2.2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为〔 〕 A. 2 B. sin2
C.
2
sin1
D. 2sin1
【答案】C 【解析】
【分析】
连接圆心与弦的中点，那么得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是
1
sin1
，利用弧长公式求弧长即可． 【详解】解：连接圆心与弦的中点，那么由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为1sin1，这个圆心角所对的弧长为12
2sin1sin1
⨯=，
应选：C ．
【点睛】此题考察弧长公式，求解此题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，纯熟记忆弧长公式也是正确解题的关键．
3.1
cos ,,3
2πααπ⎛⎫
=-∈
⎪⎝⎭
,那么()sin πα+= ( )
A.
3 B. 3
-
C. 3
±
D.
13
【答案】B 【解析】 【分析】
利用诱导公式以及同角三角函数根本关系式化简求解即可．
【详解】
1cos 3α=-，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
sin 3
α∴===
()sin sin 3
παα∴+=-=-
此题正确选项：B
【点睛】此题考察诱导公式的应用，同角三角函数根本关系式的应用，考察计算才能．
{}n a 的前n 项和为n S ，假设53a =，1391S =，那么11S =〔 〕
A. 36
B. 72
C. 55
D. 110
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和性质得7a ，再根据等差数列性质求11S . 【详解】因为()113137
1313912
a a S a
+⨯=
==，所以77a =，
因为53a =，所以5710a a +=， 因为1115710a a a a +=+=， 所以()1111111552
a a S +⨯=
=.选C.
【点睛】此题考察等差数列前n 项和性质以及等差数列性质，考察根本分析求解才能，属根底题.
y = 〕
A. ,4k k πππ⎡
⎫
+
⎪⎢⎣
⎭
，k ∈Z
B. ,2k k πππ⎡⎫
+
⎪⎢⎣
⎭
，k ∈Z C. ,42k k ππππ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦
，k ∈Z
D. ,4k k πππ⎛⎤
-
⎥⎝⎦
，k ∈Z 【答案】A 【解析】 【分析】
根据二次根式的性质以及正切函数的性质求出函数的定义域即可． 【详解】由题意得：tan 14x π⎛⎫
+
- ⎪⎝
⎭
≥0， 故tan 4x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
≥1， 故k π4
π
+
≤x 4
π
+<k π2
π+
， 解得：x ∈,4k k πππ⎡⎫
+⎪⎢⎣
⎭
k ∈z ， 应选：A ．
【点睛】此题考察了求函数的定义域问题，考察三角函数的性质，是一道根底题．
522sin cos tan 777
a b c πππ===，，，那么 ( )
A. a b c ＜＜
B. a c b ＜＜
C. b a c ＜＜
D. b c a ＜＜
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意得5
2sin sin
7
7a ππ==，然后根据2472ππ
π<<可得三个函数值的大小． 【详解】∵52sin sin 77a ππ==，且2472
ππ
π<<，
∴222
cos sin 1,tan 1777πππ<<>，
∴222
cos sin tan 777
πππ<<，即c a b <<．
应选C ．
【点睛】此题考察比拟三角函数值的大小，解题的关键是统一角，然后再根据三角函数的性质进展比拟，属于根底题．
()
21
cos cos 2
f x x x x =+-
的表述错误的选项是( ) A. 最小正周期为π B. 函数sin2y x =向左平移
12
π
个单位可得到()f x C. ()f x 在区间,36ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上递增 D. 点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】
先根据二倍角公式以及辅助角公式化函数为根本三角函数形式，再根据正弦函数性质判断选择.
【详解】因为()21
1cos2x 1cos cos ?sin 22
226f x x x x x x π+⎛⎫=+-=
+-=+ ⎪⎝
⎭, 所以最小正周期为
22
π
π=， sin2y x =向左平移
12π个单位可得到y sin 2sin 2126x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭, 因为x ,36ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
,所以2,622x πππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即()f x 递增，
因为x 6
π
=
时，sin 216x π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，所以点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
不是()f x 的对称中心， 综上选D.
【点睛】此题考察二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考察根本分析求解才能，属根底题.
()sin cos 422f x a x b x ππαβ⎛⎫⎛⎫
=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中a b αβ、、、均为非零的常数，假设
(1981)=3f ，那么(2019)f 的值是〔 〕
A. 5
B. 3
C. 1
D. 不确定
【答案】A 【解析】 【分析】
化简()19813f =的表达式，将所得结果代入()2019f 的表达式中，由此求得()2019f 的值. 【
详
解
】
由
于
()19813
f =，故
()ππ1981sin 990πcos 990π4
22f a b αβ⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin cos 4
22a b αβ⎛⎫⎛⎫
=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 43
a b αβ-+=，所以
cos sin 1
a b αβ-=-.
