2024年陕西省宝鸡市金台区金河中学九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

2024年陕西省宝鸡市金台区金河中学九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列说法正确的是（）A ．两个全等三角形是特殊的位似图形B ．两个相似三角形一定是位似图形C ．位似图形的面积比与周长比都和相似比相等D ．位似图形不可能存在两个位似中心2、（4分）下列函数：①0.1y x =-；②21y x =--；③2x y =；④22y x =；⑤24y x =.其中，是一次函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、（4分）如图，在□ABCD 中，AB =4，BC =7，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则ED 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．54、（4分）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）．
A ．202+10x y x y +-=⎧⎨-=⎩
B ．3210210x y x y --=⎧⎨--=⎩
C ．3250210x y x y --=⎧⎨+-=⎩
D ．202-10x y x y +-=⎧⎨-=⎩5、（4分）Rt △ABO 与Rt △CBD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠ABO ＝∠CBD ＝90°，若点A （，﹣2），∠CBA ＝60°，BO ＝BD ，则点C 的坐标是（）A ．（2，）B ．（1）C ．，1）D ．（2）6、（4分）对于数据：80，88，85，85，83，83，1．下列说法中错误的有()①这组数据的平均数是1；②这组数据的众数是85；③这组数据的中位数是1；④这组数据的方差是2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、（4分）下列计算正确的是()A 5=B ．3=C ．6=D ．62=8、（4分）正方形有而矩形不一定有的性质是（）A ．四个角都是直角B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．
10、（4分）正八边形的一个内角的度数是度．11、（4分）菱形ABCD 的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形ABCD 的面积为_____；周长为______．12、（4分）已知P 1(-4，y 1)、P 2(1，y 2)是一次函数y=-3x+1图象上的两个点，则y 1_______y 2(填＞，＜或=)13、（4分）在甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为2s 甲＝0.56，2s 乙＝0.60，2s 丙＝0.45，2s 丁＝0.50，则成绩最稳定的是______.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？15、（8分）某校为了解八年级男生立定跳远测试情况，随机抽取了部分八年级男生的测试成绩进行统计，根据评分标准，将他们的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的男生中，成绩等级为不及格的男生人数有__________人，成绩等级为良好的
男生人数占被调查男生人数的百分比为__________%；（2）被调查男生的总数为__________人，条形统计图中优秀的男生人数为__________人；（3）若该校八年级共有300名男生，根据调查结果，估计该校八年级男生立定跳远测试成绩为良好和优秀的男生人数.16、（8分）用适当的方法解一元二次方程：x 2+4x+3=1．17、（10分）某学校八年级七班学生要去实验基地进行实践活动，估计乘车人数为10人到40人之间，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人120元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位同学的车费，然后给予其他同学八折优惠．（1）若用x 表示乘车人数，请用x 表示选择甲、乙旅行社的费用y 甲与y 乙；（2）请你帮助学校选择哪一家旅行社费用合算？18、（10分）﹣．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图是小强根据全班同学喜爱四类电视节目的人数而绘制的两幅不完整的统计图，则喜爱“体育”节目的人数是_____人．20、（4分）如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为．
21、（4分）将直线y＝2x 向上平移3个单位所得的直线解析式是_____．
22、（4分）不等式9﹣3x ＞0的非负整数解的和是_____．
