高三数学上学期入学调研考试题三文 试题

2021届高三入学调研考试卷
文 科 数 学〔三〕
考前须知：
1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答
题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。

2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答
题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出
的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．集合}5,2,1{=M ，}2|{≤=x x N ，故M N 等于( )
A ．}1{
B ．}5{
C ．{1,2}
D ．
{2,5} 2．假设复数(1)(2)z i i =+-，那么复数z 的虚部是( ) A ．1
B ．1-
C ．3
D ．3-
3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 那么乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )
A ．
12
B ．
16
C ．
112 D ．13
4．如下图，三国时代数学家赵爽在?周髀算经?中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形〔阴影〕设直角三角形有一内角为30︒，假设向弦图内随机抛掷500颗米粒〔米粒大小忽略不计，取3 1.732)≈，那么落在小正方形〔阴影〕内的米粒数大约为( )
A ．134
B ．67
C ．182
D ．108
5．(0,)x π∈，那么()cos2sin f x x x =+的值域为( )
A ．9(0,]8
B ．[0,1)
C ．(0,1)
D ．9[0,]8
6．正项等比数列{}n a 满足：28516a a a =，3520a a +=，那么4=S ( ) A ．16
B ．16-
C ．15
D ．15-
7．设x 、y 满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，那么24z x y =-的最小值是( )
A ．22-
B ．13-
C ．10-
D ．20-
8．函数cos y x x =+的大致图象是( )
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A ．
B ．
C ．
D ．
9．执行如下图的程序框图，假设输入10n =，那么输出的S 的值是( )
A ．9
10
B ．1011
C ．1112
D ．922
10．椭圆2
2
1112211:
1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线2
2
2222222
:1(0,0)x y C a b a b -=>>， 假设椭圆的离心率13
e =
的连线垂直于x 轴．那么双曲线其中一条渐近线的斜率为( )
A ．23
B 3
C 3
D 3 11．函数()ln ()f x x ax a R =-∈的图象与直线10x y -+=相切，那么实数a 的
值是( ) A ．1
1e
-
B ．1e -
C ．
2
1
1e - D ．21e -
12．定义域为R 的函数()f x 是偶函数，且对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212()()0f x f x x x ->-．设3
()2
a f =，3(log 7)
b f =，3(0.8)
c f =-，那么( )
A ．b a c <<
B ．c a b <<
C ．c b a
<< D ．a c b <<
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．
13．(1,1)=a ，(2,)m =b ，()⊥-a a b ，那么||=b ．
14．数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，那么数列{}n a 的通项公式为 ．
15．抛物线28y x =的焦点F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，那么||4||FA FB +的最小值是 ．
16．?九章算术?卷第五?商功?中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺〞，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺〔如图，刍童为上下底面为互相平行的不相似长方
形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体〕〞．假设该几何体所有顶点在一
球体的外表上，那么该球体的外表积为 ．
三、解答题：本大题一一共6个大题，一共70分，解容许写出文字说
明，证明过程或者演算步骤．
17．〔12分〕某为培养学生的兴趣爱好，进步学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择〔如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等〕．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间是〔单位：h〕的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．
〔1〕求频率分布直方图中m的值；
〔2〕求该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间是．18．〔12分〕如图，在四边形ABCD中，