()ππ2019sin 1009πcos 1009π4
22f a b αβ⎛⎫⎛⎫
=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ππsin cos 422a αβ⎛⎫⎛⎫
=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
cos sin 4a b αβ=-++()145=--+=.
【点睛】本小题主要考察三角函数的诱导公式，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
()()sin 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝
⎭，的最小正周期是π，假设其图象向左平移3π
个单位后得
到的函数为偶函数，那么函数()f x 的图象〔 〕 A. 关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛012，π对称 B. 关于直线12
x π
=
对称
C. 关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛06，π对称 D. 关于直线6
x π=
对称
【答案】A
【解析】 【分析】
根据函数()f x 的最小正周期是π，求得2=w ，即()()sin 2f x x ϕ=+，再根据三角函数的图象变换求得2()sin(2)3g x x π
ϕ=+
+，利用三角函数的对称性，求得6
πϕ=-，得到函数()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，再利用三角函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期是π，即2w
π
π=，解得2=w ， 所以()()sin 2f x x ϕ=+， 将函数()f x 的向左平移
3π
个单位后得到函数2()sin[2()]sin(2)33
g x x x ππϕϕ=++=+
+ 因为()g x 为偶函数，所以2(0)sin()13g πϕ=+=±，即2,32
k k Z ππ
ϕπ+=+∈， 解得,6
k k Z π
ϕπ=-
+∈，因为2
π
ϕ<
，所以6
π
ϕ=-
，
所以()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，令2,6x k k Z ππ-=∈，解得,122k x k Z ππ=+
∈， 令0k =，那么12
x π
=
，所以函数()f x 关于⎪⎭
⎫
⎝⎛012，π对称，应选A. 【点睛】此题主要考察了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中纯熟应用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
10.如图，在ABC ∆中，AC AD 32
=，13
BP PD =，假设AP AB AC λμ=+，那么λμ+的值是〔 〕
A.
1112
B.
34
C.
89
D.
9
7 【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量线性运算，可利用AB 和AC 表示出AP ，从而可根据对应关系求得结果. 【详解】由题意得：()
1131
4444
AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD =+=+
=+-=+ 31231
44346
AB AC AB AC =
+⨯=+ 又AP AB AC λμ=+，可知：3111
4612
λμ+=+= 此题正确选项：A
【点睛】此题考察向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型.
()9cos 20,48f x x a x ππ⎛⎫
⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭
恰有三个不同的零点321,,x x x ，那么123x x x ++的
取值范围是〔 〕
A. 511[,)48ππ
B. 97[
,)42ππ C. 511(
,]48
ππ D. 97(
,]42
ππ 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意得方程9cos 2,0,48x a x ππ⎛⎫
⎡⎤
-
=∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦有三个不同的实数根，令cos(2)4y x π=-，
90,8x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，然后画出函数的大致图象，由函数的图象以及余弦图象的对称轴求出12x x +的
值，判断出3x 的范围，即可求出123x x x ++的取值范围． 【详解】由题意得方程9cos 2,0,48x a x ππ⎛⎫
⎡⎤
-
=∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
有三个不同的实数根， 令cos(2)4y x π=-，90,8x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 画出函数cos 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的大致图象，如下图．
21a <时，方程cos 24x a π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
恰好有三个根． 令2,4
x k k Z π
π-
=∈，得,8
2k x k Z π
π
=
+
∈， 当0k =时，8
x π=
；当1k =时，8
5π
=
x ．
不妨设123x x x <<，由题意得点)0,(),0,(21x x 关于直线8
x π=对称，
所以124
x x π
+=
．
又结合图象可得398
x ππ≤<， 所以12351148
x x x ππ≤++<， 即123x x x ++的取值范围为511[
,)48
ππ． 应选A ．
【点睛】解答此题的关键是借助函数的图象利用数形结合求解，解题时注意余弦型函数图象对称性的应用，转化为只判断零点3x 所在的范围的问题求解，考察画图、用图以及转化思想
的应用，属于根底题．
{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且630
2n
n
A
n B
n +=
+，那么使得n
n b a 为整数的正整数n 的
个数是〔 〕 A. 2 B. 3
C. 4
D. 5
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质和前n 项和公式，可得
12241862121n n a n b n n +==+++，要使得n
n b a 为正整数，求得n 的取值个数，即可求解，得到答案。

【详解】由题意，根据等差数列的性质和前n 项和公式，
可得12121211211
()6(21)3021212()2
n n n n n n a a a A n b B n b b ----+-+===-++12241862121
n n n +==+++， 要使得n
n
b a 为正整数，那么1n =或者4n =，
所以要使得
n
n
b a 为正整数的正整数n 的个数为2个，应选A 。

【点睛】此题主要考察了等差数列的性质，以及前n 项和公式的应用，其中解答中根据等差
数列的性质和前n 项和公式，化简
18621
n n a b n =++是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题。

二、填空题：(本大题4个小题，每一小题5分，一共20分)
2()cos 2cos 1f x x x x =+-的图象向右平移ϕ〔0ϕ>〕个单位长度后，其函数图象
关于y 轴对称，那么ϕ的最小值为__． 【答案】
π3
【解析】 【分析】
利用三角恒等变换化简，可得函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再由三角函数的图象变换，求得()2sin 226g x x πϕ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，根据函数的对称性，即可求解.
