2021高一数学新教材必修2课时作业(设计)(三十四) 平面与平面垂直的性质

课时跟踪检测（三十四）平面与平面垂直的性质
A级——学考合格性考试达标练
1．下列命题中错误的是()
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：选D由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．故选D.
2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作
EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()
A．平行
B．EF⊂平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．垂直
解析：选D由于正方体中面ABB1A1⊥面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．故选D.
3．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是()
A．垂直B．平行
C．l⊂βD．平行或l⊂β
解析：选D如图l∥β或l⊂β.故选D.
4．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m 与n的位置关系是()
A．异面B．相交但不垂直
C．平行D．相交且垂直
解析：选C∵α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，∴n⊥α.又m⊥α，∴m∥n.故选C.
5．如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则()
A ．PD ⊂平面ABC
B ．PD ⊥平面ABC
C ．P
D 与平面ABC 相交但不垂直
D ．PD ∥平面ABC
解析：选B 因为PA ＝PB ，AD ＝DB ，所以PD ⊥AB .
因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面PAB ，所以PD ⊥平面ABC .故选B.
6．如图，沿直角三角形ABC 的中位线DE 将平面ADE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥A ­BCDE ，则平面ABC 与平面ACD 的关系________．
解析：因为AD ⊥DE ，平面ADE ⊥平面BCDE ，且平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ，所以AD ⊥平面BCDE ，又BC ⊂平面BCDE ，所以AD ⊥BC ，又BC ⊥CD ，CD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD .
答案：垂直
7．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为π4和π6
.过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′，B ′，则AB ∶A ′B ′＝________.
解析：由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB ∶A ′B ′＝2∶1.
答案：2∶1
8．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起，使面ABD ⊥面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．
解析：因为面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD＝直线BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD ⊥BD.又因为面ABD⊥面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．答案：3
9.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥
求证：AD⊥平面PCD.
证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，
因为平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面PCD.
10.如图所示，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面
SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.
证明：∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面SCD.
又∵BC⊂平面SBC，
∴平面SCD⊥平面SBC.
B级——面向全国卷高考高分练
1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是()
A．m∥n B．n⊥m
C．n∥αD．n⊥α
解析：选B由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.故选B.
2．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是()
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
解析：选B A中α，γ可以相交；C中如图：a与b不一定垂直；
D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.故选B.
3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
解析：选D如图，AB∥l∥m，A正确；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，B正确；AB∥l⇒AB ∥β，C正确．故选D.
4．如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是()
A．一条线段B．一条直线
C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点
解析：选D∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC⊂平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB
＝90°.∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点．故
选D.
5.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，
且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
解析：过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO
⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.
答案：45°
6.如图，平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝A′B′，
A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝
4，A′B′＝2，则三棱锥A­A′BB′的体积V＝__________.
解析：∵α⊥β，α∩β＝A ′B ′，AA ′⊂α，AA ′⊥A ′B ′，
∴AA ′⊥β.
∴V ＝13S △A ′BB ′·AA ′＝13×′B ′×BB AA ′＝13×12
×2×4×3＝4.答案：4
7．如图，四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠BCD ＝120°，平面PCD ⊥平面ABCD ，PC ＝a ，PD ＝2a ，E 为PA 的中点．
求证：平面EDB ⊥平面ABCD .
证明：设AC ∩BD ＝O ，连接EO ，则EO ∥PC .
∵PC ＝CD ＝a ，PD ＝2a ，
∴PC 2＋CD 2＝PD 2，
∴PC ⊥CD .
∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，
∴PC ⊥平面ABCD ，
∴EO ⊥平面ABCD .
又EO ⊂平面EDB ，
故有平面EDB ⊥平面ABCD .
C 级——拓展探索性题目应用练
已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD
＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；
(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?
解：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD .
∵CD ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC .
又AE AC ＝AF AD
＝λ(0<λ<1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知，EF⊥BE，
又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，AB⊥平面BCD，
∴BD＝2，AB＝2tan60°＝6，
∴AC＝AB2＋BC2＝7，
由AB2＝AE·AC得AE＝6 7，
∴λ＝AE
AC＝6 7，
故当λ＝6
7时，平面BEF⊥平面ACD.。