2
3
B
π
∠=，3
AB=，
33
4
ABC
S
∆
=．〔1〕求ACB
∠的大小；
〔2〕假设,
4
BC CD ADC
π
⊥∠=，求AD的长．
19．〔12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD BC ∥， 1
2
AB BC AP AD ===，90APD BAD ∠=∠=︒．
〔1〕证明：PD PB ⊥；
〔2〕设点M 在线段PC 上，且13PM PC =，假设MBC ∆的面积为27
3
，求四
棱锥P ABCD -的体积．
20．〔12分〕函数21
()1x
ax x f x e
+-=+． 〔1〕求()f x 的单调区间；
〔2〕当0x ≥时，0()1f x ≤≤，求a 的取值范围．
21．〔12分〕椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点与上、下顶点构成直角三
角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切．
〔1〕求椭圆C 的HY 方程；
〔2〕设过椭圆右焦点且不平行于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅为定值？假设存在，试求出定值和点E 的坐标；假设不存在，请说明理由．
请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分． 22．〔10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos (42sin x y α
αα=+⎧⎨=+⎩
为参数〕，以坐
标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
〔1〕把1C 的参数方程化为极坐标方程；
〔2〕求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<．
23．〔10分〕【选修4-5：不等式选讲】
函数()||||(0f x x a x b a =-++>，0)b >．
〔1〕当1a b ==时，解不等式()2f x x >+； 〔2〕假设()f x 的值域为[2,)+∞，求
11111
a b +≥++．
2021届高三入学调研考试卷
文 科 数 学〔三〕答 案
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里
面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．【答案】C
【解析】集合{1,2,5}M =，{|2}N x x =≤，那么{1,2}M N =．
2．【答案】B
【解析】(1)(2)3z i i i =+-=--，那么复数z 的虚部是1-． 3．【答案】D
【解析】现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，根本领件总数6n =，
乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的根本领件个数2m =，
∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率2163
m p n ===．
4．【答案】B
【解析】设大正方形的边长为1，那么小直角三角形的边长为
12
，
12-
，小正方形的面积21)12S =-=， 那么落在小正方形〔阴影〕内的米粒数大约为
12500(1500(10.866)5000.1345006711⨯=⨯≈-⨯=⨯=⨯． 5．【答案】D
【解析】由2()cos2sin 12sin sin f x x x x x =+=-+， 设sin x t =，
(0,)x π∈，(0,1]t ∴∈，
219
()2()48g t t ∴=--+，9()[0,]8g t ∴∈，
即()cos2sin f x x x =+的值域为9
[0,]8．
6．【答案】C
【解析】由等比数列的性质得2
5
28516a a a a ==．所以516a =， 又因为3520a a +=，所以34a =，所以11a =，2q =，414(1)
=
151a q S q
-=-． 7．【答案】A
【解析】由x 、y 满约束条件20
170x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
作出可行域如图，
联立170
x x y =⎧⎨+-=⎩，解得(1,6)A ，化目的函数24z x y =-为124z y x =-，
由图可得，当直线124
z
y x =
-过点(1,6)A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为22-． 8．【答案】A
【解析】由于()cos f x x x =+，()cos f x x x ∴-=-+， ()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-，
故此函数是非奇非偶函数，排除B ，C ； 又当2x π
=
时，()cos 2222
f ππππ
=+=，
即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2
π
，排除D ． 9．【答案】B
【解析】模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环构造计算并输出变量111
12231011
S =
++⋯+⨯⨯⨯的值， 可得11111111110(1)()()11223101122310111111
S =
++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯． 10．【答案】D
【解析】设椭圆的半焦距为1c ，双曲线的半焦距为2c ，双曲线的一条渐近线与椭圆的交点2
