江苏省东台市高三上学期期末测试数学理科.1

江苏省东台市高三上学期期末测试数学（理）参考公式：2
2
ˆˆˆi i i x y nx y
b
a
y bx x nx
-==--∑∑本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第
Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
1． 若2
2
2
2
3
,,sin a x dx b x dx c xdx =
==⎰
⎰⎰，则,,a b c 大小关系是
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．c a b
<<2．已知二次曲线
22
14x y m
+=，则当[2,1]m ∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是A ．23[
,]22
B ．26
[
,]22
C ．56
[
,]22
D ．36
[
,]22
3．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为
A ．ˆ1y
x =+ B ．ˆ2y
x =+
C ．ˆ21y
x =+ D ．ˆ1y x =-4．若函数()(0,1)x
f x a
a a -=>≠是定义域为R 的增函数，则函数()log (1)a f x x =+的
图像大致是5．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 所对应的边，设向量
(,)m b c c a =--，(,)n b c a =+，若m n ⊥，则角A 的大小为 A ．
6π
x
y
O 1
x
y
O 1
y
O
-1 x y
O
-1 x
A
C D
B ．
3π C ．2
π
D ．
23π6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是
A ．27
B ．30
C ．33
D ．36
7．在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =
A ．4
B ．6
C ．12
D ．16
8．在样本的频率发布直方图中，共有１１个小长方形，若其中一个小长方形的面积等于其他１０
个小长方形面积和的四分之一，样本容量为１６０，则该小长方形这一组的频数为 A ．３２ B ．0.2 C ．４０ D ．0.25
9．已知函数()sin[(1)]cos[(1)]f x a a x a x =
-+-的最大值为2，则()f x 的最小正周期为
A ．
4
π
B ．
2
π C ．π D ．2π
10．设集合{}{}
(,)46,(,)327A x y x y B x y x y =+==+=，则满足()C A B ⊆的集合C 的
个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
11．如果复数21(1)1i
z i i +=+--，则7(1)z +的展开式（按z 的升幂排列）的第5项是A ．35
B ．35i -
C ．21-
D ．21i
12.下列是关于函数[](),,y f x x a b =∈的几个命题：
①若[]0,x a b ∈且满足0()0,f x =则0(,0)x 是()f x 的一个零点；
②若0x 是()f x 在[],a b 上的零点，则可用二分法求0x 的近似值；
③函数()f x 的零点是方程()0,f x =的根，但()0f x =的根不一定是函数()f x 的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值。

那么以上叙述中，正确的个数为 A ．0 B ．1 C ．3 D ．4
3
3
1
正视图
侧视图
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．在可行域内任取一点规范如框图所示，则能输出数对(,)x y 的概率是 ．
14.不等式313x x -+-<的解集是 ．
15．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的减函数，其图象经过)1,4(-A 、)1,0(-B 两点，则不等式
1|)2(|<-x f 的解集是_________________。

16．已知直线x y a +=与圆2
2
4x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为_________________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
设平面上P 、Q 两点的坐标分别是)2sin ,2(cos x x P =、)23sin ,23cos (x x Q -，其中]2
,0[π∈x 。

（I ）求||PQ 的表达式；
（II ）记)(||4||)(2
R PQ PQ x f ∈-=λλ，求函数)(x f 的最小值。

在可行域内任取有序数对(,)x y
给出可行域11
11
x y x y -≤+≤⎧⎨
-≤-≤⎩
开始
2212
x y +≤
输出数对(,)x y
结束
否
是
18．（理）（本小题满分12分） 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检），若安检不合格，则必须整改，整改后经复查仍不合格，则强制关闭，设每家煤矿安检是否合格是相互的，且每家煤矿整改前合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，度求（结果精确到0.01） （I ）恰好有两家煤矿必须整改的概率； （II ）平均有多少家煤矿必须整改； （III ）至少关闭一家煤矿的概率。