23、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，3）、（n ，3），若直线y=2x 与线段AB 有公共点，则n 的值可以为_____．（写出一个即可）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）解方程311(1)(2)x x x x -=--+．25、（10分）如图，在矩形ABCD 中，AF 平分∠BAD 交BC 于E ，交DC 延长线于F ，点G 为EF 的中点，连接DG ．（1）求证：BC =DF ；（2）连接BD ，求BD ∶DG 的值．26、（12分）如图1，以□ABCD 的较短边CD 为一边作菱形CDEF,使点F 落在边AD 上，连接BE ，交AF 于点G.（1）猜想BG 与EG 的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA 交于点H ，其他条件不变，①如图2，若∠ADC=60°，求DG BH 的值；②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出DG BH 的值.（用含α的三角函数表示）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D 【解析】根据位似图形的定义与性质对各个选项进行判断即可.【详解】A.全等三角形是特殊的相似三角形，其相似比为1，但是两个全等三角形不一定对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，故本选项错误，B.两个位似三角形的对应顶点的连线一定相交于一点，对应边一定互相平行，而相似三角形只要求形状相同、大小不等，并没有位置上的特殊要求，故本选项错误，C.位似图形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，故本选项错误，D.两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，这一点是唯一的，故本选项正确.故选D.本题主要考查位似图形的定义与性质，1.位似图形对应线段的比等于相似比；2.位似图形的对应角都相等；3.位似图形对应点连线的交点是位似中心；4.位似图形面积的比等于相似比的平方；5.位似图形高、周长的比都等于相似比；6.位似图形对应边互相平行或在同一直线上.2、C 【解析】根据一次函数的定义逐一判断即可．【详解】
①0.1y x =-是一次函数；
②21y x =--是一次函数；
③2x
y =是一次函数；
④22y x =不是一次函数；
⑤24y x =不是一次函数．
故选C ．此题考查的是一次函数的判断,掌握一次函数的定义是解决此题的关键．3、B 【解析】由平行四边形的性质可知AD ∥BC ，AD=BC ，利用两直线平行得到一对内错角相等，由BE 为角平分线得到一对角相等，等量代换得到∠ABE=∠AEB ，利用等角对等边得到AB=AE=4，由AD-AE 求出ED 的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC=7，∴∠AEB=∠EBC ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠EBC ，∴∠AEB=∠ABE ，∴AB=AE=4，∴ED=AD-AE=BC-AE=7-4=1．故选：B ．此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．4、D 【解析】由图易知两条直线分别经过（1，1）、（0，-1）两点和（0，2）、（1，1）两点，设出两个函数的解析式，然后利用待定系数法求出解析式，再根据所求的解析式写出对应的二元一次方
程，然后组成方程组便可解答此题.
【详解】
由图知，设经过（1，1）、（0，-1）的直线解析式为y=ax+b （a≠0）.将（1，1）、（0，-1）两点坐标代入解析式中，解得
2
1
a b ==-⎧⎨⎩故过（1，1）、（0，-1）的直线解析式y=2x-1，对应的二元一次方程为2x-y-1=0.
设经过（0，2）、（1，1）的直线解析式为y=kx+h （k≠0）.将（0，2）、（1，1）两点代入解析式中，解得12k h =-=⎧⎨⎩故过（0，2）、（1，1）的直线解析式为y=-x+2，对应的二元一次方程为x+y-2=0.因此两个函数所对应的二元一次方程组是202-10x y x y +-=⎧⎨-=⎩故选D 此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于要写出两个函数所对应的二元一次方程组，需先求出两个函数的解析式.5、C 【解析】过点C 作CE 垂直x 轴于点E ．先证明△ODB 为等边三角形，求出OD 、DB 长，然后根据∠DCB ＝30°，求出CD 的长，进而求出OC ，最后求出OE ，CE ，即求出点C 坐标．【详解】.解：如图，过点C 作CE 垂直x 轴于点E ．∵A （2），∴OB ＝2，AB ＝∵∠ABO ＝∠CBD ＝90°，∴∠DBO ＝∠CBA ＝60°，∵BO ＝BD ，∴∠D ＝DOB ＝60°，DO ＝DB ＝BO ＝2，
∴∠BCD ＝30°，
CD ＝2BD ＝4，
∴CO ＝CD ﹣OD ＝4﹣2＝2，
∵∠COE ＝90°﹣∠COy ＝90°﹣60°＝30°
∴CE ＝12OC ＝1，OE ，
∴C 1）．
本题考查坐标与图形性质，熟练运用30度角直角三角形性质是解题的关键．
6、B
【解析】
由平均数公式可得这组数据的平均数为1；
在这组数据中83出现了2次，85出现了2次，其他数据均出现了1次，所以众数是83和85；将这组数据从小到大排列为：80、83、83、1、85、85、88，可得其中位数是1；
其方差为36 7，
故选B．
7、C
【解析】
根据二次根式的加法法则判断A、B；根据二次根式的乘法法则判断C；根据二次根式的除法法则判断D．
【详解】
A、不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B、不能合并，故本选项错误；
C、故本选项正确；
D、故本选项错误；
故选：C．
本题考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
8、D
【解析】