【
详
解
】
由
题
意
，
函
数
()
2cos 2cos 1cos22sin 26f x x x x x x x π⎛
⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭，
那么()f x 的图象向右平移ϕ个单位，可得
()()2sin 22sin 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，
又由()g x 的图象关于y 轴对称，所以()02sin 226g πϕ⎛
⎫
=-=± ⎪⎝
⎭，即sin 216πϕ⎛
⎫-=± ⎪⎝
⎭， 解得2,6
2
k k Z π
π
ϕπ-
=
+∈，即,32
k
k Z π
ϕπ=
+∈， 当0k =时，求得ϕ最小值为3
π
ϕ=
.
【点睛】此题主要考察了三角恒等变换、及三角函数的图象变换和三角函数的性质的应用，其中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，数列应用三角函数的图象变换和三角函数的性质是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
14.2a =,1b =，a 与b
的夹角为45，那么使向量(
)2a b λ-与()
3a b λ-的夹角是锐
角的实数λ 的取值范围为__．
【答案】((
)
6,6
【解析】 【分析】
根据向量数量积的公式以及向量数量积与夹角之间的关系进展求解即可．
【详解】∵|a |=
|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，
∴a •b =|a ||b |cos45°1=
=1， 假设〔2a -λb 〕与〔a λ-3b 〕同向一共线时， 满足〔2a -λb 〕＝m 〔a λ-3b 〕，m ＞0，
那么23m m λ
λ=⎧⎨
-=-⎩
，得λ=
假设向量〔2a -λb 〕与〔λa -3b 〕的夹角是锐角，
那么〔2a -λb 〕•〔λa -3b 〕＞0，且λ≠
即2λa 2+3λb 2﹣〔6+λ2〕a •b ＞0， 即4λ+3λ﹣〔6+λ2〕＞0， 即λ2
﹣7λ+6＜0，
得16λ＜＜且λ≠
故答案为()
⋃
【点睛】此题主要考察平面向量数量积的应用，根据数量积和向量夹角的关系建立不等式关系
是解决此题的关键．注意向量同向一共线时不满足条件．
{}n a 中，首项10a >，2324232400a a a a ⋅+且，那么使前n 项和0n S >成立的最大自然数n
是______．
【答案】46 【解析】 【分析】
由题意，得到等差数列{}n a 中，公差0d <，且230a >，240a <且23240a a +>，再由等差数列的求和公式，得到4546470,0,0S S S >><，即可得到答案。

【详解】由题意，等差数列{}n a 中，首项10a >，2324232400a a a a ⋅+且， 可得公差0d <，且230a >，240a <且23240a a +>， 又由等差数列的求和公式，可得：
145146452346232445()46()
450,23()022a a a a S a S a a ++=
=>==+>，
147472447()47022
a a S a +==<，
所以那么使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是46．
【点睛】此题主要考察了等差数列的单调性，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中合理应用等差数列的性质和前项和公式，分别求得454647,,S S S 是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题。

xoy 中，任意角θ以坐标原点)4,3(-为顶点，x 轴的非负半轴为始边，假设终边经过点00(,)p x y ，且(0)op r r =>，定义：00
y x sos r
θ+=
，称“sos θ〞为“正余弦函数〞，对于“正余弦函数y sosx =〞，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为⎡⎣； ②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线3
4
x π=
对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为2π； ⑤该函数的递增区间为32,244k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦.