19．（本小题满分12分）
如图，多面体PABCD 的直观图及三视图如图所示，E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（I ）求证：EF ∥平面PAD ；
（II ）求证：平面PDC ⊥平面PAD.
直观图
F
E
D
C
B
A
P
俯视图
侧视图
正视图
2
1
1
2
1
1
2
20．（本小题满分14分）设函数x x f ln )(=，x
b
ax x g +
=)(，函数)(x f 的图象与x 轴的交点也在函数)(x g 的图象上，且在此点有公切线. （I ）求a 、b 的值；
（II ）对任意)()(,0x g x f x 与试比较>的大小.
21．（本小题共14分）已知函数)(x f y =的图象经过坐标原点，且}{,12)(n a x x f 数列-='的
前).
)((*
N ∈=n n f S n n 项和 （I ）求数列}{n a 的通项公式；（文理）
（II ）若数列.}{,log log }{33项和的前求数列满足n b b n a b n n n n =+（文理）
22（理）．已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为33，直线l :2y x =+与以原点为圆
心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.
（I ）求椭圆1C 的方程；
（II ）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直
1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；
（III ）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0,QR RS ⋅=求QS 的取值范
围.
江苏省东台市高三上学期期末测试 数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题：（1）－（12）D ＣＡＤＢ ＢＡＡＣC A Ａ 二、填空题：（13）4π （14）172
2x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭ （15）{}22x x -<< （16）2a =± 三、解答题：
（17）解：（1）=
||PQ 22)2
3sin 2(sin )23cos 2(cos x
x x x -++ x 2cos 22+=
])2
,0[(cos 2cos 42π
∈==x x x …………6分
（2）2
224)(cos 4cos 8cos 4)(λλλ--=-=x x x x f …………8分
]1,0[cos ∈x 10≤≤∴λ时，2min 4)(λ-=x f
当1>λ时，λλλ844)1(4)(2
2
min -=--=x f 当0<λ时，04)0(4)(2
2
min =--=λλx f ……11分
综上所述：⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤-<=)1(84)10(4)0(0
)(2min
λλλλλx f ………………12分
（18）解：（1）每家煤矿必须整改的概率1-0.5，且每家煤矿是否整改是相互的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是
223
155
(10.5)0.50.3116
P C =⨯-⨯=
= ………………4分 （2）由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布(5,0.5)B ，从而ξ的数学期望是
50.5 2.5E ξ=⨯=，即平均有2.50家煤矿必须整改. ………………8分
（3）某煤矿被关闭，即煤矿第一次安检不合格，整改后复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是2(10.5)(10.8)0.1P =-⨯-=，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9，由题意，每家煤矿是否关闭是相互的，所以5家煤矿都不被关闭的概率是
551223
35550.9(10.1)10.10.10.10.590P C C C ==-=-⨯+⨯-⨯+
≈
从而至少关闭一家煤矿的概率是10.5900.41-= ………………12分
P
A
B
C
D
E
F
（19）证明：由多面体PABCD 的三视图知，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 是等腰三角形，2==PD PA ，
且平面⊥PAD 平面ABCD .……2分 （1） 连结AC ，则F 是AC 的中点， 在△CPA 中，PA EF //，………4分 且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ………6分 (2) 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面AD ABCD =，
又CD ⊥AD ，所以，CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PA …………8分
又2==PD PA ，2=AD ,所以△PAD 是 等腰直角三角形，
且2
APD π
∠=
，即PD PA ⊥………………10分
又D PD CD = ， ∴ ⊥PA 平面PDC ， 又PA ⊂平面PAD ，
所以 平面PAD ⊥平面PDC ………………12分
（20）解：设,)(2
c bx ax x f ++=
由,1)(,11)0(2
++===bx ax x f c f 故得
,2)()1(x x f x f =-+
,2)1(1)1()1(22x bx ax x b x a =++-++++∴
即⎩
⎨⎧=+==++02
2,22b a a x b a ax 所以
⎩⎨⎧==∴1
1b a ，,1)(2
+-=∴x x x f ………………6分 （2）由题意得]1,1[212
-+>+-在m x x x 上恒成立。

即0132
>-+-m x x 在[－1，1]上恒成立。

设m x x x g -+-=13)(2
其图象的对称轴为直线2
3
=
x ，所以]1,1[)(-在x g 上递减， 故只需，0)1(>g ，即.1,011312
-<>-+⨯-m m 解得………………12分
（21）解：（I ）由)()(:12)(2
R b b x x x f x x f ∈+-=-='得 x x x f x f y -=∴=2
)()(的图像过原点
)]
1()1[()2(2
212-----=≥-=∴-=∴-n n n n n S S a n
n S n n n n
22-=n 011==S a
所以，数列)(22}{*
N ∈-=n n a a n n 的通项公式为
…………6分
（II ）由n n b n a 33log log =+得：
22
*3
()n n b n n -=⋅∈N
n n b b b b T +++=∴321
2
4
22323333n n -=+⋅+⋅+
+⋅ (1)
n
n n T 26423333239⋅++⋅+⋅+=∴ (2)
…………10分
（2）－（1）得：)3
3331(3
82
26422-+++++-⋅=n n
n n T 8
133
22--⋅=n n
n
64
1
3)18(641383222+-=--⋅=∴n n n n n n T …………12分
（22）解：（Ⅰ）∵222222
2231,233
c a b e e a b a c -=∴===∴= ∵直线2
2
2
02:b y x y x l =+=--与圆相切， ∴
2,2,2
22==∴=b b b ∴32=a …………3分
∵椭圆C 1的方程是 12
32
2=+y x ………………6分 （Ⅱ）∵MP=MF 2，
∴动点M 到定直线1:1-=x l 的距离等于它到定点F 1（1，0）的距离， ∴动点M 的轨迹是C 为l 1准线，F 2为焦点的抛物线 ………………6分 ∴点M 的轨迹C 2的方程为 x y 42
= …………9分
（Ⅲ）Q （0，0），设),4(),,4(22
2
121y y S y y R ∴),4
(),,4(122
12
2121y y y y RS y y QR --==
∵0=⋅RS QR
∴
0)(16
)
(121212
221=-+-y y y y y y ∵0,121≠≠y y y ，化简得
∴)16
(112y y y +-= ………………11分
∴643225623225621
2
122=+≥++=y y y
当且仅当 4,16,25612121
2
1±===y y y y 时等号成立 …………13分
∵6464)8(4
1)4(||2
222222222≥-+=+=y y y y QS ，又
∴当||58||8,64min 22
2QS QS y y ，故时，=±==的取值范围是),58[+∞
……14分。