根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A 、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；B 、正方形和矩形的对角线相等，故本选项错误；C 、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项错误；D 、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．故选D ．本题考查了正方形和矩形的性质，熟记性质并正确区分是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、16或2【解析】等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C 时，作辅助线，构建平行四边形AGHD 和直角三角形EGB'，计算EG 和B'G 的长，根据勾股定理可得B'D 的长；【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=16，AD=BC=1．分两种情况讨论：（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形（2）如图3，当B'D=B'C 时，过点B'作GH ∥AD ，分别交AB 与CD 于点G 、H ．
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∠A=90°又GH ∥AD ，∴四边形AGHD 是平行四边形，又∠A=90°，∴四边形AGHD 是矩形，∴AG=DH ，∠GHD=90°，即B'H ⊥CD ，又B'D=B'C ，∴DH ＝HC ＝183CD =，AG=DH=8，∵AE=3，∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，EG=AG-AE=8-3=5，在Rt △EGB'中，由勾股定理得：GB′12=，∴B'H=GH ×GB'=1-12=6，在Rt △B'HD 中，由勾股定理得：B′D 10=综上，DB'的长为16或2．故答案为：16或2本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．10、135【解析】根据多边形内角和定理：（n ﹣2）•180°（n≥3且n 为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.
【详解】
正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为：1080°÷8=135°，
故答案为135.
11、24cm 220cm
【解析】
分析：菱形的面积等于对角线积的一半；菱形的对角线互相垂直且平分构建直角三角形后，用勾股定理求.详解：根据题意得，菱形的面积为12×6×8＝24cm 2；菱形的周长为4×4×5＝20cm .故答案为24cm 2；20cm .点睛：本题考查了菱形的性质，菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的面积等于对角线积的一半，菱形中常常根据对角线的性质构造直角三角形，用勾股定理求线段的长.12、＞【解析】根据一次函数的性质即可得答案．【详解】∵一次函数y=-3x+1中，-3＜0，∴函数图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小，∵-4＜1，∴y 1＞y 2，故答案为：＞本题考查一次函数的性质，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k ＞0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小；当b ＞0时，图象与y 轴交于正半轴；当b ＜0时，图象与y 轴交于负半轴；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．13、丙【解析】
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
因为2s 甲＝0.56，2s 乙＝0.60，2s 丙＝0.45，2
s 丁＝0.50，
所以2s 丙<2s 丁<2s 甲<2s 乙，由此可得成绩最稳定的为丙.故答案为：丙.此题考查方差，解题关键在于掌握其定义.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元；（2）最多可购买30件甲种商品．【解析】(1)设甲种商品每件的价格是x 元,则乙种商品每件的价格是(x-5)元,根据"用360元购买甲种商品的件数怡好与用300元购买乙种商品的件数相同",列出关于x 的分式方程,解之经过验证即可,(2)设购买m 件甲种商品,则购买(40-m)件乙种商品,根据商店计划购买这两种商品共40件,且投入的经费不超过1150元",列出关于m 的一元一次不等式,解之即可【详解】解：（1）设甲种商品每件的价格是x 元，则乙种商品每件的价格是（x ﹣5）元，根据题意得：3603005x x =-，解得：x ＝30，经检验，x ＝30是方程的解且符合意义，30﹣5＝25，答：甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元，（2）设购买m 件甲种商品，则购买（40﹣m ）件乙种商品，根据题意得：30m+25（40﹣m ）≤1150，
解得：m≤30，
答：最多可购买30件甲种商品．
此题考查一元一次不等式的应用和分式方程的应用，解题关键在于列出方程
15、（1）3，24;（2）50，28;（3）估计该校八年级男生立定跳远测试成绩在良好以上的男生人数为240人.
