2022-2023学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．复数z =2
1−i
，则z =（ ） A ．1+i
B ．1﹣i
C ．﹣1+i
D ．﹣1﹣i
2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若a ＝4，b =4√3，A =π6
，则角B 的大小为（ ） A ．π
3
B ．π3
或
2π3
C ．
2π3
D ．π
6
3．已知数据x 1，x 2，…，x 10的均值为2，方差为3，那么数据2x 1+3，2x 2+3，…，2x 10+3的均值和方差分别为（ ） A ．2，3
B ．7，6
C ．7，12
D ．4，12
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝3，c ＝4，设BC 边上的高为h ，则h ＝（ ）
A ．√152
B ．√112
C ．3√154
D ．
3√158
5．（多选）下列条件中可以证明A 、B 、C 三点共线的是（ ） A ．AM →
+MB →
=2BC →
B ．OA →=xOB →+yO
C →
，x +y =1
C ．A （1，0），B （0，﹣1），C （2，1）
D ．AM →
+MB →
+MC →
=0→
6．若sin （α+π
6）=1
3，则cos （α+2π
3）＝（ ） A ．1
3
B ．−1
3
C ．7
9
D ．+7
9
7．如图所示，点E 为△ABC 的边AC 的中点，F 为线段BE 上靠近点B 的三等分点，则AF →
=（ ）
A ．1
3BA →
+
23
BC →
B ．4
3
BA →
+
23
BC →
C ．−56BA →+16BC →
D ．−23BA →+13BC →
8．已知sin （α+β）=2
3，sinαcosβ=1
2，则cos （2α﹣2β）＝（ ）
A ．7
9
B ．1
9
C ．−19
D ．−79
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A ．甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B ．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数
C ．甲组数据的方差大于乙组数据的方差
D ．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
10．下列函数中，最小正周期是π，且在区间(π
2
，π)上单调递增的是（ ） A ．y ＝tan x
B ．y ＝cos2x
C ．y ＝sin2x
D ．y ＝|sin x |
11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若sin 2A ﹣sin A sin C +sin 2C ＝sin 2B ，则B =π
3 B ．若a ：b ：c ＝2：3：4，则△ABC 是钝角三角形 C ．若AB →
⋅AC →
＞0，则△ABC 是锐角三角形 D ．若A ＜B ，则cos A ＜cos B
12．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．f （x ）的图象关于点(
π
12
，0)中心对称 B ．f （x ）在区间[−π3
，π
6
]上单调递增 C ．f （x ）的图象关于直线x =2π
3对称
D ．直线y ＝1与y ＝f （x ）（−π12≤x ≤23π
12）图象的所有交点的横坐标之和为14π
3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知i 为虚数单位，复数z ＝i （1+3i ），则|z |＝ ．
14．已知向量a →
=(√3，1)，b =(0，1)，c →
=(k ，√3)，若a →
+2b 与c →
平行，则k ＝ ．
15．小张、小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为27，32，39，m ，46，47；李的六次成绩从小到大分别为30，31，34，41，42，45．只知小张的六次成绩的第50百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则m ＝ ．
16．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ，当点P 在劣弧EF 上运动时，BP →
⋅DP →
的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知平面向量a →
，b →
，a =(1，√3)，|b →
|＝1，且a 与b 的夹角为π
3
．
（1）求a ⋅b →
及|a →
+2b →
|；
（2）若a →
+2b →
与2a →
+λb →
（λ∈R ）垂直，求λ的值．
18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，且a sin B =−√3b cos A ． （1）求角A 的大小；
（2）若b ＝4，△ABC 的面积S =2√3，求△ABC 的周长．
19．（12分）为了调查某市市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中a ＝4b ． （1）求a 、b 的值；