其中正确的是__________．〔填上所有正确性质的序号〕 【答案】①④⑤. 【解析】
分析：根据“正余弦函数〞的定义得到函数)4
y sosx x π
==+，然后根据三角函数的
图象与性质分别进展判断即可得到结论．
详解：①中，由三角函数的定义可知00cos ,sin x r x y r x ==，
所以00sin cos )[4y x y sosx x x x r π
+==
=+=+∈，所以是正确的；
②中，)4y sosx x π==+，所以()0)104
f π
=+=≠，所以函数关于原点对
称是错位的；
③中，当34x π=
时，33()sin()0444f πππ
π=+==≠所以图象关于34
x π
=对称是错误的；
④中，)4
y sosx x π
==+，所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，所以是正确
的；
⑤中，因为)4
y sosx x π
==
+，令22242k x k πππ
ππ-++≤≤，
得322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即函数的单调递增区间为3[2,2],44
k k k Z ππππ-+∈，所以是正确的，
综上所述，正确命题的序号为①④⑤．
点睛：此题主要考察了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数y sosx =的表达式是解答的关键，同时要求纯熟掌握三角函数的图象与性质是解答额根底，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题．
三、解答题〔本大题一一共6个小题，一共计70分〕
17.()
3sin()cos()tan()cos()
222sin(2)tan()sin()
f πππααπαααπααπαπ--++=-----． 〔1〕化简()f
α；
〔2〕 假设α是第三象限角，且31
cos 25
πα⎛
⎫-
= ⎪⎝
⎭，求()f α的值.
【答案】〔1〕αcos -；〔2
. 【解析】 【分析】
〔1〕根据诱导公式进展化简即可得到结果．〔2〕由31cos()25πα-
=
求得cos α=，再结合〔1〕中的结论可得所求．
【详解】〔1〕由题意得
()sin(
)(sin )tan (sin )
2
sin()(tan )[sin(+)]
f π
αααααααπα----=
--- ()()()cos sin tan sin sin tan sin ααααααα
---=
--
cos α=-．
〔2〕∵331cos()cos()sin 225
ππααα-=-=-=， ∴1sin 5
α=-
． 又α为第三象限角，
∴cos α==， ∴(
)cos f αα=-=
． 【点睛】应用诱导公式解题时，容易出现的错误是三角函数名是否改变和结果的符号问题，解题时一定要强化对公式的理解，正确掌握“奇变偶不变，符号看象限〞的含义，并纯熟地
应用到解题中，考察变换才能和对公式的掌握情况，属于根底题．
(1,0)a =，)1,2(-=b
．
〔1〕假设ka b -与3a b +平行，求k 的值； 〔2〕假设ka b -与3a b +垂直，求k 的值． 【答案】〔1〕1
3-；〔2〕135
- 【解析】 【分析】
通过坐标表示出ka b -和3a b +，根据向量平行和垂直的性质可构造关于k 的方程，求解得到结果.
【详解】由题意得：()2,1ka b k -=+-，()35,3a b +=-
〔1〕()()//3ka b a b -+ ()()()3215k ⇒+=-⨯- 13k ⇒=-
〔2〕()()3ka b a b -⊥+ ()5230k ⇒-+-= 13
5
k ⇒=-
【点睛】此题考察利用向量平行和垂直的性质求解参数的问题，主要利用向量的坐标运算来求解，属于根底题.
(1,3)a =-，sin ,sin 2b x x π⎛⎫⎛
⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，x R ∈.
〔1〕假设a b ⊥，求tan x 的值；
〔2〕设函数()·
·cos () f x a b x =，x 0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的值域．
【答案】〔1〕tan x =〔2〕⎡⎢⎣⎦
.
【解析】
〔1〕由a b ⊥，可得0=⋅b a
，求得sin 0x x -=，即可求解；
〔2〕利用三角恒等变换的公式，化简()sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪
⎝
⎭，再利用三角函数的性质，即可求解．
【详解】〔1〕因为a b ⊥，所以sin sin 02a b x x x x π⎛⎫
⋅=-+=-= ⎪⎝
⎭
，
解得tan x =
〔2〕由三角恒等变换的公式，化简得()()
2
sin cos sin cos f x x x x x x x ==
11cos2
sin2sin 22232x x x π+⎛
⎫==--
⎪⎝
⎭，
当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，sin 23x π⎡⎤⎛
⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，
所以()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦
. 【点睛】此题主要考察了向量的数量积的运算，以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用，其中解答熟记向量的数量积的运算公式，以及合理应用三角恒等变换的公式和三角函数的性质是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．
20.α、β均为锐角，11
cos α=, cos(α+β)=23，
〔1〕求π
sin(α+)6
的值；
〔2〕求cos β的值.