【解析】
（2）被调查的男生总数=不及格的人数÷它对应的比例，条形统计图中优秀的男生人数：用总数把其他三个等级的人数全部剪掉即可.
（3）由（1）（2）可知，优秀56%，良好24%，该校八年级男生成绩等级为“良好”和“优秀”的学生人数=300×（良好占比+优秀占比）．
【详解】
解：（1）3，24
（2）被调查的男生总数3÷6%=50（人），
-⨯--=
条形统计图中优秀的男生人数：505024%7328
（3）该校八年级男生成绩等级为“良好”和“优秀”的学生人数
300(56%24%)240
⨯+=（人）．
答：估计该校八年级男生立定跳远测试成绩在良好以上的男生人数为240人.
本题考查的是表格统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．表格统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16、x2=-3，x2=-2
【解析】
利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（x+3）（x+2）=2，
x+3=2或x+2=2，
所以x2=-3，x2=-2．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
×120x=90x，y乙=0.8×120（x-1）=96x-96；（2）当人数为10-16人时，选17、（1）y
甲=0.75
择乙旅行社合算；当人数16-40人时，选择甲旅行社合算；当人数正好是16人时，选择甲、乙旅行社一样．
【解析】
（1）设共有x人由题意得：甲旅行社的花费=120×人数×七五折；乙旅行社的花费=120×（人
数-1）×八折；（2）分三种情况：①y 甲=y 乙时，②y 甲＞y 乙时，③y 甲＜y 乙时，分别列出方程或不等式进行计算即可．【详解】（1）设共有x 人，则y 甲=0.75×120x=90x ，y 乙=0.8×120（x-1）=96x-96；（2）由y 甲=y 乙得，90x=96x-96，解得：x=16，y 甲＞y 乙得，90x ＞96x-96，解得：x ＜16，y 甲＜y 乙得，90x ＜96x-96，解得：x ＞16，所以，当人数为10-16人时，选择乙旅行社合算；当人数16-40人时，选择甲旅行社合算；当人数正好是16人时，选择甲、乙旅行社一样．此题考查一元一次不等式和方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中不等关系，再列出不等式．18、【解析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．【详解】原式＝此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
试题分析：根据喜爱新闻类电视节目的人数和所占的百分比，即可求出总人数；根据总人数和喜爱动画类电视节目所占的百分比，求出喜爱动画类电视节目的人数，进一步利用减法可求喜爱“体育”节目的人数．
5÷1%=50（人），50×30%=15（人），50﹣5﹣15﹣20=1（人）．故答案为1．考点：条形统计图；扇形统计图.20、21【解析】10+7+4=2121、y=2x+1．【解析】根据“上加下减”的原则进行解答．【详解】直线y=2x 向上平移1个单位所得的直线解析式是y=2x+1．故答案为y=2x+1．本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移原则是解题的关键.22、1【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再找出不等式的非负整数解相加即可．【详解】930x ->39x ->-3x <所以不等式930x ->的非负整数解为0，1，2
则所求的和为0123
++=故答案为：1．
本题考查了求一元一次不等式的整数解，掌握不等式的解法是解题关键．23、1
【解析】
【分析】由直线y=1x 与线段AB 有公共点，可得出点B 在直线上或在直线右下方，利用一
次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n 的一元一次不等式，解之即可得出n 的取值范围，在其内任取一数即可得出结论．【详解】∵直线y=1x 与线段AB 有公共点，∴1n≥3，∴n≥32，故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n 的一元一次不等式是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、原分式方程无解.【解析】根据解分式方程的方法可以解答本方程，去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程，验证.【详解】方程两边乘(x ﹣1)(x+2)，得x(x+2)﹣(x ﹣1)(x+2)＝3即：x 2+2x ﹣x 2﹣x+2＝3整理，得x ＝1检验：当x ＝1时，(x ﹣1)(x+2)＝0，∴原方程无解．本题考查解分式方程，解题的关键是明确解放式方程的计算方法．25、（1）详见解析；:1【解析】（1）根据矩形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ＝BC ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，
∵AF 平分∠BAD ，
∴∠DAF ＝45°，
∴AD ＝DF ，∴BC ＝DF ；（2）连接CG ，BG ，∵点G 为
EF 的中点，∴GF ＝CG ，∴∠F ＝∠BCG ＝45°
，在△BCG 与△DFG
中，45BC DF F BCG GF CG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△BCG ≌△DFG （SAS ），∴BG ＝DG ，∠CBG ＝∠FDG ，∴△BDG 为等腰直角三角形，∴BD DG ，∴BD ：DG ：1．此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．26、（1）BG EG =，理由见解析；（2）12；（3）cos α.