（2）求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；
（3）若按照分层抽样从[50，60），[60，70）中随机抽取8人，应如何抽取？
20．（12分）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为15（√3−1）m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，请你帮助小明估算索菲亚教堂的高度．
21．（12分）已知向量m →
=(sinx ，1)，n →
=(√3cosx ，12
cos2x)，函数f(x)=m →⋅n →
． （1）求函数f （x ）的最大值及相应自变量的取值；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f(A)=1
2，a =2，求b +c 的取值范围． 22．（12分）在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a ＝4，cosB+cosAcosC
sinBcosC
=
a √3b
．
（1）若c =2√3，求sin A ； （2）若AB 边上的中线长为√37
2
，求AB 的长．
2022-2023学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．复数z =2
1−i ，则z =（ ） A ．1+i
B ．1﹣i
C ．﹣1+i
D ．﹣1﹣i
解：∵复数z =21−i =2(1+i)
(1−i)(1+i)=2(1+i)
2
=1+i ．∴z =1﹣i ． 故选：B ．
2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若a ＝4，b =4√3，A =π
6，则角B 的大小为（ ）
A ．π
3
B ．π3
或
2π3
C ．2π3
D ．π
6
解：∵a ＜b ，∴A ＜B ，由正弦定理得a
sinA =
b
sinB
得4
12
=
4√3sinB ，得sin B =√32，则B =π3或2π
3
． 故选：B ．
3．已知数据x 1，x 2，…，x 10的均值为2，方差为3，那么数据2x 1+3，2x 2+3，…，2x 10+3的均值和方差分别为（ ） A ．2，3
B ．7，6
C ．7，12
D ．4，12 解：因为数据x 1，x 2，…，x 10的均值为2，所以x 1+x 2+⋯+x 10
10=2，
所以新数据的平均数为：
(2x 1+3)+(2x 2+3)+⋯+(2x 10+3)
10
=
2(x 1+x 2+⋯+x 10)+10×3
10
= 2×
x 1+x 2+⋯+x 10
10
+3＝7， 则原数据的方差为：
110
[（x 1﹣2）2+（x 2﹣2）2+…+（x 10﹣2）2]＝3，
则新数据的方差为：1
10
[（2x 1+3﹣7）2+（2x 2+3﹣7）2+…+（2x 10+3﹣7）2]=
1
10
[（2x 1﹣4）2+（2x 2﹣4）2
+…+（2x 10﹣4）2]=1
10[4（x 1﹣2）2+4（x 2﹣2）2+…+4（x 10﹣2）2]＝4×3＝12．
故选：C ．
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝3，c ＝4，设BC 边上的高为h ，则h ＝（ ） A ．
√15
2
B ．
√11
2
C ．
3√15
4
D ．
3√158
解：∵a ＝2，b ＝3，c ＝4，
∴cos A =b 2
+c 2−a 22bc
=9+16−42×3×4=7
8， 则sin A =√1−cos 2A =√15
8， 则S =1
2bc •sin A =12ah ⇒h =bc⋅sinA a =3√15
4
， 故选：C ．
5．下列条件中可以证明A 、B 、C 三点共线的是（ ） A ．AM →
+MB →
=2BC →
B ．OA →=xOB →+yO
C →
，x +y =1
C ．A （1，0），B （0，﹣1），C （2，1）
D ．AM →
+MB →
+MC →
=0→
解：对于A ，AM →
+MB →
=AB →
，
因为AM →
+MB →
=2BC →
，所以AB →
=2BC →
，所以AB →
∥BC →
， 又因B 为公共端点，所以A 、B 、C 三点共线；
对于B ，当x ＝0时，OA →
=OC →
，此时OB →
的方向无法确定， 所以此时不能证明A 、B 、C 三点共线；
对于C ，由A （1，0），B （0，﹣1），C （2，1），得AB →
=(−1，−1)，BC →
=(2，2)=−2AB →
， 所以AB →
∥BC →
，
又因B 为公共端点，所以A 、B 、C 三点共线； 对于D ，由AM →
+MB →
+MC →
=0→
，得AB →
=−MC →
， 所以AB →
∥MC →
，且AB →
，MC →
为相反向量， 但不能证明A 、B 、C 三点共线，如图所示．
故选：AC ．
6．若sin （α+π
6）=1
3，则cos （α+2π
3）＝（ ） A ．1
3
B ．−13
C ．7
9
D ．+79
解：cos(α+2π
3)=cos[π
2+（π
6+α）]＝﹣sin （π
6
+α）=−1
3．
故选：B ．
7．如图所示，点E 为△ABC 的边AC 的中点，F 为线段BE 上靠近点B 的三等分点，则AF →
=（ ）
A ．1
3BA →
+
23