【答案】〔1〕1；〔2. 【解析】
〔1〕先求出α= 3π,再求π
sin(α+)6
的值；〔2〕利用()cos βcos αβα⎡⎤=+-⎣⎦求值得解. 【详解】〔1〕∵α为锐角，1cos α=2∴α= 3
π
,
那么ππsin α 1636sin π⎛
⎫⎛⎫+
=+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. 〔2〕∵0α20αβ<π0β<
2ππ⎧<<⎪⎪⇒<+⎨⎪<⎪⎩
，那么sin(αβ+，
那么()()()cos βcos cos sin cos sin αβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦
11132326
+=⨯+⨯=
. 【点睛】此题主要考察三角函数化简求值，意在考察学生对该知识的理解掌握程度和分析推理才能.
21.数列{n a }满足11a =，1
1+=+n n
n a a a 〔n N *∈〕． 〔1〕求2a ，3a ，4a 的值；
〔2〕证明：数列{
1
n
a }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式． 【答案】〔1〕212a =，313a =，41
4
a =〔2〕见解析 【解析】 【分析】
〔1〕由结合数列递推式直接求得2a ，3a ，4a 的值；
〔2〕把原递推式变形，可得
111
1n n
a a +-=，根据等差数列定义可证，再根据等差数列通项公
【详解】解：〔1〕由11a =，11
n
n n a a a +=
+， 得121112a a a =
=+，232113a a a ==+，3431
14
a a a ==+； 证明：〔2〕当*
n N ∈时，由11n n n a a a +=
+，得
11111
1n n n n n
a a a a a ++-=-=， ∴{
1
n
a }是公差为1的等差数列， 又∵1
1
1a =，
∴
()1
111n
n n a =+-⨯=， 那么1n a n
=
． 【点睛】此题考察数列递推式，考察等差关系定义以及等差数列通项公式的求法，是根底题．
y 〔万千瓦时〕关于时间是t 〔单位：小时，其中024,0t t ≤≤=对应凌晨0点〕的函数()
y f t =近似满足()()f t Asin t B ωϕ=++ ()0,0,0A ωϕπ>><<,如图是函数()f t 的局部图象．
〔1〕求()f t 的解析式；
〔2〕该企业某天前半日能分配到的供电量()f t 〔万千瓦时〕与时间是t 〔小时〕的关系可用
线性函数模型()()225012g t t t =-+≤≤模拟，当供电量()g t 小于企业用电量()f t 时，企业必须停产．初步预计开场停产的临界时间是0t 在中午11点到12点之间，用二分法估算0t 所在的一个区间〔区间长度准确到15分钟〕． 【答案】〔1〕()1226
2f t sin t π
π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭；〔2〕()11.25,11.5. 【解析】 【分析】
〔1〕由图象，利用最大值与最小值差的一半求得A ，由最大值与最小值和的一半求得B ，由周期求得ω，由特殊点求得ϕ的值，从而可得()f t 的解析式； 〔2〕构造函数
()()()h t f t g t =-，先判断()h t 在()11,12上是单调递增函数，再利用二分法判断函数()
h t 的零点所在的区间． 【详解】〔1〕由图象可知A =2.5 1.52-=12，B =2.5 1.52+=2，T =12=2πω，ω=6
π
， 代入点〔〕得sinφ=1，
∵0＜φ＜π，∴φ=2
π
； 综上，A =12，B =2，ω=6π，φ=2π
，
即f 〔t 〕=12sin 〔6πt +2
π
〕+2.
〔2〕由〔1〕知f 〔t 〕=12sin 〔6πt +2π〕+2=12cos 6
π
t +2，
令h 〔t 〕=f 〔t 〕-g 〔t 〕，
设h 〔t 0〕=0，那么t 0为该企业的开场停产的临界时间是； 易知h 〔t 〕在〔11，12〕上是单调递增函数；
由h 〔11〕=f 〔11〕-g 〔11〕=
12cos 116π+2+2×11＜0， h 〔12〕=f 〔12〕-g 〔12〕=
12cos 126π+2+2×12-25=32
＞0，
又h 〔11.5〕=f 〔11.5〕-g 〔11.5〕=12cos 2312π+2+2×11.5-25=12cos 〔-12π〕=12cos 12π＞0，
那么t 0〕，即11点到11点30分之间〔大于15分钟〕，
又h 〔11.25〕=f 〔11.25〕-g 〔11.25〕=12cos 4524π+2+2×11.25-25＜12
×1-0.5=0， 那么t 0〕，即11点15分到11点30分之间〔正好15分钟〕．
所以，企业开场停产的临界时间是t 0所在的区间为〔11.25，11.5〕.
【点睛】此题主要通过()()B x A x f ++=ϕωsin 的图象求解析式考察三角函数的性质，属于中档题. 利用最大值与最小值差的一半求得A ，由最大值与最小值和的一半求得B ， 利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.
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