111
,()b c a ，
所以双曲线的渐近线的斜率为2221111111111b a c k e a c a c e -===-= 11．【答案】C
【解析】由()ln f x x ax =-，()a R ∈得1
()f x a x
'=
-， 设切点横坐标为0x ，依题意得
1
1a x -=，并且000ln 1x ax x -=+， 解得2
11a e =
-，那么实数
a 的值是211e -． 12．【答案】B
【解析】根据题意，()f x 满足对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212
()()
0f x f x x x ->-，
那么函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，
又由()f x 是偶函数，那么33(0.8)(0.8)c f f =-=，
又由33333
0.81=log 3log log 722
<<=，那么c a b <<．
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．
13．【答案】2
【解析】(1,1)m -=--a b ；
()⊥-a a b ，∴()110m ⋅-=-+-=a a b ，0m ∴=；
∴(2,0)=b ；∴||2=b ．
14．【答案】2
1432n n a n n n +
=⎧=⎨-≥∈⎩N 且
【解析】由221n S n n =-+可知，当1n =时，112112a S ==-+=．
当2n ≥且n +∈N 时，22121[2(1)(1)1]43n n n a S S n n n n n -=-=-+----+=-， 那么数列{}n a 的通项公式为2
1432n n a n n n +
=⎧=⎨-≥∈⎩N 且．
15．【答案】18
【解析】抛物线28y x =的焦点(2,0)F ，
设11)(,A x y ，22)(,B x y ，那么1212||4||24(2)410FA FB x x x x +=+++=++， 当直线AB 斜率不存在时，||4||2421020FA FB +=+⨯+=， 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-(0)k ≠， 代入28y x =得2222(48)40k x k x k -++=，124x x ∴=，
224||4||4101018FA FB x x ∴+=
++≥=，当且仅当21x =时取等号． ∴||4||FA FB +的最小值是18． 16．【答案】π41
【解析】由得球心在几何体的外部， 设球心天几何体下底面的间隔 为x ，
那么222225()(1)2R x x =+=++，解得2x =，
241
4
R ∴=
，∴该球体的外表积41S π=．
三、解答题：本大题一一共6个大题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程
或者演算步骤．
17．【答案】〔1〕0.1m =；〔2〕5.08．
【解析】〔1〕由频率分布直方图得：0.0620.0820.2220.0621m ⨯+⨯+⨯++⨯=，解得0.1m =．
〔2〕学生的平均学习时间是为：10.1230.1650.470.290.12 5.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 18．【答案】〔1〕
6π；〔2
． 【解析】〔1〕在ABC ∆中，1
sin 2
ABC S AB BC B ∆=
⋅， ∴
由题意可得：1
2sin 2
3BC π⨯=
，
∴BC =AB BC ∴=，
又23
B π∠=
，6ACB π
∴∠=．
〔2〕BC CD ⊥，3
ACD π
∴∠=
，
由余弦定理可得：
2222221
2cos 2()932
AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+--=， 3AC ∴=，
∴在ACD ∆
中，由正弦定理可得：3sin
sin 3sin sin 4
AC ACD AD ADC π
π⨯⋅∠=
==∠．
19．【答案】〔1〕见解析；〔2
〕
【解析】证明：〔1〕90BAD ∠=︒，BA AD ∴⊥， 平面ABCD ⊥平面PAD ，交线为AD ，
BA ∴⊥平面PAD ，从而BA PD ⊥，
90APD ∠=︒，AP PD ∴⊥，
BA AP A ⋂=，PD ∴⊥平面PAB ，
PB ⊂平面PAB ，PD PB ∴⊥．
〔2〕设2AD m =，那么AB BC AP m ===，3PD m =，
由〔1〕知BA ⊥平面PAD ，BA AP ∴⊥，222BP BA AP m =+=， 取AD 中点F ，连结CF ，PF ，那么CF BA ∥，CF m =， 且由〔1〕知BA ⊥平面PAD ，CF ∴⊥平面PAD ，CF PF ∴⊥， 1
2
PF AD m =
=，222PC CF PF m ∴=+=， 13PM PC =，2
3
CM CP ∴=，
∴222
22117()33226
MBC PBC S S BC PB BC m ∆∆=
=⨯⨯-=， 由
2727
63
m =
，解得2m =， 在PAD ∆中，P 到AD 的间隔 332
AP PD m
h AD ⋅=
==， P ∴到平面ABCD 的间隔 3H h ==，
∴四棱锥P ABCD -的体积111(24)2323332
P ABCD ABCD V S H -=⋅=⨯⨯+⨯⨯=．
20．【答案】〔1〕见解析；〔2〕211
[,]44
e +--． 【解析】解：〔1〕(1)(2)
()x
ax x f x e +-'=-，
①当0a >时，1
()(2)
()x a x x a
f x e
+-'=-， 令()0f x '=，解得：11
x a
=-，22x =，且12x x <，
当1
(,)(2,)x a
∈-∞-⋃+∞时，()0f x '<， 当1
(,2)x a