BC →
B ．4
3
BA →
+
23
BC →
C ．−56BA →+16BC →
D ．−23BA →+13BC →
解：AF →
=AE →
+EF →
=12AC →+23EB →=12AC →+23(AB →
−AE →)
=12
AC →
+23
AB →
−13
AC →
=16
AC →
−23
BA →
=16
(BC →
−BA →
)−23
BA →
=−56
BA →
+16
BC →
． 故选：C ．
8．已知sin （α+β）=2
3，sinαcosβ=1
2，则cos （2α﹣2β）＝（ ） A ．7
9
B ．1
9
C ．−1
9
D ．−7
9
解：因为sin （α+β）＝sin αcos β+sin βcos α=23
，sinαcosβ=12
， 所以cos αsin β=16
，sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣sin βcos α=12−16=13
， 则cos （2α﹣2β）＝1﹣2sin 2（α﹣β）＝1﹣2×19=7
9
． 故选：A ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A ．甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B ．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数
C ．甲组数据的方差大于乙组数据的方差
D ．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数 解：由折线图得：
对于A ，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A 错误； 对于B ，甲组数据除第二天数据低于乙组数据，
其它天数数据都高于乙组数据，可知甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数，故B 正确； 对于C ，甲组数据比乙组数据稳定，甲组数据的方差小于乙组数据的方差，故C 错误； 对于D ，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D 正确． 故选：BD ．
10．下列函数中，最小正周期是π，且在区间(π2
，π)上单调递增的是（ ） A ．y ＝tan x
B ．y ＝cos2x
C ．y ＝sin2x
D ．y ＝|sin x |
解：A ，y ＝tan x ，最小正周期为π，在区间(π2，π)上单调递增，即A 正确； B ，y ＝cos2x ，最小正周期为2π2=π，且在(π
2，π)上单调递增，即B 正确； C ，y ＝sin2x ，最小正周期为
2π
2
=π，且在(π
2，π)上不具有单调性，即C 错误；
D ，y ＝|sin x |，最小正周期为π，且在(π
2，π)上单调递减，即D 错误．
故选：AB ．
11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若sin 2A ﹣sin A sin C +sin 2C ＝sin 2B ，则B =π3
B ．若a ：b ：c ＝2：3：4，则△AB
C 是钝角三角形 C ．若AB →
⋅AC →
＞0，则△ABC 是锐角三角形 D ．若A ＜B ，则cos A ＜cos B
解：对A 选项，∵sin 2A ﹣sin A sin C +sin 2C ＝sin 2B ， ∴根据正弦定理可得a 2﹣ac +c 2＝b 2， ∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ，
∴cos B =a 2+c 2−b 2
2ac =1
2
，又B ∈（0，π），
∴B =π
3，∴A 选项正确； 对B 选项，∵a ：b ：c ＝2：3：4，
∴易得cos C =22
+32
−42
2×2×3=−1
4＜0，又C ∈（0，π），
∴C 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形，∴B 选项正确； 对C 选项，∵AB →
⋅AC →
＞0，∴cb cos A ＞0， ∴cos A ＞0，又A ∈（0，π），∴A 为锐角，
但B 与C 不明确，∴△ABC 不一定是锐角三角形，∴C 选项错误； 对D 选项，∵A ＜B ，且A ，B ∈（0，π）， 又y ＝cos x 在（0，π）上单调递减， ∴cos A ＞cos B ，∴D 选项错误． 故选：AB ．
12．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．f （x ）的图象关于点(π
12，0)中心对称 B ．f （x ）在区间[−π
3，π6]上单调递增 C ．f （x ）的图象关于直线x =2π
3对称
D ．直线y ＝1与y ＝f （x ）（−π12≤x ≤23π
12）图象的所有交点的横坐标之和为14π3
解：由图知，A ＝2，
T 4
=
2π3
−
5π12
=
π
4
，即T ＝π=2π
ω，解得ω＝2，
则f （x ）＝2sin （2x +φ）， 又2×
2π3+φ=3π2，则φ=π6，f （x ）＝2sin （2x +π
6）， ∵2×π
12+π
6=π
3，而sin π
3≠0，∴f （x ）的图象不关于点（π
12
，0）中心对称，A 错误；
x ∈[−π3，π6