【解析】
（1）BG=EG ，根据已知条件易证△BAG ≌△EFG ，根据全等三角形的对应边相等即可得结论；（2）①方法一：过点G 作GM ∥BH ，交DH 于点M ，证明ΔGME ∽ΔBHE ，即可得1
2GM
GE BH BE ==，再证明MGD ∆是等边三角形，可得DG MG =，由此可得1
2DG MG
BH BH ==；方法二：延长ED ，BC 交于点M ，证明ΔHBM 为等边三角形，再证明
EDG ∆∽EMB ∆，即可得结论；②如图3，连接EC 交DF 于O 根据三角函数定义得cosα=OE EF ，则OF=bcosα，DG=a+2bcosα，同理表示AH 的长，代入DG BH 计算即可．【详解】（1）BG EG =，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB CD =.∵四边形
CDEF 是菱形，∴CD ∥EF ，CD EF =.∴AB ∥EF ，AB EF =.∴ABG FEG ∠=∠.又∵AGB FGE ∠=∠，∴ABG ∆≌FEG ∆()AAS .∴BG EG =.（2）方法1：过点G 作GM ∥BH ，交DH 于点M ，
∴EMG EHA ∠=∠.
∵GEM BEH ∠=∠，
∴GME ∆∽BHE ∆.
∴GM GE BH BE =.由（1）结论知BG EG =.∴12EG BE =.∴12GM GE BH BE ==.∵四边形CDEF 为菱形，∴60ADC EDF ∠=∠=︒.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD .∴60CDF HAD ∠=∠=︒.∵GM ∥AH ，∴60MGD HAD ∠=∠=︒.∴18060GMD MGD MDG ∠=︒-∠-∠=︒，即60GMD MGD MGD ∠=∠=∠=︒.∴MGD ∆是等边三角形。

∴DG MG =.∴12DG MG BH BH ==.方法2：延长ED ，BC 交于点M ，
∵四边形CDEF 为菱形，∴60EDF CDF ∠=∠=︒.
∵四边形ABCD 为平形四边形，∴60ABC ADC ∠=∠=︒，AD ∥BC .∴60EDF M ∠=∠=︒.
1801806060H HBM M ∠=︒-∠-∠=︒-︒=︒,即60HBM M H ∠=∠=∠=︒.∴HBM ∆为等边三角形.∴HB MB =.∵AD ∥BC ，∴EGD EBM ∠=∠,EDG M ∠=∠.∴EDG ∆∽EMB ∆，∴DG
EG MB EB =.由（1）结论知BG EG =∴12EG BE =.∴12DG GE MB BE ==.∵HB MB =,∴12DG DG BH MB ==.（3）cos α.如图3，连接EC 交DF 于O ，∵四边形CFED 是菱形，∴EC ⊥AD ，FD=2FO ，设FG=a ，AB=b ，则FG=a ，EF=ED=CD=b ，
Rt △EFO 中，cosα=OE
EF ，
∴OF=bcosα，
∴DG=a+2bcosα，
过H 作HM ⊥AD 于M ，
∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，
∴AH=HD，
∴AM=1
2AD=
1
2（2a+2bcosα）=a+bcosα，
Rt△AHM中，cosα=AM AH，
∴AH=
cos cos
a bα
α
+
，
∴DG
BH=
2cos
cos
cos
a b
a b
b
α
α
α
+
+
+
=cosα．
本题是四边形综合题，其中涉及到菱形的性质，等边三角形、全等三角形、平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合及类比思想是解题的关键．。