∈-时，()0f x '>，
故()f x 在1
(,2)a
-单调递增，在1(,)a -∞-，(2,)+∞单调递减，
②当0a =时，2
()x
x f x e -'=-
， 故()f x 在(,2)-∞单调递增，在(2,)+∞单调递减，
③当102a -<<时，令()0f x '=，解得：12x =，21
x a =-且12x x <，
故()f x 在(,2)-∞，1(,)a -+∞单调递增，在1
(2,)a -单调递减，
④当12a =-时，2
(2)()02x
x f x e -'=，故()f x 在R 单调递增， ⑤当12a <-时，11
x a
=-，22x =且12x x <，
故()f x 在1(,)a -∞-，(2,)+∞单调递增，在1
(,2)a
-单调递减．
〔2〕由(0)0f =及〔1〕知： ①0a ≥时，2
41
(2)11a f e +=
+>，不合题意； ②1
02
a -<<时，a 需满足条件：
极大值()2
41211a f e +=
+≤，解得1
4a ≤-，
极小值1
21
()110a f e e a --=->->恒成立，
当1x a
>-时()1f x ≤恒成立得210ax x +-≤，2111()24a x ≤--，即1
4a ≤-，
故11
24
a -<≤-；
③12a =-时，()f x 在[0，)+∞递增，()(0)0f x f ≥=，2(1)1
()112x x f x e -+=-
+<， 故1
2
a =-；
④12a <-时，极大值1
1
()11a f e a
-=-<恒成立，
极小值241(2)10a f e +=+≥，解得21
4
e a +≥-，
当2x >时()1f x ≤恒成立得210ax x +-≤，2111()24a x ≤--，即1
4
a ≤-，
故211
42
e a +-≤<-， 综上，a 的范围是211[,]44e +--． 21．【答案】〔1〕2
212
x y +=；〔2〕见解析．
【解析】〔1
〕由题意知，222b c a b c a
=⎧⎪⎪
=⎨⎪⎪+=⎩
11
a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
那么椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
〔2〕当直线的斜率存在时，设直线(1)y k x =-，
联立22
12(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，得2222(12)4220k x k x k +-+-=，2880Δk =+>，
∴22
412A B k x x k +=+，2222
12A B k x x k -=+，
假设x 轴上存在定点00(,)E x ，使得EA EB ⋅为定值，
∴20000(,)(,)()A A B B A B A B A B EA EB x x y x x y x x x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++
2200()(1)(1)A B A B A B x x x x x x k x x =-+++--
222200(1)()()A B A B k x x x k x x x k =+-++++ 2220002
(241)(2)12x x k x k -++-=
+． 要使EA EB ⋅为定值，那么EA EB ⋅的值与k 无关，∴220002412(2)x x x -+=-， 解得054x =
，此时7
16
EA EB ⋅=-为定值，定点为5(,0)4．
当直线的斜率不存在时，(1,
2A
，(1,2B -
，1(,42EA =
，1(,42
EB =-，
117
(442216
EA EB ⋅=⨯+-=-也满足条件．
22．【答案】〔1〕24cos 8sin 160ρραρθ--+=；〔2
〕)4π或者(4,)2
π
．
【解析】〔1〕曲线1C 的参数方程为22cos (42sin x y α
αα=+⎧⎨=+⎩
为参数〕，
转换为直角坐标方程为：22(2)(4)4x y -+-=， 转换为极坐标方程为：24cos 8sin 160ρραρθ--+=． 〔2〕曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 转换为直角坐标方程为：2240x y y +-=，
所以：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-0
44)4()2(2
22
2y y x y x ， 整理出公一共弦的直线方程为：40x y +-=，
故：⎩
⎨⎧=-+=-+040422y x y y x ，解得⎩⎨⎧==22y x 或者⎩⎨⎧==40y x ，
转换为极坐标为)4π或者(4,)2
π
．
23．【答案】〔1〕{|2x x >或者0}x <；〔2〕见解析． 【解析】〔1〕当1a b ==时，()|1||1|2f x x x x =-++>+，
①当1x <-时，不等式可化为：22x x ->+，即2
3
x <-，故1x <-，
②当11x -≤≤时，不等式可化为：22x >+，即0x <，故10x -≤<， ③当1x >时，不等式可化为22x x >+，即2x >，故2x >， 综上，不等式的解集是{|2x x >或者0}x <．
〔2〕根据绝对值三角不等式可知()f x x a x b a b =-++≥+， ()f x 的值域是[2,)+∞，
故2a b +=，114a b +++=， 故
1111a b +++11111()411a b a b a b ++++++=+++111(2)411
b a a b ++=++++，
当且仅当
11
11
b a
a b
++
=
++
，即1
a b
==时取等号时，由根本不等式可得
11
1
11
a b
+≥
++
．
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。