]时，2x +π6
∈[−π2，π2
]，而正弦函数在[−π2，π2
]上单调递增，则f （x ）在区间[−π3，π6
]上单调递增，B 正确；
∵2×2π3+π6=3π2，而sin 3π2
=−1，则f （x ）的图象关于直线x =2π
3轴对称，C 正确；
当−
π12≤x ≤23π12时，0≤2x +π6
≤4π， 若l ＝2，则（2x 1+π
6
）+（2x 2+π6
）=
π2+5π2=3π，所有交点的横坐标之和为x 1+x 2=4π3
； 若0＜l ＜2，则（2x 1+π6
）+（2x 2+π6
）+（2x 3+π
6
）+（2x 4+π6
）＝π+5π＝6π，所有交点的横坐标之和为x 1+x 2+x 3+x 4=
8π3
； 若l ＝0，则（2x 1+π
6）+（2x 2+π
6）+（2x 3+π
6）+（2x 4+π
6）+（2x 5+π
6）＝0+π+2π+3π+4π＝10π，所有交点的横坐标之和为x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=
55π
12
； 若﹣2＜l ＜0，则（2x 1+π6
）+（2x 2+π6）+（2x 3+π6
）+（2x 4+π6
）＝3π+7π＝10π，所有交点的横坐标之和为x 1+x 2+x 3+x 4=14π
3；
若l ＝﹣2，则（2x 1+π
6）+（2x 2+π
6）=3π
2+7π
2=5π，所有交点的横坐标之和为x 1+x 2=14π
3；D 错误． 故选：BC ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知i 为虚数单位，复数z ＝i （1+3i ），则|z |＝ √10 ． 解：∵z ＝i （1+3i ）＝﹣3+i ， ∴|z|=√(−3)2+12=√10． 故答案为：√10．
14．已知向量a →=(√3，1)，b =(0，1)，c →=(k ，√3)，若a →+2b 与c →
平行，则k ＝ 1 ． 解：根据题意，向量a →
=(√3，1)，b =(0，1)，c →
=(k ，√3)， 则a →
+2b →
=（√3，3），
若a →
+2b 与c →
平行，则有3k =√3×√3=3，解可得k ＝1． 故答案为：1．
15．小张、小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为27，32，39，m ，46，47；李的六次成绩从小到大分别为30，31，34，41，42，45．只知小张的六次成绩的第50百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则m ＝ 45 ． 解：6×50%＝3，
则小张的六次成绩的第50百分位数为39+m 2
，
6×80%＝4.8，
则小李的六次成绩的第80百分位数为42， 故
39+m 2
=42，解得m ＝45．
故答案为：45．
16．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ，当点P 在劣弧EF 上运动时，BP →
⋅DP →
的最小值为 1−2√2 ．
解：建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可得D （﹣2，0），B （0，﹣2）， 又点P 在劣弧EF 上运动，
则P （cos θ，sin θ），（θ∈[π，3π
2]），
则BP →⋅DP →
=(cosθ+2，sinθ)•（cos θ，sin θ+2）＝1+2（sin θ+cos θ）=1+2√2sin(θ+π
4)， 又θ∈[π，3π
2]，
则θ+
π4∈[5π4，7π4
]， 显然当θ+
π4=3π
2
， 即θ=5π
4时，sin(θ+π
4)取最小值﹣1， 则BP →
⋅DP →
的最小值为1−2√2， 故答案为：1−2√2．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知平面向量a →
，b →
，a =(1，√3)，|b →
|＝1，且a 与b 的夹角为π
3
．
（1）求a ⋅b →
及|a →
+2b →
|；
（2）若a →
+2b →
与2a →
+λb →
（λ∈R ）垂直，求λ的值． 解：（1）由a =(1，√3)，得|a →
|=√1+3=2， ∴a →
⋅b →
=|a →
|⋅|b →
|cos
π
3
=1； |a →
+2b →
|=√(a →
+2b →
)2=√a →
2+4a →
⋅b →
+4b →
2 =√4+4+4=2√3；
（2）∵a →
+2b →
与2a →
+λb →
(λ∈R)垂直，
∴(a →
+2b →
)⋅(2a →
+λb →
)=0，即2a →2
+(4+λ)a →⋅b →
+2λb →
2=0， ∴8+4+λ+2λ＝0，即3λ+12＝0，λ＝﹣4．
18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，且a sin B =−√3b cos A ． （1）求角A 的大小；
（2）若b ＝4，△ABC 的面积S =2√3，求△ABC 的周长．
解：（1）在△ABC 中，由正弦定理
a
sinA
=
b sinB
=
c sinC
=2R 得：
a ＝2R sin A ，
b ＝2R sin B 代入式子a sin B =−√3b cos A ， 化简得，sinAsinB =−√3sinBcosA ， ∵sin B ≠0，
∴sinA =−√3cosA ，即tanA =−√3， ∵A ∈（0，π），∴A =2π
3． （2）∵S =12
bcsinA =12×4csin 2π3=√3c =2√3， ∴c ＝2，
由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =42+22−2×4×2×(−1
2
)=28， ∴a =2√7
∴a +b +c =2√7+4+2=6+2√7， ∴△ABC 的周长为6+2√7．
19．（12分）为了调查某市市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中a ＝4b ． （1）求a 、b 的值；
（2）求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；
（3）若按照分层抽样从[50，60），[60，70）中随机抽取8人，应如何抽取？
解：（1）由题意得（0.008+a +0.035+0.027+b ）×10＝1，所以a +b ＝0.03， 又a ＝4b ，所以a ＝0.024，b ＝0.006．
（2）平均数为55×0.08+65×0.24+75×0.35+85×0.27+95×0.06＝74.9， 众数为
70+802
=75，
中位数为70+0.5−0.08−0.24
0.035
≈75.14．
（3）根据频率分布直方图可知[50，60）的频数有0.008×10×1000＝80，[60，70）的频数有0.024×10×1000＝240，
所以按照分层抽样从[50，60）应抽取80×
8
80+240
=2人，
从[60，70）应抽取240×
8
80+240
=6人．
20．（12分）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为15（√3−1）m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，请你帮助小明估算索菲亚教堂的高度．
解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=√2
2×√
3
2
−√
2
2
×
1
2
=√
6−√2
4
，
由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，
在Rt△ABM中，AM=
AB
sin∠AMB
=
15(√3−1)
6−2
4
=30√2，
在△ACM中，由正弦定理得
AM
sin∠ACM
=
CM
sin∠CAM
，
所以CM=30√2×√2
2
1
2
=60，
在Rt△DCM中，CD＝CM•sin∠AMD＝60×√3
2
=30√3．
即索菲亚教堂的高度30√3．
21．（12分）已知向量m→=(sinx，1)，n→=(√3cosx，1
2
cos2x)，函数f(x)=m→⋅n→．（1）求函数f（x）的最大值及相应自变量的取值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=1
2
，a=2，求b+c的取值范围．
解：（1）由题知，f(x)=m →⋅n →
=√3sinxcosx +12
cos2x =√3
2
sin2x +12cos2x =sin(2x +π6
)，
所以当2x +π6=π
2
+2kπ，k ∈Z ， 即x =
π
6
+kπ，k ∈Z 时，f （x ）最大，且f （x ）最大值为1； （2）由（1）知，f(x)=sin(2x +π
6)， 则f(A)=sin(2A +π
6)=1
2，
解得A ＝k π，k ∈Z 或π3+kπ，k ∈Z ，
所以△ABC 中，A =π
3
，又a ＝2，
则cosA =b 2
+c 2−a 22bc =1
2， 整理得bc =(b+c)2
−43， 则bc =(b+c)2
−43≤(b+c 2
)2， 当且仅当b ＝c 时，等号成立， 整理可得（b +c ）2≤16， 又在△ABC 中，所以2＜b +c ≤4， 即b +c 的取值范围为（2，4]．
22．（12分）在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a ＝4，cosB+cosAcosC
sinBcosC
=
a √3b
．
（1）若c =2√3，求sin A ； （2）若AB 边上的中线长为√37
2
，求AB 的长． 解：（1）∵a ＝4，cosB+cosAcosC
sinBcosC
=4√3b
，
由正弦定理得
cosB+cosAcosC
sinBcosC
=
√3a b =√3sinA
sinB
， 整理得cos B +cos A cos C =√3sin A cos C ， ∵cos B ＝﹣cos （A +C ）＝sin A sin C ﹣cos A cos C ， ∴sin A sin C =√3sin A cos C ， 又sin A ≠0，则tan C =√3， ∵C ∈（0，π），∴C =π
3，
由正弦定理得
a
sinA
=
c sinC
，即
4
sinA
=
√3
√32
，解得sin A ＝1；
（2）设AB 边上的中线为CD ，则2CD →
=CA →
+CB →
，
∴4|CD →
|2＝（CA →
+CB →
）2＝b 2+a 2+2ab cos ∠ACB ，即37＝b 2+9+3b ， 整理得b 2+3b ﹣28＝0，解得b ＝4或﹣7（不合题意，舍去）， ∴AB ＝c =√a 2+b 2−2abcosC =√9+16−2×3×4×
1
2=√
13．。